31 bai tap tich phan to hop nhieu ham so co loi giai tran si tung

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ Câu 1 x  I    x 2e x   dx  x   1  I   x 2e x dx   x 1 x dx 11 t 1 1 + Tính I1   x e dx Đặt t  x  I1   e dt  et  e  30 3 x3 + Tính I   x 1 x  x2  x2 1 dx 2 + Tính I    I2     cos2 t dt  ( cot t  t ) 2 = sin2 t I  4 x   I   x e2 x dx   0  I x3  x2 dx  I1  I e2  dx Đặt t   x  I  3  e2 61 3  12 Câu  4 x + Tính I1   x e2 x dx    x  x dx x3 1 I  x2  ( x  1) x2   dx Đặt x  2sin t , t   0;   2  e2 x x + Tính I   3 Vậy: I  e2    x2 Câu   dt       4 1 t   dx   + Tính I1   xe x dx  e2  t4 dx Đặt t  x  I  4 Vậy: I  e    3   x2 Câu I   x  e x   x3   I   xe x dx + e x dx Trang 34 16 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 2  Đặt t  x   dx  dt I   t  2t  t2 Câu  I x 1 x e e   2  t 1  e2 dt       e dt = e      e    e  t2 t  1  t 1 dx  x2 2 1  Đặt t   x  dx  tdt  I   (t  1)et dt   t 2et dt  et + J   t 2et dt  t 2et  J  (e2  e)  2  2 t   2te dt  4e2  e   tet   et dt   4e2  e  2(tet  et )  1  1   Vậy: I  e2 x ln( x  1)  x I  dx x2  x ln( x  1) x( x  1)  x x ln( x  1) x  Ta có: f ( x )    x 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1  F( x )   f ( x )dx   ln( x  1)d ( x  1)   xdx   d ln( x  1) 2 1 = ln2 ( x  1)  x  ln( x  1)  C 2 Câu  Câu I   I   ln x  x   x x2    ln x  x   x x2  + Tính I1    I1    x 9 udu  ln3 2 x 9 Vậy I   dx  34   x   v  dv  x x 9   x2  dx  I1  3I  ln2  ln2  44 ( x  1)ln x  x  dx  x ln x e  ln x dx  I   x dx    x ln x 1 dx  I1  3I 2 x 9 dx , x  v 9 u3 44  9u )  3 I  e x2  x   u  du  e Câu x3 dx Đặt ln x  x   x x2  dx Đặt ln  x   I   (u2  9)du  (  ln x  x  u ln ln  ln  ln x3 + Tính I   dx   ln x  x  ln dx e e x3 e3   +  x dx  3 Trang 35 dx Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng e e e  ln x d (2  x ln x ) e2 dx    ln  x ln x  ln +   x ln x  x ln x 1 Câu I e3 ln3 x 1  ln x x e3  e2 Vậy: I   ln dx  Đặt t   ln x   ln x  t  (t  1)3 dt = t  I  dx  2tdt ln3 x  (t  1)3 x t  3t  3t  1 15 dt  (t  3t  3t  )dt   ln   t t 1  Câu 10 I  x sin x dx x  cos u x   Đặt   sin x dx dv  cos2 x    4 dx  cos xdx Đặt t  sin x  I1   cos x    sin2 x + I1     du  dx x 4 dx  dx       I cos x 0 cos x cos x v  cos x  2  2  ln  t2 2  dt  2  ln 2 Vậy:  ln(5  x)  x3  x dx 1 x2 Câu 11 I  ln(5  x) dx   x  x dx  K  H x2 1 4  Ta có: I   u  ln(5  x ) ln(5  x )  dx dx Đặt  + K  K  ln dv  x  x2 4 + H=  x  x dx Đặt t   x  H  164 15 164 Vậy: I  ln  15 Câu 12 I    x(2  x )  ln(4  x ) dx 2 0  Ta có: I   x (2  x )dx +  ln(4  x )dx = I1  I 2 0 + I1   x (2  x )dx    ( x  1)2 dx  2 + I   ln(4  x )dx  x ln(4  x )    (sử dụng đổi biến: x   sin t ) x2 dx (sử dụng tích phân phần)  x  6ln    (đổi biến x  2tan t ) Trang 36 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Vậy: I  I1  I  3   ln 2 ln x dx x 1 Câu 13 I   u  ln x  dx 8 x 1  du  dx    I  x  ln x  dx  Đặt  x  dv  x  x 1 v  x  3  x 1 2t dt  dx Đặt t  x   J    2 1  dt   ln  ln 2 x t 1 t 1 2 + Tính J    I  ln8  ln3  2(2  ln3  ln 2)  20 ln  ln3   x2 Câu 14 I   ln xdx x3 u  ln x  1  1  Ta có: I      ln xdx Đặt  dv  (  )dx x x    x3 x 2   1  63  ln x  ln x     ln x  dx =  ln   ln x 64  4x    4x  1  I  e x  x ln x  x e dx x Câu 15 I   e e 1 e x e dx  H  K  J x  Ta có: I   xe x dx   e x ln xdx   e x + H   xe dx  xe x 1e  e e e x dx  ee (e  1) e e x e x e e dx  ee   dx  ee  J x x 1 + K   e x ln xdx  e x ln x   1 Vậy: I  H  K  J  ee1  ee  ee  J  J  ee1  Câu 16 I    x cos x sin3 x dx   cos x  Ta có     Đặt sin x  sin x   u  x du  dx   dv  cos x dx  v     sin3 x 2sin x   2 dx   1 1   (  )  cot x  =  I =  x +   sin2 x 2 2 2 sin2 x  4  Câu 17 I  x sin x  cos3 x dx Trang 37 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng u  x du  dx x   sin x I    Đặt:  dv  dx v cos2 x   cos3 x 2.cos2 x    dx    cos2 x   tan x 0     ( x  sin x) 0  sin x dx Câu 18 I    x sin2 x dx    sin x   sin x dx  H  K 0  Ta có: I  u  x du  dx  dx x x    + H dx   dx Đặt: dv     v  tan  x    sin x   2  0 cos2 x   cos  x    4   4       2   H    x   1 2  tan  x     ln cos  x            + K  2 sin x cos2 x  dx K  Đặt  t   x   sin x   sin x dx 0    dx 2  tan  x     K    0  cos2 x      4  Vậy, I  H  K    2K  Câu 19 I    x (cos3 x  cos x  sin x )   cos2 x dx     cos x(1  cos2 x )  sin x  x.sin x  Ta có: I   x  dx  J  K  dx   x.cos x.dx   2    cos x  0  cos x      u  x + Tính J   x.cos x.dx Đặt   J  ( x.sin x )   sin x.dx   cos x  2 0 dv  cos xdx 0  + Tính K   x.sin x  cos x  K dx Đặt x    t  dx  dt (  t ).sin(  t )  cos (  t )  ( x    x ).sin x  2K    cos2 x  dt   (  t ).sin t  cos t  dx    Đặt t  cos x  dt   sin x.dx  K   dt   sin x.dx  cos  x (  x ).sin x  cos2 x K dt   t2 , 1 Trang 38 dx   sin x.dx 0  cos2 x đặt t  tan u  dt  (1  tan2 u)du Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân  K    Vậy I  (1  tan u)du   tan2 u  2 Câu 20 I   (1  sin x )sin2 x 2  Ta có: I   x sin2 x  u 4   2 4 dx 2 dx   x sin x 2 dx   dx H K  sin x u  x   du  dx dv  dx  v   cot x  H    sin2 x dx Đặt  Vậy I   (1  sin x )sin x 2  dx   sin x  + K    du  x(1  sin x )  sin2 x 2 x  ( x  sin x )sin x 3   2 + H    2  2 dx dx  3  2   x 2  cos   x  cos    2   2  2  x  sin x  cos2 x Câu 21 I   dx  x  sin x  cos2 x  Ta có: I    + H  dx    dx   2 cos x x  x dx   sin2 x dx  H  K cos2 x u  x x  du  dx dx   dx Đặt  dv  v  tan x cos x  cos2 x cos2 x     1   H  x tan x   tan xdx    ln cos x 0  2  + K  sin2 x    ln 2   1  dx   tan2 xdx   tan x  x      2 3 2 cos2 x Vậy: I  H  K  1      1  ln       (  ln 2) 2 3 2  Câu 22 I   x  1sin x  1.dx 2 1  Đặt t  x   I   t.sin t.2tdt   2t sin tdt   x sin xdx 2  du  xdx  Đặt u  x  I  2 x cos x   x cos xdx dv  sin xdx v   cos x u  x du  4dx  Đặt  Từ suy kết dv  cos xdx  v  sin x Trang 39 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng   sin x   cos x e Câu 23 I  x dx  I  x 2 e dx sin x x  e dx   20  cos x x cos   2  x x 2sin cos sin x x 2 e x dx  tan x e x dx + Tính I1   e dx    x  cos x 0 cos2 x    ue du  e x dx   x 2 e dx    tan x e x dx I  e + Tính I   Đặt dv  dx     2 x x 20   v  tan x cos2 cos   2  Do đó: I  I1  I  e  Câu 24 I   cos x x e (1  sin x ) dx  cos x  (sin x  cos x )dx u du    x cos x   e ex  I  02 x dx Đặt   dx sin x e (sin x  cos x ) dv  v    sin x  cos x (sin x  cos x )  I  cos x e x    2 sin x sin xdx   sin x  cos x 0 e x  sin xdx ex  u1  sin x du1  cos xdx 1   Đặt   I  sin x x  dx   1 e  dv1  e x v1  e x   u2  cos x du2   sin xdx   Đặt  dx   1  dv1  e x v1  e x   I  1   cos x e2  Câu 25 I     1 e x    sin6 x  cos6 x 6x  sin xdx e x  1    I  2I  e2 dx Trang 40    cos xdx  e e x  1  e2 1  I    cos xdx  e 2 ex  Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân   Đặt t  x  dt  dx  I      2I    I  (6 x  1) 6x  sin t  cos t 6t    dt    6x dx  6x  (sin6 x  cos6 x )dx     5  5   cos x dx  16   8  5 32 sin xdx  Câu 26 I   2 x      Ta có: I     sin xdx 2x  2x   x sin xdx 2x     sin xdx x 1   0 sin xdx x 1  I1  I 2t sin (t )  x 2x  Đặt x  t  I1     x sin xdx 6   x sin xdx     x  + Tính I1     sin xdx  2 t  dt   sin t  6 (1  cos2 x )2 dx  40 e  cos(ln x)dx  Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt   I   et cos tdt =  (e  1) (dùng pp tích phân phần)  sin2 x sin x.cos3 xdx Câu 28 I   e  Đặt t  sin x  I  11 t e (1  t )dt  e (dùng tích phân phần)  20  Câu 29 I   ln(1  tan x )dx Trang 41 sin x  2t  1dt   x  1dx 16 4  (3  cos2 x  cos x )dx   80 64 Câu 27 I     dx   sin6 x  cos6 x   sin x  cos x   I  6t Bài tập Tích phân  Đặt t  = Trần Sĩ Tùng    4     x  I   ln   tan   t  dt =       4 0  ln  I   ln  tan t dt   ln 2dt   ln(1  tan t)dt  2I    tan t   ln 1   tan t dt =  = t.ln 04  I ln  Câu 30 I   sin x ln(1  sin x )dx   cos x u  ln(1  sin x ) du  dx   Đặt   sin x dv  sin xdx  v   cos x    2  cos x  sin x   I   cos x.ln(1  sin x )   cos x dx    dx   (1  sin x )dx   1  sin x  sin x 0 0  Câu 31 I   tan x.ln(cos x ) dx cos x  Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I    ln t t2 dt    u  ln t du  t dt  Đặt    I  1 ln dv  dt 2   v t t  Trang 42 ln t t2 dt