Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ Câu 1 x I x 2e x dx x 1 I x 2e x dx x 1 x dx 11 t 1 1 + Tính I1 x e dx Đặt t x I1 e dt et e 30 3 x3 + Tính I x 1 x x2 x2 1 dx 2 + Tính I I2 cos2 t dt ( cot t t ) 2 = sin2 t I 4 x I x e2 x dx 0 I x3 x2 dx I1 I e2 dx Đặt t x I 3 e2 61 3 12 Câu 4 x + Tính I1 x e2 x dx x x dx x3 1 I x2 ( x 1) x2 dx Đặt x 2sin t , t 0; 2 e2 x x + Tính I 3 Vậy: I e2 x2 Câu dt 4 1 t dx + Tính I1 xe x dx e2 t4 dx Đặt t x I 4 Vậy: I e 3 x2 Câu I x e x x3 I xe x dx + e x dx Trang 34 16 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 2 Đặt t x dx dt I t 2t t2 Câu I x 1 x e e 2 t 1 e2 dt e dt = e e e t2 t 1 t 1 dx x2 2 1 Đặt t x dx tdt I (t 1)et dt t 2et dt et + J t 2et dt t 2et J (e2 e) 2 2 t 2te dt 4e2 e tet et dt 4e2 e 2(tet et ) 1 1 Vậy: I e2 x ln( x 1) x I dx x2 x ln( x 1) x( x 1) x x ln( x 1) x Ta có: f ( x ) x 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 F( x ) f ( x )dx ln( x 1)d ( x 1) xdx d ln( x 1) 2 1 = ln2 ( x 1) x ln( x 1) C 2 Câu Câu I I ln x x x x2 ln x x x x2 + Tính I1 I1 x 9 udu ln3 2 x 9 Vậy I dx 34 x v dv x x 9 x2 dx I1 3I ln2 ln2 44 ( x 1)ln x x dx x ln x e ln x dx I x dx x ln x 1 dx I1 3I 2 x 9 dx , x v 9 u3 44 9u ) 3 I e x2 x u du e Câu x3 dx Đặt ln x x x x2 dx Đặt ln x I (u2 9)du ( ln x x u ln ln ln ln x3 + Tính I dx ln x x ln dx e e x3 e3 + x dx 3 Trang 35 dx Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng e e e ln x d (2 x ln x ) e2 dx ln x ln x ln + x ln x x ln x 1 Câu I e3 ln3 x 1 ln x x e3 e2 Vậy: I ln dx Đặt t ln x ln x t (t 1)3 dt = t I dx 2tdt ln3 x (t 1)3 x t 3t 3t 1 15 dt (t 3t 3t )dt ln t t 1 Câu 10 I x sin x dx x cos u x Đặt sin x dx dv cos2 x 4 dx cos xdx Đặt t sin x I1 cos x sin2 x + I1 du dx x 4 dx dx I cos x 0 cos x cos x v cos x 2 2 ln t2 2 dt 2 ln 2 Vậy: ln(5 x) x3 x dx 1 x2 Câu 11 I ln(5 x) dx x x dx K H x2 1 4 Ta có: I u ln(5 x ) ln(5 x ) dx dx Đặt + K K ln dv x x2 4 + H= x x dx Đặt t x H 164 15 164 Vậy: I ln 15 Câu 12 I x(2 x ) ln(4 x ) dx 2 0 Ta có: I x (2 x )dx + ln(4 x )dx = I1 I 2 0 + I1 x (2 x )dx ( x 1)2 dx 2 + I ln(4 x )dx x ln(4 x ) (sử dụng đổi biến: x sin t ) x2 dx (sử dụng tích phân phần) x 6ln (đổi biến x 2tan t ) Trang 36 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Vậy: I I1 I 3 ln 2 ln x dx x 1 Câu 13 I u ln x dx 8 x 1 du dx I x ln x dx Đặt x dv x x 1 v x 3 x 1 2t dt dx Đặt t x J 2 1 dt ln ln 2 x t 1 t 1 2 + Tính J I ln8 ln3 2(2 ln3 ln 2) 20 ln ln3 x2 Câu 14 I ln xdx x3 u ln x 1 1 Ta có: I ln xdx Đặt dv ( )dx x x x3 x 2 1 63 ln x ln x ln x dx = ln ln x 64 4x 4x 1 I e x x ln x x e dx x Câu 15 I e e 1 e x e dx H K J x Ta có: I xe x dx e x ln xdx e x + H xe dx xe x 1e e e e x dx ee (e 1) e e x e x e e dx ee dx ee J x x 1 + K e x ln xdx e x ln x 1 Vậy: I H K J ee1 ee ee J J ee1 Câu 16 I x cos x sin3 x dx cos x Ta có Đặt sin x sin x u x du dx dv cos x dx v sin3 x 2sin x 2 dx 1 1 ( ) cot x = I = x + sin2 x 2 2 2 sin2 x 4 Câu 17 I x sin x cos3 x dx Trang 37 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng u x du dx x sin x I Đặt: dv dx v cos2 x cos3 x 2.cos2 x dx cos2 x tan x 0 ( x sin x) 0 sin x dx Câu 18 I x sin2 x dx sin x sin x dx H K 0 Ta có: I u x du dx dx x x + H dx dx Đặt: dv v tan x sin x 2 0 cos2 x cos x 4 4 2 H x 1 2 tan x ln cos x + K 2 sin x cos2 x dx K Đặt t x sin x sin x dx 0 dx 2 tan x K 0 cos2 x 4 Vậy, I H K 2K Câu 19 I x (cos3 x cos x sin x ) cos2 x dx cos x(1 cos2 x ) sin x x.sin x Ta có: I x dx J K dx x.cos x.dx 2 cos x 0 cos x u x + Tính J x.cos x.dx Đặt J ( x.sin x ) sin x.dx cos x 2 0 dv cos xdx 0 + Tính K x.sin x cos x K dx Đặt x t dx dt ( t ).sin( t ) cos ( t ) ( x x ).sin x 2K cos2 x dt ( t ).sin t cos t dx Đặt t cos x dt sin x.dx K dt sin x.dx cos x ( x ).sin x cos2 x K dt t2 , 1 Trang 38 dx sin x.dx 0 cos2 x đặt t tan u dt (1 tan2 u)du Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân K Vậy I (1 tan u)du tan2 u 2 Câu 20 I (1 sin x )sin2 x 2 Ta có: I x sin2 x u 4 2 4 dx 2 dx x sin x 2 dx dx H K sin x u x du dx dv dx v cot x H sin2 x dx Đặt Vậy I (1 sin x )sin x 2 dx sin x + K du x(1 sin x ) sin2 x 2 x ( x sin x )sin x 3 2 + H 2 2 dx dx 3 2 x 2 cos x cos 2 2 2 x sin x cos2 x Câu 21 I dx x sin x cos2 x Ta có: I + H dx dx 2 cos x x x dx sin2 x dx H K cos2 x u x x du dx dx dx Đặt dv v tan x cos x cos2 x cos2 x 1 H x tan x tan xdx ln cos x 0 2 + K sin2 x ln 2 1 dx tan2 xdx tan x x 2 3 2 cos2 x Vậy: I H K 1 1 ln ( ln 2) 2 3 2 Câu 22 I x 1sin x 1.dx 2 1 Đặt t x I t.sin t.2tdt 2t sin tdt x sin xdx 2 du xdx Đặt u x I 2 x cos x x cos xdx dv sin xdx v cos x u x du 4dx Đặt Từ suy kết dv cos xdx v sin x Trang 39 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng sin x cos x e Câu 23 I x dx I x 2 e dx sin x x e dx 20 cos x x cos 2 x x 2sin cos sin x x 2 e x dx tan x e x dx + Tính I1 e dx x cos x 0 cos2 x ue du e x dx x 2 e dx tan x e x dx I e + Tính I Đặt dv dx 2 x x 20 v tan x cos2 cos 2 Do đó: I I1 I e Câu 24 I cos x x e (1 sin x ) dx cos x (sin x cos x )dx u du x cos x e ex I 02 x dx Đặt dx sin x e (sin x cos x ) dv v sin x cos x (sin x cos x ) I cos x e x 2 sin x sin xdx sin x cos x 0 e x sin xdx ex u1 sin x du1 cos xdx 1 Đặt I sin x x dx 1 e dv1 e x v1 e x u2 cos x du2 sin xdx Đặt dx 1 dv1 e x v1 e x I 1 cos x e2 Câu 25 I 1 e x sin6 x cos6 x 6x sin xdx e x 1 I 2I e2 dx Trang 40 cos xdx e e x 1 e2 1 I cos xdx e 2 ex Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Đặt t x dt dx I 2I I (6 x 1) 6x sin t cos t 6t dt 6x dx 6x (sin6 x cos6 x )dx 5 5 cos x dx 16 8 5 32 sin xdx Câu 26 I 2 x Ta có: I sin xdx 2x 2x x sin xdx 2x sin xdx x 1 0 sin xdx x 1 I1 I 2t sin (t ) x 2x Đặt x t I1 x sin xdx 6 x sin xdx x + Tính I1 sin xdx 2 t dt sin t 6 (1 cos2 x )2 dx 40 e cos(ln x)dx Đặt t ln x x et dx et dt I et cos tdt = (e 1) (dùng pp tích phân phần) sin2 x sin x.cos3 xdx Câu 28 I e Đặt t sin x I 11 t e (1 t )dt e (dùng tích phân phần) 20 Câu 29 I ln(1 tan x )dx Trang 41 sin x 2t 1dt x 1dx 16 4 (3 cos2 x cos x )dx 80 64 Câu 27 I dx sin6 x cos6 x sin x cos x I 6t Bài tập Tích phân Đặt t = Trần Sĩ Tùng 4 x I ln tan t dt = 4 0 ln I ln tan t dt ln 2dt ln(1 tan t)dt 2I tan t ln 1 tan t dt = = t.ln 04 I ln Câu 30 I sin x ln(1 sin x )dx cos x u ln(1 sin x ) du dx Đặt sin x dv sin xdx v cos x 2 cos x sin x I cos x.ln(1 sin x ) cos x dx dx (1 sin x )dx 1 sin x sin x 0 0 Câu 31 I tan x.ln(cos x ) dx cos x Đặt t cos x dt sin xdx I ln t t2 dt u ln t du t dt Đặt I 1 ln dv dt 2 v t t Trang 42 ln t t2 dt