BAI TAP TICH PHAN TONG HOP

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x 2 – 3x + x 1 ĐS. F(x) = Cx xx ++− ln 2 3 3 23 2. f(x) = 2 4 32 x x + ĐS. F(x) = C x x +− 3 3 2 3 . f(x) = 2 1 x x − ĐS. F(x) = lnx + x 1 + C 4. f(x) = 2 22 )1( x x − ĐS. F(x) = C x x x ++− 1 2 3 3 5. f(x) = 4 3 xxx ++ ĐS. F(x) = C xxx +++ 5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 6. f(x) = 3 21 xx − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 32 7. f(x) = x x 2 )1( − ĐS. F(x) = Cxxx ++− ln4 8. f(x) = 3 1 x x − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 3 5 9. f(x) = 2 sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan 2 x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos 2 x ĐS. F(x) = Cxx ++ 2sin 4 1 2 1 12. f(x) = (tanx – cotx) 2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13. f(x) = xx 22 cos.sin 1 ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 14. f(x) = xx x 22 cos.sin 2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx +− 3cos 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx +−− cos5cos 5 1 17. f(x) = e x (e x – 1) ĐS. F(x) = Cee xx +− 2 2 1 18. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x− ĐS. F(x) = 2e x + tanx + C 19. f(x) = 2a x + 3 x ĐS. F(x) = C a a xx ++ 3ln 3 ln 2 20. f(x) = e 3x+1 ĐS. F(x) = Ce x + +13 3 1 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x 2 + x + 3 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1 3 2 3 +− x x 3. f’(x) = 4 xx − và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 3 40 23 8 2 −− xxx 4. f’(x) = x - 2 1 2 + x và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2 3 2 1 2 2 −++ x x x 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x 4 – x 3 + 2x + 3 6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(', 2 =−== fff x b ĐS. f(x) = 2 51 2 2 ++ x x II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) dxxudt )('=⇒  I = ∫ ∫ = dttfdxxuxuf )()(')].([ BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ − dxx )15( 2. ∫ − 5 )23( x dx 3. dxx ∫ − 25 4. ∫ −12x dx 5. ∫ + xdxx 72 )12( 6. ∫ + dxxx 243 )5( 7. xdxx .1 2 ∫ + 8. ∫ + dx x x 5 2 9. ∫ + dx x x 3 2 25 3 10. ∫ + 2 )1( xx dx 11. dx x x ∫ 3 ln 12. ∫ + dxex x 1 2 . 13. ∫ xdxxcossin 4 14. ∫ dx x x 5 cos sin 15. ∫ gxdxcot 16. ∫ x tgxdx 2 cos 17. ∫ x dx sin 18. ∫ x dx cos 19. ∫ tgxdx 20. ∫ dx x e x 21. ∫ − 3 x x e dxe 22. ∫ dx x e tgx 2 cos 23. ∫ − dxx .1 2 24. ∫ − 2 4 x dx 25. ∫ − dxxx .1 22 26. ∫ + 2 1 x dx 27. ∫ − 2 2 1 x dxx 28. ∫ ++ 1 2 xx dx 29. ∫ xdxx 23 sincos 30. dxxx .1 ∫ − 31. ∫ +1 x e dx 32. dxxx .1 23 ∫ + 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay ∫ ∫ −= vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ xdxx sin. 2. ∫ xdxxcos 3. ∫ + xdxx sin)5( 2 4 ∫ ++ xdxxx cos)32( 2 5. ∫ xdxx 2sin 6. ∫ xdxx 2cos 7. ∫ dxex x . 8. ∫ xdxln 9. ∫ xdxxln 10. dxx ∫ 2 ln 11. ∫ x xdxln 12. ∫ dxe x 13. ∫ dx x x 2 cos 14. ∫ xdxxtg 2 15. ∫ dxxsin 16. ∫ + dxx )1ln( 2 17. ∫ xdxe x cos. 18. ∫ dxex x 2 3 19. ∫ + dxxx )1ln( 2 20. ∫ xdx x 2 21. ∫ xdxx lg 22. ∫ + dxxx )1ln(2 23. ∫ + dx x x 2 )1ln( 24. ∫ xdxx 2cos 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx+ + ∫ 2. 2 2 1 1 1 ( ) e x x dx x x + + + ∫ 2. 3 1 2x dx− ∫ 3. 2 1 1x dx+ ∫ 4. 2 3 (2sin 3 )x cosx x dx π π + + ∫ 5. 1 0 ( ) x e x dx+ ∫ 6. 1 3 0 ( )x x x dx+ ∫ 7. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx+ − + ∫ 8. 2 3 1 (3sin 2 )x cosx dx x π π + + ∫ 9. 1 2 0 ( 1) x e x dx+ + ∫ 10. 2 2 3 1 ( )x x x x dx+ + ∫ 11. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx− + + ∫ 12. 3 3 1 x 1 dx( ). − + ∫ 13. 2 2 2 -1 x.dx x + ∫ 14. 2 e 1 7x 2 x 5 dx x − − ∫ 15. x 2 5 2 dx x 2+ + − ∫ 16. 2 2 1 x 1 dx x x x ( ). ln + + ∫ 17. 2 3 3 6 x dx x cos . sin π π ∫ 18. 4 2 0 tgx dx x . cos π ∫ 19. 1 x x x x 0 e e e e dx − − − + ∫ 20. 1 x x x 0 e dx e e . − + ∫ 21. 2 2 1 dx 4x 8x+ ∫ 22. 3 x x 0 dx e e ln . − + ∫ 22. 2 0 dx 1 xsin π + ∫ 24. ∫ − ++ 1 1 2 )12( dxxx 25. ∫ −− 2 0 3 ) 3 2 2( dxxx 26. ∫ − − 2 2 )3( dxxx 27. ∫ − − 4 3 2 )4( dxx 28. dx xx ∫       + 2 1 32 11 29. ∫ − 2 1 3 2 2 dx x xx 30. ∫ e e x dx 1 1 31. ∫ 16 1 .dxx 32. dx x xx e ∫ −+ 2 1 752 33. dx x x ∫         − 8 1 3 2 3 1 4 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 2. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 3. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 3. 4 0 tgxdx π ∫ 4. 4 6 cot gxdx π π ∫ 5. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 6. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 7. 1 2 0 1x x dx− ∫ 8. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 9. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 10. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 11. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 12. 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ 13. 1 2 1 1 2 2 dx x x − + + ∫ 14. 1 2 0 1 1 dx x + ∫ 15. 1 2 2 0 1 (1 3 ) dx x+ ∫ 16. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 17. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 18. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 19. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 20. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 21. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 22. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 23. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 24. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 25. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 26. 4 0 tgxdx π ∫ 27. 4 6 cot gxdx π π ∫ 28. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 29. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 30. 1 2 0 1x x dx− ∫ 31. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 32. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 33. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 34. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 35. 1 1 ln e x dx x + ∫ 36. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 37. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 38. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 39. 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 40. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x+ ∫ 41. 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ 42. 1 0 2 1 x dx x + ∫ 43. 1 0 1x x dx+ ∫ 44. 1 0 1 1 dx x x+ + ∫ 45. 1 0 1 1 dx x x+ − ∫ 46. 3 1 1x dx x + ∫ 46. 1 1 ln e x dx x + ∫ 47. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 48. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 49. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 50. 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 51. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x+ ∫ 52. 1 2 3 0 5+ ∫ x x dx 53. ( ) 2 4 0 sin 1 cos+ ∫ x xdx π 54. 4 2 0 4 x dx− ∫ 55. 4 2 0 4 x dx− ∫ 56. 1 2 0 1 dx x+ ∫ 57. dxe x ∫ − + 0 1 32 58. ∫ − 1 0 dxe x 59. 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ 60. 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 61. 1 0 x 1 xdx− ∫ 62. 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫ 63. 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ 64. 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫ 65. 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫ 66. 3 2 0 4sin x dx 1 cosx π + ∫ 67. 4 2 0 1 sin2x dx cos x π + ∫ 68. 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 69. 2 6 1 sin2x cos2x dx sinx cosx π π + + + ∫ 70. 1 x 0 1 dx e 1+ ∫ . 71. dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π 72. ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 73. ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 74. ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 75. ∫ − −+ + 0 2 2 32 22 dx xx x 76. ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx 77. 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ 78. 2 5 0 cos xdx π ∫ 79. 4 2 0 sin4x dx 1 cos x π + ∫ 80. 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ 81. 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ 82. 4 4 0 1 dx cos x π ∫ 83. e 1 1 lnx dx x + ∫ 84. 4 0 1 dx cosx π ∫ 85. e 2 1 1 ln x dx x + ∫ 86. 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫ 87. 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x π − + ∫ 88. 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ 89. 4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x π + + ∫ 90. ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x 91. ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx 92. ∫ + 2 0 2 )sin2( 2sin π dx x x 93. ∫ 3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 94. ∫ − 4 0 8 )1( π dxxtg 95. ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 96. ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 97. ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx 98. ∫ + 2 0 sin cos)cos( π xdxxe x 99. ∫ −+ 2 1 11 dx x x 100. ∫ + e dx x xx 1 lnln31 101. ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 102. 1 2 0 1 x dx− ∫ 103. 1 2 0 1 dx 1 x+ ∫ 104. 1 2 0 1 dx 4 x− ∫ 105. 1 2 0 1 dx x x 1− + ∫ 106. 1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫ 107. 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ 108. 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ 109. 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ 110. 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ 101. 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ 112. 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 113. 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ 114. 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ 115. 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 116. 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ 117. ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx 118. ∫ ++ 1 0 311 x dx 119. ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx 120. 8 2 3 1 1 dx x x + ∫ 121. 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ 122. 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ 123. ln2 x 0 1 dx e 2+ ∫ 124. 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫ 125. 2 2 3 0 1x x dx+ ∫ 126. ∫ + 32 5 2 4xx dx II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv @ Dạng 1 sin ( ) ax ax f x cosax dx e β α           ∫ ( ) '( ) sin sin cos ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = =           ⇒       = =                   ∫ @ Dạng 2: ( )ln( )f x ax dx β α ∫ Đặt ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x dv f x dx v f x dx  = =   ⇒   =   =  ∫ @ Dạng 3: sin .       ∫ ax ax e dx cosax β α Ví dụ 1: tính các tích phân sau a/ 1 2 2 0 ( 1) x x e dx x + ∫ đặt 2 2 ( 1) x u x e dx dv x  =   =  +  b/ 3 8 4 3 2 ( 1) x dx x − ∫ đặt 5 3 4 3 ( 1) u x x dx dv x  =   =  −  c/ 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) dx x x dx x dx dx I I x x x x + − = = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Tính I 1 1 2 0 1 dx x = + ∫ bằng phương pháp đổi biến số Tính I 2 = 1 2 2 2 0 (1 ) x dx x+ ∫ bằng phương pháp từng phần : đặt 2 2 (1 ) u x x dv dx x =    =  +  Bài tập 1. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 2. 1 ln e x xdx ∫ 3. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 4. 2 1 ln e x xdx ∫ 5. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 6. 1 ln e x xdx ∫ 7. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 8. 2 1 ln e x xdx ∫ 9. 2 0 ( osx)sinxx c dx π + ∫ 10. 1 1 ( )ln e x xdx x + ∫ 11. 2 2 1 ln( )x x dx + ∫ 12. 3 2 4 tanx xdx π π ∫ 13. 2 5 1 ln x dx x ∫ 14. 2 0 cosx xdx π ∫ 15. 1 0 x xe dx ∫ 16. 2 0 cos x e xdx π ∫ Tính các tích phân sau 1) ∫ 1 0 3 . dxex x 2) ∫ − 2 0 cos)1( π xdxx 3) ∫ − 6 0 3sin)2( π xdxx 4) ∫ 2 0 2sin. π xdxx 5) ∫ e xdxx 1 ln 6) ∫ − e dxxx 1 2 .ln).1( 7) ∫ 3 1 .ln.4 dxxx 8) ∫ + 1 0 2 ).3ln(. dxxx 9) ∫ + 2 1 2 .).1( dxex x 10) ∫ π 0 .cos. dxxx 11) ∫ 2 0 2 .cos. π dxxx 12) ∫ + 2 0 2 .sin).2( π dxxxx 13) 2 5 1 lnx dx x ∫ 14) 2 2 0 xcos xdx π ∫ 15) 1 x 0 e sinxdx ∫ 16) 2 0 sin xdx π ∫ 17) e 2 1 xln xdx ∫ 18) 3 2 0 x sinx dx cos x π + ∫ 19) 2 0 xsinxcos xdx π ∫ 20) 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ 21) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 22) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+ ∫ 23) e 2 1 (xlnx) dx ∫ 24) 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx π + ∫ 25) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ 26) 1 2 0 xtg xdx ∫ 27) ∫ − 1 0 2 )2( dxex x 28) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx 29) ∫ e dx x x 1 ln 30) ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx 31) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx 32) ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1. ∫ +− − 5 3 2 23 12 dx xx x 2. ∫ ++ b a dx bxax ))(( 1 3. ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx 4. dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 1 5. ∫ + 1 0 3 2 )13( dx x x 6. ∫ ++ 1 0 22 )3()2( 1 dx xx 7. ∫ + − 2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x 8. ∫ − +− ++− 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 9. ∫ − 3 2 22 4 )1( dx x x 10. ∫ + − 1 0 2 32 )1( dx x x n n 11. ∫ ++ − 2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x 12. ∫ + 2 1 4 )1( 1 dx xx 13. ∫ + 2 0 2 4 1 dx x 14. ∫ + 1 0 4 1 dx x x 15. dx xx ∫ +− 2 0 2 22 1 16. ∫ + 1 0 32 )1( dx x x 17. ∫ +− 4 2 23 2 1 dx xxx 18. ∫ +− ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx 19. ∫ + − 2 1 4 2 1 1 dx x x 20. ∫ + 1 0 3 1 1 dx x 21. ∫ + +++ 1 0 6 456 1 2 dx x xxx 22. ∫ + − 1 0 2 4 1 2 dx x x 23. ∫ + + 1 0 6 4 1 1 dx x x 24. 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫