1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) trong giai đoạn hiện nay
là hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Trong đó, đặc biệt nhấn mạnh đến vai
trò của sự sáng tạo, một điều cần thiết cho mọi lĩnh vực trong cuộc sống Cố Thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nhiều lần căn dặn thầy giáo “gố vào trí thong minh” cua học sinh và tha thiết kêu gọi: “phải nhắc lại nghìn lần ý muốn lớn của chúng ta trong giáo dục là đào tạo những thế hệ trẻ thông minh, sáng tạo” [7]
Theo A A Stôllar: “Dạy Toán là dạy hoạt động tốn học ” Trong mơn Tốn
ở trường phổ thơng, có nhiều tình huống điển hình nhưng có thể xem giải Toán là
hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, dạy giải bài tập có tầm quan trọng đặc biệt để thực hiện tốt các mục tiêu của giáo dục Toán học Bởi vì, các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất
hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn cuộc
sống
Thực tế dạy học hiện nay vẫn còn tình trạng thiên về dạy, yếu về học Thầy
thuyết trình tràn lan, tri thức truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện, thiếu hoạt động tự giác và sáng tạo của người học Điều này đòi hỏi đổi mới phương pháp dạy học, “Nhiệm vụ hàng đầu của giáo viên Tốn phổ thơng là phải
nhấn mạnh mặt phương pháp của quá trình giải Toán Việc dạy nghệ thuật giải toán trong các bài toán cho ta một cơ hội thuận lợi để hình thành các tri thức nhất
định của trí tuệ học sinh, đó là yếu tố quan trọng nhất của trình độ văn hóa ”[9] Cố Thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nói: “Nghề dạy học là nghề sáng tạo nhất
Trang 2Đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về giải Toán và năng lực giải Toán, chẳng
hạn như: Sáng tạo toán học, Giải bài toán như thế nào, Toán học và những suy
luận cé ly cia G Polya; Tam li năng lực toán học của học sinh của V A Cruchetxki, Những công trình này đều khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện
năng lực giải Toán của học sinh theo định hướng sáng tạo
Vì những lí do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là:
“Góp phần rèn luyện năng lực giải Toán theo định hướng sáng tạo cho
học sinh Trung học phổ thơng”
2 MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2.1 Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống hóa một số vấn đề về bài toán, về quá trình giải bài toán và năng
lực giải Toán của học sinh trung học phổ thông
- Xây dựng một số biện pháp góp phần rèn luyện năng lực giải Toán theo
định hướng sáng tạo trong dạy học giải Toán
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng hợp một số vấn đề về các bài toán và quá trình giải Toán của học sinh ở trường phổ thông
- Tìm hiểu về quá trình sáng tạo và năng lực sáng tạo của học sinh trong quá
trình giải Toán
- Lựa chọn một số bài toán có tác dụng rèn luyện năng lực giải Toán
- Xây dựng và thực hiện các biện pháp sư phạm nhằm góp phần rèn luyện năng lực giải Toán theo định hướng sáng tạo cho học sinh
2.3 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu, tham khảo các tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, và các tài liệu liên quan khác
- Điều tra quan sát: Khảo sát thực tiễn ở trường phổ thông, dùng các phương
pháp hỗ trợ như: Quan sát, ghi chép, thăm dò ý kiến giáo viên
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chưc thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả
Trang 3Nếu xây dựng được một số biện pháp thích hợp thì có thể rèn luyện được
năng lực giải Toán theo định hướng sáng tạo cho học sinh, góp phần nâng cao chất
lượng dạy học Toán ở trường phổ thông
4 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN
- Về mặt lý luận: Góp phần hệ thống hóa, làm sáng tỏ một số vấn đề về bài
toán, về quá trình giải toán và năng lực giải Toán trong dạy học giải Toán
- Về mặt thực tiễn: Xây dựng một pháp có tác dụng rèn luyện năng lực giải
Toán, đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
5 CẤU TRÚC CỦA KHỐ LUẬN
Khố luận, ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện năng lực giải Toán
Trang 4CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIÊN 1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TỐN
1.1.1 Bài tốn
Có nhiều cách định nghĩa bài toán:
* Theo Bách khoa tri thức phổ thông: “Khái niệm bài toán được hiểu là một cơng việc hồn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những điều kiện cho trước ”
Theo G Pôlya : “Bài toán đặt ra sự cân thiết phải tìm kiếm một cách có ý
thức phương tiện để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay ” * Theo A N Lêơnchiev: “Bài rốn là mục đích đã cho trong những điều kiện
nhất định, đòi hỏi chủ thể (người giải toán) cần phải hoạt động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết ”
Như vậy, có thể nói rằng, khái niệm bài toán được gắn liền với hoạt động của chủ thể, đòi hỏi các chủ thể phải giải quyết các hoạt động:
- Phân tích bài toán;
- Mô hình hóa và cụ thể hóa mối liên hệ bản chất trong bài toán; - Phát hiện hướng giải quyết và xây dựng kế hoạch giải bài toán;
- Thực hiện giải bài toán;
- Kiểm tra, đánh giá tiến trình giải bài toán;
- Thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại
Bài toán phụ thuộc vào chủ thể, mang tính cá nhân cao nên bài tốn khơng
Trang 5Theo 7ữ điển tiếng Việt: “Bài tập là bài ra cho học sinh làm để vận dụng trực tiếp những điều đã học” Đối với bài toán, thì kiến thức đã có không dẫn trực tiếp đến cách giải thích hợp, mà đòi hỏi học sinh phải tích cực suy nghĩ sáng tạo, thực hiện các thao tác trí tuệ cần thiết thì mới giải được bài toán
1.1.2 Chức năng của bài toán
Bài toán có vai trò quan trọng trong mơn Tốn Hình thức chủ yếu là hoạt
động Toán học của học sinh ở trường phổ thông là hoạt động giải Toán Bài toán là giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải toán, học sinh phải thực hiện
những hoạt động Toán học nhất định bao gồm: nhận dạng và thể hiện các định lí, định nghĩa; những hoạt động toán học phức hợp như: chứng minh, giải bài toán bằng cách lập phương trình .; những hoạt động trí tuệ phổ biến như lật ngược vấn đề , xét tính giải được .; những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh .; những hoạt động ngôn ngữ như dùng lời lẽ của mình giải thích nội dung bài toán,
Trong dạy học, bài toán được sử dụng với nhiều ý nghĩa khác nhau về PPDH: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc
kiểm tra, Mỗi bài toán cụ thể được đặt ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng sau:
- Chức năng dạy học: Bài toán nhằm hình thành, củng cố, rèn luyện và phát
triển cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các khâu khác nhau trong quá
trình dạy học, kể cả Kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn
- Chức năng giáo dục: Bài toán nhằm hình thành và bồi dưỡng cho học sinh
thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm chất đạo đức của người lao động mới (làm việc có kế hoạch, có mục đích, có phương pháp, có chính xác,
có óc thẩm mỹ, có sức khỏe, .)
- Chức năng phát triển: Bài toán nhằm phát triển năng lực trí tuệ của học sinh ,chẳng hạn, bài toán được khai thác để góp phần phát triển những năng lực trí
Trang 6động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh .; các phẩm chất tư duy như
tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo
- Chức năng kiểm tra: Bài toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả của dạy và học, đánh giá khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh
Các chức năng không bộc lộ một cách riêng rẽ và tách rời nhau mà tùy vào
từng trường hợp dạy học cụ thể, việc khai thác và thực hiện một cách ẩn tàng hay
tường minh Khai thác tốt những chức năng có thể thực hiện được của bài toán góp
phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động, sáng tạo
1.1.3 Phân loại bài toán
Theo G Pôlya: “Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán theo từng kiểu (loại) sao cho môi kiểu bài toán xác định trước một phương pháp giải” [9] Dựa
vào yêu cầu hay mục đích của bài toán, Ông chia thành hai loại:
*Những bài toán phát hiện: Phần chính của bài toán là ẩn số, điều kiện và dữ kiện Mục đích cuối cùng của bài toán là tìm ra một ẩn số thỏa mãn điều kiện
ràng buộc ẩn với các dữ kiện của bài toán đó
*Những bài toán chứng minh: Phần chính của bài toán là điều kiện (giả thiết) và kết luận Mục đích cuối cùng của bài toán là xác định xem một kết luận
nào đó đúng hay sai Sau đó, xác nhận hay bác bỏ kết luận đó Giải bài toán loại
này là khám phá ra được các khâu lôgic liên hệ giữa giả thiết và kết luận
Theo Quan điểm hoạt động trong PPDH, đứng trước một nội dung dạy học,
thầy giáo phải nắm được tất cả các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó, để lựa chọn cách thức, cấp độ làm việc thích hợp từ cấp độ dạy học tường minh
các tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát đi đến cấp độ thực
hành ăn khớp với những tri thức phương pháp Nói riêng trong dạy học giải toán
(DHGT) thay giáo phải nắm được cách phân loại mức độ khó, dễ, sáng tạo của các
bài toán làm căn cứ để lựa chọn ra cho học sinh trong giảng dạy Đứng ở góc độ
PPGT, bài toán có thể phân thành hai loại:
* Loại toán thứ nhất: Những bài toán có thể giải bằng thuật toán, các quy
Trang 7Trong đó, có thể hiểu thuật toán một cách trực giác là một quy tắc mô tả
những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt các thao
tác nhằm đạt được mục đích đặt ra, hay giải quyết một lớp bài toán nhất định [8] Những bài toán có thể giải bằng cách vận dụng trực tiếp những thuật toán,
quy tắc có sẵn như: giải phương trình bậc hai, giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn,
giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx,
Những bài toán có thể giải được bằng phương pháp có tính chất thuật toán
như: giải bài toán bằng phương pháp tọa độ, giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình, quy tắc tính đạo hàm,
Để giải loại toán này, để có lời giải đúng và tốt, có thể chỉ yêu cầu học sinh
nắm thuật toán đã học, nhận dạng đúng bài toán và giải theo thuật toán đã học một cách thành thạo
Quy tắc và phương pháp có tính chất tìm đoán, chẳng hạn, quy lạ về quen,
xét tương tự, phương pháp tổng quát để tìm lời giải bài toán của G Pôlya, Đối với loại tốn thứ hai, khơng có một thuật toán nào bảo đảm chắc chắn sẽ thành
công Vì vậy khi giải loại toán này, học sinh phải có tính mềm dẻo, linh hoạt, biết
điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết Có thể ngay từ đầu
học sinh sẽ không thành công khi áp dụng một quy tắc, phương pháp tìm đoán nào
nhưng sau đó học sinh biết phát hiện sai lầm, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi đến lời giải của bài toán Đó chính là học cách học, một yêu cầu căn bản đối với PPDH hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh
Như vậy, loại toán thứ hai phản ánh sự sáng tạo, mới mẻ và độc đáo của người giải toán
1.2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢI TOÁN
1.2.1 Tiến trình giải Toán
Trang 8riêng biệt cũng có trường hợp có thuật giải, có trường hợp không có thuật giải Tuy
nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện bài
toán là có thể và cần thiết, được thể hiện theo các bước của một tiến trình giải
Tốn
Theo G Pơlya: “Giải một bài toán, chúng ta cần phải lập được một lược đồ
xác định và mạch lạc những thao tác (lơgic, tốn học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả
thiết và kết thúc bằng kết luận, dẫn dắt từ các dữ kiện đến ẩn, từ các đối tượng ta
có trong tay đến các đối tượng ta mong muốn đạt tới” [10] Ông quan niệm việc
giải bài toán là một quá trình tìm kiếm một phương tiện thích hợp để đạt được kết quả và đưa ra một tiến trình giải toán (TTGT) gồm 4 bước:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán;
Bước 2: Xây dựng một chương trình; Bước 3: Thực hiện chương trình;
Bước 4: Khảo sát lời giải tìm được
Dựa trên những ý tưởng tổng quát, cùng những gợi ý chỉ tiết của G Pôlya,
tác giả Nguyễn Bá Kim trong PPDH mơn Tốn [7] đưa ra một phương pháp chung
gồm 4 bước để giải toán
Bước I: Tìm hiểu nội dung đề bài;
Bước 2: Tìm cách giải;
Bước 3: Trình bày lời giải; Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Mục đích cao nhất của việc giải bài toán không phải chỉ là học sinh giải được bài toán, mà còn ở chỗ học sinh học được phương pháp, cách thức suy nghĩ, cách thức hành động để đi đến lời giải bài toán Nghĩa là, học sinh được học bản thân
việc học chứ không đơn thuần là có được lời giải bài toán Như vậy, rèn luyện giải Toán cho học sinh theo định hướng sáng tạo thì ngoài việc học sinh giải được bài
Trang 9Bước I1 : Tiếp nhận bài toán
- Tạo tâm lý hứng thú, lòng ham muốn, khát vọng giải bài toán, “khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập
Bài toán định giải, bài toán hiểu khá rõ, chưa hoàn toàn là một bài toán đối với bạn
Bài đó chỉ thực sự trở thành bài toán của bạn, thực sự thu hút tâm trí bạn, lúc bạn quyết tâm giải đến cùng và khao khát giải được” [10]
- Hiểu và phân tích bài toán: Xác định cái đã cho, cái cần tìm, cái phải chứng minh Tìm các cách phát biểu bài toán, xác định kiểu (loại) bài toán Dùng các ký
hiệu, công thức, hình vẽ hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài
Buóc 2 : Xây dựng kế hoạch giải
- Huy động kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm để tìm tòi lời giải bài toán Thường hay sử dụng những phương pháp, kỹ thuật nhận thức, tìm đoán, suy
luận như: hướng đích, quy lạ về quen, chuyển qua trường hợp suy biến, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, tương tự hóa, khái quát hóa, để vạch ra những nét tổng quát về con đường, khả năng đạt được mục đích và các tri thức của hành
động giải toán
Kế hoạch đề xuất không phải là bất biến mà có thể điều chỉnh, chuyển hướng khi cần thiết để có thể vạch ra kế hoạch tối ưu
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải
Thực hiện các chỉ tiết phù hợp với những nét tổng quát ở kế hoạch giải Trình bày lời giải bài toán rõ ràng, sáng sủa
Buóc 4: Kiểm tra tiến trình giải bài toán, nghiên cứu lời giải
Kiểm tra bài toán tiến hành theo hai bước định tính và định lượng
Kiểm tra về mặt định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc lựa
chọn phương pháp giải, việc chọn các phương pháp giải là thích hợp chưa?
Kiểm tra về mặt định lượng là việc rà soát lại quá trình thao tác đã dùng khi
Trang 10Bước 5: Thu nhận, hợp thức hóa bài toán
- Nghiên cứu sâu lời giải, xác định phương pháp giải bài toán (cách thức suy nghĩ, các bước tiến hành, .) khái quát thành kiến thức, kinh nghiệm, hợp thức hóa
bài toán thành tri thức của bản thân
- Giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, tìm hiểu ứng dụng thực tiễn của
bài toán
- Mở rộng bài toán ban đầu: Bài toán tương tự, bài toán đặc biệt, bài toán khái quát, bài toán liên quan
Chia TTGT thành 5 bước như trên chỉ mang tính tương đối, mấu chốt là lựa
chọn được kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm để xây dựng kế hoạch giải, thực hiện tốt kế hoạch giải và thu nhận tri thức cho bản thân sau khi giải bài toán
1.2.2 Lời giải bài toán
Khi giải một bài toán cụ thể, kết quả trước hết được thể hiện ở lời giải của
bài toán
Tác giả Trần Khánh Hưng trong cuốn Giáo trình PPDH Toán [6] đã đưa ra
các yêu cầu cơ bản đối với lời giải bài toán như sau: 1) Lời giải không có sai lầm;
2) Lời giải phải có cơ sở lí luận;
3) Lời giải phải đầy đủ;
4) Lời giải đơn giản nhất
Một cách cụ thể hơn, trong cuốn PPDH món Toán [7], tác giả Nguyễn Bá Kim đưa ra các yêu cầu đối với lời giải bài toán:
1) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian;
2) Lập luận chặt chẽ;
3) Lời giải đầy đủ; 4) Ngôn ngữ chính xác;
5) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật;
6) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất;
Trang 111.3.1 Sáng tạo trong giải Toán
Có nhiều quan điểm về sáng tạo
Theo Tử điển tiếng Việt: “Sáng tạo là tạo ra cái mới về vật chất hoặc tỉnh
thần, tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không gò bó, phụ thuộc vào cái đã có” Theo R L Solor: “Sự sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại
một cách nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đê hay một tình huống ”
Còn Henry Gleitman cho rằng: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải
pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ich”
Sáng tạo là một nội dung cần thiết cho bất kì lĩnh vực nào của xã hội Sáng
tạo bắt nguồn từ nhu cầu thực tiễn và mang tính xã hội Hình thức biểu hiện của
sáng tạo rất phong phú như, một loại hình tư duy, một loại hình năng lực, một nét nhân cách, một cách thức hành động hay một hoạt động Về phương diện hoạt
động, sáng tạo là hoạt động của con người mà kết quả là sản phẩm mới, có ý nghĩa và giá trị xã hội Sáng tạo thể hiện ở khả năng tạo ra những giải pháp mới, công cụ mới, vận dụng những hiểu biết đã có vào hoàn cảnh mới Sáng tạo được đặc trưng bởi hai dấu hiệu cơ bản:
1) Tính mới mẻ độc đáo (khác với cái cũ, cái đã biết); 2) Tính có ích (cải biến sự vật, hiện tượng)
Bản chất của sự học là một quá trình sáng tạo Bởi vì, học tập là một trường
hợp riêng của sự nhận thức, là quá trình hoạt động một cách có ý thức của học sinh,
mà vấn đề nhận thức đưa học sinh ra ngoài giới hạn của những kiến thức vốn có, bao hàm một cái gì đó chưa biết, đòi hỏi học sinh phải có sự tìm tòi, nỗ lực
Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, biểu hiện sáng tạo của học sinh là
khả năng tiếp thu nhanh chóng kiến thức mới, nắm vững một cách hệ thống, sâu sắc và toàn diện kiến thức cũ, biết vận dụng một cách linh hoạt, mềm dẻo vào việc giải quyết các vấn đề mới, trên cơ sở đó biết tìm tòi và đi đến những cái mới hơn, toàn diện hơn
Theo G Pélya: “Gidi cdc bai todn la một hoạt động sáng tạo, còn việc tìm ra lời giải là một quá trình phát mình Hãy học sáng tạo và phát mình trong quá trình
Trang 12phải chủ yếu đối với xã hội mà là với chủ quan mình, hay chính xác hơn là với sự
phát triển hiện tại của bản thân Chẳng hạn, giải bài toán ở thời điểm này là sáng
tạo nhưng ở một thời điểm khác chỉ là sự thực hành, bắt chước, hoặc giải một bài
toán có thể là hoạt động sáng tạo đối với học sinh này nhưng giải cùng bài toán đó
không là sáng tạo đối với học sinh khác
Ngay cả việc giải một bài toán đơn giản cũng hàm chứa yếu tố sáng tạo của học sinh: học sinh hệ thống hóa kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm, chủ động (hoặc có sự giúp đỡ của giáo viên) vận dụng vào giải quyết các vấn đề trong bài tốn; khơng bằng lòng với một cách giải duy nhất, luôn tìm tòi những cách giải mới hoặc vận dụng phương pháp giải đó cho những bài toán khó hơn Theo tác giả Trần Thúc Trình: “Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ nếu họ
đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng
biết Như vậy, một bài toán cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị chỉ phối (từng phần hay toàn phần), tức là người giải chưa biết trước một thuật toán, phải tiến hành tìm kiếm những bước đi chưa biết
trước ”
Khi học sinh giải Toán, đối với các bài toán có thể giải bằng thuật toán thì
sáng tạo được thể hiện ở việc lựa chọn thuật toán, tìm kiếm hoặc bổ sung các thuật toán mới, tìm ra các ứng dụng của thuật toán trong Tin học, máy tính, một bài
toán cụ thể, có thể giải được bằng một phương pháp cụ thể nhưng trong từng bước
lại có sự sáng tạo hình thành các ý tưởng mới, độc đáo, khác lạ làm cho tiến trình giải toán ngắn gọn hơn Còn đối với các bài toán có tính chất tìm đoán thì tính sáng tạo thể hiện và phát huy cao nhất ở bước 2 “Xây dựng kế hoạch giải” và bước 5
“Thu nhận, hợp thức hóa bài tốn” “Đơi khi ngay cả trường hợp khơng giải được bài tốn đang khảo sát, việc làm đó vẫn có thể coi là sáng tạo, thí dụ lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán
khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo gián tiếp chẳng hạn, lúc đó anh ta
để lại một bài tốn tuy khơng giải được nhưng tốt vì đã gợi cho người khác những
Trang 13Theo G Pôlya: “Có thể gọi là tư duy hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài toán
cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương
tiện để giải bài toán” [11]
Quá trình sáng tạo của con người thường bắt đầu từ một ý tưởng mới, bắt
nguồn từ tư duy sáng tạo (TDST ), là đỉnh cao nhất của hoạt động trí tuệ con người
G Mehlhom cho rằng: “TDST là hạt nhân cơ bản của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục ” TDST đồi hỏi cách giải quyết vấn đề có tính
mới mẻ, độc đáo, tối ưu thể hiện ở tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn, linh hoạt,nhạy
cảm, độc đáo và hoàn thiện của tư duy Trong giải toán, TDST biểu hiện cụ thể là
sự kết hợp giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng; sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa quy nạp và suy diễn; sự thôi thúc tìm kiếm cái mới trên cơ sở luôn có đầu óc phê
phán cái cũ
1.3.2 Quá trình sáng tạo của học sinh trong giải Toán
Theo nghiên cứu của các nhà khoa học, quá trình sáng tạo bao gồm 4 giai
đoạn kế tiếp như sau:
* Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn mà con người nghiên cứu và tìm kiếm
cách giải quyết đối với một vấn đề cần giải quyết
* Giai đoạn ấp ủ: là giai đoạn mà các lực lượng tiêm thức chiếm ưu thế, đó là khoảng thời gian mà con người ngừng suy nghĩ tích cực về vấn đề cần giải quyết
và có thể chuyển sang suy nghĩ vấn đề khác, hoạt động bổ sung cho vấn đề cần giải
quyết cũng có thể diễn ra trong giai đoạn này
* Giai đoạn bừng sáng: Đây là một bước nhảy vọt trong tiến trình nhận thức,
là giai đoạn quyết định của quá trình giải quyết vấn đề Giai đoạn này con người tìm thấy cơ sở ban đầu của giải pháp mà họ tìm kiếm rất lâu một cách đột ngột hoặc có dự cảm từ trước
* Giai đoạn xác mình: Đây là giai đoạn có sự tham gia tính cực của ý thức,
triển khai các lập luận lôgic, sàng lọc và thử nghiệm để xem xét, kiểm tra, khái
quát kết quả và nhận định giá trị chân lý của kết quả Sự sáng tạo được khẳng định
Trang 14Quá trình sáng tạo của học sinh trong giải toán thực chất là biến quá trình đơn thuần tiếp thu tri thức thành quá trình sáng tạo lại Vì vậy, quá trình sáng tạo
này vẫn tuân theo những giai đoạn của quá trình sáng tạo thực sự (Quá trình sáng
tạo của các nhà khoa học) Tiến trình giải Toán Quá trình sáng tạo trong giải Toán Bước l1: Tiếp nhận bài toán * Giai đoạn chuẩn bị * Giai đoạn ấp ủ Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải bài toán * Giai đoạn bừng sáng Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải bài toán * Giai đoạn bừng sáng Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải bài toán, * Giai đoạn xác minh
nghiên cứu lời giải
Bước 5: Thu nhận, hợp thức hóa bài toán * Giai đoạn lĩnh hội tri thức mới
(mục đích của quá trình giải toán) (mục đích của quá trình sáng tạo)
1.3.3 Năng lực giải Toán
Theo Tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân,
phù hợp với những yêu câu của một hoạt động, đảm bảo cho hoạt động có kết quả”
Theo Tám lý năng lực Toán học của V A CruchetxkKi : “Những năng lực
Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm
Trang 15Năng lực giải Toán là một thành phần của năng lực Toán học, được hình thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán Do đó, năng lực giải
toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri
thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi dưỡng và phát triển năng lực trí
tuệ cho học sinh
Dạy học giải Toán là một hoạt động đầy tiềm năng để hình thành và phát
triển năng lực giải toán cho học sinh Quá trình hình thành và phát triển năng lực giải toán cho học sinh có thể tóm tắt như sau: Trong dạy học giải Toán, thầy giáo tạo ra môi trường có dụng ý sư phạm nhằm nối kinh nghiệm của học sinh với nhiệm vụ giải bài toán Mối liên hệ đó, cùng với động cơ giải được bài toán trực
tiếp tác động đến tư duy của học sinh, đòi hỏi cách giải quyết Dựa vào kinh
nghiệm vốn có của mình , học sinh huy động kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo liên quan
đến bài toán cần giải quyết Sàng lọc, lựa chọn những kiến thức thích hợp để xây dựng kế hoạch giải bài toán Đó là hoạt động tích cực, tự giác, chủ động của học
sinh hoặc có sự tác động sư phạm của giáo viên Giáo viên định hướng cho học sinh làm quen với cách thức suy nghĩ đã sử dụng để xây dựng kế hoạch giải bài toán, và
học sinh thực hiện kế hoạch giải bằng cách phát hiện và giải quyết vấn đề Học sinh thực hiện giải bài toán, kiểm tra và đánh giá kết quả bài tốn Q trình giải tốn khơng dừng lại ở lời giải của bài toán, mà còn hướng cho học sinh suy nghĩ đến những bài toán mới
Năng lực giải Toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh Huy dong tri thức, kỹ năng, kỹ xảo trong tiến trình giải toán
để đi đến lời giải Năng lực giải tốn ln thể hiện ở “#rạng thái động” bởi tính
linh hoạt, mềm dẻo của tư duy, thay đối các phương thức khác nhau để tìm hướng giải và đạt đựơc mục đích giải bài toán
Năng lực giải Toán của học sinh nảy sinh khi học sinh đứng trước nhiệm vụ giải bài toán, năng lực này xuyên suốt quá trình giải bài toán, cụ thể là:
Trang 16* Đề ra và thực hiện kế hoạch giải bài toán, phân tích, nghiên cứu, đánh giá
kết quả của tiến trình giải toán
* Thu nhận, hợp thức hóa bài toán
Năng lực giải toán theo định hướng sáng tạo hình thành trên nền tảng tư duy sáng tạo Năng lực này mang đầy đủ bản chất của năng lực giải toán và được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra cái mới Cái mới đó hoặc là một cách giải mới, hoặc
là một bài toán mới Cái mới được tạo ra trên cơ sở cách nhìn bài toán ban đầu như thế nào Đó là cách nhìn không rập khuôn, cứng nhắc, không bị gò bó bởi những
kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng, suy nghĩ đã có từ trước Bên cạnh việc nhìn bài toán dưới dạng chính quy, mẫu mực, còn biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau; thấy được những chức năng mới của đối tượng, các quan hệ, tìm ra được những mối liên hệ mà bên ngoài tưởng chừng như không có Từ đó tạo ra một số lượng những ý tưởng, những ý tưởng này kết hợp với năng lực thay đổi trật tự của
hệ thống tri thức, chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động như, phân tích tổng hợp ,khái quát hóa, trừu tượng hóa và các phương pháp suy
luận, quy nạp, suy diễn, tương tự để tạo ra những kết quả mới Từ đây các ý tưởng
sẽ được khẳng định hoặc bác bỏ Kết quả mới được khẳng định ở tính đa dạng của
cách giải bài toán, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới hoặc chuyển đổi
quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật, tìm ra những kết hợp mới để tạo ra bài toán
mới
Như vậy, năng lực giải toán theo định hướng sáng tạo có một số đặc trưng sau:
1) Năng lực tìm tòi lời giải các bài toán ;
2) Năng lực giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt là những cách giải độc đáo, mới lạ;
3) Năng lực mở rộng bài toán ban đầu thành bài toán mới
1.4 Kết luận Chương 1
Trang 17Chương 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM GÓP PHẦN RÈN LUYỆN
NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1 DẠY HỌC GIẢI TOÁN
DHGT là một hoạt động đầy tiềm năng và tạo khả năng phát triển sáng tạo cho học sinh phổ thông DHGT không chỉ giúp cho học sinh lĩnh hội kiến thức, mà còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo, TDST, phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp toán học hóa các tình huống thực tiễn Hơn nữa qua DHGT, học sinh nhận thức về phương pháp giải toán và phương pháp nghiên cứu bộ môn DHGT không chỉ là dạy giải Toán, mà quan trọng hơn là phát tiển lời giải bài toán ở những khía cạnh mới, coi lời giải bài toán xuất hiện như một vấn đề, kích
thích sự sáng tao và sự phát triển
2.2 MOT SO BIEN PHAP NHAM GOP PHAN REN LUYEN NANG LỰC GIẢI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
Trang 182.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kha nang tim tòi lời giải các bài toán
Rèn luyện giải Toán bao gồm 2 nội dung chủ yếu: rèn luyện việc tìm lời giải
các bài toán và rèn luyện việc giải bài toán Từ chỗ tìm được hướng giải bài tốn
đến việc giải hồn chỉnh bài toán bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành, đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật, đòi hỏi tính nghiêm túc, kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải toán Nhưng dù có
kỹ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và phép tính, mà chưa
có phương hướng tốt thì chưa thể có lời giải tốt Như vậy có thể thấy rằng, rèn
luyện khả năng tìm tòi lời giải là khâu quyết định trong việc rèn luyện giải toán, và cũng là khâu thể hiện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo - một khả năng không
thể thiếu của người giải Toán
Để tìm được lời giải của một bài toán cụ thể, người giải toán phải có một
trình độ nhất định và có khát vọng giải được bài toán Trước hết, phải hiểu bài toán,
phải thấy toàn bộ bài toán càng sáng sủa càng tốt, lúc này chưa nên tập trung vào các chi tiết riêng vì nó có thể phân tán sự tập trung, chú ý, suy nghĩ và có thể không
thấy được điểm căn bản của bài toán Sau đó, người giải phải huy động kiến thức,
kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm đã có từ trước Trước khi giải bài toán thường là chưa khẳng định được chắc chắn sẽ sử dụng những kiến thức nào, trừ khi đó là bài
toán đã có thuật giải hoặc khá dễ dàng Đương nhiên, không cần phải huy động mọi kiến thức mà người giải đã thu nhập, tích lũy từ trước vì có thể sa vào dàn trải,
làm cho công việc thêm rối ren Do đó, cần sàng lọc những kiến thức đã huy động
được chẳng hạn, kết quả hay phương pháp, kinh nghiệm đã giải các bài toán tương tự, bài toán có ẩn gần giống, hay định lý có giả thiết như giả thiết của bài toán,
hoặc những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như, chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, Việc đó có thể chưa chỉ ra hướng giải
Trang 19hay, nếu ý đó tỏ ra có lợi trong một chừng mực nào đó hoặc có thể dựa vào nó thì phải khảo sát một cách chỉ tiết, nó sẽ dẫn ta tới cách giải Nếu chưa có một ý thật tốt thì quan niệm của chúng ta về bài toán sẽ đầy đủ và có hệ thống hơn, tiếp tục xét tình hình mới trên nhiều mặt Tiếp tục quá trình như vậy sẽ tìm ra lời giải của bài toán
Tìm tòi lời giải bài tốn khơng phải là việc làm ngắn ngủi khi bắt đầu giải
bài tốn, mà cơng việc này xuyên suốt tiến trình giải Toán, có tác dụng điều chỉnh, chỉ đạo tiến trình giải toán đi đúng hướng
Tìm tòi lời giải bài toán bao gồm các giai đoạn cơ bản:
* Xác định hướng giải ở giai đoạn chuẩn bị cho tiến trình giải toán; * Điều chỉnh hướng giải ngay trong tiến trình giải toán;
* Khẳng định tính đúng đắn của hướng giải đã chọn, xác định hướng giải
cho các bài toán mở rộng
Vi dụ: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi
bằng 2 thì bất đẳng thức sau đúng:
a?+b?+c?+2abc <2 (1)
Tim toi loi gidi nhu sau:
- Để chứng minh một bất đẳng thức (BĐT) đúng ta có thể xuất phát từ mot BĐT đúng khác để rồi bằng các biến đổi đúng để suy ra BĐT phải chứng minh là
đúng
- Điều kiện của a, b, c trong giả thiết và kết luận là bình đẳng
Từ giả thiết bài toán: a, b, c là cạnh tam giác a+b+c=2 Ta suy ra: 0 < a, b, c < 1, do đó: (1- a)(I- b)(1- e) > 0 là một BĐT đúng (*) Ta sẽ biến đổi từ (*) đến (1) (*) © (I-a)(1- b)(I- c)>0 => lI-(a+b+c)+ab + bc + ca - abc >0
(vì một vế của (1) cho dưới dạng tổng quát còn vế kia là hằng số)
=> a+b+c- (ab + bc + ca) + abc < l
Trang 20=> 2(a+b+c) - 2(ab + bc + ca) + 2abc <2
(vì vế phải của (1) là 2 mà không thể cộng 1 vào 2 vế)
=> (a+b+ec)?- 2(ab + be + ac) + 2abc < 2
(phải thay a + b + c = 2 vì trong (1) các biểu thức đều đẳng cấp bậc hai đối
với a, b, c)
=> a?+bf+c?+ 2abc <2 chính là (1), dpem
Từ lời giải trên ta có thể đề xuất bài toán tổng quát:
Giả thiết rằng a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2p, khi đó ta có:
(p - a)( - b)(p - c) > 0 là BĐT đúng (2)
(2) = p- pf(a + b +c) + p(ab + be + ac) - abe > 0
=> pˆ(a+b+c) - p(ab + bc + ac) + abe < p®
(nhân hai vế với số 2 >0) D => 2p(a + b +c) - 2(ab + be + ac) + 2 abe < 2p" P (thay 2p =a+b+c) > (a+b +0)? - 2(ab + be + ac) + abe < 2p? P =>a?+b?+c? +2 abe < 2p’ (3) P
BĐT (1) đã chứng minh là trường hợp riêng của BDT (3) khi p= 1
Để rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán, cần rèn luyện cho học sinh các khả năng sau:
1) Rèn luyện khả năng phân tích bài toán
Đó là việc nghiên cứu, xem xét bài toán đã cho O day van dé quan trọng là biết cách nhìn bài toán Phải biết nhìn bài toán dưới dạng chính qui và phải biết nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ Nhìn bài toán trong bối cảnh chung chưa đủ, phải biết
Trang 21trong những nhiệm vụ của khám phá đó là tìm cách lột bỏ hình thức “có tính chất nguy trang" của bài toán để xác định đúng thực chất của bài toán
Ví dụ: Giải phương trình:
tan’x + cot?x + 2tanx + 2cotx =6, với Ú<x< -
* Nếu nhìn bài toán dưới dạng chính quy ta nghĩ đến việc chuyển phương trình về dạng chỉ chứa tanx (hoặc cotx) bằng cách thay tanx = ty
cotx Khi đó phương trình được đưa về dang
tan x + 2tan°x + 6tan” x + 2tanx+=0
© (anx-I} (tan? x +4tanx+ 1)=0 Đến đây lời giải cơ bản xong
* Nếu nhìn vào dạng riêng của bài toán từ cách viết phương trình đã cho dưới
dang:
tan”x + cofx + 2tanx + 2cotx = 6 Và để ý đến hệ thức : tan” x + cot” x =(tan x + cotx)” — 2
Ta nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ: u= tanx + cotx Khi đó phương trình đối với u có dạng: u” + 2u - 3 = 0
Chỉ cần giải phương trình tìm u rồi trở về tìm x
* Nếu để ý đến điều kiện cụ thể của bài toán: <x< 2
Từ điều kiện 0 < x <5 ta thấy tanx và cotx đều dương, và tanx.cotx = l nên ta liên tưởng đến BĐT Côsi:
tanx + cotx > 2, dấu đẳng thức xảy ra khi x = ;
tan’x + cox > 2, dấu đẳng thức xảy ra khi x = ‘
Khi do:
Trang 22Vay, x7 là nghiệm duy nhất của phương trình
2) Rèn luyện khả năng định hướng, xác định đường lối giải bài toán, lựa chọn phương pháp thích hợp để giải bài toán
Việc xác định đường lối giải bài toán trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng
đắn thể loại bài toán Để làm tốt điều này, cần nghiên cứu kỹ bài toán đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi, để xác định đúng thể loại bài toán, mỗi bài toán tuy nằm trong một thể loại nào đó nhưng lại có những vẻ riêng biệt của
nó Dựa vào những đặc điểm cụ thể của bài toán mà lựa chọn phương pháp thích hợp Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: u=y-2x+5 biết rằng x, y thay đổi thoả mãn phương trình: 36x” +16y?” =9(1) * Dùng lượng giác: 2
Biến đổi điều kiện (1) về dạng: (6x} +(4y)}`=3”© (2x} + ( ») =1 Dạng mới của điều kiện gợi cho ta suy nghĩ: có thể "lượng giác hoá" bằng cách đặt :
2x=sina x= lginø
4 ©
—y=cosa 3 y=—cosa 4 3
Khi đó, điều kiện (1) trở thành: 9(sin? œ +cos” a)= 9 là một đồng nhất thức
đúng với mọi ø Hàm số u dưới dạng lượng giác có dạng:
3
u=—cosa—sina+5
Chi can 4p dung BDT: —Va* +b* <asina+bcosa<Va +b
Ta suy ra được : „„„= 5 + 2+1 =“ (u =5- Tai =
16 4 16 4
* Dùng bất đẳng thức Để dùng điều kiện (1):
Trang 23Ta để ý đến BĐT: (a,,+a,b,} <(@? +a, 2 \(b? +b; )Q)
Khi đó, ta biến đổi công thức của hàm số u sao cho vế trái của điều kiện (1) đóng vai trò là một trong hai thừa số có trong vế phải của (2) Muốn vậy ta biến đổi u về dạng : Am =5+|4y—-6x—| @ u [44 xà) (3) Áp dụng (2) ta thu được: l2 — 6x3) < |+»} + (- 6x} If + 3) = 92 ~6x2) <9, +ự +3) 25 4 3 16 9) 16 ey <> 4 4 3) 4 Do đó: S— <u<5+, nên u„, 23 „H ab 4 4 4 m4 * Dùng vectơ 1 1 =5+|4y.—-6x.- |, " [ag 3) 5 và 1 1 » Ta có thể xem biểu thức: 4 va — ox, như là tích vô hướng của hai vectơ: a=(4y;-6x) ¬ TS i- 11 và ta để ý rằng: (a.b)’ <lal (55) 1 1) ; ol 1À 25
Ta được: |4y——6x—| a được [404 "5 ] <|(4y +(-6x}-—+—|=S [ y) +( x) [c*;) 16
Và kết quả thu được như ở trên
3) Rèn luyện khả năng kiểm tra bài giải, tìm các bài toán liên quan và sáng
tạo bài toán mới
Công việc này tiến hành thường xuyên và có chất lượng sẽ rất bổ ích và giúp ích rất nhiều cho học sinh trong giải toán
Trang 24là 7_— 2,5 3 1 Ví dụ I : Tính tích phân: I x 3x +7¥ axl, cos’ x ll oo
Tìm tòi lời giải:
Bởi tính phức tạp của biểu thức dưới dấu tích phân, nên ta nghĩ đến cấu trúc của
tích phân đã cho Các đặc điểm đáng chú ý là:
- Miền lấy tích phân là miền đối xứng dạng [- a;a] voi a#0
- Biểu thức dưới dấu tích phân, phân tích được thành tổng các hàm số chắn và lẻ, cụ thể là: x —3x° 7x` ¬ 7°? 7D ae —— 1a cdc ham số lẻ; COSX cos x cos'x cos x ¬ i va — 1a ham s6 chan cos’ x Việc suy nghĩ đến các điều nói trên có cơ sở lý thuyết của nó, vì như ta đã biết: 0 khi f(x) là hàm số lẻ toa s ưự@ “12, f(x)de hi f(x) IA ham số chấn z % 4 Nhu vay: 1=2 ] L dx = 2 tan x| =2 5 COS’ X 0
Vi du 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, đường cao AH Gọi D là hình chiếu
của H lên AC, M là trung điểm của HD Chứng minh rằng: AM L BD
Nhận xét và hướng dẫn giải:
Bài toán này có thể giải bằng phương pháp của hình học phẳng, nhưng quan sát kết luận của bài toán là AM L BD gợi cho ta sử dụng phương pháp vectơ để
giải: a Lb © a.b=0 Ta biéu diễn 4M và 5Ð dựa vào các quan hệ vuông góc
trong bài toán
Ta có: 24M = AH + AD BD = BH + HD
Trang 25=0+ AH.HD + AD.BH +0 = AH.HD + AD.HC (vi HC= BH)
= AH.HD +(AH + HD)HC D
= AH.HD + HD.HC = HD (AH + HC) B ui Cc
=HD.AC =0 (viHDL AC)
Nên: 2AM BD = 0, suy ra AM 1 BD, dpcm
2) Chuyển hóa nội dung bài toán
Trang 263) Chuyển hóa hình thức bài toán Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2x+xÌy=y
2y+yz=z q)
2z+zÌx=x
Nhận xét và hướng dân giải:
Trang 27(nghiệm (0; 0; 0) cũng thu được từ nghiệm này khi n = 0)
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với nhau đôi một và có độ dài lần lượt là a, b, c Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
điện
Nhận xét và hướng dẫn giải:
Xem tứ diện ABCD là bộ phận của hình hộp chữ nhật ABEC.DMNP, bốn đỉnh của tứ diện là bốn đỉnh của hình hộp chữ nhật có các kích thước AB, AC, AD lần lượt bằng a, b,c Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cũng đồng thời là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, vì qua bốn điểm không / đồng phẳng xác định duy nhất một mặt cầu Mặt cầu đó có tâm O là giao các / đường chéo của hình hộp và đường kính Từ đó suy ra: R= a°+b)+c” Nie 4)Phương pháp phản chứng
Vi du: Tim moi a sao cho đa thức: f(x) = 12x + 12ax” - 8ax - 3 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; 1)
Bài toán có thể giải như sau:
Ta thay: f(0) = -3
Giả sử f(x) không có nghiệm trong khoảng (0; 1), do tính liên tục của f nên f(x) < 0 véi moi x trong (0; 1) Do đó j7œ)& <0,nhưng
0
1 1
[#@)&= [(2x` +12ax? —8ax— 3)dv = 0 Mâu thuẫn
0 0
Trang 28b
Vi dụ: Chứng minh bất BĐT dạng: A< jZ@œ)& <B
Để chứng minh ta tìm các hàm số h(x) và g(x) sao cho: * h(x) < f(x) < g(x), mọi x thuộc doan [a,b]; b b * Các tích phân [h@)4x và js()4 dễ tính; b b *A< [h(x)dx; Jg(x)dx < B b
Khi đó: A< [7œ)& <B
Phương pháp tổng quát này đòi hỏi học sinh phải dự đoán và suy luận có lí để tìm các hàm h(x) và ø(x) phù hợp 1 Chẳng hạn, chứng minh rằng: I < a <Z _ © 2p Jtax 6 Suy nghĩ để tìm các hàm h(x) và g(x) có thể được “ mô phỏng” như sau: * Chứng minh: 1 1 2 và 0 vào x, tức là == [dx 2 5 boos > sự 1
Nhìn vào vế phải của (1), đó là số 3
Trang 29Vế phải của (2) là ° „ mà các cận của tích phân là 0 và 2 nên ta nghĩ đến đổi cận
tích phân, và có thể sử dụng phương pháp đổi biến số bằng hàm số lượng giác
Nhận thấy: 0 = sin0, — = sin nên nhiều khả năng phép đối biến số sử dụng cách Ị = ae a a 3 ax © costdt dat x = sint, với 0S/< Khi đó, Í—== — 0 = (3) Mặt khác, vế ovl-x° : phải của (2) là ° chính là sự thế cận 0 và ° vào t, tức sẽ [di nên sự đánh giá 0 x 6 theo chiều "<" có thể là đánh giá: Ỉ cosidt ôAl—sin”ứ cost ~~ on a) Jrosin) = 1b Mong duong X1—sin””£>x/I—sin”/ 1—sin””/ ©vl-x'>vI-x? © Ị < 1 Œ*) l—x I-x < fat Điều đó gợi cho ta so sánh 0 Từ (*) và (**), các hàm cần tìm có thể là: h(x) = I và g(x) = = -x
Đây chỉ là những suy luận có tính chất dự đoán, ta cần phải chứng minh chặt
chế các hàm h(x) và g(x) tìm được ở trên là phù hợp với bài toán
Khi giải một bài toán cụ thể không nhất thiết chỉ áp dụng một cách nào, thường có sự tham gia kết hợp của các cách trên Nêu lên một cách để xác định hướng giải của bài toán lầ để nhấn mạnh cách đó chứ không có nghĩa là phủ nhận
các cách khác Với một bài toán thì phương pháp này có thể sẽ hay hơn nhưng với
một bài toán khác thì phương pháp đó có thể ít hiệu quả
"Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có Vậy mà sự khéo léo thực hành lại có bằng cách bắt chước và thí nghiệm Khi giải các bài toán phải quan sát và cuối cùng thì nắm được nghệ thuật đó bằng cách làm những bài tập" [11] Do đó, thầy giáo muốn phát triển năng lực giải toán cho học sinh thì phải
khiến cho họ thích thú với những bài toán và đảm bảo cho họ thật nhiều điều kiện
Trang 30bài toán có cách giải quyết đơn giản hơn cách áp dụng quy tắc đã học, hoặc, đối
với những bài toán khó thầy giáo có thể “đàn cảnh” quá trình suy nghĩ, việc tìm tòi, dự đoán, điều chỉnh phương hướng để tìm lời giải bài toán
Như vậy, thầy giáo không chỉ dừng lại ở mức độ trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và mạch lạc mà cần phải biết cách hướng dẫn học sinh thực hành theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải các bài toán Việc rèn luyện cho học sinh giải các bài toán phải làm tốt cả hai khâu: tìm tòi lời giải và lời giải
Trong dạy học giải toán, việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải của bài toán cần tiến hành từ thấp đến cao:
* Tập dân từ các bài tốn dễ, khơng phải là lời giải mà là công việc tìm tòi lời giải đơn giản;
* Từ các bài toán đã có lời giải hay, hãy thực hành việc tìm lời giải khi đã có lời
giải bài toán đó;
* Đến mức cao hơn, rèn luyện toàn bộ quá trình một cách đầy đủ Từ một
bài toán chưa có lời giải, tìm cách phân tích để tìm lời giải rồi đi đến giải bài toán Sau khi giải bài toán thầy giáo thể chế hóa những tri thức và phương pháp
mà học sinh thu nhận được
Cần nhấn mạnh cho học sinh hiểu rằng, xác định được hướng giải bài toán
đóng vai trò quyết định, nhưng không vì vậy mà coi nhẹ việc giải bài toán
2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh khả năng tim nhiều cách giải
cho một bài toán
Khi giải một bài toán cụ thể, thường có hai khuynh hướng cơ bản là tìm một
cách giải duy nhất và tìm nhiều cách giải cho một bài toán Khuynh hướng thứ hai
là biểu hiện đặc trưng và thường được sử dụng trong hoạt động sáng tạo Học sinh
sau khi tìm thấy lời giải và trình bày sáng sủa lí luận của mình, cũng đều cho rằng đã hoàn thành việc giải bài toán Họ đã bỏ qua một giai đoạn quan trọng và bổ ích cho việc học hỏi: củng cố kiến thức và phát tiển khả năng giải bài toán
Cần làm cho học sinh hiểu rằng, không có bài toán nào là hoàn toàn kết thúc,
bao giờ cũng còn một cái gì đó để suy nghĩ Nếu có đủ kiên nhẫn và suy nghĩ ta có
Trang 31xem xét các chi tiết của cách giải, làm cho chúng gọn gàng, hoàn thiện hơn một
cách trực giác Phân tích cách giải để hiểu nó sâu hơn và nhìn lại nó dưới một khía cạnh khác Bước đầu, ta có thể chỉ thành công trong việc giải thích theo quan điểm
mới một vài chỉ tiết nhỏ của kết quả tìm được, sau đó ta hi vọng nhìn lại phần khác
theo quan điểm mới Nhờ nghiên cứu từng chỉ tiết bằng nhiều cách, cuối cùng ta có thể nhìn bài toán dưới một “ánh sáng” hoàn toàn khác trước Từ đó rút ra được một cách giải khác, phát hiện được những sự kiện mới và bổ ích
* Cần làm cho học sinh thấy rằng, muốn tìm nhiều lời giải cho một bài tốn
thì ngồi cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy, mẫu mực, đưa bài toán về dạng
chuẩn Phải biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau, trong bối cảnh chung kết hợp với hoàn cảnh cụ thể, trong mối tương quan với các bài toán khác Nhờ đó, phát hiện ra một số đặc điểm của bài tốn khơng bị hình thức rắc rối
che khuất (một bài toán có thể thuộc một dạng chuẩn nào đó nhưng lại có vẻ riêng
biệt đặc thù)
Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số
y=Ax-x+l +Ax)+x+l có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = 0
Nhận xét và hướng dân giải:
Một số cách giải dưới đây thu được bằng cách khai thác các tính chất khác nhau của hàm số y
Cách I:
Trang 32Cách 2: Ta có: xe txtlifx? —xtl=s/x*4+x7° 4121 5 1 ae » sae nén ,/x° +x+1 * eared dấu dang thức xảy ra khi x = 0 Khi đó: x”-x+l y2, Fowl ae > 2
Do x? +x+l >0 với mọi x Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1 Kết hợp cả hai kết quả trên ta được: y > 2 và y =2 khi và chỉ khi x = 0 Cách 3: Do y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên ta có thể dùng BĐT Côsi, ta được: y> 21x) +x+1(@Ÿ -x+l)=2w'+x°+l >2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x°+x+l=xz-x+l bo ©x=0 x +x +I=I Từ đó ta kết luận được:
y>2, đẳng thức xảy ra khi x = 0
VaY Yin = YO) = 2 Cách 4:
Do y là hàm số chắn ta xét hàm y với mọi x > 0
Khix =Othi: y(0)=2;
Trang 33va
MA + MB > AB = 2, đẳng thức xảy ra khi M trùng với O
Vậy : Ymin = YO) = 2 Cach 5: Ta có: 1 V3 x-x+1l=(x-— ~+(—/y ¢ 2) CC) 1 v3 xX+x+l=(&x+„~}+(—} ( 2) (>? Trong mat phang Oxy, xét hai vecto: - 1.38 = 1 v3 2 u(x+—=;—) ( 2 2) vav(-x+—=; ( 2 Khi đó: u+v=(1; V3) al ft = fe Suy ra: Vx? -—x+1 + Vx? +x+1 > 2 Dau bang xay ra khi và chỉ khi : 1 xt+— 2 = 1 -x+— 2 [Sale | Vậy : Ymin = YO) = 2 Cách 6:
Theo hướng chuyển bài toán cực trị về bài toán chứng minh BĐT, bài toán đã cho chuyển thành bài toán chứng minh với mọi x thì:
AJx)+x+I+2jx)=x+1>2 (*) và dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 Phương pháp chứng minh là thực hiện các phép biến đổi tương đương, biến đổi BĐT (*) tương
đương với một BĐT đúng Cách 7:
Trang 34Ta có:
y=(x)+x+1=l4jx)=x+l)° + 24x” +) +,
Gọi y,= (Jx” +x+l—4/x)=x +1)” vày,= 24x + x) +
Khi đó, rõ ràng là y, >0, y, >0, V x, đồng thời các dấu đẳng thức trong hai BĐT đó xảy ra khi x = 0 Cách 8: Do y là hàm số chắn, nên chỉ cần xét mọi x > 0 Khi x =0 thì y = 0 Xét moi x > 0, ta quan niém các số dương: 2x, ,/x? +x41 va ,/x? —x +1 1a d6 đài 3 cạnh của tam giác ABC, cụ thể là: " AB= J /x? —x +1, AC=./x? +x +1 va BC = 2x (các điều kiện tạo thành tam giác có thể kiểm tra trực tiếp bằng cách chứng minh BĐT) Theo tính chất của tam giác, ta có: BC’ 2AM? = AB’ + AC’ -
Thay các biểu thức biểu diễn qua x, ta được:
2AMẺ=x)=x+T+ + +T= 4T: =2,
Từ đó, AM = I
Mặt khác ta có: AB+ AC> 2AM = 2
Hay 1a: ys fe txti+ fx —x+1>2
Vậy y >2, dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0
* Có thể huy động nhiều kiến thức khác nhau để giải một bài toán
Vi dul: Dé ching minh vecto a bang vecto 0, ta cé thé chứng minh bằng
các cách sau:
Trang 35Cách 2: Chứng minh: z¿= 0và am =0, với m,n khác phương, m,n #0;
Cách 3: Phân tích thành tổng các vectơ đối nhau;
Cách 4: Chứng minh: a = Âm và a = Â.n, với m,n khác phương, m,n #0
Bài toán: Cho tam giác ABC có trọng tâm G A
Chứng minh rằng: GA+GB+GC=0 N
Cách I: Ta có:
(GA +GB+GC 3 Cc
B I
=GA’ + GB’ + GC? + 2GA.GB + 2GB.GC + 2GA.GC
= GA? + GB? + GC? + (GA? + GB? - AB’) + (GC? + GB? - BC?) + (GA? + GC’ - AC’)
= 3(GA’ + GB’ + GC’) - (AB? + BC’ + AC’) = 3 : (m, +m, °+ m,’) - (a? +b? +c’)
wile 2 (a2 + b? +c”) - (a? + b2 + e?) = 0, suy ra G4 + GB + GC =0 (dpem)
Cách 2: Ta có:
(GA+GB+GC) GA = GA’ + GAGB + GA.GC= GA?+ 2 (GA? + GB? - AB?) +2 (GA? + GC? - AC?) = 2GA?- 5 AB? + AC?) + 2 (G8 +GC) 4 1 14 =2—m, gm - = (b’ +c’) + —.—(m,*+ m2 5 c) 2 gm m.) - § 2bˆ+2cˆ—a'ˆ - d + c) + 2 4a +c +b =0 9 4 2 9 4 Tương tự : (GA+GB+GC) GB =0
Ma: GA,GB khac phuong,
Suy ra: GA+GB+GC=0 (đpcm)
Cách 3: Gọi T là trung điểm của BC Ta có:
2 —
Trang 36Tương tự : BG= s04 + BC);
— 1 —_ ——
CG = ; (C4+CB)
Khi đó: GA+GB+GC =-(AG + BG + CG)
= -5 (48+ BA) (46 Ca) (BC+ ca) =ö
Vay: GA+GB+GC =0 (dpem)
Cách 4: Xét phép chiếu song song theo phương AG xuống BC Khi đó:
A,GuI BH B
CH C
Tacé: Vi=I/+IB+IC =0, ma /* lahinh chiéu cita V = GA+GB+GC
qua phép chiếu song song theo phương AG lên BC, theo tính chất của phép chiếu
vecto, suy ra : V // AG
Tương tự : V Il BG
Mà 4G và BG khác phương, suy ra : GA+GB+GC =0 (đpcm)
Ví đụ 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: x?+ y”= 25 Viết phương trình
tiếp tuyến xuất phát từ điểm M (-1; 7) đến đường tròn
Trước hết ta có nhận xét là điểm M nằm ngoài đường tròn (C) có tâm O bán
Trang 37© 24k —14k — 24= 0©
+ Với kị= — ¬ phương trình tiếp tuyến A, là: 3x + 4y - 25 =0 + Với k2 phương trình tiếp tuyến A, là: 4x - 3y + 25 =0
Vì ta đã tìm đủ hai tiếp tuyến nên không cần xét thêm các tiếp tuyến có dạng x =m Vậy phương trình các tiếp tuyến cần tìm là: 3x + 4y - 25 =0; 4x - 3y + 25 = 0 Cách 2: Toa độ giao điểm của A và (C) là nghiệm của hệ phương trình : x+y? -25=0 (1) li (2) Từ (2) ta có: y= kx +k +7, thay vào (1) ta được: (14k) he? +2(k? + 7k +k? + 14k + 24=0 (3) Để đường thẳng A tiếp xúc với (C) thì phương trình (3) phải có nghiệm duy nhất, điều kiện là: A'=0 © 24kÌ-l4k-24=0 © Tiếp tục như cách làm ở trên ta được kết quả bài toán Cách 3: Giả sử A tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm Mạ; yạ) Do đó phương trình A có dạng : XXạ + yyạ- 25= 0
Tiếp tuyến này đi qua điểm M (-1; 7) nên toạ độ của điểm M thoả mãn phương
trình tiếp tuyến Do đó: - xạ+ 7yạ - 25 = 0
Mặt khác M,(xạ; yạ) thuộc (C) nên x¿ + y¿ — 25=0
Trang 38—x,+7y,-25=0 (1)
xX, +y, —25=0 (2)
Từ (1) suy ra: xạ= 7yạ - 25 thay vao (2) ta duoc: y; —7y, +12=0
Vậy các tiép diém 14 M,(-4; 3) va M',(3; 4) Do đó phương trình các tiếp tuyến
là: 3x + 4y - 25 =0 và 4x - 3y + 25 =0 Cách 4:
Gọi M,(xạ; y,) là tiếp điểm, khi dé tacé: MM, LOM, = MM,.OM, =0 Do MM, =(x, +1;y,—7), OM, =(x,:y,) nên MM,.OM, =0
Mặt khác, Mạ(xạ; yạ) thuộc (C) nên x¿ + y¿ — 25=0.Vậy toạ độ (xạ; yo) của tiếp điểm M, thoả mãn hệ phương trình:
th Hàn ° hye a
x+y, -25=0 y, =3 y, =4
Từ đây ta viết phương trình các tiếp tuyến khi biết tọa độ hai điểm của nó và được các kết quả như trên
* Huy động các kiến thức tổng hợp: Đại số, Hình học, Giải tích, Phối hợp các
phương pháp khác nhau để giải bài toán
Vi dụ 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học
Bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A'BCTD, các cạnh của nó có độ dài bằng 1 Trên các cạnh BB', CD lấy hai điểm M, N sao cho:
BM=CN=a(0<a<I) Chứng minh rằng: AC'L MN
Cách I:
Trong mặt phẳng (BBD'D),
Trang 39CN DỊP => —— = CD DD ‘wise Taco: => NP// CD’ MP// BD =MPL(ACCA)_ = MPL 4C' (1) CD'L (ADC') CD'// PN => PN1(ADC) = PNAC (2) Từ (1) và (2), ta được: AC’ 1 (MNP) = AC'L MN (dpem) Cách 2: Ta có: MN = MB + BC + CN =(a-1) AA' + AD -a.AB AC = AA' + AC = AA’ + AB + AD Nén: MN.AC' =[(- 1) 44' + AD -a.4B].(AA'+ AB + AD) =a-l-a+1=0 Suy ra: MN 1 AC", hay MN L AC (đpcm) Cách 3: +
Trang 40MỊN AC! =1-a-(1-a) =0
Suy ra: MN L AC, hay MN_LAC' (dpem)