Dạy học nguyên hàm, tích phân theo hướng bồi dưỡng năng lực kiến thức toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông

Chính vì thế kiến thức nguyên hàm và tích phân chứa đựng nhiều tiềm năng giáo dục cho học sinh cả về phương diện ý thức lẫn năng lực ứng dụng kiến thức môn toán vào việc giải quyết các v

MAI THI NGOAN

DẠY HỌC NGUYÊN HAM, TICH PHAN THEO HUONG TANG CUONG BOI DUONG NANG LỰC VẬN DỤNG KIÊN THỨC TOÁN HỌC VÀO

THỰC TIỀN CHO HỌC SINH TRUNG HQC PHO THONG

Chuyên nghành:LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

Mã số:60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:TS CHU TRỌNG THANH

VINH_2010

Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS Chu Trọng Thanh, người thay

đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin gửi

lời cảm ơn các thây, cô giáo Khoa sau dai hoc, Dai hoc Vinh đã truyền thụ kiến

thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và những người thân đã cùng

chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm

vụ học tập và luận văn tốt nghiệp cuối khóa

Tac gia Mai Thi Ngoan

b7 1

T Lido chon 46 ti eeeesceeeccssssseeeesesssseeeeseceesseeeeseesssnmeiesessnnseesssnnnassess 1

II Mục đích nghién cứu .- - - c6 1111331183118 119119 11v kg cư 3

TH Nhiém vu nghién COU oo 4

VII Cấu trúc luận văn -c: 2222 212111 HH re 5 Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn - 2 +2++S++xezezxzxerxrxe 6 1.1 Mối liên hệ giữa kiến thức toán học với thực tiễn và việc thực hiện

nguyên lý giáo dục trong môn tOáï - ¿5+ + + k+xE**EE£vE+ereeeeseeersesee 6

1.1.1 Định hướng đổi mới giáo dục ¿-2 2+++x+E++2E+zxerxexxerxerxrree 6

1.2 Một số quan điểm về đạy học môn toán theo hướng tăng cường liên hệ

toán học với thực tiễn

1.2.1 Một số quan điểm chung về vấn đề liên hệ với thực tiễn trong dạy học

MOM UP 14

1.2.2 Tăng cường liên hệ với thực tiễn là một mục tiêu, là một nhiệm vụ quan

trọng trong dạy học toán ở trường phô thông hiện nay -. - 16 1.2.3 Tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn góp phần phát triển năng

1.2.4 Tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn giúp học sinh lĩnh hội kiến thức, tăng cường kỹ năng thực hành trong thực tế, góp phần chuẩn bị cho học sinh các năng lực để học tiếp hoặc đi vào cuộc sống L1 111 1k1 TH k vn 1t ềt 20

1.2.5 Tăng cường ứng dụng toán học giúp hình thành thế giới quan duy vật D9891 21

1.3 Cơ sở thực tiễn chè 22

1.3.1 Vấn đề liên hệ với thực tiễn trong chương trình SGK phổ thông ở nước ta 22

1.3.2 Thực trạng việc vận dụng kiến thức với thực tiên trong dạy học toán ở

1.4 Tiểu kết luận chương Ì 222 2+EE+EE+EE2EE+EE+EESEEtEECrEerkerrerree 29

Chương 2 Dạy học nguyên hàm, tích phân theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT 30 2.1 Nội dung chủ đề nguyên hàm, tích phân trong chương trình trong chương

trình SGK hiện tại và những năm vừa qua - 55 5+ +2 +sx+exseesess 30

2.1.1 Sơ lược về hình thành và phát triển của nguyên hàm, tích phân 30

2.1.2 Một số quan điểm trình bày khác nhau về nội dung nguyên hàm, tích

2.2.1 Ứng dụng trong nội bộ toán học để giải các bài toán .- 39 2.2.2 Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân vào các môn học khác 49

2.2.3 Ứng dụng trong khoa học, đời sống - 2-2: 5: 2 x+xezEezxzxres 54

2.3 Một số biện pháp dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân ở trường THPT

nhằm bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức môn toán vào thực tiễn 62

2.3.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm tăng cường liên hệ với thực tiễn trong

3.3 Nội dung thực nghidm 2.00 eee ceeeeeeeseeeeceeeeeeeseeseeeaeeeeeaeeeeeeeeeateneeeeeees 81

3.5 Kết luận chung về thực 320190100177 84

KET LUẬN - 52-562 EEEEE1E211211211111211211 11211 11 11 11 1 1 ray 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 2222222EEE2222++22222222222222222222ce 87

I Li DO CHON DE TAI

1 Toán học liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và được ứng dụng rộng rãi

trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống

xã hội hiện nay Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng Với những tiến bộ trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là với sự ra đời của máy tính điện tử, vai trò của toán học càng trở nên quan trọng Toán học đã

gián tiếp thúc đây mạnh mẽ các quá trình tự động hoá nền sản xuất Phạm vi ứng dụng của toán học ngày càng được mở rộng nhanh và nó đã trở thành

công cụ thiết yếu của mọi khoa học Toán học có vai trò quan trọng như vậy

không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự quan hệ thường xuyên với thực

tiễn, lay thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá với mục

tiêu trên năm 2020 Việt Nam từ một nước nông nghiệp về cơ bản trở thành

nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định đến

thắng lợi của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá và hội nhập quốc tế là con người, là nguồn nhân lực được phát triển về số lượng và chất lượng trên

cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao Việc này được bắt đầu từ giáo dục phổ

thông Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phẩm chất năng lực của người học sinh được hình thành trên một nền tảng kiến thức, kỹ năng phát triển vững

chắc Do sự phát triển nhanh mạnh với một tốc độ mang tính bùng nỗ của

khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiều lý thuyết, thành tựu mới

cũng như ứng dụng khả năng vào thực tế cao, rộng và nhanh buộc chương

trình sách giáo khoa phải luôn được xem xét điều chỉnh Học vấn mà nhà

trường phô thông trang bị không thể thâu tóm được mọi tri thức mong muốn

Vì vậy phải coi trọng việc đạy phương pháp, dạy tư duy, cách đi tới kiến thức

của loài người Xã hội đòi hỏi người có học vấn hiện đại không chỉ có khả

năng lấy ra từ trí nhớ các trí thức đưới đạng có sẵn, đã lĩnh hội được ở trường phô thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các tri thức mới một

trong quan hệ với mọi người

2 Một trong những hướng đổi mới dạy học môn toán ở trường phô

thông là tăng cường mạch toán ứng dụng và cách ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Tuy nhiên trong triển khai thực hiện vấn đề liên hệ kiến thức học được ở nhà trường với thực tiễn nói chung, ứng dụng kiến thức toán học

vào giải quyết các vấn đề đặt ra từ thực tiễn nói riêng vẫn cũng gặp không ít khó khăn Trong những năm gần đây, việc biên soạn sách giáo khoa và những

tài liệu xác định quan điểm đổi mới về mặt lý luận dạy học cũng như hướng

dẫn thực hiện chương trình đó cần chú ý nhiều đến việc tăng cường ứng dụng

toán học vào thực tiễn Số lượng ví dụ, bài tập có liên hệ với thực tiễn được

tăng nhiều hơn trước Các giáo viên khi lên lớp đã có chú ý liên hệ nguồn gốc thực tiễn của nội dung dạy học Tuy vậy đây là một vấn đề khó khăn và quan

trọng trong nhận thức cũng như trong thực hành dạy học nên cần được tiếp

tục nghiên cứu

3 Kiến thức nguyên hàm, tích phân có nguồn gốc ra đời từ thực tiễn

nghiên cứu khoa học và thực tiễn đo đạc các đại lượng hình học, cơ học Nhiều vấn đề thực tiễn sản xuất, kinh tế và khoa học được giải quyết nhờ

công cụ nguyên hàm, tích phân Chính vì thế kiến thức nguyên hàm và tích phân chứa đựng nhiều tiềm năng giáo dục cho học sinh cả về phương diện ý thức lẫn năng lực ứng dụng kiến thức môn toán vào việc giải quyết các vấn đề

của thực tiễn đời sống và các môn học khác Chính vì lẽ đó trong dạy học nếu

giáo viên biết khai thác các nội dung về nguyên hàm, tích phân và tổ chức hoạt động dạy học thích hợp thì sẽ giúp phần vào giáo dục toàn diện người

học sinh theo các mục tiêu giáo dục quốc gia đã được xác định trong Luật Giáo dục 2005

4 Kiến thức nguyên hàm và tích phân có nhiều cách tiếp cận và trình

bày trong các sách giáo khoa môn toán Trong những năm qua đó có những ý

kiến khác nhau trong việc trình bày nội dung nguyên hàm và tích phân trong các sách giáo khoa môn toán THPT Thực tế đó có những cách trình bày khác nhau về nội dung này Mỗi cách trình bày có những ưu điểm và hạn chế riêng

Việc nghiên cứu một cách toàn diện các cách tiếp cận, trình bày nội dung dạy

học về chủ đề nguyên hàm và tích phân cùng những định hướng dạy học là

một việc nên làm

5 Ngày nay với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin nhiều vấn đề khó khăn, trừu tượng được giải quyết một cách phù hợp và hiệu quả Trong tình hình đó chúng tôi nghĩ rằng việc phân tích nội dung kiến thức nguyên hàm,

tích phân và đề xuất biện pháp dạy học trong đó chú trọng đến việc bồi dưỡng

năng lực ứng dụng kiến thức toán vào thực tiễn là một việc làm có ý nghĩa

Mặc dù có những khó khăn nhất định nhưng vấn đề này có thể được giải

quyết thỏa đáng nếu biết vận dụng các phương pháp dạy học thích hợp và sự

hỗ trợ của các phương tiện kỹ thuật, trong đó có CNTT

Trong những năm qua đó có một số chương trình nghiên cứu về tăng

cường mối liên hệ kiến thức môn toán với thực tiễn và các môn học khác như

luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Văn Tân, Trần Thị Thanh Vân, Hồ Đức Vượng

Tuy nhiên chưa có công trình nào đề cập đến vấn đề trên đối với nội dung nguyên hàm, tích phân Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sĩ của môn là: “Dạy học nguyên hàm, tích phân theo hướng tăng

cường bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho

học sinh trung học phố thông'°

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu cách tiếp cận và trình bày nội dung nguyên hàm, tích phân trong chương trình môn toán THPT Từ đó đề xuất định hướng dạy học chủ

đề kiến thức nguyên hàm, tích phân nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng kiến

thức toán vào thực tiễn cho học sinh THP, qua đó góp phần nâng cao chất

lượng giáo dục toán học

II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu quan điểm trình bày và sự thể hiện nội dung nguyên hàm, tích phân trong các sách giáo khoa toán của Việt Nam và một số nước

trong thời gian gần đây

2 Nghiên cứu các yếu tố trong năng lực ứng dụng kiến thức toán học

vào thực tiễn của học sinh THPT

3 Đề xuất một số biện pháp sư phạm thực hiện việc dạy học nguyên

hàm, tích phân theo hướng bồi dưỡng năng lực ứng dụng kiến thức môn toán

vào thực tiễn cho học sinh

4 Thực nghiệm sư phạm đề kiếm chứng các đề xuất

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm

4 Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán

V GIẢ THUYÉT KHOA HỌC

Trong dạy học chủ đề kiến thức nguyên hàm và tích phân ở trường

THPT nếu giáo viên quan tâm đến quan điểm trình bày nội dung đó trong các sách giáo khoa và lựa chọn một cách tiếp cận, trình bày hợp lý thì sẽ giúp học

sinh nắm vững kiến thức, bồi dưỡng được năng lực ứng dụng kiến thức vào thực tiễn, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán và thực hiện định hướng đổi mới giáo dục ở trường phô thông

VI DỰ KIÊN ĐÓNG GÓP LUẬN VĂN

1 Hệ thống của tư liệu về lý luận dạy học toán, đặc biệt là các tư liệu

về dạy học môn toán theo hướng tăng cường ứng dụng vào thực tiễn làm tài liệu tham khảo trong công tác chuyên môn

2 Làm rõ được các cách tiếp cận và quan điểm trình bày nội dung

nguyên hàm, tích phân trong các sách giáo khoa toán và đề xuất một số biện

pháp dạy học nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng kiến thức toán vào thực

tiễn

VII CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có

3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Mối liên hệ giữa kiến thức toán học với thực tiễn và việc thực hiện

nguyên lý giáo dục trong môn toán

1.2 Một số quan điểm về dạy học môn toán theo hướng tăng cường

liên hệ toán học với thực tiễn

2.2 Ứng dụng nguyên hàm ,tích phân vào thực tiễn

2.3 Một số biện pháp dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân ở trường

THPT nhằm bồi dưỡng năng lực vận dụng kiến thức môn toán vào thực tiễn 2.4 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Nội dung thực nghiệm

3.3 Tổ chức thực nghiêm

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHUONG 1

CO SO Li LUAN VA THUC TIEN

1.1 Mối liên hệ giữa kiến thức toán học với thực tiễn và

việc thực hiện nguyên lý giáo dục trong môn toán

1.1.1 Định hướng đối mới phương pháp giáo dục

Hiện nay, thế giới đã bước vào kỉ mới, kỉ nguyên của kinh tế tri thức và

toàn cầu hóa cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, đặc

biệt là lĩnh vực công nghệ kĩ thuật cao Ở nước ta trong những năm gần đây cũng có nhiều biến đổi lớn theo hướng hội nhập ngày càng sâu vào quá trình phát triển chung của thế giới Sau Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ X (tháng 4 năm 2006), ngày 07 tháng 11 năm 2006 Việt Nam trở thành thành viên chính

thức của Tổ chức Thương mại Thế giới (WTO) và ngày 17 tháng I1 năm

2006 khai mạc Diễn đàn Hợp tác Kinh tế Châu Á - Thái Bình Dương (APEC)

lần thứ 14 tại Hà Nội Việt Nam đang tự tin bước vào một kỉ nguyên mới: kỉ

nguyên hội nhập quốc tế và hợp tác cạnh tranh toàn cầu

Để theo kịp với những chuyền biến to lớn trên về tình hình kinh tế và

chính trị xã hội của nước ta cũng như trên thế giới trong giai đoạn này, một

giai đoạn mà cạnh tranh quốc tế là cạnh tranh về con người, nền giáo dục phải

có sứ mệnh đào tạo ra những thế hệ con người Việt Nam có đủ sức mạnh trí tuệ và nhân cách để đưa nước ta hội nhập thành công và cạnh tranh thắng lợi

trong môi trường toàn cầu Giáo sư Hoàng Tụy đã từng có ý kiến cho rằng:

"Xã hội công nghệ ngày nay đòi hỏi một lực lượng lao động có trình độ suy

luận, biết so sánh phân tích, ước lượng tính toán, hiểu và vận dụng được

những mối quan hệ định lượng hoặc lôgic, xây dựng và kiểm nghiệm các giả thuyết và mô hình để rút ra những kết luận có tính lôgic" [47, tr 5 - 6] Muốn vậy, nền giáo dục cũng phải có những thay đồi về mục tiêu, nhiệm vụ và phương

pháp dạy học Trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng, một

trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo đục được đề ra là: "Nâng cao

chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng "Chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá” Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học Đề cao trách nhiệm

của gia đình, nhà trường và xã hội" (theo [43],tr- 58)

Trong trường phổ thông môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trong trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Đặc biệt trong giai đoạn hiện nay nó càng có vai trò và ý nghĩa quan trọng hơn, là

một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông của con người mới

Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban

Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra:

“Phái đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo

điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu .” (theo[42])

Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phố thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học

sinh, ; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập

cho học sinh” (theo[27]) Luật Giáo dục 2005 tiếp tục khẳng định những

quan điểm chỉ đạo phát triển và đổi mới giáo dục trên đây

Chương trình môn toán thí điểm trường THPT (2002) và chính thức được Bộ Giáo dục, Đào tạo công bố năm 2006 đã chỉ rõ: "Môn Toán phải góp

phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, .; phat triển khả năng

suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thé ." (theo[41],tr-23)

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một cách cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nước

ta đang chuyên từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trường có sự quản lý của

Nhà nước Công cuộc đối mới này đòi hỏi phải có sự đối mới về hệ thống

giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản

về PPDH Phải thấy rằng do những khó khăn về kinh tế và những hạn chế về

tư duy giáo dục nên cho đến nay nền giáo dục của nước ta vẫn còn chậm phát triển so với các nước tiên tiến trong khu vực và trên thế giới

Về thực trạng này, năm 1997 nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận

định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội

dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định ly để tính toán, chứng minh .” (theo[53], t-25)

GS Hoang Tuy phat biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhỏi nhét, luyện trí

nhớ, đạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chan nan .".(theo[47], t-4 )

Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ương Đảng

Cong san Viét nam (khoa VIII, 1997) đã chỉ rõ: " Giáo dục nước ta còn nhiều mặt yếu kém, bất cập cả về quy mô, cơ cấu và nhất là chất lượng ít

hiệu quả, chưa đáp ứng kịp những đòi hỏi lớn và ngày càng cao về nhân lực trong sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc, thực hiện công nghiệp hoá -

hiện đại hoá đất nước theo định hướng XHCN " Vì vậy: " Phải đối mới phương pháp giáo dục, đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện

thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy học ".(theo[13])

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt nam (năm 1998) quy định: " Phương pháp giáo dục phố thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,

môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến

"

thức vào thực tiễn

Chương trình môn Toán (Thí điểm) trường Trung học phổ thông (năm

2004 - 2007) cũng đã chỉ rõ: " Một điểm yếu trong hoạt động dạy và học của chúng ta phương pháp giảng dạy Phần lớn là kiểu thầy giảng - trò ghi, thầy đọc, trò chép; vai trò của học sinh trở nên thụ động Phương pháp đó làm cho học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo cũng như thói quen học lệch, học tủ, học đề đi thi Tinh thần của phương pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ động sáng tạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý đến sự hoạt

động tích cực của học sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài

giảng của thầy Dưới sự hướng dẫn của thầy, họ có thể phát hiện ra van dé va suy nghĩ để tìm cách giải quyết vấn đề " (theo[40])

Trong cuộc đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay, việc đổi mới phương

pháp đạy học đóng vai trò hết sức quan trọng Quan điểm chung của đôi mới phương pháp dạy học đã được khẳng định là tổ chức cho học sinh được học trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo mà cốt lõi là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, hay nói một cách khác

giáo viên phải lấy người học làm trung tâm nhằm chống lại thói quen học tập

thụ động

Nghị quyết số 37/2004/QH-I1 của Quốc hội nước Cộng hòa Xã hội

Chủ nghĩa Việt nam Khoá XI, kỳ họp thứ 6 (12/2004) đã nhấn mạnh:"

Ngành Giáo dục cần chuẩn bị đầy đủ các điều kiện cần thiết để thực hiện đổi

mới nội dung, chương trình, phương pháp giáo dục, nghiên cứu điều chỉnh phương án phân ban THPT góp phần tích cực hướng nghiệp cho HS và phù

hợp với điều kiện thực tiễn Việt nam, phát triển mạnh giáo dục nghề nghiệp,

thực hiện phân luồng sau THCS "

Bàn về định hướng đổi mới PPDH ở nước ta trong thời gian tới, tác giả

Trần Kiều cho rằng: " Hiện nay và trong tương lai xã hội loài người đang và

sẽ phát triển tới một hình mẫu xã hội có sự thống trị của kiến thức, dưới sự

bùng nổ về khoa học công nghệ cùng nhiều yếu tố khác, .; việc hình thành

và phát triển thói quen, khả năng, phương pháp tự học, tự phát hiện, giải

quyết vấn đề, tự ứng dụng lại kiến thức và kỹ năng đã tích luỹ được vào các

tình huống mới ở mỗi cá nhân có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Thói quen khả năng, phương pháp nói trên phải được hình thành và rèn luyện ngay từ trên

"

ghế nhà trường Tác giả cũng đưa ra kiến nghị: " Phải để học sinh suy

nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn và thảo luận nhiều hon " (theo[51])

Trong những năm gần đây, khối lượng tri thức khoa học tăng lên một

cách nhanh chóng Theo thống kê của các nhà khoa học, cứ 8 năm nó lại tăng lên gấp đôi, dòng thông tin tăng lên như vũ bão dẫn đến chỗ khoảng cách giữa

tri thức khoa học của nhân loại và bộ phận tri thức được lĩnh hội trong nhà trường cứ mỗi năm lại tăng thêm Mặt khác thời gian học tập ở nhà trường thì

có hạn, do đó để hoà nhập với sự phát triển của xã hội, con người phải tự học

tập, trao dồi kiến thức, đồng thời biết tự ứng dụng kiến thức và kĩ năng đã tích

luỹ được trong nhà trường vào nhịp độ sôi động của cuộc sông (dẫn theo V

A Cruchetxki - Những cơ sở của Tâm ly hoc sư phạm)

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công

nghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH làm nảy sinh và thúc đấy một cuộc vận động đối với PPDH ở tắt cả các cấp trong ngành Giáo dục và đào tạo từ một số năm nay với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu

dưới nhiều hình thức khác nhau như: "Lấy người học làm trung tâm", "Phát

huy tính tích cực", "phương pháp dạy học tích cực " , Những ý tưởng này bao hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đây đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo Tuy nhiên, cần vạch rõ bản chất các ý tưởng đó như là định hướng cho sự nghiệp đổi mới PPDH hiện nay là: Tổ

chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo

Hiện nay, trên thế giới đang có những bước tiến mạnh mẽ việc cải cách giáo dục theo hướng nâng cao vai trò chủ thể hoạt động của học sinh trong học tập Ở nước ta công cuộc cải cách giáo dục đang được tiến hành mạnh mẽ

và toàn diện về các mặt: hệ thống tổ chức, nội dung chương trình môn học, cơ

sở vật chất của trường học và đang đòi hỏi có sự đổi mới kịp thời, đồng bộ

về PPDH Đổi mới PPDH theo hướng ứng dụng khoa học là một trong những giải pháp quan trọng nhằm hội nhập và góp phần tích cực vào chiến lược phát triển giáo dục chung của thế giới

1.1.2 Nguyên lý giáo dục thực hiện trong môn toán

Dé dat duoc muc dich dao tao con người mới, toàn bộ việc day học các

bộ môn và toàn bộ các hoạt động của nhà trường phải quán triệt nguyên lý

“Học đi đôi với hành; giáo dục kết hợp với lao động, sản xuất; lý luận phải

gắn liền với thực tiễn; giáo đục nhà trường phải kết hợp với giáo đục gia đình

và giáo dục xã hội”

Môn toán có nhiều tiềm năng liên hệ với thực tiễn trong day hoc Lién

hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học là một trong ba phương hướng thực hiện nguyên lý giáo dục nói trên Những phương hướng thực hiện nguyên lý giáo dục trong môn toán đó là:

1.1.2.1 Làm rõ mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn

Thông qua vỏ (bề ngoài) trừu tượng của toán học phải làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, cụ thể là:

Thứ nhất, làm rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học: số tự nhiên ra đời

do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện đo nhu cầu đo lại ruộng đất sau những

trận lụt bên bờ sông Nin

Thứ hai, làm rõ phản ánh thực tiễn của toán học: khái niệm vecto phản

ánh những đại lượng đặc trưng không chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng nửa

chang hạn vận tốc, lực , khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng

hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn

Tứ ba, làm rõ những ứng dụng thực tiễn của toán học: ứng dụng lượng giác để đo những khoảng cách không tới được,ứng dụng của đạo hàm đề tính vận tốc tức thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thê tích Muốn

vậy cần tăng cường cho học sinh tiếp cận những bài toán có nội dung thực

tiễn trong khi học lý thuyết cũng như làm bài tập.

Người thầy giáo cần tránh tư tưởng máy móc trong việc liên hệ toán

học với thực tiễn, phải thấy rõ mối liên hệ này có tính đặc thù so với các môn học khác đó là: tính phố dụng toàn bộ và tính nhiều tầng

Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính chất phổ dụng Tức là

cùng một đối tượng toán học (khái niệm, định lý, công thức ) có thể phản ánh

rất nhiều hiện tượng trên những lĩnh vực khác nhau trong đời sống Chắng hạn

hàm số biểu thị bằng công thức y = kx có thể biểu thị mối quan hệ giữa diện

tích của một tam giác với đường cao ứng với một cạnh khi cho trước cạnh đó,

giữa quãng đường đi được trong một chuyển động đều với thời gian vận tốc không đổi, giữa thế hiệu với cường độ dòng điện trở khi r là hằng số

Mối liên hệ toán học và thực tiễn có tính chất toàn bộ: muốn thấy rõ

ứng dụng của toán học nhiều khi không thể xét từng khái niệm từng định lý riêng lẻ mà phải xem xét một lý thuyết toàn bộ một lĩnh vực chắng hạn khó

mà thấy được ứng dụng trực tiếp của định lý “Không có số hữu tỉ nào bình phương bằng hai” nhưng ý nghĩa thực tế của định lý đó là ở vai trò của nó

trong việc xây dựng số thực, mà toàn bộ lĩnh vực này là một cơ sở dé xây dựng giải tích toán học, một ngành có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính chất nhiều tầng Như ta

đã biết, toán học là kết quả của trừu tượng hoá diễn ra trên những bình diện

khác nhau Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá

những đối tượng vật chất cụ thể nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do

sự trừu tượng hoá những cái trừu tượng đã đạt được trước đó Do vậy từ toán

học tới thực tế nhiều khi trải qua nhiều tầng Ứng dụng của một lĩnh vực toán

học được thể hiện có khi không trực tiếp ở ngay trong thực tế mà ở một lĩnh vực khác gần thực tế hơn nó, tức là thể hiện ở một tầng gần thực tế hơn nó

Giải phương trình là một lĩnh vực gần thực tế ứng dụng của nó đã được thấy

rõ ràng Khảo sát hàm số có khi giúp ta giải phương trình như vậy khảo sát

hàm số cũng là có ứng dụng thực tế Đạo hàm là một công cụ khảo sát hàm

số, điều đó cũng là một biểu hiện ý nghĩa thực tiễn của đao hàm.

Tương tự như vậy, ứng dụng của toán học nhiêu khi thấy rõ ở những môn học khác gần thực tế hơn nó, chắng hạn như Vật lý, Hoá học Làm

việc với những ứng dụng của toán học trong những môn này cũng là một hình thức liên hệ của toán học với thực tiễn, đồng thời cũng góp phần làm rõ những mối liên hệ liên môn

1.1.2.2 Truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng theo chương trình

sẵn sàng ứng dụng

Tri thức và kỹ năng cần được truyền thụ theo cách sao cho học sinh có thể nắm vững chắc và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Muốn vậy cần tiến

hành dạy học toán trong hoạt động và bằng hoạt động

Dạy học toán trong hoạt động và bằng hoạt động là góp phần thực hiện nguyên lý giáo dục: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản

xuất, nhà trường gắn liền với xã hội” Thật vậy, tiến hành những hoạt động cũng

là “Hành” theo nghĩa rộng và là một điều kiện đề thấy được kiến thức môn toán

được sử dụng như thé nào trong lao động sản xuất và hoạt động xã hội

Kiểu đạy học này xuất phát từ quan điểm cho rằng con người phát triển

trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động Tinh thần cơ bản của cách làm này là xuất phát từ một nội dung dạy toán, ta xác định những hoạt

động liên hệ với nó, phân tích chúng thành những hoạt động thành phần rồi

căn cứ vào mục đích dạy học toán, ta lựa chọn ra một số hoạt động và hoạt

động thành phần thích hợp, dựa vào đó tổ chức cho học sinh thực hiện và tập

luyện những hoạt động này trong điều kiện có gợi động cơ và hướng đích và chủ thể có ý thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công Cần đặc biệt chú ý truyền thụ những tri thức, rèn luyện những kỹ năng

kỹ xảo, phát triển những phương pháp tư duy và hoạt động cần thiết và

thường dùng trong thực tiễn như tri thức về vectơ, toạ độ, kỹ năng và kỹ xảo

tính toán (kế cả tính nhắm và tính bằng máy), đo đạc, vẽ và đọc đồ thị, vẽ

hình và hiểu hình vẽ, phương thức tư duy thuật toán, tư duy thống kê v.v

1.1.2.3 Tăng cường ứng dụng và thực hành toán học

Trong nội bộ môn toán, cần cho học sinh giải những bài toán có nội

dung thực tiễn như giải bài toán bằng cách lập phương trình, đo những khoảng cách không tới được bằng cách dùng những hàm số lượng giác, toán

cực trị Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp toán học

vào những môn học trong nhà trường chẳng hạn vận dụng vectơ đề biểu thị

lực, vận tốc, gia tốc, vận dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời trong vật lý

Vận dụng tổ hợp và xác xuất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng phân loại khái

niệm để phân loại thực vật động vật trong môn sinh học Vận dụng tri thức về hình học không gian trong vẽ kỹ thuật, vận dụng tính gần đúng, sử dụng bảng

SỐ, máy tính trong việc đo đạc, tính toán khi học những môn khác nhau

Tổ chức những hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường như ở nhà máy, đồng ruộng kế cả những hoạt động có tính chất tập dượt nghiên cứu bao gồm cả các khâu đặt bài toán, xây dựng mô

hình, thu thập đữ liệu, xử lý mô hình để tìm lời giải, đối chiếu lời giải với

thực tế để kiểm tra và điều chỉnh

Việc vận dụng và thực hành toán học cần dẫn tới hình thành phẩm chất

luôn luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp toán học để giải thích, phê phán và giải những sự việc xảy ra trong đời sống Chắng hạn, gặp một số ghi

ở một cột bên lề đường, một số học sinh có thể số đó chi cái gi Ý thức và tác

phong vận dụng toán học sẽ thôi thúc họ xem xét sự biến thiên của các số trên

Toán học cũng như những môn khoa học khác là khoa học xuất phát từ

thực tiễn ứng dụng vào thực tiễn và quay lại phục vụ thực tiễn được coi là vấn

đề quan trọng, cần thiết trong dạy học ở phô thông Trong lĩnh vực giáo dục

Chủ tịch Hồ Chí Minh là người có quan điểm chiến lược và hành động vượt

tầm thời đại khi Người xác định rõ mục đích của việc học: Học phải gắn liền

với hành, học tập suốt đời, học ở mọi nơi mọi lúc, học ở mọi ngừơi Quan

điểm này đựơc Người nhắn mạnh : “Học để hành; học với hành phải đi đôi

Học mà không thành thì vô ích Hành mà không học thì không trôi chảy"

Nói về yêu cầu đối với dạy học toán trong nhà trường, tác giả Trần Kiều cho rằng “Học toán trong trường phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt công thức, định lý, phương pháp thuần tuý mang tinh li thuyét, , cái đầu tiên

và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn cũa toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” Còn theo giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn,

trong đạy học không nên đi theo con đường sao chép lý luận ở đâu đó rồi nhồi cho người học, vì học như vậy là kiểu học sách vở Nên theo con đường có một lý luận hướng dẫn ban đầu rồi bắt tay hoạt động thực tiễn, dùng thực tiễn

này mà củng có lý luận, kế thừa có phê phán của người khác, rồi lại hoạt động

thực tiễn, cứ thế theo mối quan hệ qua lại giữa lý luận và thực tiễn mà đi lên Theo Firxôv.V.V,trong [31], khắng định “Việc giảng đạy toán ở trường phổ

thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng

dụng của khoa toán học, điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học

sinh ứng dụng toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế”

Sức mạnh và giá trị của lý thuýêt toán học là ở các ứng dụng của nó Van đề này, nhà toán học nổi tiếng người Đức Klein F, trong [20], đã viết

“Các quan niệm thuần tuý lôgic cần tạo nên, như người ta nói cái bộ cương

cứng rắn của cơ thể toán học, truyền cho nó sự vững chắc và sự đáng tin

Nhưng bản thân đời sống toán học, mục tiêu và năng suất quan trọng nhất của

nó lại hiện quan chủ yếu tới các ứng dụng của nó, tức là tới quan hệ qua lại giữa các đối tượng của nó với tất cả những lĩnh vực khác Loại bỏ ứng dụng

ra khỏi toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tý thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào” Toán học không phải

đơn giản chỉ là “phục vu vién’’ cua các môn khoa học có ứng dụng toán học,

mà đã trở thành một công cụ nghiên cứu được sử dụng thường xuyên và nhiều

khi là công cụ duy nhất có hiệu lực Sự phát triển của toán học hiện đại tăng

cường mối quan hệ lẫn nhau và tính thống nhất của tri thức khoa học đang được phân chia mạnh mẽ, làm phong phú và sâu sắc thêm những dạng phản

ánh thực tiễn Sự toán học hoá kiến thức khoa học giúp hiểu đúng đắn hơn tự

nhiên và xã hội, góp phần thúc đây nhanh tiến bộ khoa học kỹ thuật

1.2.2 Tăng cường liên hệ với thực tiễn là một mục tiêu là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học toán ở trường phố thông hiện nay Thế giới bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hoá với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ nước ta cũng đang bước vào hội

nhập với nền kinh tế thế giới — trong Luật Giáo dục (năm 2005) “Mục tiêu của

giáo dục phô thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ,

thé chất, thẩm mĩ và kỹ năng cơ bản phát triển năng lực cá nhân, tính năng

động và sáng tạo hình thành nhân cách con người việt nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân chan bi cho hoc sinh tiép tuc hoc lên hoặc đi vào cuộc sống lao động tham gia xây dựng va bảo vệ tổ quéc’’.(Diéu 27)

Một trong những nội dung trong việc đổi mới cải cách nội dung giáo

dục là chọn lọc có hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, sát với thực tế Việt

nam, các kiến thức được giảng ở nhà trường có tác dụng thực sự trong việc

hình thành thế giới quan khoa học, phát triển tư duy khoa học bồi dưỡng năng

lực thực hành, tính nhạy bén trong công việc tận dụng kiến thức vào thực tiễn

sản xuất và xây dựng đất nước

Như vậy mục tiêu giáo dục đã định rõ các phẩm chất và năng lực cần

phát triển cho học sinh nhằm đáp ứng được yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế xã hội của đất nước, giai đoạn công nghiệp

hoá hiện đại hoá để đến năm 2020 đất nước ta trở thành một nước công

nghiệp Trong bối cảnh toàn cầu hoá mở rộng giao lưu hội nhập quốc tế với

sự hình thành và phát triển của nền kinh tế tri thức, đồng thời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng của mỗi cá nhân trong trường phổ thông Môn toán đóng

vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục nước

nhà, cũng là môn học chiếm thời gian đáng kể trong kế hoạch đào tạo của trường phổ thông, cũng là môn học liên thông từ tiêu học cho đến đại học

Rèn luyên năng lực ứng dụng toán học là một trong những mục tiêu chủ yếu

giảng đạy toán ở trường phố thông, bởi vì vai trò ứng dụng của toán học trong

các lĩnh vực của đời sống xã hội Vai trò công cụ của toán học đối với sự phát

triển của nhiều ngành khoa học công nghệ, của các ngành kinh tế đã được

thừa nhận như một chìa khoá của mọi sự phát triển Muốn học toán được thì

ngoài khả năng trí tuệ bâm sinh thì phải có sự luyện tập, rèn luyện thường

xuyên và bên cạnh đó phương pháp học tập môn toán có hiệu quả chiếm phần

quan trọng của người học Đặc biệt cũng có yêu cầu cao đối với học sinh trung học phổ thông, bởi các em là lực lượng chuẩn bị tham gia và sản xuất xã

hội hoặc tham gia vào quá trình đào tạo nghề nghiệp sau này của các em,

cũng là đội ngũ lao động kế cận của xã hội Các em cũng là một đội ngũ quan

trọng trong sự phát triển xã hội sau này

Đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại hóa Xã hội đang rất cần những người có khả năng ứng dụng những kiến thức toán học ở nhà trường vào hoạt động nghề nghiệp cũng như vào cuộc sống của mình

Ứng dụng toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản,

cần phải rèn luyện cho học sinh

Trong Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề ra là “Nâng cao chất lượng

giáo dục toàn diện Đổi mới cơ cấu nội dung tô chức, phương pháp dạy và học theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá xã hội hoá, phát huy trí sáng tạo khả năng vận dụng, thực hành của người học Đề cao trách nhiệm của gia đình nhà

trường và xã hội”

Tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy trong [21] không chỉ nhấn

mạnh vai trò quan trọng của sự vận dụng kiến thức vào thực tiễn, mà còn

nhắn mạnh ý nghĩa quan trọng của nó trên cơ sở những tác động tích cực tới

việc thực hiện các nhiệm vụ khác của việc dạy học toán trong nhà trường Bởi

vì các nhiệm vụ môn toán có tính thống nhất toàn thể, chúng quan hệ mật

thiết bổ sung lẫn nhau Tri thức là cơ sở đề rèn luyện những kỹ năng vận dụng

và thực hiện tốt các nhiệm vụ khác Tăng cường rèn luyện cho học sinh kỹ

năng và thói quen ứng dụng kiến toán học vào những tình huống cụ thể, khác

nhau (trong lao động, sản xuất và đời sống) là một nhiệm vụ quan trọng của toán học nhằm đạt được các mục tiêu đào tạo Tổ chức cho học sinh luyện tập

ứng dụng kiến thức để tiếp thu chúng là một khâu quan trọng trong quá trình

dạy toán, đồng thời cũng là một biện pháp nhằm chủ động thực hiện các

nhiệm vụ dạy học, có tác động trực tiếp và quyết định tới chất lượng mục đích

của giáo dục phổ thông Vì thế, cần phải tổ chức thực hiện tốt khâu này Điều

đó phản ánh sự quán triệt tinh thần nguyên lý giáo dục Có thể nói rèn luyện

kỹ năng và ý thức ứng dụng toán học cho học sinh vừa là mục đích vừa là

phương tiện của dạy học toán ở trường phô thông

1.2.3 Tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn góp phần phát triển năng lực toán học, rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh

Chúng ta biết tư duy con người được hình thành và phát triển do nhu cầu khắc phục những khó khăn hoặc mâu thuẫn về nhận thức mà chủ thế ý thức thấy có hứng thú, có nhu cầu giải quyết sẽ tạo điều kiện cho chủ thể tìm tòi phương tiện giải quyết mới tri thức mới, cách thức hành động mới Khi đó

khó khăn mâu thuẫn sẽ tạo ra một tình huống có vấn đề theo Rubinstein: “Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống có vấn đề”

Toán học chỉ có thể vận dụng vào thực tiễn một cách có hiệu quả nếu

nắm vững “Khía cạnh lý thuyết” của kiến thức Việc nắm vững kiến thức cơ

bản là điều kiện cần thiết cho việc vận dụng thành công các kiến thức đó Mặt

khác, chính quá trình vận dụng một cách có ý thức các kiến thức cơ bản trong

nhiều tình huống khác nhau sẽ giúp cho học sinh khắc phục những thiếu sót, những ngộ nhận, thiếu chính xác trong việc hiểu các khái niệm, định lý góp phần củng có ở mức cao hơn các kiến thức đó Đồng thời là các bài học kinh nghiệm quý báu giúp cho học sinh vận dụng thành công ở những tình huống sau đó, tiến tới nắm vững kiến thức

Trong quá trình dạy toán khi gợi động cơ cho một nội dung nào đó ta

có thể gọi động cơ xuất phát từ thực tế Việc làm đó giúp học sinh tri giác vấn

đề dễ dàng hơn, bởi vì đó là những sự vật mà học sinh tiếp xúc hằng ngày, cái

mà học sinh đã quen thuộc Đồng thời qua đó cho học sinh thấy được sự liên

hệ giữa thực tế và lý thuyết ở trường Từ đó làm cho bài học trở nên hấp dẫn

hơn, cuốn hút hơn và đồng thời tạo cho học sinh ý thức vận dụng lý thuyết đã

học để áp dụng vào cải tạo thực tiễn

Toán học có tính trừu tượng cao, “Cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất

liệu của đối tượng” và “Chỉ giữ lại những quan hệ số lượng và hình dạng không gian tức là chỉ những quan hệ về cấu trúc mà thôi” Những quan hệ, cấu trúc này (có tính tường minh) đã giúp cho quá trình đạy, học toán mang

tính hoạt động Vì thế mà bản thân môn toán có ý chủ đạo và hứa hẹn khả năng tích cực hoá hoạt động học tập cao

Tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mắt tính thực tiễn của

toán học bởi nó bắt nguồn từ thực tiễn và lại có ứng dụng rộng rãi trong thực

tiễn Chính vì thế, đã khiến người học có được niềm khát khao muốn nắm

vững và làm chủ nó, có được những nỗ lực trí tuệ đề cố gắng lĩnh hội, tìm tòi

và sáng tạo tri thức cho mình

Người ta thường xem xét Toán học theo phương diện, nếu nhìn vào kết

quá đạt được thì nó là khoa học suy điễn, với tính lôgíc nỗi bật Nếu nhìn vào

quá trình hình thành và phát triển, thì phương pháp của nó gồm các giai đoạn:

mò mẫm, dự đoán, thực nghiệm, quy nap

Như vậy, môn Toán có thể tạo điều kiện thuận lợi cho người học được tham gia hoạt động học tập một cách tối đa theo phương thức tự nhận thức, tự

phát triển, tự kiếm tra và tự đánh giá bởi bản thân phương pháp nghiên cứu

Toán học đã bao gồm các giai đoạn đó Hay nói cách khác dạy học môn Toán

có thể đảm bảo được tính hoạt động cao, thích hợp cho việc phát huy bản tính

sẵn sàng của chủ thé học tập

1.2.4 Tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn giúp học sinh lĩnh hội kiến thức, tăng cuờng kĩ năng thực hành trong thực tế, góp phần

chuẩn bị cho học sinh các năng lực để học tiếp hoặc đi vào cuộc sống

Ta biết rằng toán học xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn nhưng trong thực tế học sinh học rất giỏi toán, nhưng khi gặp những bài toán có nội dung thực tiễn thường lúng túng thậm chí không hoàn chỉnh được những bài toán rất cơ bản chỉ ở mức độ trung bình Học sinh gặp nhiều khó

khăn trong việc vận dụng kiến thức toán học vào đời sông đó là kết quả việc học toán chỉ chú trọng học lý thuyết đề áp dung làm bài thi từ bé đến lớn Các

em chỉ nghĩ đơn thuần học toán do áp lực thi cử chứ không phải học để vận

dụng kiến thức toán học vào thực tế trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực

nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh, tính can thận

Trong thực tiễn lao động sản xuất việc tính toán lúc nào cũng diễn ra từ

việc ra ngoài chợ cho đến các công trường nhà máy trên các đồng ruộng

chúng ta cần biết vận dụng toán vào như tính nhâm, bảng tính, thuộc tính,

bảng đồ thị, toán đồ, máy tính một cách thành thục tiết kiệm thời gian tiền

của và sức lao động.Với thời đại công nghiệp hoá thì điều đó lại càng cần

thiết với các hình thức đưa bài toán thực bằng cách tập dược các hoạt động

như thu thập tài liệu thống kê sản xuất quản lý kinh tế trong xã hội để tìm quy luật chung, thống kê số lượng tiêu thụ hàng của một mặt hàng nào đó, từ một mẫu số liệu thống kê có thể đánh giá tổng kết năng xuất mùa vụ, năng suất lao

động, số lượng cỡ hàng

Ngoài việc giáo viên đưa các bài toán liên quan thực tế đưa các số liệu để

các xử lý thì bao giờ cũng có tiết học thực tế để tự các em lấy số liệu đo đạc, các em thu thập hoặc cùng hoạt động theo nhóm, theo tập thể, theo lớp để có

tư liệu sống dùng kiến thức toán học đề phân tích hoặc tích luy thực tiễn Đó

cũng vốn quý cho việc tiếp tục học toán cũng như đi chuyên sâu vào lĩnh vực

nào đó và các môn học khác

Việc vận dụng và thực hành toán học dẫn tới hình thành phâm chất luôn luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp toán học để giải quyết những sự việc xảy ra trong cuộc sống Chắng hạn như nhìn vào đống đá xây dựng ta có

thể ước chừng bao nhiêu khối, cần hút một cái ao ta có thể tính được khối

nước cần hút ra và tính được thời gian cần hút nếu biết năng suất máy Để xây

dựng một cái đập nước người ta cần hút nước ở một đoạn sông nào đó ta có

thể tính được số lưu lượng nước bằng phương pháp tích phân

1.2.5 Tăng cường ứng dụng toán học giúp hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh

Giáo viên cần tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi dạy học lý thuyết cũng như làm bài tập Vấn đề này có ý nghĩa giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh Trong thế giới

khách quan giữa các sự vật và hiện tượng có mối liên hệ phố biến Nhận thức được các mối quan hệ này là góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện

chứng cho học sinh Đồng thời nó cũng tạo cho học sinh thói quen vận dụng những kiến thức toán học vào cuộc sống vào lao động sản xuất Thông thường thực tiễn là nơi đề ra những vấn đề phức tạp không thể hiểu và giải quyết

được nếu chỉ có kiến thức phiến diện, rời rạc Chính vì vậy khi xâm nhập vào các mối liên hệ giữa kiến thức với thực tiễn sẽ giúp học sinh nắm được nó

Ngoài ra còn giúp học sinh nắm được thực chất vấn đề, tránh việc hiểu các sự

kiện toán học một cách hình thức, phiến diện Nó cũng sẽ có tác dụng gây hứng thú học tập cho học sinh

Nhiều khi những mô hình toán học đưa ra khá tổng quát và đủ rõ rang dé

nghiên cứu thực tiễn quanh ta Nói cách khác, toán học là một môn khoa học

trừu tượng, song lại trở thành công cụ nhận thức thế giới một cách mạnh mẽ

Bởi vì chỗ mạnh của toán học, chính là khả năng trừu tượng hoá, khái quát

hoá cao độ, những quan hệ và cấu trúc tổng quát được nghiên cứu trong toán

học, phần lớn được trừu tượng hoá từ các đối tượng của thực tế khách quan là

những quan hệ và cấu trúc khá phổ biến trong thế giới khách quan Vai trò quan trọng của toán học gắn liền với tính trừu tượng và khái quát của nó

“Trong toán học có vô vàn bóng ma của thế giới thực, nhưng trong thế giới bóng ma đó thì toán học phân loại, tập hợp, khám phá ra những mối liên quan

mới, thiết lâp những quan hệ phụ thuộc, lược bớt đi, đơn giản hoá khi cần

thiết thì lại sáng tạo nên những hình thức mới Thật ra thì cũng không có gì đáng ngạc nhiên khi tư duy con người trong khi làm việc với những hình thức

đã được lý tưởng hoá của thế giới vật lý lại phát hiện ra những hình thức

khác của thực tại vật lý còn chưa được lý tưởng hoa” (theo[49], t-9) Tuy theo những nắc thang ngày càng cao của sự trừu tượng hoá mà các mô hình toán

học được xây dựng sẽ đặc trưng cho các tình huống ngày càng mở rộng Điều

đó chính là một trong những nguyên nhân cơ bản đây mạnh toán học ứng

dụng Khi nói đến toán học ứng dụng, trước hết người ta nói đến ngành toán học có ứng dụng trực tiếp vào lĩnh vực khoa học khác hoặc vào kỹ thuật như vật lý, hoá học, sinh học, thiên văn, kinh tế học, trắc địa học, kỹ thuật quân

sự, Có thể kế một số ngành toán học ứng dụng như: lý thuyết xác suất, lý thuyết thông tin, phương pháp tính, lý thuyết thuật toán, Bên cạnh những ngành toán học có ứng dụng trực tiếp đó phải kể đến các ngành toán học có ứng dụng trong nghiên cứu các lý thuyết khoa học khác như lý thuyết toán tử,

đúng mức và thường xuyên Vấn đề này tác giả Trần Thúc Trình (1998) có ý

kiến cho rằng “Đáng tiếc là hiện nay trong sách giáo khoa và bài tập còn quá

ít các bài toán thực tế Điều này cần được nhanh chóng khắc phục” (theo [50],

tr-37) Trong các SGK môn toán và các tài liệu tham khảo về toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ toán học Nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu, số lượng các vấn đề lý

thuyết, các ví dụ, bài tập toán có nội dung liên môn và thực tế trong SGK môn toán ở bậc THPT để học sinh học và rèn luyện còn rất ít Trong năm 2006

sách giáo khoa lại lần nữa chỉnh lý, đổi mới Sự thay đổi chủ yếu trong SGK

là đối mới phương pháp, SGK cố gắng quán triệt phương châm: lấy học sinh làm trung tâm tăng cường tính chủ động của học sinh, giảm lý thuyết kinh

viện, tăng thực hành gắn với thực tiễn tránh áp đặt kiến thức Vai trò của môn

toán vẫn chưa được làm rõ Các bài toán gắn liền với đời sống chưa nhiều

Như vậy có thé thay rằng quan điểm chỉ đạo xuyên suốt quá trình dạy học ở

trường phố thông được nhắn mạnh trong dự thảo chương trình cải cách giáo dục môn toán đã được quán triệt Tuy nhiên việc quán triệt quan điểm này

chưa thực sự toàn diện và cân đối Thực tế thì SGK toán hiện nay đã có những

đổi mới lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với

thực tiễn đã có những quan tâm nhất định Điều này được thể hiện các bài

toán gắn liền với thực tiễn có bổ sung nhưng số lượng hạn chế, chỉ mang tính

chất giới thiệu, những bài toán mang tính chất “Đánh đố” được cắt bỏ Phân

trình độ của các em theo 2 hướng (nâng cao và chuân) để phù hợp với các đối tượng, các vùng miền

Hiện tại các em THPT đang theo học 2 bộ này tuỳ trình độ học sinh

từng nơi và tuỳ học mức độ phân ban Nếu các em theo ban tự nhiên thì học chưong trình nâng cao Còn các em theo ban xã hội thì học chương trình

chuẩn Về kiến thức thì không có gì khác nhau, nhưng về lượng kiến thức thì

sách nâng cao đi sâu hơn, nhiều bài tập khó hơn

Phần nguyên hàm, tích phân nằm ở Chương 3 lớp 12 và có sự khác nhau tùy từng bộ sách

Trong khi SGK theo chương trình nâng cao yêu cầu học sinh có kỹ năng tìm nguyên hàm, tích phân của các hàm số không quá phức tạp Tính

diện tích các hình và thể tích vật thể có hình dạng không quá phức tạp thì

SGK theo chương trình chuẩn chỉ yêu cầu học sinh có kỹ năng tìm nguyên hàm tích phân của các hàm số đơn giản Tính diện tích các hình và thé tích vật

thể có hình dạng đơn giản

Nói về ứng dụng thực tiễn thì trong chương nguyên hàm, tích phân cả hai bộ sách lại một lần nữa SGK cũng quan tâm nhiều hơn các ứng dụng trong

nội bộ toán học Mặc dù có hắn một bài về ứng dụng hình học, đó là ứng dụng

để tính thể tích thể tích vật thể và diện tích hình phẳng chưa gắn với nội dung

thực tiễn nhiều để học sinh thấy được vai trò của chúng trong thực tiễn Đầu chương sách có nói nguyên hàm, tích phân có vai trò rất quan trọng trong thực tiễn, nhưng chỉ là giới thiệu chứ chưa chỉ được nhiều ứng dụng thực tiễn So

với chương trình cũ thì chưa đổi mới gì nhiều về ứng dụng thực tiễn, chi thay đổi là bỏ các bài toán tính nguyên hàm tích phân khó cần phải dùng đến kỹ xảo Chương trình thì giảm tải nhưng phần nguyên hàm tích phân theo chúng

tôi tính thực tiễn phần này cần quan tâm hơn nữa vì SGK vẫn chưa làm nổi

bật vai trò quan trọng của nó Cần phải đưa các bài toán thực tế nhiều hơn ở phần đọc thêm để các em có thể tự nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn Làm như vậy thì góp phần giúp học sinh củng cố và hoàn thiện

kiến thức có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, các

em có điều kiện lựa chọn hướng phát triển là phát huy năng lực cá nhân, tiếp

tục học đại học cao đăng ,trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào

cuộc sống

1.3.2 Thực trạng việc vận dụng kiến thức với thực tiễn trong dạy học toán ở trường phố thông

Các ứng dụng toán học theo Trần Kiều trong [52] có thể chia làm hai

loại: ứng dụng trong nội bộ môn toán và ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học

Ung dung trong nội bộ môn toán nhằm giúp học sinh lĩnh hội kiến thức và

ky nang dé str dung cái đã biết, cái đã có để tìm các cái chưa biết, để hoàn thành

quá trình nhận thức đồng thời chuẩn bị cho công việc nghiên cứu vấn đề mới đặt

ra (ứng dụng các kiến thức và kỹ năng cho việc giải toán) Mức độ thông hiểu tri

thức toán học của học sinh được đánh giá qua những ứng dụng này

Ứng dung trong các lĩnh vực ngoài toán học được thể hiện trong việc

vận dụng toán học vào các môn học, các nghành khoa học và trong thực tiễn cuộc sống

Ứng dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên

giúp học sinh lập những mối liên hệ giữa các kiến thức đã lĩnh hội Tính tat yếu khách quan của mối liên hệ giữa toán học và các khoa học khác được quy

định bởi mục đích chung của hoạt động nghiên cứu khoa học

Toán đã trở thành công cụ chủ yếu của nhiều khoa học đang biến thành

một lực lượng sản xuất trực tiếp của xã hội

Ứng dụng toán học vào thực tiễn được coi là một vấn đề quan trọng cần

thiết trong đạy toán ở trường phổ thông Tuy nhiên do nhiều lý do khác nhau,

trong một thời gian dài trước đây cũng như hiện nay vấn đề rèn luyện vận dụng toán học vào thực tiễn chưa được đặt ra đúng mức, chưa đáp ứng được

những yêu cầu cần thiết

1.3.2.1 Khảo sát thực trạng

Qua xâm nhập quan sát thực tế giảng dạy và sau một số năm dạy học,

thông qua dự giờ, tham gia các cuộc họp rút kinh nghiệm giờ dạy và trao đôi

với đồng nghiệp Chúng tôi có nhận định rằng việc vận dụng kiến thức toán

học vào thực tiễn đời sống hầu như không được quan tâm mà giáo viên chỉ

chú trọng luyện các dạng toán phục vụ cho thi cử

Phân tích các nguyên nhân Theo tác giả Trần Kiều biên tập tạp chí nghiên cứu giáo dục số 10 năm 198§ có nhận xét: “Do nhiều nguyên nhân, việc đạy và học toán trong trường phô thông hiện nay đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống”

Trong tình trạng hiện nay là thực tế là sách giáo khoa đã có những thay

đổi lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực

tế đã có những quan tâm nhất định nhưng sách giáo khoa chỉ giới thiệu là

chính, bài tập có nội dung thực tiễn không nhiều Bên cạnh đó trong thực tế

dạy toán các giáo viên ít quan tâm đến vấn đề này, mà thường chú trọng đi tìm những mắt xích suy diễn phức tạp trong các bài toán khó đặc biệt là trường chuyên lớp chọn Ngoài ra học sinh còn được rèn luyện về tư duy kỹ thuật để giải những dạng toán trong các kỳ thi tốt nghiệp đại học Mục đích quan trọng nhất của các giáo viên cũng như nhà trường là số lượng học sinh

đạt giải trong các kỳ thi học sinh giỏi, tỉ lệ học sinh đỗ tốt nghiệp và đại học

cao Những khía cạnh trong cuộc sống thường bị bỏ qua Căn bệnh thành tích

trong giáo duc van luôn tồn tại trong các nhà trường

Như vậy việc đạy học toán ở trường phô thông hiện nay đang rơi vào

tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học trong đời sống Học sinh Việt nam học chương trình cao hơn so với học sinh nước ngoài như là các

nước Anh, Pháp, Mĩ nhưng khi tốt nghiệp ra thực hành ngoài đời sống thì

không bằng học sinh nước ngoài Đặc biệt là sinh viên Việt nam sau khi học

xong đại học rất khó khăn trong áp dụng vào công việc vì trong quá trình học

ít thực hành trong cuộc sống Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này theo quan điểm của chúng tôi có những nguyên nhân chính sau đây:

Thứ nhất, do quá trình đánh giá dạy và học đang gặp bất ôn đó là thông

qua các kỳ thi để đánh giá học sinh Các đề bài ra trong các kỳ thi có nội dung

thực tiễn ít Với lối dạy phục vụ “thi cử” là chính tức là chỉ dạy những gì học

sinh đi thi đã trở thành mối quan tâm hàng đầu của các giáo viên dạy toán và

học sinh cũng chỉ học những gì phục vụ cho thi cử còn các phần khác thì học

sơ qua Bên cạnh đó áp lực thi cử cũng đè nặng lên tâm lý các em Các em cứ nghĩ học xong lớp 12 là phải thi vào đại học Chứ không thấy xã hội đang lâm vào tình trạng “Thừa thầy thiếu thợ”, xã hội đang rất cần những người lành

nghề mà môn toán ứng dụng đóng góp một phần quan trọng đào tạo người thợ

cho xã hội

Thứ hai do ảnh hưởng của SGK và tài liệu tham khảo SGK môn toán ít

đề cập đến ứng dụng toán học trong thực tiễn mà chỉ đề cập nhiều ứng dụng

trong nội bộ môn toán Tài liệu tham khảo cũng vậy chỉ phục vụ cho thi cử

Giáo viên có muốn dạy cũng khó vì tài liệu tham khảo rất ít, sách giáo khoa chỉ giới thiệu chung chung Như vậy phần bài tập ở chương này chưa làm nổi bật vai trò rất quan trọng của nguyên hàm tích phân trong thực tiễn

Thứ ba là trong thực tế dạy học các giáo viên ít quan tâm đến vấn đề này không rèn luyện cho học sinh những ứng dụng toán học Mặt khác ở trường đại học các giáo viên cũng không được đào tạo chuyên sâu mà chỉ

được giới thiệu sơ qua Nói chung trình độ giáo viên đang yếu về mặt này Bên cạnh đó mặc dù đã có quan điểm chỉ đạo là tăng cường toán học trong thực tiễn của bộ giáo dục, nhưng thực tế quan điểm này chưa được thực hiện quán triệt một cách toàn diện nên ứng dụng toán học trong cuộc sống ít

được quan tâm mà chỉ quan tâm đến ứng dụng nội bộ trong toán học

Ví dụ cụ thể: Khi dạy kiến thức nguyên hàm, tích phân, giáo viên chủ

yếu dạy các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân, các kỹ năng tính toán,

đi vào các đạng toán để giải các bài toán trong sách giáo khoa và các bài toán trong các đề thi tốt nghiệp, đại học Trong các đề thi ít gặp các bài toán có nội dung thực tiễn

Theo [52 ], tac giả cho rằng đó là kiểu dạy toán “Xa rời với cuộc sống đời thường”, cần phải thay đồi

1.3.2.2 Liên hệ với chương trình sách giáo khoa và dạy học của một số nước trên thế giới

Trong thời đại gắn với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ,

thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức toàn cầu Hội đồng Quốc tế về Giáo dục thế kỷ XXI được Unesco thành lập 1993 do Jacquer Delors lãnh

đạo, nhằm hỗ trợ các nước trong việc tìm tòi cách thức tốt nhất để kiến tạo lại

nền giáo dục của mình vì sự phát triển bền vững của con người Năm 1996 Hội đồng đã xuất bản ấn phẩm: Học tập: một kho báu tiềm ấn, trong đó có xác định “Học tập suốt đời được dựa trên 4 trụ cột là: học để biết, học để làm, học để chung sống với nhau, học để làm người” Học để làm được coi là không chỉ liên quan đến việc nắm được kỹ năng mà còn đến việc ứng dụng

kiến thức Phong trào cải cách giáo dục cải cách giáo dục ở trường phô thông

đã được thực hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều nước trên thế giới Có thể

thấy rằng tăng cường hoạt động vận dụng toán học vào thực tiễn là một trong những vấn đề từ lâu đã được quan tâm và đang là một trào lưu giáo dục toán học hiện nay trên thế giới Nhìn chung xu hướng cơ bản của việc cải cách môn toán ở trường PT trên thế giới là “Hiện đại hoá thận trọng, tăng cường

việc gắn liền toán học với các khoa học khác, với đời sống” (theo [16]) Tiêu

biểu cho xu hướng này là Pháp, Nga, Anh, Mỹ, trong chương trình có tăng

cường ứng dụng toán học với thực tiễn

Theo pháp lệnh về mục tiêu giáo đục Hoa Kỳ năm 2000, trong đó tám

mục tiêu đưa ra trong đó có hai mục tiêu hàm chứa yêu cầu cao về năng lực

vận dụng của học sinh “Tất cả học sinh học hết lớp 4, 8, 12 phải có năng lực

ứng dụng thực tế, độc lập suy nghĩ có khả năng tiếp nhận các công việc trong đời sống hiện đại” Với chương trình môn toán nước Pháp tác giả Phạm

Gia Đức nhận xét: “Toán học dạy ở nhà trường gắn liền với nhu cầu cuộc sống”, “Coi trọng thao tác tính toán, thực hành”

Tóm lại chương trình và SGK ở một số nước trên thế giới rất coi trọng

sự liên hệ toán học với thực tiễn Đối với nhiều chủ đề quan trọng được trình bày trong SGK, việc có mặt của các bài toán có nội dung thực tiễn đã đóng một vai trò chủ đạo và xuyên suốt quá trình dạy học như là những phương

tiện dé truyền thụ trí thức cũng như thực hành và luyện tập các chủ đề này

Nghĩa là các bài toán có nội dung thực tiễn thể hiện mục đích kép vừa lĩnh hội tốt kiến thức, rèn luyện được kỹ năng vừa rèn luyện được thói quen ứng dụng toán học vào thực tiễn

1.4 Kết luận chương 1

Trong chương 1 luận văn đã phân tích làm rõ các vấn đề lý luận và thực tiễn liên quan đến đề tài Qua đây có thê khẳng định rằng, việc tăng cường bồi

dưỡng năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn trong dạy học toán

là hướng đạy học phù hợp với điều kiện nước ta trong giải pháp hiện nay và cũng đồng thời phù hợp chương trình xu hướng đạy học của thế giới Đây

cũng là cơ sở để chúng tôi thực hiện chương 2

CHUONG 2

DẠY HỌC NGUYEN HAM TICH PHAN THEO HUONG TANG CUONG BOI DUONG NANG LUC VAN DUNG KIEN THUC TOAN HOC VAO THUC TIEN CHO HOC SINH THPT

2.1 Nội dung chủ đề nguyên hàm, tích phân trong chương trình, sách giáo khoa hiện tại và những năm vừa qua

2.1.1 Sơ lược về lịch sứ hình thành và phát triển của nguyên hàm— tích phân

Vào thế kỷ XVII phép tính vi phân (tức phép tính đạo hàm) ra đời giải quyết các bài toán về tìm vận tốc tức thời của các chuyên động và xác định hệ

số góc của tiếp tuyến của một đường cong Kiến thức về đạo hàm của các

hàm số cũng nhanh chóng được ứng dụng vào tìm độ dài của đường cong, tìm

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng, Vấn đề lúc đó được đặt ra về

bài toán ngược của đạo hàm là gì Ví dụ: Cho một chuyền động có vận tốc chuyền động theo thời gian t Hãy tìm quãng đường vật đi được theo thời gian

t Nguyên hàm ra đời giải quyết các vấn đề đó Như vậy nguyên hàm ra đời

cùng với phép tính vi phân, nó chính là bài toán ngược của đạo hàm

Cùng với phép tính vi phân, phép tính tích phân là một thành tựu toán

học nổi bật của thế kỷ XVII Nó đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển của khoa học và trở thành một công cụ sắc bén, đầy sức mạnh được các nhà khoa học sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu, cũng như trong ứng dụng

thực tiễn Ở thời kỳ cổ đại, phép tính tích phân nảy sinh từ bài toán xác định diện tích và thê tích Các nhà bác học phương Đông cổ xưa đã biết các quy tắc

thực nghiệm đề đo diện tích và thể tích một số hình đơn giản Từ 2000 năm trước CN, người Ai Cập và Babyone đã có thể đo gần đúng diện tích hình tròn và biết quy tắc tính thể tích hình chóp cụt đáy vuông Bài toán về cơ sở lí

thuyết của các quy tắc đo hình chóp và hình tròn, lần đầu tiên được đặt ra

trong toán học cổ Hi Lạp

Theo nhiều nguồn tài liệu, nhà bác học cô Hi Lạp Democrite, vào thế

kỷ V trước CN, là người đầu tiên đã có ý tưởng về các phương thức tích phân

Có ý kiến cho rằng ông đã xem một vật như gồm một số rất lớn các phần tử rất nhỏ Với cách nhìn như vậy, hình nón sẽ như là tập hợp các đĩa hình trụ rất

mỏng, đường kính khác nhau, được xếp chồng lên nhau Demorite đã chỉ ra

rằng hình chóp và hình nón tương ứng lớn bằng phần ba hình lăng trụ và hình trụ cùng đáy và chiều cao Nhưng các cách chứng minh của Demorite sớm không thoả mãn các đòi hỏi ngày càng cao của tính chặt chẽ của toán học

Ở thế kỷ IV trước CN, nhà bác học cổ Hi Lạp Eudoxus đã đưa ra

phương pháp xác định diện tích và thể tích mới, thoả mãn đòi hỏi cao về tính

chặt chẽ toán học, mà mãi về sau (thé ky XVII) được gọi là phương pháp “Vét

kiệt” Phương pháp này dựa trên nền tảng của lý thuyết tổng quát về tỉ số các

đại lượng, do Eudoxus dựng nên Trong toán học cổ đại, lí thuyết ay dong vai

trò giống như lí thuyết về số thực trong giải toán học hiện đại

Thực ra đây là một cuộc chạy tiếp sức nhiều thế hệ các nhà khoa học xuất sắc trong nhiều thế kỷ Những người đi tiên phong đầu tiên là các nhà toán học Hi Lạp Trong các giáo trình học thì vi phân được học trước rồi mới

nói tới tích phân trong khi xét về mặt lịch sử thì tư tưởng phép tính tích phân

ra đời trước Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào phương pháp “Vét kiệt” của toán học Hi Lạp cổ đại Mãi về sau được Eudoxus (vào khoảng 370 — TCN) nâng lên thành lí luận khoa học

Sở đĩ gọi là phương pháp “Vét kiệt” vì xem diện tích của một hình

được tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó

Phương pháp “Vét kiệt” thường được thừa nhận là của Eudoxus và có

lẽ được coi là câu trả lời của trường phái Plato đối với những nghịch lý của Zenno Phương pháp này thừa nhận tính chất chia hết vô hạn của các độ lớn

và có mệnh đề Cơ sở của nó là: “Nếu từ bất kỳ một đại lượng nào và bỏ đi một phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ đó còn loại bỏ đi một đại

lượng không nhỏ hơn một nửa của nó, vân vân thì cuối cùng sẽ còn lại một

đại lượng nhỏ hơn bắt kỳ đại lượng nào được ấn định trước cùng loại”

Archimedes (287 - 212) mới là người HiLạp kiệt xuất có vai trò lớn trong việc ra đời của tích phân Ông tiếp tục phát triển “Phương pháp Vét kiệt” nhưng ở mức độ cao hơn Tư tưởng chính trong phương pháp

Archimedes là: Đề tìm một diện tích hoặc một thẻ tích thì cắt nó ra thành một

số rất lớn các đải phẳng song song và (ghi trong óc) là treo chúng ở đầu tâm

biết” Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tìm được diện tích của hình tam

giác cong Parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và đỉnh bằng 2/3 diện tích của hình bình hành ngoại tiếp Kết quả này được đưa ra bằng cách dựng một đáy vô hạn các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có

với đường parabol Hình parabol dần dần được lấp đầy bởi tam giác có diện

Archimedes ciing da tim ra duoc dién tích hình tròn bằng phương pháp

của mình Đây là mô hình đầu tiên của phép tính tích phân, nhờ đó ông tìm được giá trị gần đúng của số z ở khoảng giữa 2 phân số 3 = va oe

Trong tất cả những khám phá của mình, ông tâm đắc nhất việc tìm ra

công thức tính thể tích hình cầu: “Thẻ tích hình cầu bằng 2/3 thể tích hình trụ

ngoại tiếp”

Kể từ khi ống mắt, lý thuyết tích phân rất ít được quan tâm cho đến thời

gian tương đối cận đại Vào khoảng 1450 các công trình của Archimedes đã đến được Tây âu và mãi đến thế ký XVII người ta mới thấy tư tưởng của ông

được phát triển, nhiều nhà toán học cùng tham gia mở đường cho sự ra đời

của tích phân, trong đó phải kế đến những đóng góp xuất sắc của các nhà

khoa hoc nhu J Kepler, B Cavaleri, Phecma, Dé cac, I Barrow

Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học này không dùng đến khái niệm giới hạn Thay vào đó, họ nói: “Tổng của một số vô cùng lớn những số hạng vô cùng nhỏ” Chắng hạn, diện tích của hình thang cong là tổng của một

số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ Dựa

trên cơ sở đó đã tính được chính xác nhiều diện tích của hình phẳng và thể

tích các vật

Tất cả cố gắng của họ đã đạt được đến đỉnh cao khi hai nhà toán học I SaacNewton (1643 — 1727) va Gohfried Wilhelm Leibniz (1646 — 1716) da

nghiên cứu độc lập một cách có hệ thống, hoàn thiện vào cuối thế ky nay Day

cũng là thành tựu toán nổi bật nhất thé ky XII Hai ông đã tìm được mối liên

hệ giữa nguyên hàm và tích phân Đây là một khái niệm gây nhiều ánh hưởng sâu rộng và tác động mạnh mẽ hơn thế giới hiện đại tới mức có thể không sai

khi nói rằng, nếu thiếu ít nhiều kiến thức về thứ đó thì con người ngày nay

khó có thê nói được là giáo dục tốt

Ngày nay các nhà nghiên cứu đều nhất trí rằng về mặt thời gian,

Newton khám phá ra phép vi phân trước Leibniz khoảng I0 năm, nhưng

Leibniz lại cho công khai công trình của mình trước Newton tới 3 năm Về hình thức, phép tính tích phân của Newton và phép tính tích phân của Leibniz khác nhau 16 rét, Newton trình bày các kết quá của mình dưới ngôn ngữ Hình học, còn Leibniz dùng ngôn ngữ Đại số Các kí hiệu của Leibniz phong phú

và thuận tiện hơn nhiều so với các kí hiệu của Newton (kí hiệu tích phân và

các kí hiệu vi phân, đạo hàm mà chúng ta dùng ngày nay là của Leibniz) về sự kết hợp giữa phép tính vi phân, tích phân với các nghiên cứu về khoa học tự

nhiên thì Leibniz không sâu sắc bằng Newton, nhưng đứng trên góc độ toán

học thì phép tính vi-tích phân của Leibniz thể hiện tầm nhìn bao quát hơn một trí tưởng tượng tỉnh tế hơn

Dén thé ky XIX, Cési (1789-1857) va Riemann (1826 — 1866) mới xây dựng được một lý thuyết chính xác về tích phân Lý thuyết này về sau được

Lebesgue (1875 — 1941 ) va Denjoy (1884 — 1974) hoan thién

Như vậy tích phân xuất hiện độc lập với nguyên hàm, tích phân ra đời trước Do đó việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là phát minh của Newton và LeIbr1z

Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các tổng tích

phân, là của Côsi va Riemann

2.1.2 Một số quan điểm trình bày khác nhau về nội dung nguyên hàm, tích phân của sách giáo khoa qua những lần chính li

2.1.2.1 Về nội dung nguyên hàm

Trong chương trình sách giáo khoa từ trước đến nay thì định nghĩa

nguyên hàm không có gì thay đổi dù đã nhiều lần chỉnh lí, thay sách Đề đi đến khái niệm nguyên hàm sách giáo khoa bắt đầu bằng bài toán thực tế:

Vận tốc của một viên đạn được bắn lên theo phương thắng đứng tại

thoi diém t 1a: v(t) = 160 — 9,8t (m/s), (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) Tính quãng đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm t

Gọi S(t) là quãng đường đi được của viên đạn sau khi bắn được t giây

Ta da biét v(t) = S(t) Do đó ta phải tìm hàm số S = S(t) thoa mãn điều kiện

S(t) = 160 — 9,8t

Nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật đã dẫn đến bài toán:

Cho hàm số f(x) xác định bên K, (K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó) Hãy tìm hàm F sao cho F (x) = f (x) véi moi x thuéc K

Rồi sách giáo khoa di đến định nghĩa nguyên hàm trong mối liên hệ với khái niệm đạo hàm của hàm số

Cho hàm số f(x) xác định bên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm

ctia f bén K néu F (x) = f(x) với mọi x thuộc K

Trước đây, trong chương trình sách giáo khoa trước năm 2006 kí

hiệu J ƒ7(œx)& dùng dé chi ho tất cả các nguyên hàm của f(x) Nhưng trong sách

giáo khoa thí điểm năm 2006 thì | separ còn dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f(x), tức là |Z@œ& là một hàm thông thường chứ không phải là là

một tập hợp nữa

Nói cách khác, coi hai hàm số sai khác nhau một hằng số là một hàm số

khi đó nguyên hàm của f(x) là duy nhất và được ký hiệu bởi | fear

Nội dung nguyên hàm không có gì thay đổi nhưng lượng kiến thức có thay đồi

Bộ sách phân ban đầu tiên và cải cách trước năm 2000 thì có đưa thêm

bài các phương pháp tìm nguyên hàm, các ki nang cơ bản tính nguyên hàm

Đến năm 2000, Bộ giáo dục bỏ phân ban Với tinh thần đổi mới chương trình

sách giáo khoa, nội dung nguyên hàm có giảm tải, sách giáo khoa chỉ có những bài toán cơ bản về tìm nguyên hàm, các bài tập có tính chất mẹo mực,

tiểu xảo đều bị loại bỏ Đưa nguyên hàm vào chủ yếu phục vụ tính tích phân

Trong năm 2006 sách giáo khoa lại lần nữa chỉnh lý, đối mới Sự thay đối chủ

yếu trong SGK là đổi mới phương pháp, SGK có gắng quán triệt phương châm: lấy học sinh làm trung tâm tăng cường tính chủ động của học sinh, giám lý thuyết kinh viện, tăng thực hành gắn với thực tiễn tránh áp đặt kiến

thức Sách cũng giảm tải phần nguyên hàm nhưng tuỳ từng bộ sách mức độ

có khác nhau

Sách giáo khoa toán theo chương trình năm 2006 được biên soạn thành

hai bộ khác nhau theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao

Hiện tại các em THPT đang theo học 2 bộ này tuỳ trình độ học sinh từng nơi và tuỳ học mức độ phân ban Nếu các em theo ban khoa học tự nhiên

thì học chương trình nâng cao Còn các em theo ban xã hội thì học chương trình chuẩn Về các chủ đề kiền thức thì không có gì khác nhau, nhưng về lượng kiến thức thì sách nâng cao đi sâu hơn, nhiều bài tập khó hơn

Trong khi SGK theo chương trình nâng cao yêu cầu học sinh có kỹ