Bài giảng Tích phân hàm số lượng giác

VẤN ĐỀ 2. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác 1.1 Nguyên hàm của hàm số lượng giác suy trực tiếp từ đổi biến số cơ bản Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 ( ) sin cosf x x x= Ta có: 4 3 3 sin ( ) sin cos sin (sin ) 4 x f x dx x xdx xd x C= = = + ∫ ∫ ∫ Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của ( )f x tgx= Ta có sin (cos ) 1 ( ) ln cos cos cos 2 xdx d x f x dx tgxdx x C x x = = = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số cos sin cos ( ) 2 sin x x x f x x + = + Ta có: cos sin cos 2cos sin cos cos ( ) sin 2 sin 2 x x x x x x x f x dx dx dx x x + + − = = + + ∫ ∫ ∫ cos (2 sin ) cos cos cos sin ln | 2 cos | sin 2 2 sin x x x x dx x dx x x C x x + −   = = − = − + +  ÷ + +   ∫ ∫ Bài 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin3 .sin 4 ( ) cot 2 x x f x tgx g x = + Ta có: sin3 .cos4 sin3 .cos4 sin3 .cos4 ( ) sin cos2 cos cot 2 cos sin 2 cos .sin 2 x x x x x x f x dx dx dx dx x x x tgx g x x x x x = = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 sin 2 .sin3 .sin 4 (cos cos5 )sin 4 (sin5 sin3 sin 9 sin ) 2 4 x x xdx x x xdx x x x x dx= = − = + − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 cos5 cos3 cos9 cos 4 5 3 9 x x x x C   = − − + − +  ÷   Bài 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 4 4 6 6 ( ) (sin cos )(sin cos )f x x x x x= + + Ta có 2 2 2 4 1 3 5 3 ( ) 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2 2 4 4 8 f x x x x x    = − − = − +  ÷ ÷    2 2 5 1 3 1 5 3 1 (1 cos4 ) (1 cos4 ) 1 (1 cos4 ) (1 cos2 cos 4 ) 4 2 8 2 4 32 15 7 3 33 7 3 cos4 (1 cos8 ) cos4 cos8 32 16 61 64 16 64 x x x x x x x x x   = − − − + − = − − + − +  ÷   = + + + = + + Bài 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 4 1 ( ) cos sin f x x x = Ta có 4 2 4 4 2 cos cos ( ) cos sin cos sin sin (1 sin ) dx xdx xdx f x dx x x x x x x = = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 1 sin 1 1 1 ln 2 sin 1 sin 3sin x C x x x + = − − + − Bài 7. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: ( ) sin .sin 2 .sin5g x x x x= Bài 8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số cos3 ( ) sin x f x x = Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) cos3 .f x x tgx= Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) sin (2 sin 2 ) 4 f x x x π   = − +  ÷   Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 ( ) cos sin8f x x x= Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 3 ( ) sin cos3 cos sin3f x x x x x= + Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 4 ( ) sinf x x= Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 4 ( )f x tg x= Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin cos ( ) sin cos x x f x x x − = + (ĐS: ln | sin cos |x x C− + + ) Bài 16. Tìm họ nguyên hàm của hàm số cos2 ( ) sin cos x f x x x = + (Đs: sin cosx x C+ + ) Bài 17. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin ( ) 1 sin 2 x f x x = + Ta có 2 2 sin sin ( ) (sin cos ) 2cos 4 x x f x x x x π = =   + −  ÷   Đặt 4 4 t x x t dx dt π π = − ⇒ = + ⇒ = . Vậy: 2 2 2 2 sin (sin cos ) 2 sin 1 4 2 ( ) 4 cos 2cos 2cos cos t x x t f x t x x t π   + +  ÷     = = = +  ÷   Vậy: 2 2 2 sin 1 2 (cos ) 2 ( ) 4 cos 4 4 cos cos cos t d t dt f x dx dt t t t t   = + = − +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 sin 1 ln 4cos 8 sin 1 t C t t − = + + + sin 1 2 2 4 ln 8 4cos sin 1 4 4 x C x x π π π   − −  ÷   = + +     − − +  ÷  ÷     Bài 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 ( ) cos .cos 4 f x x x π =   +  ÷   Ta có 2 2 2 2 cos 1 1 ( ) 2 . . cos (cos sin ) 1 cos (cos sin ) cos x f x x x x tgx x x x x = = = = − − − Bài 19. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 cos ( ) sin 3cos x f x x x = + Ta có: 2 cos 1 cos2 ( ) sin 3cos 4sin 3 x x f x x x x π + = =   + +  ÷   , từ đó tìm nguyên hàm Bài 20. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 ( ) sin 2 2sin f x x x = − Ta có: 2 2 1 sin sin ( ) 2sin (cos 1) 2sin (cos 1) 2(1 cos )(cos 1) x x f x x x x x x x = = = − − − − Bài 21. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 sin ( ) 3sin 4 sin 6 3sin 2 x f x x x x = − − Ta có: 3sin 4 sin 6 3sin 2 2cos3 (3sin sin3 )x x x x x x− − = − Bài 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 sin( ) ( ) ( cos x f x x α α + = là số cho trước) Bài 23. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 ( ) 2 sin cos f x x x = + − Bài 24. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 1 ( ) sin .cos f x x x = 1.2 Hàm lượng giác với mẫu số là biểu thức thuần nhất của sin: (sin ) n dx x ∫ Bài 1. Tìm nguyên hàm của 1 ( ) sin f x x = Ta có: 2 2 sin (cos ) 1 cos 1 ( ) ln sin 2 cos 1 sin cos 1 dx xdx d x x f x dx C x x x x − = = = = + + − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2. 1 2 4 2 3 4 , , sin sin sin dx dx dx I I I x x x = = = ∫ ∫ ∫ 1.3 Hàm lượng giác với mẫu số là biểu thức thuần nhất của cos: (cos ) n dx x ∫ Bài 1. Tìm họ nguyên hàm của 1 ( ) cos f x x = Ta có: 2 2 cos (sin ) 1 sin 1 ( ) ln cos 2 sin 1 cos sin 1 dx xdx d x x f x dx C x x x x − = = = − = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 33 7 3 ( ) sin 4 cos8 64 64 512 f x dx x x x C= + + + ∫ Bài 2. 1 2 4 2 3 4 , , cos cos cos dx dx dx I I I x x x = = = ∫ ∫ ∫ 1.4 Dạng 2 2 sin sin .cos cos dx a x b x x c x+ + ∫ Bài 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 2 1 ( ) 3sin 8sin cos 5cos f x x x x x = − + Ta có 2 2 1 ( ) cos (3 8 5) f x x tg x tgx = − + . Vậy 1 3 5 ( ) ln 2 1 tgx f x dx C tgx − = + − ∫ Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: 1 2 2 2 3 4 2 2 2 2 , , (3sin 5cos ) 1 (4cos2 7sin 2 ) , 3sin 4cos 2sin 5sin .cos 3cos dx dx I I x x x x dx dx I I x x x x x x = = − + − = = + − − ∫ ∫ ∫ ∫ 1.5 Dạng sin cos dx a x b x c+ + ∫ Bài 1. 2 2 2 2 3sin 4cos 6sin .cos 4 cos sin cos 6 4 4 2 2 2 2 2 2 2 dx dx dx x x x x x x x x x tg tg = = +     + − + −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 4 1 1 2 2 2 ln 2 5 3 5 3 2 2 2 1 2 2 2 2 4 4 x x x d tg d tg tg C x x x x tg tg tg tg     −  ÷  ÷     = = − = − +     + − + − −  ÷  ÷     ∫ ∫ Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 ( ) 2 sin cos f x x x = + − Bài 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 ( ) 2sin 5cos 3 f x x x = + + 1.6 Tích phân dạng liên kết: Cần tính 1 cos sin cos xdx E a x b x = + ∫ , xét tích phân liên kết 1 sin sin cos xdx E a x b x = + ∫ Bài 1. Tính 1 sin 3cos 7sin xdx I x x = + ∫ Bài 2. Tính 1 sin3 2cos3 5sin 3 xdx I x x = − ∫ Bài 3. Tính 4 1 4 4 sin cos sin xdx I x x = + ∫ Bài 4. Tính 1 3 sin (cos sin ) xdx I x x = + ∫ 2. Một số tích phân xác định cho hàm lượng giác Bài 1. Tính / 2 0 cos 7 cos2 x I dx x π = + ∫ Ta có / 2 / 2 1 2 2 2 0 0 0 (sin ) 1 (sin ) 1 2 2 6 2 8 2sin 4 sin 4 d x d x du I x x u π π π = = = = − − − ∫ ∫ ∫ Bài 2. Tính / 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x π + = + ∫ Ta có: / 2 /2 / 2 0 0 0 sin 2 sin (2cos 1)sin 2cos 1 (cos ) 1 3cos 1 3cos 1 3cos x x x x x I dx dx d x x x x π π π + + + = = = − = + + + ∫ ∫ ∫ 0 1 2 1 34 27 1 3 t dt t + = − = + ∫ Bài 3. Tính 1 sinI xdx π π − = − ∫ Ta có: 2 sin cos sin cos 4 2 2 2 2 2 x x x x I dx dx π π π π − −   = − = − =  ÷   ∫ ∫ Bài 4. Tính / 2 / 2 | sin |I x dx π π − = ∫ (Đáp số 2I = ) Bài 5. Tính / 4 / 4 | sin 2 |I x dx π π 3 = ∫ (đáp số 1I = ) Bài 6. Tính /3 2 2 /6 cot 2I tg x g x dx π π = + − ∫ , Ta có: /3 /6 3 | cot | 2ln 2 I tgx gx dx π π = − = − ∫ Bài 7. Tính 0 1 cos2I xdx π = + ∫ (Hướng dẫn 0 2 | cos | 2 2I x dx π = = ∫ ) Bài 8. Tính 0 | cos | sin (I x xdx π = ∫ Đáp số 4 3 I = ) Bài 9. Tính 2 0 1 sinI xdx π = + ∫ (Hướng dẫn 2 0 2 sin 4 2 2 4 x I dx π π   = + =  ÷   ∫ ) Bài 10. Tính / 2 3 / 2 cos cos cosI x x xdx π π − = − ∫ (Đáp số 4 5 I = ) Bài 11. Tính / 2 0 cos 2 cos2 xdx I x π = + ∫ (Ta có / 2 2 0 (sin ) 3 2sin d x I x π = − ∫ ) Bài 12. Tính / 2 / 4 cos sin 3 sin 2 x x I dx x π π + = + ∫ (Ta có / 2 2 / 4 (sin cos ) 6 4 (sin cos ) d x x I x x π π π − = = − − ∫ ) Bài 13. Tính tích phân 2 2 0 0 sin 2 sinI x xdx t tdt π π = = ∫ ∫ , tích phân từn phần kết quả 2 2 8 π − Bài 14. Tích phân / 2 4 0 cosI xdx π = ∫ (hạ bậc, kết quả 3 16 I π = ) Bài 15. Tích phân / 4 4 0 3 sin ( ) 16 I xdx I π π = = ∫ Bài 16. Tính / 2 2 0 sin 2 ( ) 4 I xdx I π π = = ∫ Bài 17. Tính / 2 2 4 0 sin cosI x xdx π = ∫ (hạ bậc, ) 32 I π = Bài 18. Tính / 2 3 0 sinI xdx π = ∫ (Ta có / 2 / 2 2 2 0 0 2 sin sin (cos 1) (cos ) ) 3 I x xdx x d x π π = = − = ∫ ∫ Bài 19. Tính 11 0 sinI xdx π = ∫ (Ta có 10 2 2 0 0 616 sin sin (1 cos ) (cos ) 693 I x xdx x d x π π = = − − = ∫ ∫ Bài 20. Tính / 2 3 3 0 4 (sin cos ) ( ) 3 I x x dx I π = + = ∫ Bài 21. Tính / 2 4 5 0 sin cosI x xdx π = ∫ 8 ( ) 315 I = Bài 22. Tính /3 2 6 / 4 sin cos x I dx x π π = ∫ (Ta có /3 /3 2 2 2 2 2 2 / 4 / 4 sin 1 . . .(1 ) ( ) cos cos cos x dx I tg x tg x d tgx x x x π π π π = = + ∫ ∫ Bài 23. Tính / 2 4 / 4 sin dx I x π π = ∫ (Ta có: / 2 / 2 2 2 2 / 4 / 4 1 4 . (1 cot ). (cot ) 3 sin sin dx I g x d gx x x π π π π = = − + = ∫ ∫ Bài 24. Tính / 4 4 0 4 ( ) 3 cos dx I I x π = = ∫ Bài 25. Tính / 2 2 4 / 4 sin .cos dx I x x π π = ∫ (Ta có: / 4 2 2 2 4 /6 sin cos 4 8 3 3 27 sin .cos x x I dx x x π π + = = + ∫ ) Bài 26. Tính /3 3 /6 cos sin x I dx x π π = ∫ ( 3 ln 2 ) 2 I = − Bài 27. Tính /3 3 /6 cos .sin dx I x x π π = ∫ (Ta có: /3 2 2 3 /6 sin cos 4 ln3 3 cos .sin x x I dx x x π π + = = + ∫ ) Bài 28. Tính /3 3 0 cos dx I x π = ∫ (Ta có /3 2 0 1 1 3 2 3 ln 4 cos .cos 3 2 I dx x x π − = = − + ∫ ) Bài 29. Tính / 2 2 3 0 sin 2 (1 sin )I x x dx π = + ∫ (Ta có: / 2 2 3 2 0 15 (1 sin ) (1 sin ) 14 I x d x π = + + = ∫ ) Bài 30. Tính / 2 2 0 sin .cos (1 cos )I x x x dx π = + ∫ (Ta có / 2 2 0 17 cos (1 cos ) (cos ) 12 I x x d x π = − + = ∫ ) Bài 31. Tính / 4 3 0 cos2 (sin cos 2) xdx I x x π = + + ∫ Ta có / 4 3 0 (sin cos ) (sin cos ) 2 1 2 9 (sin cos 2) 6 4 2 x x d x x I x x π + + + = = − + + + ∫ Bài 32. / 4 0 1 cos2 x I dx x π = + ∫ (tích phân từng phần, đáp số là 1 ln 2 8 4 π − ) Bài 33. Tính / 4 2 0 sin 4 1 cos x I dx x π = + ∫ Bài 34. Tính /3 /6 sin sin 6 dx I x x π π π =   +  ÷   ∫ (Hãy thử suy nghĩ xem tính như thế nào?) Bài 35. Tính / 2 3 0 4sin 1 cos x I dx x π = + ∫ (đáp số là 2) Bài 36. Tính /3 4 /6 sin cos dx I x x π π = ∫ ( 26 14 1 3( 3 2) 3 ln 27 3 2 3 2 I − = − + − + Bài 37. Tính / 4 2 2 0 sin 2sin .cos cos dx I x x x x π = + − ∫ (Chia cả tử và mẫu cho 2 cos x ta được: / 4 / 4 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ( ) 1 1 2 cos ln 0 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( 2) 2 2 1 2 dx d tgx dt dt t x I tg x tgx tg x tgx t t t t π π + − = = = = = + − + − + − + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập 38. Tính / 2 0 2cos sin 3 dx I x x π = + + ∫ (đặt 2 4 x t tg I π α = ⇒ = − ) Các bài tập tự làm: a) / 2 0 cos ( 1 ) 1 cos 2 x I dx I x π π = = − + + ∫ b) / 2 3 2 0 sin ( 1) 2 1 cos x I dx I x π π = = − + ∫ c) / 2 2 /3 cos 9 5 3 ( ) 27 (cos 1) xdx I I x π π − = = − ∫ d) / 2 3 0 cos 3 ( 1) cos 1 4 x I dx I x π π = = − + ∫ e) / 2 2 0 sin 2 ( ) 6 3 9 4cos vôùi x I dx I tg x π α α = = = + ∫ f) / 2 2 0 cos 4 ( ln ) 3 sin 5sin 6 xdx I I x x π = = − + ∫ g) / 2 0 sin3 ( 2 3ln 2) cos 1 x I dx I x π = = − + + ∫ h) / 2 2 0 sin 3 ( ) 18 cos 3 x I dx I x π π = = + ∫ i) / 2 2 0 cos ( ) 4 cos 1 xdx I I x π π = = + ∫ j) / 2 2 0 4sin ( 2) (sin cos ) xdx I I x x π = = + ∫ k) / 2 3 2 0 sin .cos 1 1 ( ln 2) 2 2 1 cos x x I dx I x π = = − + ∫ l) / 4 0 1 2 ( ln 1 cos2 2 4 2 x I dx I x π π   = = +  ÷ +   ∫ ) . ĐỀ 2. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác 1.1 Nguyên hàm của hàm số lượng giác suy trực tiếp từ đổi biến số cơ bản Bài 1 − Bài 7. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: ( ) sin .sin 2 .sin5g x x x x= Bài 8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số cos3 ( ) sin x f x x = Bài 9. Tìm họ nguyên hàm