Luận văn thạc sĩ Toán học: Dạy học nguyên hàm, tích phân theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông

Trong những năm qua đó có một số chương trình nghiên cứu về tăng cường mối liện hệ kiến thức môn toán với thực tiễn và các môn học khác như luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Văn Tân, Trần Thị Thanh Vân, Hồ Đức Vượng. Tuy nhiên chưa có chương trình nào đề cập đến vấn đề trên đối với nội dung nguyên hàm, tích phân. Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sĩ của môn là: “Daỵ học nguyên hàm, tích phân theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông’’

UBND TỈNH THANH HOÁ

CHUYÊN NGHÀNH: TOÁN HỌC

MÃ SỐ: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGD.TS NGUYỄN VĂN THỨC

THANH HOÁ, THÁNG 10/2015

đề tài: Dạy học nguyên hàm, tích phân theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho học

sinh trung học phổ thông

I -Lý do chọn đề tài

1.Toán học liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và ứng dụng rộng rãi trong nhiều

lĩnh vực khác nhau của khoa học , công nghệ , sản xuất và đời sống xã hội hiện nay Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng Với những tiến bộ trong nhiều lĩnh vực , đặc biệt là với máy tính điện tử , toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất , mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên

mà chính là sụ quan hệ thường xuyên với thực tiễn , lấy thực tiễn làm động lực mạnh mẽ và là mục tiêu phục vụ cuối cùng đất nước ta dang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá,hiện đại hoá với mục tiêu trên năm 2020 việt nam

từ một nước nông nghiệp về cơ bản trở thành nước công nghiệp , hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định lên thắng lợi của công cuộc công nghiệp hoá,hiện đại hoá và hội nhập quốc tế là con người , là nguồn lực người việt nam được phát triển về số lượng và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao Việc này được bắt đầu từ giáo dục phổ thông , mục tiêu đạt được của giáo dục phổ thông đó là phẩm chất năng lực được hình thành trên một nền tảng kiến thức,kỹ năng đủ và chắc chắn Do sự phát triển nhanh mạnh với một tốc độ mang tính bùng nổcủa khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiều lý thuyết ,thành tựu mới cũng như ứng dụng khả năng vào thực tế cao ,rộng và nhanh buộc chương trình sách giáo khoa phải luôn được xem xét điều chỉnh Học vấn mà nhà trường phổ thông trang bị không thể thâu tóm được mọi tri thức mong muốn , vì vậy phải coi trọng việc phương pháp , dạy cách đi tới kiến thức của loài người Xã hội đòi hỏi

người có học vấn hiện đại không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn , đã lĩnh hội được ở trường phổ thông Mà còn phải

có năng lực chiếm lĩnh , sử dụng các tri thức mới một cách độc lập , khả năng dánh giá các sự kiện , hiện tượng mới , các tư tưởng một cách thông minh , sáng suốt khi gặp trong cuộc sống trong lao động và trong quan hệ với mọi người

2 Một trong những hướng đổi mới dạy học môn toán ở trường phổ thông là tăng cường mạch toán ứng dụng và cách ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Tuy nhiên trong triển khai thực hiện vấn đề liên hệ kiến thức toán học với thực tiễn nói chung, ứng dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề đặt ra từ thực tiễn nói riêng vẫn cũng gặp không ít khó khăn.Trong những năm gần đây, việc biên soạn sách giáo khoa và những tài liệu xác định quan điểm đổi mới về mặt lý luận dạy học cũng như hướng dẫn thực hiện chương trình đó cần chú ý nhiều đến việc tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn Số lượng ví dụ, bài tập có liên hệ với thực tiễn được tăng nhiều hơn trước , các giáo viên khi lên lớp đã có chú ý liên hệ nguồn gốc thực tiễn của nội dung dạy học.Tuy vậy đây là một vấn đề khó khăn và quan trọng trong nhận thức cũng như trong thực hành dạy học nên cần được tiếp tục nghiên cứu

3 Kiến thức nguyên hàm-tích phân có nguồn gốc ra đời từ thực tiễn nghiên cứu khoa học và thực tiễn đo đạc các đại lượng hình học, cơ học Nhiều vấn

đề thực tiễn sản xuất, kinh tế và khoa học được giải quyết nhờ cụng cụ

nguyên hàm, tích phân Chính vì thế kiến thức nguyên hàm và tích phân chứa đựng nhiều tiềm năng giáo dục cho học sinh cả về phương diện ý thức lẫn năng lực thực hiện việc ứng dụng kiến thức môn toán vào việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn đời sống và các môn học khác Chính vì lẽ đó trong dạy học nếu giáo viên biết khai thác các nội dung về nguyên hàm, tích phân

và tổ chức hoạt động dạy học thích hợp thì sẽ giúp phần vào giáo dục toàn diện người học sinh theo các mục tiêu giáo dục quốc gia đó được xác định trong luật giáo dục 2005.

4 Kiến thức nguyên hàm và tích phân có nhiều cách tiếp cận và trình bày

trong các sách giáo khoa môn toán Trong những năm qua đó có những ý kiến khác nhau trong việc trình bày nội dung nguyên hàm và tích phân trong các sách giáo khoa môn toán THPT Thực tế đó có những cách trình bày khác nhau về nội dung này Mỗi cách trình bày có những ưu điểm và hạn chế riêng Việc nghiên cứu một cách toàn diện các cách tiếp cận, trình bày nội dung dạy học về chủ đề nguyên hàm và tích phân cùng những định hướng dạy học là một việc nên làm

5 Ngày nay với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin nhiều vấn đề khó khăn,

trừu tượng đó được giải quyết một cách phù hợp và hiệu quả Trong tình hình đó chúng tôi nghĩ rằng việc phân tích nội dung kiến thức nguyên hàm, tích phân và đề xuất biện pháp dạy học trong đó chú trọng đến việc bồi dưỡng năng lực ứng dụng kiến thức toán vào thực tiễn Mặc dù có những khó khăn nhất định nhưng sẽ được giải quyết thỏa đáng nếu biết vận dụng các phương pháp dạy học thích hợp và sự hỗ trợ của các phương tiện kỹ thuật, trong đó có CNTT

Trong những năm qua đó có một số chương trình nghiên cứu về tăng cường mối liện hệ kiến thức môn toán với thực tiễn và các môn học khác như luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Văn Tân, Trần Thị Thanh Vân, Hồ Đức Vượng Tuy nhiên chưa có chương trình nào đề cập đến vấn đề trên đối với nội dung nguyên hàm, tích phân Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài

luận văn thạc sĩ của môn là: “Daỵ học nguyên hàm, tích phân theo hướng

tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông’’

II-Mục đích nghiên cứu

Làm từ các cách tiếp cận và trình bày nội dung nguyên hàm, tích phân trong chương trình môn toán THPT đồng thời đề xuất định hướng dạy học chủ đề kiến thức nguyên hàm, tích phân nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng kiến thức toán vào thực tiễn cho học sinh THPT, qua đó góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học

III-Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu quan điểm trình bày và sự thể hiện nội dung nguyên hàm, tích

phân trong các sách giáo khoa toán của Việt Nam và một số nước trong thời gian gần đây

2 Nghiên cứu các yếu tố trong năng lực ứng dụng kiến thức toán học vào

thực tiễn của học sinh THPT

3 Đề xuất một số biện pháp sư phạm thực hiện việc dạy học nguyên hàm,

tích phân theo hướng bồi dưỡng năng lực ứng dụng kiến thức môn toán vào thực tiễn cho học sinh

4 Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng các đề xuất.

IV-Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm

4 Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán

V-Giả thuyết khoa học

Trong dạy học chủ đề kiến thức nguyên hàm và tích phân ở trường THPT nếu giáo viên quan tâm đến quan điểm trình bày nội dung đó trong các sách gioá khoa và lựa chọn một cách tiếp cận, trình bày hợp lý thì sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức, bồi dưỡng được năng lực ứng dụng kiến thức vào

thực tiễn, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán vàđịnh hướng đổi mới giáo dục ở trường phổ thông

VI-Dự kiến đóng góp của luận văn

1 Hệ thống của tư liệu về lý luận dạy học toán, đặc biệt là các tư liệu về dạy

học môn toán theo hướng tăng cường ứng dụng vào thực tiễn làm tài liệu tham khảo trong công tác chuyên môn

2 Làm từ được các cách tiếp cận và quan điểm trình bày nội dung nguyên

hàm, tích phân trong các sách giáo khoa toán và đề xuất định hướng dạy học nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng kiến thức toán vào thực tiễn

VII-Dự kiến cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương

VIII_Dự kiến kế hoạch thực hiện

-Tháng 1-2 năm 2010: Hoàn thành đề cương

-Tháng 2 tháng 3 năm 2010: Hoàn thành phần nghiên cứu lý luận, khảo sát thực tiễn và viết chương 1

-Tháng 4 và 5 năm 2010: Viết chương 2, tổ chức thử nghiệm sư phạm

-Tháng 6 đến 11 Hoàn chỉnh luận văn và bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn của chuyên ngành

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1.Mối liên hệ giữa kiến thức toán học với thực tiễn và việc thực hiện nguyên lý giáo dục trong môn toán.

1.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp giáo dục

Hiện nay, thế giới đã bước vào kỉ mới ,kỉ nguyên của kinh tế tri thức và toàn cầu hóa cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, đặc biệt là lĩnh vực công nghệ kỉ thuật cao Còn nước ta, vào tháng 4 năm 2006, diễn ra Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ 10; ngày 07 tháng 11 năm 2006 Việt Nam trở thành thành viên chính thức của Tổ chức Thương mại Thế giới (WTO)

và ngày 17 tháng 11 năm 2006 khai mạc Diễn đàn Hợp tác Kinh tế Châu Á - Thái Bình Dương (APEC) lần thứ 14 tại Hà Nội Việt Nam đang tự tin bước vào một kỉ nguyên mới - kỉ nguyên hội nhập quốc tế và hợp tác cạnh tranh toàn cầu

Để theo kịp với những chuyển biến to lớn trên về tình hình kinh tế và chính trị xã hội của nước ta cũng như trên thế giới trong giai đoạn này - một giai đoạn mà cạnh tranh quốc tế là cạnh tranh về con người Nền giáo dục phải

có sứ mệnh làm sao đào tạo ra những thế hệ con người Việt Nam có đủ sức mạnh trí tuệ và nhân cách để đưa nước ta hội nhập thành công và cạnh tranh thắng lợi trong môi trường toàn cầu Giáo sư Hoàng Tụy đã từng có ý kiến cho rằng: "Xã hội công nghệ ngày nay đòi hỏi một lực lượng lao động có trình độ suy luận, biết so sánh phân tích, ước lượng tính toán, hiểu và vận dụng được những mối quan hệ định lượng hoặc lôgic, xây dựng và kiểm nghiệm các giả thuyết và mô hình để rút ra những kết luận có tính lôgic" [53,

tr 5 - 6] Muốn vậy, nền giáo dục cũng phải có những thay đổi về mục tiêu, nhiệm vụ và phương pháp dạy học Trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ

X của Đảng, một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục đợc đề

ra là: "Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng "chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá” Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học Đề cao trách nhiệm của gia đình, nhà trường và xã hội" [43, tr 58]

Trong trờng phổ thông môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Đặc biệt trong giai đoạn hiện nay nó càng có vai trò và ý nghĩa quan trọng hơn, là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông của con người mới

Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra: Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”

Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh,…; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Chương trình môn Toán thí điểm trờng THPT (2002) chỉ rõ: "Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, …; phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể

…"

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một cách cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế

nước ta đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trường có sự quản lý của Nhà nước Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thống giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản về PPDH

Về thực trạng này, năm 1997 nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán, chứng minh …”

GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi

và chán nản …" ( 1.2 Trong cuộc đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học đóng vai trò hết sức quan trọng: “Quan điểm chung của đổi mới phương pháp dạy học đã được khẳng định là tổ chức cho học sinh được học trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo mà cốt lõi là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, hay nói một cách khác giáo viên phải lấy người học làm trung tâm

nhằm chống lại thói quen học tập thụ động’’

Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) đã chỉ rõ: "…Giáo dục nước ta còn nhiều mặt yếu kém, bất cập cả về quy mô, cơ cấu và nhất là chất lượng ít hiệu quả, cha đáp ứng kịp những đòi hỏi lớn và ngày càng cao về nhân lực trong

sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc, thực hiện công nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước theo định hướng XHCN…" Vì vậy: "…Phải đổi mới

phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy học…".

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: "…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn… "

Chương trình môn Toán (Thí điểm) trường Trung học phổ thông (năm 2002) cũng đã chỉ rõ: "…Một điểm yếu trong hoạt động dạy và học của chúng ta là phơng pháp giảng dạy Phần lớn là kiểu thầy giảng - trò ghi, thầy đọc - trò chép; vai trò của học sinh trở nên thụ động Phơng pháp đó làm cho học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo cũng nh thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi Tinh thần của phơng pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ động sáng tạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý đến sự hoạt động tích cực của học sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài giảng của thầy; dới sự hớng dẫn của thầy, họ có thể phát hiện ra vấn đề và suy nghĩ để tìm cách giải quyết vấn đề…"

Nghị quyết số 37/2004/QH-11 của Quốc hội nớc Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam khoá 11, kỳ họp thứ 6 (12/2004) đã nhấn mạnh:

"… Ngành Giáo dục cần chuẩn bị đầy đủ các điều kiện cần thiết để thực hiện đổi mới nội dung, chương trình, phơng pháp giáo dục, nghiên cứu điều chỉnh phương án phân ban THPT góp phần tích cực hướng nghiệp cho HS và phù hợp với điều kiện thực tiễn Việt Nam, phát triển mạnh giáo dục nghề nghiệp, thực hiện phân luồng sau THCS…"

Bàn về định hướng đổi mới PPDH ở nước ta trong thời gian tới, tác giả

Trần Kiều cho rằng: "…Hiện nay và trong tương lai xã hội loài người đang

và sẽ phát triển tới một hình mẫu xã hội có sự thống trị của kiến thức, dưới

sự bùng nổ về khoa học công nghệ cùng nhiều yếu tố khác, …; việc hình thành và phát triển thói quen, khả năng, phương pháp tự học, tự phát hiện, giải quyết vấn đề, tự ứng dụng lại kiến thức và kỹ năng đã tích luỹ được vào các tình huống mới ở mỗi cá nhân có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Thói quen khả năng, phơng pháp nói trên phải đợc hình thành và rèn luyện ngay từ trên ghế nhà trường "

Tác giả cũng đưa ra kiến nghị: "…Phải để học sinh suy nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn và thảo luận nhiều hơn…"

Trong những năm gần đây, khối lượng tri thức khoa học tăng lên một cách nhanh chóng Theo thống kê của các nhà khoa học, cứ 8 năm nó lại tăng lên gấp đôi, dòng thông tin tăng lên như vũ bão dẫn đến chỗ khoảng cách giữa tri thức khoa học của nhân loại và bộ phận tri thức được lĩnh hội trong nhà trường cứ mỗi năm lại tăng thêm Mặt khác thời gian học tập ở nhà trường thì có hạn, do đó để hoà nhập với sự phát triển của xã hội, con người phải tự học tập, trau dồi kiến thức, đồng thời biết tự ứng dụng kiến thức và kĩ năng

đã tích luỹ được trong nhà trường vào nhịp độ sôi động của cuộc sống (dẫn

theo V A Cruchetxki - Những cơ sở của Tâm lý học s phạm ).

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp hoá - hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đối với PPDH ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục và đào tạo từ một số năm nay với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau như: "Lấy người học làm trung tâm", "Phát huy tính tích cực", "phương pháp dạy học tích cực"… Những ý tưởng này bao hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo Tuy nhiên, cần vạch rõ bản chất các ý

tưởng đó như là định hướng cho sự nghiệp đổi mới PPDH hiện nay là: Tổ

chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo (gọi là hoạt động hoá ngời học)

Hiện nay, trên thế giới đang có những bước tiến mạnh mẽ việc cải cách giáo dục theo hướng nâng cao vai trò chủ thể hoạt động của học sinh trong học tập Ở nước ta công cuộc cải cách giáo dục đang đợc tiến hành mạnh mẽ

và toàn diện về các mặt: hệ thống tổ chức, nội dung chương trình môn học,

cơ sở vật chất của trờng học… và đang đòi hỏi có sự đổi mới kịp thời, đồng

bộ về PPDH Đổi mới PPDH theo hướng ứng d ụng khoa h ọc l à một trong những giải pháp quan trọng nhằm hội nhập và góp phần tích cực vào chiến lợc phát triển giáo dục chung của thế giới

1.1.2 Một số quan điểm về vấn đề liên hệ với thực tiễn trong dạy học

Toán học cũng như những môn khoa học khác là khoa học xuất phát từ thực tiễn ứng dụng toán học vào thực tiễn và quay lại phục vụ thực tiễn đuợc coi

là vấn đề quan trọng,cần thiết trong dạy học ở phổ thông.trong lĩnh vực giáo dục chủ tịch Hồ Chí Minh là người có quan điểm và hành động chiếm lược vượt tầm thời đại bác xác định rõ mục đích của việc học Học phải gắn liền với hành,học tập suốt đời,học ở mọi nơi mọi lúc,mọi ngừơi.Quan điểm này đựơc Ngừơi nhấn mạnh : “Học để hành ;học với hành phải đi đôi Học mà không thành thì vô ích.Hành mà không học thì không trôi chảy’’ Nói về yêu cầu đối với toán học nhà trường nhằm phát triển văn hoá toán học,tác giả Trần Kiều cho rằng“Học toán trong trường phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt công thức ,định lý,phương pháp thuần tuý mang tính ly

thuýêt,…,cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn cũa toán học và nâng cao khả năng ứng

dụng ,hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống’’ Còn theo giaó sư Nguyễn Cảnh Toàn,trong duy học không nên đi theo con đường sao chép lý luận ở đâu đó rồi nhồi cho người học,vì học như vậy là kiểu học sách vở

Nên theo con đường có một lý luận hướng dẫn ban đầu rồi bắt tay hoạt động thực tiễn,dùng thực tiễn này mà củng cố lý luận, kế thừa có phê phán của người khác,rồi lại hoạt động thực tiễn,cứ thế theo mối quan hệ qua lại giữa

lý luận và thực tiễn mà đI lên.V.VFIOV khẳng định “Việc giảng dạy toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa toán học,điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng toán học để giải quýêt các bài toán có nội dung thực tế

Sức mạnh và giá trị của lý thuýêt toán học là ở các ứng dụng của nó.Vấn đề này,nhà toán học nổi tiếng người Đức Klein.F đã viết “Các quan niệm thuần tuý logic cần tạo nên,như người ta nói cái bộ cương cứng rắn của cơ thể toán học,truyền cho nó sự vững chắc và sự đáng tin.Nhưng bản thân đời sống toán học,mục tiêu và năng suất quan trọng nhất của nó lại hiện quan chủ yếu tới các ứng dụng của nó lại liên quan chủ yếu tới các ứng dụng của nó,tức là tới quan hệ qua lại giữa các đối tượng của nó với tất cả những lĩnh vực

khác Loại bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể thống chỉ còn bộ xương,không có tý thịt,dây thần kinh hoặc mạch máu nào’’.Toán học không phải đơn giản chỉ là “phục vụ viên’’ của các môn khoa học có ứng dụng toán học, mà đã trở thành một công cụ nghiên cứu được sử dụng thường xuyên và nhiều khi là công cụ duy nhất có hiệu lực.Sự phát triển của toán học hiện đại tăng cường mối quan hệ lẫn nhau và tính thống nhất của tri thức khoa học đang được phân chia mạnh mẽ,làm phong phú và sâu sắc thêm những dạng phản ánh thực tiễn.Sự toán học hoá kiến

thức khoa học giúp hiểu đúng đắn hơn tự nhiên và xã hội,góp phần thúc đẩy nhanh tiến bộ khoa học kỹ thuật

1.1.3.Nguyên lý giáo dục thực hiện trong môn toán

Để đạt đuợc mục đích đào tạo con người mới,toàn bộ việc dạy học các bộ môn và toàn bộ các hoạt động của nhà trường phải quán triệt nguyên lý “học

đi đôi với hành,giáo dục kết hợp với lao động, sản xuất lý luận phải gắn liền với thực tiễn,giáo dục nhà trường phảI kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

Môn toán co nhiều tiềm năng liên hệ với thực tiễn trong dạy học Liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học la một trong ba phương hướng thực hiện nguyên lý giáo dục nói trên Những phương hướng thực hiện nguyên lý giáo dục trong môn toán đó là

1.1.2.1 Làm rõ mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn

Thông qua vỏ trừu tượng của toán học phải làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, cụ thể là:

Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học:số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm,hình học xuất hiện do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt bên

bờ sông nin……

Làm rõ phản ánh thưc tiễn của toán học: khái niệm vecto phản ánh những đại lượng đặc trưng không chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng nửa chẳng hạn vận tốc,lực…khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn…

Làm rõ những lý luận thực tiễn của toán học:ứng dụng lượng giác để đo những khoảng cách không tới được,ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời,ứng dụng của tích phân để tính diện tích ,thể tích….muốn vậy cần tăng cường cho học sinh tiếp cận những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi học lý thuyết cũng như làm bài tập

Người thầy giáo cần tránh tư tương máy móc trong việc liên hệ toán học vơí thực tiễn phải thấy rõ mối liên hệ này có tính đặc thù so với các môn học khác đó là tính phổ dụng toàn bộ và nhiều tầng

Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính chất phổ dụng tức là cùng một đối tượng toán học(khái niệm, định lý, công thức……)có thể phản ánh rất nhiều hiện tượng trên những lĩnh vực khác nhau trong đời sống.Chẳng hạn hàm số biểu thị bằng công thức y=kx có thể biểu thị mối quan hệ giữa diện tích của một tam giác với đường cao ứng với một cạnh khi cho trước cạnh đó,giữa quãng đường đI được trong một chuyển động đều với thời gian vận tốc không đổi giữa thế hiệu với cường độ dòng điện trở khi r là hằng số…

Mối liên hệ toán học và thực tiễn có tính chất toàn bộ :muốn thấy rõ ứng dụng của toán học nhiều khi không thể xét từng khái niệm từng định lý riêng

lẻ mà phải xem xét một lý thuyết toàn bộ một lĩnh vực chẳng hạn khó mà thấy được ứng dụng trực tiếp của định lý “không có số hữu tỉnàobìnhphương bằng hai”nhưng ý nghĩa thực tế của định lý đó là ở vai trò của nó trong việc xây dựng số thực ,mà toàn bộ lĩnh vực này là một cơ sở để xây dựng giảI tích toán học,một ngành có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính chất nhiều tầng.Như ta đã biết,toán học là kết quả của trìu tượng hoá diễn ra trênnhững bình diện khác nhau.Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trìu tượng hoá những đối tượng vật chất cụ thể nhưng cũng có nhiều kháI niệm nảy sinh do sự trìu tượng hoá những cáI triù tượng đã đạtđược trước đó.Do vậy từ toán học tới thực tế nhiều khi trảI qua nhiều tầng.ứng dụng của một lĩnh vực toán học được thể hiện có khi không trực tiếp ở ngay trong thực tế mà ở một lĩnh vực khác gần thực tế hơn nó tứn là thể hiện ở một tầng gần thực tế hơn nó GiảI phương trình là một lĩnh vực gần thực tế ứng dụng của nó đã được thấy rõ

ràng Khảo sát hàm số có khi giúp ta giải phương trình như vậy khảo sát hàm số cũng là có ứng dụng thực tế.Đạo hàm là một công cụ khảo sát hàm số,điều đó cũng là một biểu hiện ý nghĩa thực tiễn của đaọ hàm.

Tương tự như vậy,ứng dụng của toán học nhiêu khi thấy rõ ở những môn học khác gần thực tế hơn nó,chẳng hạn như vật lý hoá học….làm việc với những ứng dụng của toán học trong những môn này cũng là một hình thức liên hệ của toán học với thực tế,đồng thời cũng góp phần làm rõ những mối liên hệ liên môn

1.1.2.2 Truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng theo chương trình sẵn sàng ứng dụng

Tri thức và kỹ năng cần được truyền thụ theo cách sao cho học sinh có thể nắm vững chắc và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn.Muốn vậy cần tiến hành dạy học toán trong hoạt động và bằng hoạt động

Dạy học toán trong hoạt động và bằng hoạt động là góp phần theo nguyên

lý “học đI đôI với hành,gioá dục kết hợp với lao động sản xuất,nhà trường gắn liền với xã hội”.Thật vậy,tiến hành những loa động cũng là “hành” theo nghĩa rộng và là một điều kiện để lao động sản xuất và hoạt động xã hội Kiểu dạy học này xuất phát từ quan điểm cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động.Tinh thần cơ bản của cách làm này là xuất phát từ một nội dung dạy toán,ta xác định những hoạt động liên hệ với nó, phân tích chúng thành những hoạt động thành phần rồi căn cứ vào mục đích dạy học toán, ta lựa chọn ra một số hoạt động và hoạt động thành phần thích hợp, dựa vào đó tổ chức cho học sinh thực hiện và tập luyên những hoạt động này trong điều kiện có gợi động cơ bản và hướng đích và chủ thể có ý thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công

Cần đặc biệt chú ý truềyn thụ những tri thức,rèn luyện những kỹ năng ,kỹ xảo,phát triển những phương pháp tư duy và hoạt động cần thiết và thương dùng trong thực tiễn như tri thức về vectơ,toạ độ,kỹ năng và kỹ xảo(kể cả tính nhẩm va tính bằng máy),đo đạc , vẽ và đọc đồ thị ,vẽ hình và hiểu hình

vẽ ,phương thức tư duy thuật toán ,tư duy thống kê v.v…

Trong nội bộ môn toán,cần cho học sinh giải những bài toán có nội dung thực tiễn như giải bài toán bằng cách lập phương trình, đo những khoảng cách không tới được bằng cách dùng những hàm số lượng giác,toán cực trị Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp toán học vào những môn học trong nhà trường chẳng hạn vận dụng vectơ để biểu thị lực ,vận tốc,gia tốc, vận dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời trong vật lý, vận dụng tổ hợp và xác xuất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng phân loại khái niệm để phân loại thực vật động vật trong môn sinh học, vận dụng tri thức về hình học không gian trong vẽ kỹ thuật, vận dụng tính gần đúng ,sử dụng bảng số,máy tính trong việc đo đạc,tính toán khi học những môn khác nhau

Tổ chức những hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường như ở nhà máy,đồng ruộng…kể cả những hoạt động có tính chất tập dượt nghiên cứu bao gồm cả các khâu đặt bài toán,xây dựng mô hình,thu thập dữ liệu,xử lý mô hình để tìm lời giải,đối chiếu lời giải với thực tế để kiểm tra và điều chỉnh

Việc vận dụng và thực hành toán học cần dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp toán học để giải thích,phê phán và giải quýêt những sự việc xảy ra trong đời sống.Chẳng hạn,gặp một

số ghi ở một cột bên lề đường,một số học sinh có thể số đó chỉ cái gì Ý thức

và tác phong vận dụng toán học sẽ thôI thúc họ xem xét sự biến thiên của các số trên các cột để giảI đáp điều đó

1.2 Một số thành tố trong việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn 1.2.1 Tăng cường liên hệ với thực tiễn là một mục tiêu lầ một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay

Thế giới bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hoá với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ nước ta cũng đang bước vào hội nhập với nền kinh tế thế giới – trong luật giáo dục (năm 2005) “mục tiêu cuả giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí

tệu,thể chất,thẩm mĩvà kỹ năng cơ bản phát triển năng lực cá nhân ,tính năng động và sáng tạo hình thành nhân cách con người việt nam xã hội chủ

nghĩa ,xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân chẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đI vào cuộc sống lao động tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc.<điều 27>

Một trong những nội dung trong việc đổi mới cải cách nội dung giáo dục

là chọn lọc có hệ thống kiến thức cơ bản ,hiện đại ,sát với thực tế việt

nam,các kiến thức được giảng ở nhà trường có tác dụng thực sự trong việc hình thành thế giới quan khoa học,phát triển tư duy khoa học bồi dưỡng năng lực thực hành ,tính nhạy bén trong công việc tận dụng kiến thức vào thực tiễn sản xuất và xây dựng đất nước

Như vậy mục tiêu giáo dục đã định rõ các phẩm chất và năng lực cần phát triểncho học sinh nhằm đáp ứng được yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế xã hộicủa đất nước,giai đoạn công nghiệp hoá hiện đại hoá để đến năm 2020 đất nước ta trở thành một nước công nghiệp trong bối cảnh toàn cầu hoá mở rộng giao lưu hội nhập quốc tế với sự hình thành và phát triển của nền kinh tế tri thức đồng thời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng của mỗi cá nhân trong trường phổ thông môn toán đóng vai trò

rất quan trọng trong việc thuẹc hiện mục tiêu chung của giáo dục nước nhà cũng là môn học chiếm thời gian đáng kể trong kế hoạch đào tạo của trường phổ thông,cũng là môn học liên thông từ tiểu học cho đến đại học.Rèn luỵên năng lực ứng dụng toán học là một trong những mục tiêu chủ yếu giảng dạy toán ở trường phổ thông bởi vì vai trò ứng dụng của toán học trong các lĩnh vực của đời sống xã hội,vai trò công cụ của toán học đối với sự phát triển của nhiều ngành khoa học công nghệ của các ngành kinh tế đã được thời nhận như một chìa khoá của sự phát triển muốn học toán được thì ngoài khả năng trí tệu bẩm sinh thì phảI có sự luyện tập,rèn luyện thường xuyên và bên cạnh đó phương pháp học tập môn toán có hiệu quả chiếm phần quan trọng của người học Đặc biệt cũng có yêu càu cao đối với học sinh trung học phổ thông bởi các em là lực lượng chuẩn bị tham gia và sản xuất xã hội hoặc tham gia vào quá trình đào tạo nghề nghiệp sau này của các em cũng là đội ngũ lao động kế cận của xã hội.Đó cũng là một đội ngũ quan trọng trong sự phát triển xã hội sau này.

Đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá hiện đại học xã hội đang rất cần những người có khả năng ứng dụng những kiến thức toán học ở nhà trường vào hoạt động nghề nghiệp cũng như vào cuộc sống của mình Ứng dụng toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản,cần phảI rèn luyện cho học sinh

Trong đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ 10 của đảng một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề ra là “ nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện.Đổi mới cơ cấu nội dung tổ chức,phương pháp dạy và học theo hướng chuẩn hoá ,hiện đại hoá xã hội hoá phát huy trí sáng tạo khả năng vận dụng,thực hành của người học Đề cao trách nhiệm của gia đình nhà trường và xã hội

Theo Nguyễn Bá Kim,Vũ Dương Thuỵ (trong phương pháp dạy học môn

to các tác giả không chỉ nhấn mạnh vai trò quan trọng của sự vận dụng kiến thức ý nghĩa quan trọng của nó trên cơ sở những tác động tích cực tới việc thực hiện các nhiệm vụ khác của việc dạy học toán trong nhà trường.Bởi vì các nhiệm vụ môn toán có tính thống nhất toàn thể,chúng quan hệ mật thiết

bổ sung lẫn nhau.Tri thức là cơ sở để rèn luyện những kỹ năng vận dụng và thực hiện tốt các nhiệm vụ khác.Tăng cường rèn luyện cho học sinh kỹ năng

và thói quen ứng dụng kiến toán học vào những tình huống cụ thể,khác nhau (trong lao động,sản xuất và đời sống) là một nhiệm vụ quan trọng của toán học nhằm đạt được các mục tiêu đào tạo,tổ chức cho học sinh luyện tập ứng dụng kiến thức để tiếp thu chúng là một khâu quan trọng trong quá trình dạy toán đồng thời cũng là một biện pháp nhằm chủ động thực hiện các nhiệm

vụ dạy học,có tác động trực tiếp và quyết định tới chất lượng mục đích của giáo dục phổ thông.Vì thế,cần phải tổ chức thực hiện tốt khâu này.Điều đó phản ánh sự quán triệt tinh thần nguyên lý giáo dục có thể nói rèn luyện kỹ năng và ý thức ứng dụng toán học cho học sinh vừa là mục đích vừa là

phương tiện của dạy học toán ở trường phổ thông

1.2.2 Tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn góp phần phát triển năng lưc toán học , rèn luyên khả năng tư duy cho các em

Chúng ta biết tư duy con người được hình thành và phát triển do nhu cầu khắc phục những khó khăn hoặc mâu thuẫn về nhận thức mà chủ thể ý thức được thấ có hứng thú ,có nhu cầu giải quyết sẽ tạo điều kiện cho chủ thể tìm tòi phương tiện giải quyết mới tri thức mới,cách thức hành động mới.Khi đó khó khăn mâu thuẫn sẽ tạo ra một tình huống có vấn đề theo Rubinstéin :

“Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống có vấn đề”

Toán học chỉ có thể vận dụng vào thực tiễn một cách có hiệu quả nếu nắm vững “khía cạnh lý thuyết” của kiến thức.Việc nắm vững kiến thức cơ bản là

điều kiện cần thiết cho việc vận dụng thành công các kiến thức đó.Mặt khác, chính quá trình vận dụng một cách có ý thức các kiến thức cơ bản trong nhiều tình huống khác nhau.Sẽ giúp cho học sinh khắc phục những thiếu sót những ngộ nhận,thiếu chính xác…trong việc hiểu các khái niệm,định lý hiệu quả…góp phần củng cố ở mức cao hơn các kiến thức đó,đồng thời là các bài học kinh nghiệm quý báu giúp cho học sinh vận dụng thành công ở những tình huống sau đó,tiến tới nắm vững kiến thức

Trong quá trình dạy toán khi gợi động cơ cho một nội dung nào đó ta có thể gọi động cơ xuất phát từ thực tế.Việc làm đó giúp học sinh tri giác vấn đề dễ dàng hơn ,bởi vì dó là những sự vật mà học sinh tiếp xúc hằng ngày cái mà học sinh đã quen thuộc Đồng thời qua đó cho học sinh thấy được sự liên hệ giữa thực tế và lý thuyết ở trường Từ đó,làm cho bài học trở nên hấp dẫn hơn,cuốn hút hơn và đồng thời tạo cho học sinh ý thức vận dụng lý thuyết đã học để áp dụng vào cải tạo thực tiễn

Toán học có tính trừu tượng cao, “cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của đối tượng” và “chỉ giữ lại những quan hệ số lượng và hình dạng không gian tức là chỉ những quan hệ về cấu trúc mà thôi” Những quan hệ, cấu trúc này (có tính tường minh) đã giúp cho quá trình dạy, học toán mang tính hoạt động Vì thế mà bản thân môn toán có ý chủ đạo và hứa hẹn khả năng tích cực hoá hoạt động học tập cao

Tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của toán học bởi nó bắt nguồn từ thực tiễn và lại có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn.Chính vì thế, đã khiến người học có được niềm khát khao muốn nắm vững và làm chủ nó, có được những nỗ lực trí tuệ để cố gắng lĩnh hội, tìm tòi và sáng tạo tri thức cho mình

\Người ta thường xem xét Toán học theo phương diện, nếu nhìn vào kết quả đạt được thì nó là khoa học suy diễn, với tính lôgíc nổi bật; nếu nhìn vào quá

trình hình thành và phát triển, thì phương pháp của nó gồm các giai đoạn:

mò mẫm, dự đoán, thực nghiệm, quy nạp,

Như vậy, môn Toán có thể tạo điều kiện thuận lợi cho người học được tham gia hoạt động học tập một cách tối đa theo phương thức tự nhận thức, tự phát triển, tự kiểm tra và tự đánh giá bởi bản thân phương pháp nghiên cứu Toán học đã bao gồm các giai đoạn đó Hay nói cách khác dạy học môn Toán có thể đảm bảo được tính hoạt động cao, thích hợp cho việc phát huy bản tính sẵn sàng của chủ thể học tập

1.2.3 Tăng cường ứng dụng toán học giúp học sinh lĩnh hội kiến thức , tăng cuờng kĩ năng thực hành trong thực tế,góp phần giúp các em học tiếp hoặc

đi vào cuộc sống

Ta biết rằng toán học xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn nhưng trong thực tế học rất giỏi toán nhưng khi gặp những bài toán có nội dung thực tiễn thường lúng túng thậm chí không hoàn chỉnh được những bài toán rất cơ bản chỉ ở mức độ trung bình Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng kiến thức toán học vào đời sống đó là kết quả việc học toán chỉ chú trọng học lý thuyết để áp dụng làm bài thi từ bé đến lớn Các em chỉ nghĩ đơn thuần học toán do áp lực thi cử chứ không phải học để vận dụng kiến thức toán học vào thực tế trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán:tính đúng ,tính nhanh, tính cẩn thận

Trong thực tiễn lao động sản xuất việc tính toán lúc nào cũng diễn ra từ việc ra ngoài chợ cho đến các công trường nhà máy trên các đồng ruộng chúng ta cẩn biết vận dụng toán vào như tính nhẩm, bảng tính, thuộc

tính,bảng đồ thị,toán đồ,máy tính…một cách thành thục tiết kiệm thời gian tiền của và sức lao động Với thời đại công nghiệp hoá thì điều đó lại càng cần thiết với các hình thức đưa bài toán thực bằng cách tập dược các hoạt động như thu thập tài liệu thống kê sản xuất quản lý kinh tế trong xã hội để

tìm quy luật chung ,thống kê số lượng tiêu thụ hàng của một mặt hàng nào

đó ,từ một mẫu số liệu thống kê có thể đánh giá tổng kết năng xuất mùa

vụ ,năng suất lao động ,số lượng cỡ hàng

Ngoài việc giáo viên đưa các bài toán liên quan thực tế đưa các số liệu để các xử lý thì bao giờ cũng có tiết học thực tế để tự các em lấy số liệu đo đạc, các em thu thập hoặc cùng hoạt động theo nhóm ,theo tập thể,theo lớp để có

tư liệu sống dùng kiến thức toán học để phân tích hoặc tích luỹ thực tiễn làm vốn quý cho việc tiếp tục học toán cũng như đi chuyên sâu vào lĩnh vực nào

1.2.4 Tăng cường ứng dụng toán hoc giúp hình thành thế giới quan

việc hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức ,nó sẽ có tác dụng gây hứng thú học tập cho học sinh

Những mô hình toán học đưa ra, khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn quanh ta.nói cách khác,toán học là một môn khoa học trừu tượng,song lại trở thành công cụ nhận thức thế giới một cách mạnh mẽ,bởi

vì chỗ mạnh của toán học, chính là khả năng trừu tượng hoá, khái quát hoá cao độ,những quan hệ và cấu trúc tổng quát được nghiên cứu trong toán học ,phần lớn được trừu tượng hoá từ các đối tượng của thực tế khách quan

là những quan hệ và cấu trúc khá phổ biến trong thế giới khách quan.vai trò quan trọng của toán học gắn liền với tính trừu tượng và kháI quát của nó

“Trong toán học có vô vàn bóng ma của thế giới thực,nhưng trong thế giới bóng ma đó thì toán học phân loại,tập hợp,khám phá ra những mối liên quan mới,thiết lâp những quan hệ phụ thuộc,lược bớt đi,đơn giản hoá khi cần thiết thì lại sáng tạo nên những hình thức mới’’.Thật ra thì cũng không có gì đáng ngạc nhiên khi tư duy con người trong khi làm việc với những hình thức đã được lý tưởng hoá của thế giới vật lý lại phát hiện ra những hình thức khác của thực tại vật lý còn chưa được lý tưởng hoá”.Tuỳ theo những nấc thang ngày càng cao của sự trừu tượng hoá mà các mô hình toán học được xây dựng sẽ đặc trưng cho các tình huống ngày càng mở rộng.điều đó chính là một trong những nguyên nhân cơ bản đẩy mạnh toán học ứng

dụng.Khi nói đến toán học ứng dụng,người ta nói đến ngành toán học có ứng dụng trực tiếp vào lĩnh vực khoa học khác hoặc vào kỹ thuật như vật lý, hoá học ,sinh học,thiên văn ,kinh tế học,trắc địa học,kỹ thuật quân sự,….có thể

kể một số ngành toán học ứng dụng như :lý thuyết xác suất ,lý thuyết thông tin,lý thuyết trường,lý thuyết toán tử,lý thuyết thế vị….đặc biệt do nhu cầu của kỹ thuật tự động hoá ,ba hướng hữu hạn ngẫu nhiên và cực trị đang trở

thành những nét phát triển mạnh mẽnhất của toán học trong những năm gần đây.

1.3.3 Tiềm năng của chủ đề nguyên hàm tích phân trong ứng dụng kiến thức toán học

Kiến thức nguyên hàm và tích phân có nguồn gốc ra đời từ thực tiễn là công cụ để giảI quyết các bài toán về đại lượng cơ học là công cụ để giải quyết các bài toán về kinh tế Cũng được ứng dụng khá nhiều trong việc tính thể tích diện tích một số hình trong thực tế

* Phép tính tích phân liên quan đến vấn đề tính quảng đường đã đi theo một

đồ thị khi biết sự phụ thuộc giữa vận tốc và thời gian mà vận tốc lại có sự thay đổi khá lớn trong thời gian chuyển động: đờng đi của vật từ một thời điểm cho trớc đến một thời điểm khác là tích phân xác định của vận tốc theo thời gian lấy từ thời điểm ban đầu (đợc gọi là cận dưới của tích phân) đến thời điểm cuối (cận trên của tích phân) Ngoài ra:

∗ Phép tích phân cho phép xác định sự phụ thuộc của điện tích vào thời gian nếu đã biết giá trị của dòng tại mỗi thời điểm

∗ Xác định độ tăng nhiệt lợng của một vật theo nhiệt độ khi biết nhiệt dung của nó tại mỗi nhiệt độ

Nói gọn hơn, phép tính tích phân cho phép tính tổng của một biến thiên biến đổi

Ta không quên rằng, tích phân còn là phương tiện để tính diện tích: Diện tích phần hình thang cong,

- Công thức Newton - Leibniz.

Khi đi xe máy trên đờng, đồng hồ báo cây số có thể là một dòng số tuỳ ý và đờng đi không phụ thuộc vào số này Muốn xác định quảng đờng đi, phải lấy

số chỉ ở máy đếm lúc đến đích trừ đi số lúc khởi hành

Hoặc khi đến của hàng mua một vật gì đó, ngời bán hàng sẽ xác định trọng

l-ợng bằng cách lấy hiệu của trọng ll-ợng toàn bộ và vật đựng nó.

Còn trong vật lí ta gặp "hiệu điện thế" Dòng trong mạch điện đợc xác định bởi nó chứ tuyệt nhiên không phải là giá trị tuyệt đối của điện thế ở đầu này hay đầu kia của mạch

Mọi việc sẽ xảy ra y như vậy khi tính toán đường đi theo vận tốc Đờng đi là nguyên hàm của vận tốc Nó có thể đợc tính từ một điểm gốc bất kì Nhng số gia của đờng đi từ một thời điểm này đến một thời điểm khác bao giờ cũng bằng cùng một số là tích phân xác định của vận tốc lấy từ một trong các thời điểm đã chọn cho đến thời điểm kia Và đây là một nguyên tắc chung: Tích phân xác định của một hàm nào đó với các cận đã cho là hiệu giữa các giá trị của một nguyên hàm tại cận trên và cận dới Vấn đề này bao hàm một công thức quan trọng để tính tích phân xác định - công thức Newton - Leipnit

1.4 Vấn đề nguyên hàm tích phân trong chương trình và sách giáo khoa

ít các bài toán thực tế Điều này cần được nhanh chóng khắc phục” Trong các SGK môn toán và các tài liệu tham khoả về toán thường chỉ chú ý tập trung lãm rõ những vấn đề , những bài toán trong nội bộ toán học Nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu , số lượng các vấn đề lý thuyết,các

ví dụ,bài tập toán có nội dung liên môn và thức tế trong SGK môn toán ở bậc THPT để học sinh học và rèn luyện cần rất ít Trong năm 2006 sách giáo khoa lại lần nữa chỉnh lý , đổi mới Sự thay đổi chủ yếu trong SGK là

đổi mới phương pháp SGK cố gắng quán triệt phương châm : lấy học sinh làm trung tâm tăng cường tính chủ động của học sinh ,giảm lý thuyết kinh viện , tăng thực hành gắn với thực tiễn tránh áp đặt kiến thức

Sách chỉnh lý năm 2006 được biên soạn hai bộ sách :chương trình chuẩn và chương trình nâng cao để tuỳ thuộc đối tượng ,tuỳ từng ban mà học sinh học Phần nguyên hàm-tích phân nằm ở chương 3 lớp 12

Chương trình chuẩn được phân bố trong 3 bài với tổng 15 tiết học

Bài một : Nguyên hàm ( 3 tiết )

Bài hai : Tích phân (5 tiết )

Bài 3 : ứng dụng của tích phân trong hình học (6 tiết)

Ôn tập chương ( 1 tiết)

Sách nâng cao chia làm 6 bài với 19 tiết cụ thể

Bài một : Nguyên hàm (2 tiết)

Bài 2 : Một số phương pháp tìm nguyên hàm (2 tiết + 1 tiết luyện tập)

B ài 3 : Tích phân (3 tiết)

Bài 4 : Một số phương pháp tính tích phân ( 2 tiết + 2 tiết luyện tập ) Bài 5 : Ứng dụng tích phân để tích diện tích hình thang ( 2 tiết )

Bài 6 : ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể ( 4 tiết )

Ôn tập chương ( 1 tiết )

Hiện tại các em THPT đang theo học 2 bộ này tuỳ trình độ học sinh từng nơi và tuỳ học mức độ phân ban Nếu các em theo ban tự nhiên thì học chưong trình nâng cao Còn các em theo ban xã hội thì học chương trình chuẩn Về kiền thức thì không có gì khác nhau ,nhưng về lượng kiến thức thì sách nâng cao đi sâu hơn , nhiều bài tập khó hơn

Trong khi SGK theo chương trình nâng cao yêu cầu học sinh có kỹ năng tìm nguyên hàm ,tích phân của các hàm số không quá phức tạp Tính diện tích các hình và thể tích vật thể có hình dạng không quá phức tạp thì SGK

theo chương trình chuẩn chỉ yêu cầu học sinh có kỹ năng tìm nguyên hàm tích phân của các hàm số đơn giản.Tính diện tích các hình và thể tích vật thể

có hình dạng đơn giản

Nói về ứng dụng thực tiễn thì trong chương nguyên hàm-tích phân cả hai

bộ sách lại một lần nữa SGK cũng quan tâm nhiều hơn các ứng dụng trong nội bộ toán học mạc dù có hẳn một bài về ứng dụng hình học đó là ứng dụng để tính thể tích thể tích vật thể và diện tích hình hẳng Thậm chí bộ sách chương trình chuẩn lại bỏ đi phần ứng dụng nguyên hàm tích phân trong các bộ môn so với chương trình cũ thì chưa đổi mới gì nhiều về ứng dụng thực tiễn chỉ thay đổi là bỏ các bì toán tính nguyên hàm tích phân khó cần phải dùng đến kỹ xảo Các bài toán gắn liền với đời sống chưa nhiều như vậy có thể thấy rằng quan điểm chỉ đạo xuyên suốt quá trình dạy học ở trường phổ thông được nhấn mạnh trong dự thảo chương trình cải cách giáo dục môn toán đã được quán triệt Tuy nhiên việc quán triệt quan điểm này chưa thực sự toàn diện và cân đối Thực tế thì SGK toán hiện nay đã có những đổi mới lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn đã có những quan tâm nhất định Điều này được thể hiện các bài toán gắn liền với thực tiễn có bổ sung nhưng số lượng hạn chế

,những bài toán mang tính chất “đánh đố” được cắt bỏ Phân trình độ của các em theo 2 hướng (nâng cao và chuẩn ) để phù hợp với các đối tượng ,các vùng miền Chương trình thì giảm tải nhưng phần nguyên hàm tích phân theo chúng tôi tính thực tiễn phần này cần quan tâm hơn nữa vì SGK vẫn chưa làm nổi bật vai trò quan trọng của nó Cần phải đưa các bài toán thực

tế nhiều hơn ở phần đọc thêm để các em có thể tự nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn Làm như vậy thì góp phần giúp học sinh củng cố

và hoàn thiện kiến thức có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp , có điều kiện lựa chọn hướng phát triển là phát huy năng lực

cá nhân , tiếp tục học đại học cao đẳng ,trung học chuyên nghiệp ,học nghề hoặc đi vào cuộc sống

1.4.2 Thực trạng việc vận dụng kiến thức nguyên hàm tích phân với thực tiễn trong dạy học toán ở trường PT nước ta

ứng dụng trong nội bộ môn toán nhằm giúp học sinh lĩnh hội kiến thức và

kỹ năng để sử dụng cái đã biết , cái đã có để tìm các cái chưa biết để hoàn thành quá trình nhận thức đồng thời chuẩn bị cho công việc nghiên cứu vấn

đề mới đặt ra (ứng dụng các kiến thức và kỹ năng cho việc giải toán ) Mức

độ thông hiểu tri thức toán học của học sinh được đánh giá qua những ứng dụng này

ứng dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên giúp học sinh lập những mối liên hệ giữa các kiến thức đã lĩnh hội Tính tất yếu khách quan của mối liên hệ giữa toán học và và các khoa học khác đựoc quy định bởi mục đích chung của hoạt động nghiên cứu khoa học

Toán đã trở thành công cụ chủ yếu của nhiều khoa học đang biến thành 1 lực lượng sản xuất trực tiếp của xã hội

ứng dụng toán học (đặt biệt là nguyên hàm tích phân ) vào thực tiễn được coi là một vấn đề quan trọng cần thiết trong dạy toán ở trường phổ thông Tuy nhiên do nhiều lý do khác nhau, trong một thời gian dài trước đây cũng như hiện nay vấn đề rèn luyện vận dụng toán học vào thực tiễn chưa được đặt ra đúng mức , chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết

1.4.2.1 Khảo sát thực trạng

Qua xâm nhập quan sát thực tế giảng dạy và sau một số năm dạy học

,thông qua dự giờ,tham gia các cuộc họp rút kinh nghiệm giờ dạy và trao đổi với đồng nghiệp Chúng tôi có nhận định rằng việc vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn đời sống không được quan tâm mà thường …

1.4.2 Phân tích các nguyên nhân ( xem tiếp trang 16 )

Theo tác giả Trần Kiều biên tập tạp chí nghiên cứu giáo dục số 10 năm 1988

có nhận xét : “ do nhiều nguyên nhân ,việc dạy và học toán trong trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống”

Trong tình trạng hiện nay là thực tế là sách giáo khoa đã có những thay đổi lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực tế

đã có những quan tâm nhất định nhưng sách giáo khoa chỉ giới thiệu là chính ít bài tập chẳng có nội dung thực tiễn.Bên cạnh đó trong thực tế dạy toán các giáo viên ít quan tâm đến vấn đề này,mà thường chú trọng đI tìm những mắt xít suy diễn phức tạp trong các bài toán khó đặc biệt là trường chuyên lớp chọn ngoài ra học sinh còn được rèn luyện về tư duy kỹ thuật để giải những dạng toán trong các kỳ thi tốt nghiệp đại học mục đích quan trọng nhất của các giáo viên cũng như nhà trường là số lượng học sinh đạt giải trong các kỳ thi học sinh giỏi,tỉ lệ học sinh đỗ tốt nghiệp và đại học cao Những khía cạnh trong cuộc sống thường bị bỏ qua.Căn bệnh thành tích trong giáo dục vẫn luôn tồn tại trong các nhà trường

Như vậy việc dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học trong đời sống Học sinh việt nam học chương trình cao hơn so với học sinh nước ngoài đặc biệt là các nước Anh, Pháp, Mĩ nhưng khi tốt nghiệp ra thực hành ngoài đời sống thì không bằng học sinh nứơc ngoài đặc biệt là sinh viên việt nam Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này theo quan điểm của chúng tôi có những nguyên nhân chính sau :

Do quá trình đánh giá dạy và học đang gặp bất ổn đó là thông qua các kỳ thi để đánh giá học sinh.Các đề bài ra trong các kỳ thi có nội dung thực tiễn

ít Với lối dạy phục vụ “thi cử” tức là chỉ dạy những gì học sinh đi thi đã trỡ thành mối quan tâm hàng đầu của các giáo viên dạy toán.Và học sinh

cũng chỉ học những gì phục vụ cho thi cử còn các phần khác thì học sơ qua.Bên cạnh đó áp lực thi cử cũng đè nặng lên tâm lý các em Các em cứ nghĩ học xong lớp 12 là phảI thi vào đại học Chứ không thấy xã hội đang lâm vào tình trạng “thừa thầy thiếu thợ xã hội đang rất cầnnhững người lành nghề mà môn toán ứng dụng đóng góp một phần quan trọng trong đội ngũ đào tạongười cho xã hội.

Thứ 2 do ảnh hưởng của sách giáo khoa và tài liệu tham khoả sách giáo khoa môn toán ít đề cập đến ứng dụng toán học trong thực tiễn mà chỉ đề cập nhiều ứng dụng trong nội bộ môn toán Tài liệu tham khoả cũng vậy chỉ phục vụ cho thi cử.Gần đây thi sách giáo khoa đã có những thay đổi tích cực

và vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn được quan tâm.Nhưng như đưa thêm phần xác xuất vào các phần khác cũng đưa các bài tập thực tiễn vào nhưng số lượng bài tập không nhiều Chương nguyên hàm tích phân phần

mở đầu nói vai trò của nguyên hàm tích phân rất là quan trọng nhưng số lượng ứng dụng vào thực tiễn lại rất ít chủ yếu là trong nội bộ toán học.Như vậy phần bài tập ở chương này chưa làm nổi bật vai trò rất quan trọng của nguyên hàm tích phân trong thực tiễn

Thứ 3 là trong thực tế dạy học các giáo viên ít quan tâm đến vấn đề này không rèn luỵen cho học sinh những ứng dụng toán học mật khác ở trường đại học các giáo viên cũng không được đào tạo chuyên sâu mà chỉ được giới thiệu sơ qua

Bên cạnh đó mặc dù đã có quan điển chỉ đạo là tăng cường toán học trong thực tiễn của bộ giáo dục ,nhưng thực tế quan điểm này chưa được thực hiện quán triệt một cách toàn diện nên uéng dụng toán học trong cuộc sống ít được quan tâm mà chỉ quan tâm đến ứng dụng nội bộ trong toán học

1.4.3 Liên hệ với chương trình sách giáo khao và dạy học của một số nước trên thế giới

Trong thời đaị gắn với sự phát triển mạnh mẽ của khoa họ công nghệ thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức toàn cầu hội đồng quốc tế về giáo dục thế kỷ 21 được UNESCO thành lập 1993 do JACQUER DELORS lãnh đạo , nhằm hỗ trợ các nước trong việc tìm tòi cách thức tốt nhất để kiến tạo lai nền giáo dục của mình vì sự phát triển bền vững của con người Năm 1996 hội đồng đã xuất bản ấn phẩm : Học tập : một kho báu tiềm ẩn , trong đó có xác định “ học tập suốt đời được dựa trên 4 trụ cột là : học để biết ,học đẻ làm , học để chung sống với nhau , học để làm người Học để làm được coi là không chỉ liên quan đến việc nắm được kỹ năng mà còn đến việc ứng dụng kiến thức Phong trào cải cách giáo dục cải cách giáo dục ở trường phổ thông đã được thực hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều nước trên thế giới Có thể thấy rằng tăng cường hoạt động vận dụng toán học vào thực tiễn là một trong những vấn đề từ lâu đã được quan tâm và đang là một trào lưu giáo dục toán học hiện nay trên thế giới Nhìn chung xu hướng cơ bản của việc cải cách môn toán ở trường PT trên thế giới là “ Hiện đại hoá thân trong , tăng cường việc gắn liền toán học với các khoa học khác , với đời sống ” Tiêu biểu cho xu hướng này là PHÁP,LIÊN XÔ ANH,MỸ trong chương trình có ứng dụng toán học với thực tiễn

Theo pháp lệnh về mục tiêu giáo dục HOA KỲ năm 2000, trong đó 8 mục tiêu đưa ra trong đó có 2 mục tiêu hàm chứa yêu cầy cao về năng lực vận dụng của học sinh “ tất cả học sinh học hết lớp 4,8,12 phải có năng lực ứng dụng thực tế, độc lập suy nghĩ…có khả năng tiếp nhận các công việc trong đời sống hiện đại

Với chương trình môn toán nước pháp tác giả PHẠM GIA ĐỨC nhận xét “ toán học dạy ở nhà trường gắn liền với nhu cầu cuộc sống ” “ coi trọng thao tác tính toán , thực hành ”

Tóm lại chương trình và SGK ở một số nước trên thế giới rất coi trọng sự liên hệ toán học với thực tiễn Đối với nhiều chủ đề quan trọng được trình bày trong SGK , việc có mặt của các bài toán có nội dung thực tiễn đã đóng một vai trò chủ đạo và xuyên suốt quá trình dạy học như là những phương tiện để truyền thụ tri thức cũng như thực hành và luyện tập các chủ đề này Nghĩa là các bài toán có nội dung thực tiễn thể hiện mục đích kép vừa lĩnh hội tốt kiến thức ,rèn luyện được kỹ năng vừa rèn luyện được thói quen ứng dụng toán học vào thực tiễn

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương 1 luận văn đã phân tích làm rõ các vấn đề lý luận và thực tiễn liên quan đến đề tài Qua đây có thể khẳng định rằng ,việc tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn trong dạy học toán là hướng dạy học phù hợp với điều kiện nước ta trong giải pháp hiện nay và cũng đồng thời phù hợp chương trình xu hướng dạy học của thế giới Đây cũng là cơ sở để chúng tôi thực hiện chương 2

Chương 2 Dạy học nguyên hàm, tích phân theo hướng bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức

toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT

2.1 Phân tich các cách tiếp cận kiến thức nguyên hàm, tích phân và quan điểm trình bày của sách giáo khoa

2.1.1 Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của nguyên hàm – tích phân

Cùng với phép tính vi phân, phép tính tích phân là một thành tựu nổi bật nhất của thế kỷ XVII Nó đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển của khoa học và trở thành một công cụ sắc bén, đầy sức mạnh được các nhà khoa học sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cũng như trong ứng dụng thực tiễn

Phép tính tích phân do hai nhà bác học lớn là Niu – tơn ( I New ton 1063 – 1927), người Anh và Lai – bơ – nit (G.LeibniZ 1946 – 1719) người Đức, sáng tạo ra đồng thời và độc lập với nhau Đây là một khái niệm gây nhiều ảnh hưởng sâu rộng và tác động mạnh mẽ hơn thế giới hiện đại tới mức có thể không sai khi nói rằng nếu thiếu ít nhiều kiến thức về thứ đó thì 1 người ngày nay khó có thể nói được là giáo dục tốt

Thực ra đây là một cuộc chạy tiếp sức nhiều thế hệ các nhà khoa học xuất sắc trong nhiều thế kỷ Những người đi tiên phong đầu tiên là các nhà toán học Hilạp Trong các giáo trình học thì vi phân được học trước rồi mới nói tới tích phân trong khi xét về mặt lịch sử thì tư tưởng phép tính tích phân ra đời trước Leucippus, Demo critus và Anti phon đã có những đóng góp vào phương pháp “vét kiệt” của toán học HiLạp cổ đại

Mãi về sau được Eudoxus (vào khoảng 370 – TCN) nâng lên thành lí luận khoa học

Sở dĩ gọi là phương pháp “vét kiệt” vì xem diện tích của một hình được tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó

Phương pháp “Vét Kiệt” thường được thừa nhận là của Eudoxus và có lẽ được coi là câu trả lời của trường phái Plato đối với những nghịch lý của Zenno Phương pháp này thừa nhận tính chất chia hết vô hạn của các độ lớn

và có mệnh đề

Sau đây là cơ sở: “Nếu từ bất kỳ một đại lượng nào và bỏ đi một phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ đó còn loại bỏ đi một đại lượng không nhỏ hơn một nửa của nó, vân vân thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhở hơn bất kỳ đại lượng nào được ấn định trước cùng loại”

Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (287 – 212) mới là người HiLạp kiệt xuất nhất với phương pháp cân bằng được tìm thấy vào năm 1906 Tư tưởng chính phương pháp Archimedes là: Để tìm một diện tích hoặc một thể tích thì cắt nó ra thành một số rất lớn các dải phẳng song song và (ghi trong óc)

là treo chung ở đầu tâm biết” Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tìm được diện tích của hình tam giác cong Parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và đỉnh bằng 2/3 diện tích của hình bình hành ngoại tiếp Kết quả này được ra bằng cách dựng 1 đáy vô hạn các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có với đường parabol Hình parabol dần dần được lấp đầy bởi tam giác có diện tích là

S S

S+ + ,

64 16 4

S S S

Kể từ khi ống mất, lý thuyết tích phân rất ít được quan tâm cho đến thời gian tương đối cận đại Vào khoảng 1450 các công trình của Archimedes đã đến được Tây âu và mãi đến thế kỷ 17 người ta mới thấy tư tưởng của ông được phát triển, nhiều nhà toán học cùng tham gia mở đường cho sự ra đời của tích phân, trong đó phải kể đến những đóng góp xuất sắc của các nhà khoa học như J.Kepler, B cavalieri, Phecma, Đề các, I.Brrow.

Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học này không dùng đến khái niệm giới hạn Thay vào đó, họ nói: “Tổng của một số vô cùng lớn những số hạng

vô cùng nhỏ” Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong là tổng của một số

vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ Dựa trên

cơ sở đó đã tính được chính xác nhiều diện tích của hình phẳng và thể tích các vật

Tất cả cố gắng của họ đã đạt được đến đỉnh cao khi hai nhà toán học I.Saac Newton (1643 – 1727) và GoHfried Wilhelm Leibriz (1646 – 1716) đã nghiên cứu độc lập một cách có hệ thống, hoàn thiện vào cuối thế kỷ này Đây cũng là thành tựu Toán nổi bật nhất thời kì đó

Ngày nay các nhà nghiên cứu đều nhất trí rằng về mặt thời gian, Newton khám phá ra phép vi phân trước Leibriz khoảng 10 năm nhưng Leibriz lại cho công khai công trình của mình trước Newton tới 3 năm Về hình thức, phép tính tích phân của Newton và phép tính tích phân của Leibriz khác nhau rõ rệt, Newton trình bày các kết quả của mình dưới ngôn ngữ Hình học, còn Leibriz dùng ngôn ngữ Đại số Các kí hiệu của Leibriz phong phú và thuận tiện hơn nhiều so với các kí hiệu của Newton (dấu tích phân và các kí hiệu vi phân, đạo hàm mà chúng ta dùng ngày nay là của Leibriz) về sự kết hợp giữa phép tính vi – tích phân với các nghiên cứu về khoa học tự nhiên thì Leibriz không sâu sắc bằng Newton nhưng đứng trên góc độ toán học thì phép tính vi – tích phân của Leubriz thể hiện tầm nhìn bao quát hơn một trí tưởng tượng tinh tế hơn

Đến thế kỷ XIX, Côsiv (1789 – 1857) và Rimann (1826 – 1866) mới xây dựng được một lý thuyết chính xác về tích phân Lý thuyết này về sau được Lebesgue (1875 – 1941 ) và Denjoy (1884 – 1974) hoàn thiện

Như vậy tích phân xuất hiện độc lập với nguyên hàm, do đó việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là phát minh của Newton và Lebriz Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các tổng tích phân, là của Côsiv và Rimann

2.1.2 Khái niệm nguyên hàm – tích phân và quan điểm trình bày của sách giáo khoa

2.1.2.1 Khái niệm nguyên hàm

Trong chương trình sách giáo khoa từ trước đến nay thì định nghĩa nguyên hàm không có gì thay đổi dù đã thay đổi sách nhiều lần

Để đi đến khái niệm Nguyên hàm sách giáo khoa bắt đầu bằng bài toán thực tế

Vận tốc của một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng tại thời điểm t là v(t) = 160 – 9,8 (m/s) ( coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) Tính quãng đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm t

Gọi S(t) là quãng đường đi được của viên đạn sau khi bắn được t giây Ta đã biết v(t) = S’(t) Do đó ta phải tìm hàm số S = S(t) thoả mãn điều kiện S’(t) =

160 – 9,8t

Nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật đã dẫn đến bài toán

Cho hàm số f(x) xác định bên K, (K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó) Hãy tìm hàm F sao cho F’(x) = f (x) với mọi x thuộc KRồi sách giáo khoa đi đến định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định bên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f bên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Trước đây, trong chương trình sách giáo khoa kí hiệu∫ f(x)dx dung để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của f(x)

Nhưng trong sách giáo khoa thí điểm năm 2006 thì ∫ f(x)dx còn dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f(x), tức là ∫ f(x)dxlà một hàm thông thường chứ không phải là là một tập hợp nữa

Nói cách khác, coi hai hàm số sai khác nhau một hằng số là một hàm số khi

đó nguyên hàm của f(x) là duy nhất và được ký hiệu bởi ∫ f(x)dx

Với tinh thần đổi mới chương trình sách giáo khoa, thì nội dung nguyên hàm

có giảm tải, sách giáo khoa chỉ có những bài toán cơ bản về tìm nguyên hàm, các bài tập có tính chất mẹo mực, tiểu xảo đều bị loại bỏ

2.1.2.2 Khái niệm tích phân

Nếu như phần khái niệm nguyên hàm không có gì thay đổi thì khái niệm tích phân, thì các quan điểm trình bày lại khác nhau

Cách thứ nhất (trước năm 1992) của các tác giả Ngô Trúc Lan, Vũ Tuấn, Ngô Xuân Sơn thì trình bày tích phân như sau: Bắt đầu xuất phát từ bài toán thực tiễn đó là : Hãy tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm

số liên tục y = f(x) (f(x) ≥ 0) trục Ox và các đường x = a và

x = b ta chia đoạn thẳng [a;b] thành n đoạn thẳng nhỏ không nhất thiết bằng nhau bởi các điểm chia x1, x2,… xn sao cho

x0 = a < x1 < x2 <…< xn-1 < xn = b

Trên mỗi đoạn [xi-1; xi) (1≤ i ≤ n) Ta lấy một điểm ξi

Qua Mi ta kẻ đường song song với trục Ox Đường này tạo với đường thẳng

Khi ∆xi đủ nhỏ ( tức ∆xi → 0 ) thì diện tích của hình thang cong chính bằng tổng của các hình chữ nhật trên hay

Sau khi xong việc tìm diện tích

hình thang cong để trực quan

hoá nhận thức của học sinh

sau đó sách giáo khoa đưa ra

định nghĩa trừu tượng về tích phân

Định nghĩa tích phân được chia thành năm bước như sau:

Cho học sinh y=f(x)xán định trên [a,b] (a<b)

Ta lần lượt thực hiện các bước sau:

1: chia đoạn thẳng [a,b] thành những đoạn nhỏ không nhất thiết bằng nhau bởi các điểm

5: Thực hiện những phép chia đoạn [a,b] thành những đoạn ngày càng

nhỏ sao cho max ∆x i dần tới 0 Nếu tồn tại giới hạn lim n

f( )

Cách thứ 2 Trong sách giáo khoa chỉnh lí năm 2000 và năm 2006 thì khái niệm tích phân được định nghĩa dựa theo nguyên hàm,tức tích phân được định nghĩa theo công thức Newtơn – Leibniz của các tác giả Ngô Trúc Lan,

Vũ Tuấn, Ngô Xuân Sơn

Cũng xuất phát từ bài toán thực tế

Sách giáo khoa đã chứng minh

diện tích S của hình thang cong đó là S = F(b) – F(a) Trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên [a;b] Rồi đi đến định nghĩa tích phân

Gỉa sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng x , a và b là hai phần tử bất kỳ của k ,F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên k Hiệu số F(b) –F(a) được gọi

là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là ∫b

a

dx x

f( )

Xét về mặt lịch sử sự ra đời của phép tích phân xuất phát từ việc tìm giới hạn của các tổng tích phân (tích phân có nghĩa là : tích hợp các phần nhỏ ) Tích phân ra đời độc lập với nguyên hàm, khái niệm tích phân có nguồn gốc