Thông tin tài liệu
Tích phân hàm lượng giác Tích phân hàm lượng giác Thầy giáo : Tuấn Điệp Cộng tác viên truongtructuyen.vn Tích phân hàm lượng giác Nội dung Dạng I = ∫sinm xcosn xdx ; m, n ∈ N Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx D¹ng Ι = ∫ a sin x + b cos x + c dx a1 sin x + b1 cos x + c1 Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫sinm xcosn xdx ; m, n ∈ N Nếu m lẻ ta đặt t = cosx Nếu n lẻ ta đặt t = sinx Nếu m, n chẵn đặt t = tanx t = cotx dùng biến đổi lượng giác Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx Nếu f(−sinx, cosx) = − f(sinx, cosx) đặt t = cosx Nếu f(sinx, −cosx) = −f(sinx, cosx) đặt t = sinx Nếu f(−sinx, −cosx) = f(sinx, cosx) đặt t = tanx t = cotx Tổng quát đặt: t = tan x Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) π Ví dụ 1: Tính Ι = ∫ sin7 x.cos2 xdx Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) Ví dụ (tt) Lời giải dt = −sin xdx ÐỈt t = cosx ⇒ x = ⇒ t = π x = ⇒ t = Ι = −∫ ( t − t ) t td = ∫ ( − 3t + 3t + 3t − t ) t + dt 3 1 3 16 = ∫ ( t − 3t + 3t − t ) dt = t − t + t − t ÷ = − + − = 315 3 16 VËy Ι = 315 Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) π Ví dụ 2: Tính Ι = ∫ 16.sin4 2x.cos 2xdx Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) Ví dụ (tt) Lời giải NhËn xét : 16sin 2x cos 2x = ( 2sin2xcos2x ) = sin 4x 1 + cos16x ( − cos8x ) = 1 − 2cos8x + 4 1 = − cos8x + cos16x 8 = π π 1 3π 3 3 Ι = ∫ − cos8x + cos16x ÷ = x − dx sin8x + sin16x ÷ = 8 16 128 8 32 0 V Ëy Ι = 3π 32 Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) dx Tính Ι = ∫ Ví dụ 3: sin2 x − sinxcosx + 2sin2 x Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) Ví dụ (tt) Lời giải dx d tan x cos2 x Ι=∫ =∫ tan2 x − tan x + ( tan x − 1) ( tan x − ) 1 tan x − = ∫ − d tan x = ln +C tan x − tan x − ÷ tan x − tan x − VËy Ι = +C tan x − Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải Nhận xét: 3sin4x − 3sin2x − sin6x = 6cos3xsinx − 2cos3x.sin3x = 2cos3x (3sinx − sin3x) = cos3k.sin3x dx d ( sin3x ) 1 = = − ∫ cos3x 24 ∫ − sin2 3x 48 ∫ + sin3x sin3x − ÷d ( sin3x ) 1 + sin3x ln + sin3x − ln sin3x − + C = = ln ÷+ C 48 48 − sin3x Ι= V Ëy Ι = + sin3x ln +C 48 − sin3x ÷ Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) π π 0 2 2 Ví dụ 4: Tính Ι = ∫ cos x cos xdx vµ K = ∫ sin x cos xdx Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải π XÐt Ι + K = ∫ cos2 2x ( cos2 x − sin2 x ) dx = π 2 ∫ ( − sin 2x ) d ( sin2x ) 20 π 1 = sin 2x − sin 2x ÷ = 2 0 Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) π NhËn x Ðt Ι + K = ∫ cos2 xdx = π ∫ ( + cos4x ) dx 20 π π Ι= Ι − K = π 1 Ι + K = x + sin 4x ÷ = ⇒ π⇒ 2 0 Ι +K = K = π π V Ëy Ι = K = Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ 5: TÝnh Ι = ∫ cos2 xdx 3cosx + sinx vµ K = ∫ sin2 xdx 3cosx + sinx Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải XÐ t Ι − K = ∫ =∫ 3cos2 x − sin2 x ( 3cosx + sinx dx ) 3cosx − sinx dx = sin x + cosx + C dx π 3cosx + sinx cos x − ÷ 6 π π dsin x − ÷ + sin x − ÷÷ 1 6 6÷ = ∫ = ln +C π π÷ − sin2 x − ÷ − sin x − ÷ ÷ 6 6 XÐ t Ι + K = ∫ dx = 2∫ Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) 3Ι − K = 3cosx + sinx + C π + sin x − ÷ ÷ ⇒ 6÷ Ι + K = ln π − sin x − ÷ ÷ 6÷ π + sin x − ÷÷ 6÷ VË y Ι = ln + cosx + sinx + C 16 4 π − sin − ÷ ÷ ÷ 6 Chú ý b¹n có thĨ tính Ι, K m ét cách ®éc lËp nhê phép ®ỉi biÕn t = x − π Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ 6: TÝnh Ι = ∫ dx 2π π cos x + cos x + ÷ ÷ 3 Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải 2π π sin x + − x + ÷ ÷ Ι= dx π∫ 2π π sin cos x + cos x + ÷ 3 ÷ 3 2π π 2π π sin x + cos x + ÷− cos x + cos x + ÷ ÷ 3 ÷ 3 3 Ι= dx ∫ 2π π cos x + cos x + ÷ ÷ 3 Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Ι= 3 Ι= 3 2π π sin x + sin x + ÷ ÷ 3 dx − ∫ ∫ π dx cos x + 2π cos x + ÷ ÷ 3 2π π + ln cos x + ÷ + C − ln cos x + ÷ 3 π cos x + ÷ 3 V Ëy Ι = ln +C 2π cos x + ÷ Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) 2π π HƯ qu¶: Tính K = ∫ tan x + tan x + ÷dx ÷ 3 2π π Ta có : K = ∫ tan x + tan x + ÷ + 1 dx − ∫ dx ÷ 3 =∫ cos π 2π π cos x + cos x + ÷ ÷ 3 3 cos x + ÷ ÷ −x+C VËy K = ln 2π cos x + ÷ dx − ∫ dx = Ι − ∫ dx Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) π Ví dụ 7: TÝnh Ι = ∫ cos xdx + cos2 x Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải π Ι=∫ d ( sinx ) − sin2 x x = ⇒ u = du ÐỈt u = sinx ⇒ ⇒Ι=∫ π x = ⇒u =1 − u2 π π du = 2cos tdt π 4 2cos tdt π ÐỈt u = sin t ⇒ u = ⇒ t = ⇒ Ι = ∫ = ∫ dt = t = − sin2 t 0 π u = ⇒ t = Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) π sin3x dx + cosx Ví dụ 8: TÝnh Ι = ∫ Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải π π ( ) sin2 x − d ( cosx ) sinx − sin3 x Ι=∫ dx = ∫ + cosx + cosx 0 π =∫ ( ) − cos x − + cosx π d ( cosx ) = ∫ − 4cosx − dcosx + cosx ÷ 0 π = 4x − sinx − 3ln ( + cosx ) = 2π − + 3ln2 VËy Ι = 2π − + 3ln
Ngày đăng: 20/09/2013, 11:10
Xem thêm: tich phan ham so luong giac, tich phan ham so luong giac