a) Pheùp tònh tieán theo veùc tô : Laø pheùp bieán hình, bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho . b) Pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng (P): Laø pheùp bieán hình, bieán moãi ñieåm thuoäc mp (P) thaønh chính noù, bieán ñieåm M khoâng thuoäc (P) thaønh ñieåm M’ sao cho mp (P) laø mp trung tröïc cuûa MM’.
Dạng NẾU: dx I =∫ sin( x + a) sin( x + b) a − b ≠ (0; π ) dx sin(a − b) I =∫ = dx ∫ sin( x + a)sin( x + b) sin( a − b) sin( x + a)sin( x + b) sin[( x + a) − ( x + b)] = dx = ∫ sin(a − b) sin( x + a) sin( x + b) sin( x + a ) cos( x + b) − cos( x + a) sin( x + b) dx ∫ sin(a − b) sin( x + a) sin( x + b) = cos( x + b)dx cos( x + a) sin( x + b) [∫ −∫ dx] = ln +c sin(a − b) sin( x + b) sin( x + a ) sin(a − b) sin( x + b) NẾU a − b = { 0; π } ⇒ ( x + a ) − ( x + b) = π ⇒ ( x + a ) = π + ( x + b) ⇒ sin( x + a) = − sin( x + b) dx ⇒ I = −∫ = cot( x + a ) + c sin ( x + a) Dạng dx I =∫ cos( x + a )cos( x + b) sin[(x + a) − ( x + b)] → a − b ≠ { 0; π } → I = dx ∫ sin( a − b) cos( x + a)cos( x + b) sin (x + a) sin( x + b) cos( x + b) = [∫ dx − ∫ dx = ln +c sin(a − b) cos( x + a) cos( x + b) sin( a − b) cos( x + a) → a − b = { 0; π } ⇒ ( x + a ) − ( x + b) = π ⇒ ( x + a) = π + ( x + b) dx ⇒ cos( x + a ) = −cos( x + b) ⇒ I = − ∫ = −tg ( x + b) + c cos ( x + b) Dạng dx I =∫ sin( x + a )cos( x + b) cos[( x + a) − ( x + b)]dx π → a − b ≠ ± ⇒ I = ∫ c os( a − b ) sin( x + a)cos( x + b) cos( x + a) sin( x + b) = [∫ dx + ∫ dx] cos(a − b) sin( x + a ) cos( x + b) = [ln sin( x + a) − ln cos( x + b) + c cos(a − b) sin( x + a) = ln +c cos(a − b) cos( x + b) π → a − b = ± 2 Đưa I nguyên hàm Dạng dx I =∫ , ( m ≤ 1) s inx + m x 2d ( ) dx =∫ =∫ x α x α s inx + sin α 2sin( + )cos( − ) 2 2 x α sin( + ) 2 +c = ln cosα cos( x − α ) 2 Dạng =∫ I = ∫ tgxtg ( x + α )dx s inx sin( x + α ) sin x sin( x + α ) + cos x cos( x + α ) − cos x cos( x + α ) dx = ∫ dx cos x cos( x + α ) cos x cos( x + α ) cosα cosα sin[ x − ( x + α )] =∫ dx − ∫ dx = dx − ∫ dx ∫ cos x cos( x + α ) sin( −α ) cos x cos( x + α ) cos( x + α ) = − cot α ln − x+c cos x VÍ DỤ π I = ∫ tgxtg ( x + )dx π π π π sin x sin( x + ) sin x sin( x + ) + cos x cos( x + ) − cos x cos( x + ) dx = 4 dx =∫ ∫ π π cos x cos( x + ) cos x cos( x + ) 4 π cos π sin[ x − ( x + )] =∫ − ∫ dx = dx − ∫ dx ∫ π π π cos x cos( x + ) sin( − ) cos x cos( x + ) 4 π cos( x + ) −x+c = − ln cos x Dạng sin( x + α )cos( x + β ) I = ∫ tg ( x + α ) cot( x + β )dx = ∫ dx cos( x + α ) sin( x + β ) sin( x + α )cos( x + β ) − cos( x + α ) sin( x + β ) + cos( x + α ) sin( x + β ) =∫ dx cos( x + α ) sin( x + β ) sin(α − β ) dx =∫ dx − ∫ dx = sin(α − β ) ∫ −x cos( x + α ) sin( x + β ) sin( x + β )cos( x + α ) Dạng Dạng7 =∫ I = ∫ cotg(x+α )cotg(x+β )dx cos( x + α )cos( x + β ) cos[( x + α ) − ( x + β )] − sin( x + α ) sin( x + β ) dx = ∫ dx sin( x + α ) sin( x + β ) sin( x + α ) sin( x + β ) dx = cos(α − β ) ∫ − ∫ dx sin( x + α ) sin( x + β ) Dạng dx I =∫ a sin x + b cos x Dạng = a +b 2 ∫ dx a a +b 2 s inx + dx = , 2 ∫ sin( x + α ) a +b cos x a +b a = cosα a + b2 b = s inα a + b2 x +α = ln tg +c 2 a +b b 2 Dạng Viết a sin x + b cos x I =∫ dx c sin x + d cos x a sin x + b cos x = A(c sin x + d cos x) + B (c sin x + d cos x) ' c sin x + d cos x (c sin x + d cos x)' ⇒ I = A∫ dx + B ∫ dx = Ax + ln c sin x + d cos x + c c sin x + d cos x Dạng10 Viết a sin x + b cos x I =∫ dx (c sin x + d cos x) a sin x + b cos x = A(c sin x + d cos x) + B(c sin x + d cos x) ' dx (c sin x + d cos x) ' ⇒ I = A∫ + B∫ dx c sin x + d cos x (c sin x + d cos x) x +α = ln tg +c 2 a +b dx I =∫ a sin x + b cos x + c Dạng11 TH1 c = a +b ⇒ I = 2 a +b 2 ∫ dx a a +b 2 s inx + dx = = ∫ a + b sin xsinα + cos xcosα + a + b2 b a +b 2 cos x + dx ∫ cos( x − α ) + x −α 2d dx 1 x −α = ∫ = ∫ = tg ( )+C c cos ( x − α ) 2c cos ( x − α ) c 2 c = − a +b TH2 ⇒I= a +b 2 ∫ dx a a +b 2 s inx + b a +b 2 cos x − 1 dx dx =− ∫ =− ∫ c sin α s inx + cos x cos α − c cos( x − α ) − x −α 2d ( ) dx 1 x −α =− ∫ = ∫ = − cot( )+C c − 2sin ( x − α ) − c 2sin ( x − α ) c 2 TH3 c ≠ a +b 2 x 2t 1− t2 t = tg ⇒ s inx = , cos t = 2 1+ t 1+ t2 dx 1 x dt = = (1 + tg )dx = (1 + t )dx cos x 2 2 Dạng12 a sin x + b cos x + c I =∫ dx m sin x + n cos x + p a sin x + b cos x + c = m sin x + n cos x + p A(m sin x + n cos x + p) + B(m sin x + n cos x + p ) + C m sin x + n cos x + p ' (m sin x + n cos x + p) ' dx dx ⇒ I = A∫ dx + B ∫ + C∫ m sin x + n cos x + p m sin x + n cos x + p dx = Ax + ln m sin x + n cos x + p + C ∫ m sin x + n cos x + p Dạng13 a sin x + b sin x cos x + c cos x I =∫ dx d sin x + e cos x a sin x + b sin x cos x + c cos x = ( A s inx + B cos x)( d sin x + e cos x) +C (sin x + cos x) dx ⇒ I = ∫ ( A s inx + B cos x)dx + C ∫ d sin x + e cos x Dạng Dạng14 dx I =∫ a sin x + b sin x cos x + c cos x dx dtgx dt I =∫ =∫ →∫ 2 2 (atg x + btgx + c )cos x atg x + btgx + c at + bt + c Dạng15 Ta có sin x cos xdx I =∫ 2 (a sin x + b cos x)α d (a sin x + b 2cos x) = (2a sin x cos x − 2b cos x sin x) dx 2 2 d ( a sin x + b c os x) 2 = 2(a − b ) sin x cos xdx ⇒ sin x cos xdx = 2( a − b ) d (a sin x + b cos x) ⇒I= 2(a − b ) ∫ (a sin x + b 2cos x)α 2 2 −α +1 ( a sin x + b c os x ) +C 2 2(a − b )(−α + 1) 2 2 TH : α = ⇒ I = ln( a sin x + b c os x) + C 2 2(a − b ) TH 1: α ≠ ⇒ I = ... c sin x + d cos x (c sin x + d cos x) x +α = ln tg +c 2 a +b dx I =∫ a sin x + b cos x + c Dạng11 TH1 c = a +b ⇒ I = 2 a +b 2 ∫ dx a a +b 2 s inx + dx = = ∫ a + b sin xsinα + cos xcosα + a +