Rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN MINH TÂN RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60.14.10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ QUỐC HÁN TS ĐINH QUANG MINH Nghệ An-2013 Lời cảm ơn Trước hết tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS.Đinh Quang Minh, PGS.TS.Lê Quốc Hán nhiệt tình hướng dẫn tơi hồn thành Luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, tất thầy cô giáo tham gia giảng dạy suốt q trình tơi học tập nghiên cứu hồn thành chuyên đề thạc sĩ Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo Ban giám hiệu, tổ Tốn trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thành phố Hồ Chí Minh, nơi công tác giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình tơi tiến hành thực nghiệm sư phạm Luận văn cịn có giúp đỡ tài liệu ý kiến góp ý q báu thầy giáo thuộc chuyên ngành Lý luận Phương pháp giảng dạy mơn Tốn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - người cổ vũ động viên để hồn thành tốt Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, Luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót cần góp ý, sửa chữa Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Tác giả MỤC LỤC Mở đầu .1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu .4 Giả thiết khoa học Dự kiến đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chương : Cơ sở lý luận thực tiễn .6 1.1 Một số vấn đề giải tốn trường phổ thơng 1.1.1 Vai trò tập trình dạy học .6 1.1.2 Các yêu cầu lời giải 10 1.1.3 Phương pháp chung để giải toán 12 1.2 Năng lực, lực giải toán theo định hướng phát giải vấn đề 19 1.2.1 Năng lực .19 1.2.2 Năng Lực toán học .20 1.2.3 Sử dụng phương pháp phát giải vấn đề để rèn luyện lực giải toán 22 1.2.3.1 Năng lực phát phương pháp giải toán THPT 22 1.2.3.2 Bản chất, thành phần đặc trưng lực phát phương pháp giải toán 23 1.2.4 Năng lực giải vấn đề toán học 28 1.2.4.1 Vai trò hoạt động giải vấn đề toán học 28 1.2.4.2 Nội dung hoạt động giải vấn đề dạy học toán 29 1.3 Vị trí vai trị chủ đề Ngun hàm, Tích phân chương trình tốn phổ thơng .30 1.4 Một phần thực trạng việc rèn luyện lực giải tốn chủ đề Ngun hàm, Tích phân cho học sinh trung học phổ thông 31 1.4.1 Về phía Giáo viên 31 1.4.2 Về phía Học sinh 33 1.5 Kết luận chương 33 Chương Các biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện lực giải toán theo định hướng phát giải vấn đề dạy học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân .35 2.1 Biện pháp Rèn luyện lực giải toán qua việc hình thành kỹ nhận dạng thể giải tốn ngun hàm, tích phân 35 2.1.1 Nhận dạng khái niệm 35 2.1.2 Nhận dạng định lý 39 2.1.3 Nhận dạng phương pháp .43 2.1.3.1 Nhận dạng phương pháp đổi biến số 43 2.1.3.2 Nhận dạng phương pháp phần 48 2.2 Biện pháp Bồi dưỡng tư thuật giải tính nguyên hàm , tích phân 53 2.2.1 Thuật giải số dạng hữu tỉ 53 2.2.2 Thuật giải cho số tốn sử dụng tích phân phần 57 2.2.3 Thuật giải số nguyên hàm hàm lượng giác 58 2.3 Biện pháp Rèn luyện lực giải toán qua phát sửa chữa sai lầm .62 2.3.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng .63 2.3.2 Sai lầm ngôn ngữ diễn đạt .65 2.3.3 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan 67 2.3.4 Sai lầm liên quan đến nắm không vững nội hàm khái niệm điều kiện áp dụng định lý 68 2.3.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư 71 2.3.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức tương ứng 72 2.3.7 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức 74 2.4 Biện pháp Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin vào rèn luyện lực giải tốn ngun hàm, tích phân .75 2.4.1 Ứng dụng vào tính diện tích hình phẳng 75 2.4.2 Ứng dụng vào tính thể tích vật thể .78 2.5 Kết luận chương 81 Chương Thực nghiệm sư phạm 82 3.1 Mục đích thực nghiệm 82 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 82 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 82 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 83 3.2.3 Ý định sư phạm đề kiểm tra 87 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 88 3.3.1 Đáp án đề kiểm tra 88 3.3.2 Đánh giá kết thực nghiệm 91 3.4 Kết luận chương 92 Kết luận chung .93 Tài liệu tham khảo 94 Danh mục ký hiệu viết tắt Dạy học DH Giải vấn đề GQVĐ Giáo viên GV Học sinh HS Phát PH Trung học phổ thông THPT MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Thực chủ trương Đảng, Bộ Giáo dục Đào tạo đáp ứng yêu cầu phát triển xã hội q trình dạy học nói chung, dạy học mơn tốn nói riêng có nhiều thay đổi, nghị TW2-khóa VIII rõ “đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho học sinh (HS), bước áp dụng phương pháp tiên tiến vào trình dạy học” Điều thể chế hóa Luật giáo dục 2005 (Điều 28, mục 2) ghi rõ: ‘‘Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo HS; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS’’ Phương pháp phát (PH) giải vấn đề (PHVĐ) chứa đựng nhiều tiềm việc: Kiến thức hình thành khơng phải áp đặt mà kết trình hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo, kiến thức liên hệ với kiến thức cũ, khó quên, mà có qn biết cách tìm lại thơng qua hoạt động PH GQVĐ tư rèn luyện tồn diện, điển hình loại hình tư biện chứng tư hình tượng Đó loại hình tư gắn liền với hoạt động sáng tạo Mặt khác qua PH GQVĐ thành phần nhân cách hình thành củng cố, như: tinh thần tiến công, đẩy lùi giới hạn không hiểu biết, trân trọng thành lao động sáng tạo, nhận thức đẹp,… Với ý nghĩa trên, phương pháp PH GQVĐ cần nghiên cứu nghiêm túc để vận dụng rộng rãi, trở thành phương pháp chủ đạo dạy học Toán nhà trường 1.2 Một người coi có lực hồn cảnh định người nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải vấn đề nhanh đạt hiệu cao Năng lực giải toán thể lực toán học khả vận dụng kiến thức học lựa chọn vào giải tập tốn Vì thế, việc bồi dưỡng lực giải toán cần thiết, điều giúp HS hứng thú học tập mơn Tốn nói riêng mà cịn giúp người học có phẩm chất, lực giải cơng việc sống đáp ứng yêu cầu nhiệm vụ đào tạo người 1.3 Thực tiễn giảng dạy mơn Tốn trường Trung học phổ thơng (THPT) cịn nhiều vấn đề bất cập phương pháp giảng dạy truyền thụ tri thức cho học sinh Đã có nhiều áp dụng phương pháp dạy học (DH) phương pháp truyền thống phương pháp DH đại vào thực tiễn giảng dạy chưa phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo HS, HS thụ động việc tiếp thu tri thức khoa học, chưa phát huy hết đặc điểm bật môn Toán việc giáo dục nhân cách cho HS Để đáp ứng yêu cầu không dừng lại việc nêu định hướng đổi phương pháp DH mà cần sâu vào phương pháp DH cụ thể phương pháp để thực định hướng nói Theo xu hướng có nhiều phương pháp, quan điểm DH PH nghiên cứu để áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, phương pháp là: “ Phát giải vấn đề” Phương pháp dạy học “ Phát giải vấn đề ” phương pháp DH tích cực Nó phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo HS Phương pháp dạy học phù hợp với tư tưởng đại đổi mục tiêu, phù hợp với yêu cầu đổi giáo dục nước nhà xây dựng người biết đặt giải vấn đề sống, phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, người thực động lực phát triển bề vững nhanh chóng đất nước Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân lớp 12 HS trường trung học phổ thơng (THPT) coi phần khó, chưa gây hứng thú học tập HS phần quan trọng thường xun xuất đề thi tốt nghiệp, đề thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng trường Trung học chuyên nghiệp HS với tâm lí ngại sợ học phần dẫn tới hiệu việc dạy học không cao Để cải thiện tình hình nói trên, giáo viên (GV) cần phải có biện pháp tích cực việc thay đổi phương pháp DH theo hướng tích cực cấp thiết Thay đổi phương pháp DH tốn khó cần nhiều thời gian cơng sức tìm tịi GV, nhiên quan trọng sử dụng phương pháp DH để đạt hiệu trình DH 1.4 Rèn luyện lực giải toán phương pháp DH PH GQVĐ có ý nghĩa vai trị quan trọng việc DH toán trường phổ thơng Đã có số cơng trình nghiên cứu riêng rẽ vấn đề kể đến luận văn thạc sỹ Nguyễn Trần Lâm : “Góp phần phát triển lực giải vấn đề cho học sinh trung học phổ thơng dạy học tốn” Luận văn thạc sỹ Nguyễn Thị Kim Duyên: ‘‘Rèn luyện lực giải tập toán học cho học sinh trung học phổ thông qua phương pháp dạy học hợp tác’’ đề cập đến việc rèn luyện lực giải tập tốn thơng qua dạy học hợp tác Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyên sâu vào chủ đề ngun hàm, tích phân cịn chưa nhiều GV quan tâm đến Với lý nêu chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: ‘‘Rèn luyện lực giải toán theo định hướng phát giải vấn đề dạy học chủ đề nguyên hàm tích phân lớp 12’’ Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa số vấn đề lí luận thực tiễn lực giải toán, lực GQVĐ lực giải toán theo định hưóng PH GQVĐ 10 DH tốn chủ đề ngun hàm, tích phân Từ xây dựng biện pháp sư phạm phù hợp nhằm góp phần nâng cao chất lượng DH toán trường THPT Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Tìm hiểu phương pháp dạy học PH GQVĐ mơn tốn 3.2 Tìm hiểu lý luận rèn luyện lực giải toán, tập trung vào việc dạy học giải toán nguyên hàm, tích phân lớp 12 thực trạng dạy học chủ đề trường phổ thông 3.3 Đề xuất biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện lực giải tốn chủ đề ngun hàm, tích phân theo định hướng phương PH GQVĐ 3.4 Tiến hành thực nghiện sư phạm phương án đề Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: tra cứu tài liệu văn có liên quan đến đề tài, phân tích tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa 4.2 Phương pháp điều tra, tìm hiểu thực trạng việc sử dụng phương pháp dạy học PH GQVĐ vào chủ đề nguyên hàm, tích phân lớp 12 để rèn luyện lực giải toán cho HS 4.3 Phương pháp thực nghiệm Giả thuyết khoa học Nếu tiến hành vận dụng phương pháp DH PH GQVĐ vào DH chủ đề nguyên hàm, tích phân lớp 12 dựa định hướng tư tưởng chủ đạo định giúp cho học sinh rèn luyện lực giải tốn góp phần nâng cao hiệu dạy học chủ đề 95 Trên [a; b] hai hàm số có đồ thị nằm phía trục hồnh (Hình 4.b) Trên [a;b] có đồ thị cắt trục hồnh.(Hình 4.c) Trên [a;b] hai đồ thị cắt trục hoành (Hình 4.d) Hình c Hình4.d Hình Sau quan sát hình tượng trưng với phân tích GV; HS nhận thấy diện tích hình giới đồ thị hai hàm số 96 y = f ( x), y = g ( x), x = a, x = b trục hoành b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a tính công thức Sau nêu công thức, GV cho HS nhắc lại phương pháp tính tích phân mà hàm dấu tích phân nằm giá trị tuyệt đối Và xét tốn mà diện tích hình giới hạn đồ thị hai hàm số hình Từ hình minh họa cho học sinh tự xây dựng quy trình giải tốn tính diện tích hình thang cong Hình Ví dụ 29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos x trục tung đường thẳng , trục hồnh, x=π Diện tích cần tính là: + cos x dx 1 S = ∫ cos x.dx = ∫  x sin x  + sin = + (dvdt ) ÷ = 4   Hình Ví dụ 30 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parbol y = 8x đường thẳng x=2 97 Với toán học sinh gặp khó khăn vận dụng cơng thức Là HS không PH hai hàm số f(x) g(x) công thức Dựa vào trực quan, giúp HS PH hình giới hạn đồ thị hàm số x=2 thẳng y = 2x , y = −2 x đường ; tính chất đối xứng hình Suy diện tích tính cơng thức: 2 0 S = ∫ 2 xdx = ∫ xdx = 32 16 x = 3 (đvdt) Tuy nhiên với HS nhận diện hình tính xem x hàm biến y tính tương tự biến x S= ∫ −4   y2 y2  y3  32 − dy = ∫  − ÷dy =  x − ÷ = 8  24  −4 −4   (đvdt) 2.4.3.2 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể Với tính minh họa trực quan Maple 12 nhờ gói cơng cụ Volume of Revolution Tutor, GV thực việc chia vật thể thành nhiều khối nhỏ Khi quan sát trực tiếp, GV thay đổi linh hoạt số hình phân chia; quan sát hình nguyên bản, hình thay đồng thời Ngồi HS cịn thấy kết thể tích vật thể tổng thể tích hình phân chia Qua HS liên tưởng lại tốn tính diện tích hình thang cong, với tương ứng chiều cao hình phẳng với diện tích mặt đáy vật thể 98 b V = ∫ S ( x) dx Từ đó, nhận thức HS tiếp nhận cơng thức tính thể tích a cách tự nhiên Cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay hình thành từ việc kết hợp trực quan với suy luận Cho HS quan sát hình 16 trả lời câu hỏi sau: V = 193,496 (đvtt) V = 193, 256 (đvtt) Hình Câu hỏi 1: Để áp dụng cơng thức vào tính thể tích vật thể cần xác định yếu tố nào? Câu hỏi Khi cắt vật thể trịn xoay mặt phẳng vng góc với trục thiết diện hình gì? Câu hỏi 3: Khi diện tích thiết diện S(x) tính cơng thức nào? Câu hỏi 4: Vậy thể tích có cơng thức tính nào? Hoạt động nhận dạng thể ví dụ tính thể tích khối chỏm cầu Hoạt động tư khơng cần trực quan, ta thay đổi vai trị x y kết cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay sinh 99 hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = a, y = b x = g ( y) , trục tung đường quay quanh trục tung Trên sở kiến thức trên, giáo viên nên cho học sinh phát triển thêm với tốn tổng qt sau: Hình Ví dụ 31: Cho hình phẳng D giới hạn y = f ( x) y = c f ( x) đồ thị hàm số , ( c dấu) đường thẳng x = a, x = b (a, b c số) Tìm thể tích vật thể trịn xoay sinh hình D quay quanh trục Ox, Oy (Hình 9) Ví dụ 32: Cho hình phẳng D giới y = f ( x) y = g ( x ) f ( x), g ( x) [ a; b ] hạn đồ thị hàm số , ( dấu ) Hình 10 Hình 11 đường thẳng x = a, x = b (a, b số) Tìm thể tích vật thể trịn xoay sinh hình D quay quanh trục Ox, Oy (Hình 10, 11) 100 2.5 Kết luận chương Nội dung chương đưa biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện lực giải toán cho HS cách thức thực biện pháp vào việc DH giải tập chủ đề Nguyên hàm, Tích phân Các biện pháp sư phạm xây dựng từ nội dung chủ đề nguyên hàm, tích phân nội dung hoạt động PH GQVĐ giải toán Các biện pháp xây dựng tương đối đầy đủ đáp ứng yêu cầu lý luận đặt 101 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi tính hiệu biện pháp sư phạm rèn luyện lực giải toán cho HS theo định hướng PH GQVĐ trình dạy học giải tập nguyên hàm, tích phân ứng dụng 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành Trường trung học phổ thông Phạm Nghũ Lão, thành phố Hồ Chí Minh Lớp thực nghiệm: 12B1 Lớp đối chứng: 12B2 Sở dĩ chọn hai lớp vì: - Cả hai lớp học theo Ban - Chúng tơi tìm hiểu kết học tập lớp khối 12 trường nhận thấy trình độ chung mơn Tốn hai lớp 12B1 12B2 tương đương Trên sở đó, chúng tơi thực nghiệm lớp 12B1 lấy lớp 12B2 làm đối chứng Thời gian thực nghiệm tiến hành từ 1/3 đến 25/3 năm 2012 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Phan Minh Tân Giáo viên dạy lớp đối chứng: Thầy Hoàng Văn 102 Ban giám hiệu nhà trường, thầy (cơ) tổ tốn, thầy tổ trưởng thầy dạy hai lớp 12B1, 12B2 chấp nhận đề xuất tạo điều kiện thuận lợi cho tiến hành thực nghiệm 3.2.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng Phương pháp thực nghiệm: Dạy học theo hướng PH GQVĐ giải tập nguyên hàm tích phân Luận văn đề cập Với phương pháp xây dựng giáo án ứng với tiết tập sau: Tiết 50,51 Bài Bài tập nguyên hàm I Mục tiêu: Kiến thức: − Khái niệm nguyên hàm hàm số − Các tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số − Các phương pháp tính ngun hàm Kĩ năng: − Tìm ngun hàm số hàm số đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần − Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm hàm số đơn giản − Tìm xây dựng thuật giải cho nguyên hàm số hàm hữu tỉ II Chuẩn bị: GV: Giáo án 103 HS: Sách giáo khoa, ghi Ơn tập cơng thức đạo hàm, cơng thức tính nguyên hàm III Hoạt động dạy học Hoạt động thầy Hoạt động trò Hoạt động củng cố kiến thức nguyên hàm GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa nguyên hàm hàm số Cho tập Kiểm tra xem hàm số Tính đạo hàm hàm số kết nguyên hàm hàm số luận lại với cặp hàm số sau: ln( x + + x ) ' = f ( x) [145,Sách tập] + x2 a) suy ) ( f ( x) = ln x + + x a) b) f ( x) = es inx cos x f ( x) = c) x −1 g ( x) = và x − 2x + + x2 nguyên hàm (e )'=e sinx g ( x) = esinx sinx g ( x) (s inx) ' = e sinx cos x b) Suy g ( x) = x − x + g ( x) ( nguyên hàm ) x2 − x + ' = c) Nhắc nhở HS công thức đạo hàm f '(u ( x )) = f '(u ).u '( x ) Suy g ( x) f ( x) x −1 x − 2x + 2 nguyên hàm f ( x) hàm hợp , dựa vào bảng đạo hàm để chọn nên f ( x) g ( x) đạo hàm đạo hàm Hoạt động giới thiệu tốn tính ngun hàm hàm số hữu tỉ, cách giải Bài tập Tính nguyên hàm hàm HS biến đổi tính nguyên hàm số sau: a) Trả lời 1: HS nhận diện f ( x) = (2 − x) giống công thức a) f ( x) = (1 + x)(1 − x ) (ax + b)α +1 α (ax + b ) dx = +C ∫ a α +1 b) Nhắc nhở HS tốn sử dụng cơng thức đạo hàm để suy nhiên ta nên dùng công thức nguyên hàm để tìm nguyên hàm Hỏi 1: Câu a giống hay gần giống Trả lời 2: = a−n n a Từ áp dụng 104 cơng thức bảng nguyên hàm? Hỏi 2: Sử dụng cơng thức lũy thừa để đưa tốn giống công thức? Hỏi 3: Nếu khai triển mẫu số ta biểu thức nào? Nhắc lại định lý Bê đu phân tích tam thức bậc hai có hai nghiệm: ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ∫ (2 − x) dx = ∫ ( x − 2) −2 = dx ( x − 2)−2+1 −1 = +C −2 + x−2 Trả lời Ta tam thức bậc hai −2 x − x + có hai nghiệm -1 −1 f ( x) Hỏi 4: Như hàm số viết lại nào? Hỏi 5: Tìm tham số m, n cho   1  m n ÷ = −  1÷ − x +  −2( x + 1)( x − ) x− ÷  2 f ( x) = 1 −2( x + 1)( x − ) Trả lời HS thực phép tính m   ( m − n) x − − n  m n ÷ −  ÷= −2  x + x − ÷ −2 ( x + 1)( x − )  2 ? Hướng dẫn trước hết thực quy đồng mẫu vế phải sau sử −2 m=n= dụng đồng thức Hỏi 6: từ biến đổi suy nguyên Trả lời f ( x) Học sinh tìm nguyên hàm trả lời 6: hàm ? −2   −2  Bài toán Dùng phương pháp đổi 3 ÷ biến số tính nguyên hàm t = ex + dx ∫ e x + e− x + (đặt ) [101,sgk] Hướng dẫn trước đổi biến ta đưa e− x ∫ f ( x)dx = ∫ −2  x + − ÷dx  x− ÷ 2  1  x +1 =  ln( x + 1) − ln( x − ) ÷+ C = ln +C 3  x−1 ex HS thực biến đổi theo dx e x dx e x dx = = Nhận xét: Hai câu toán ∫ e x + e− x + ∫ e2 x + 2e x + ∫ x ( e + 1) hai trường hợp tốn tìm nguyên hàm hàm hữu tỉ có x x t = e + ⇒ dt = e dx mẫu tam thức bậc hai Còn Đổi biến toán sau đổi biến ta Khi tốn trở thành lại đưa ngun hàm dạng hữu tỉ ∫t dt = −1 +C t Suy 105 ∫e x dx −1 = x +C −x +e +2 e Hoạt động hướng dẫn HS xây dựng thuật giải số hàm hữu tỉ dx Dựa vào gợi ý GV HS tự xây ∫ (ax + b)α dựng thuật giải riêng cho Dạng1: Nguyên hàm dạng α =1 Bước 1: Kiểm tra xem α #1 dạng Nếu sang bước GV đưa vâu hỏi để học sinh suy Bước 2: Thực biến đổi nghĩ tìm thuật giải: dx Dựa vào tập câu a em = ∫ (ax + b) −α dx α ∫ (ax + b) xây dựng thuật giải cho dạng toán 1 trên? = (ax + b) −α +1 + C a −α + GV nhắc nhở HS ý rằng α =1 tốn quay dạng Cịn α #1 tính đươc = 1 +C a(1 − α ) (ax + b)α −1 Bước 3: Kết luận nguyên hàm theo công thức nguyên hàm hàm lũy thừa GV kết luận lại thuật giải Hoạt động củng cố kiến thức GV cho tập HS làm lớp nhà: Dựa vào tập câu b xây dựng thuật giải cho dạng tam thức nghiệm phân biệt ∫ ax dx ,a #0 + bx + c ax + bx + c có Sau dạy thực nghiệm, cho HS làm kiểm tra Sau nội dung đề kiểm tra Đề kiểm tra thực nghiệm: (Thời gian 60 phút) Câu 1: (4 điểm) Hãy phân tích tốn để tìm cách giải tốn sau: 106 π e sin x + sin x ln x dx I = ∫ dx + 3cos x x I=∫ Câu 2: (2 điểm) Hãy phân tích đưa thuật giải để giải tích phân ∫x sau: I = xdx + x2 +1 Câu 3: (4 điểm) Hãy phân tích tốn tìm cách giải tích phân sau: π I = ∫ ( esin x + cos x ) cos xdx 3.2.3 Ý định sư phạm đề kiểm tra Đề kiểm tra với dụng ý kiểm tra tính hiệu biện pháp sư phạm giúp phát triển lực giải toán HS giải tốn chủ đề ngun hàm tích phân Câu nhằm kiểm tra kỹ nhận dạng thể ( Tính hiệu biện pháp 1) Câu nhằm mục đích kiểm tra khả xây dựng thuật giải tốn ngun hàm tích phân ( Tính hiệu biện pháp 2) Câu nhằm kiểm tra kỹ phân tích tốn tổng hợp kiến thức có tìm hướng giải dựa vào việc PH sai lầm để loại bỏ hướng giải sai ( Tính hiệu biện pháp 3) 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.3.1 Đáp án đề kiểm tra 107 f ( x) = Câu 1:Xét hàm số dấu tích phân - sin x + s inx + 3cos x : Mẫu số tạm thời chưa có cách biến đổi Bài tốn cho có hai cung góc x, 2x khác nên trước hết ta đưa góc f ( x) = x Ta 2sin x cos x + sinx (2 cos x + 1) = s inx + 3cos x + 3cos x π 2 cos x + sin xdx + 3cos x I=∫ - Như - Tới theo dấu hiệu đổi biến số ta đặt giản ta đặt - Suy Với x = ⇒t = I =∫ Vậy x= , π ⇒ t =1 − dt cos x = t −1 +1 − dt −1 −1 + ln = ∫ (2 + ) dt = (2t + ln t ) |14 = t t 9 e Trước hết ta viết lại tích phân f ( x) = Hàm số t −1 I =∫ - Nhưng để phép toán đơn t = + 3cosx dt = −3sin xdx ⇒ s inxdx = - t = cos x ln x x2 1 ln x.dx x2 chứa loại hàm x2 lnx khác tốn khơng giống với dấu hiệu đổi biến số ( 1 ≠ x2 x ) Vì ta chọn phương pháp tính tích phân phần để tính nguyên hàm 108 - Trong hai hàm hàm logarit đứng trước hàm đa thức thứ tự ưu tiên chọn đặt u Nên ta đặt  u = ln x ⇒ du = dx  x  dv = dx ⇒ v = −1  x2 x e I= Suy −1 −1 −1  −1  e e − ln x |1e − ∫ dx = +  ÷|1 = x x x e  x  e Câu 2: a Phân tích: Dễ thấy mẫu thức hàm bậc trùng phương tử thức vi phân x bước đầu ta hồn tồn đưa du ∫ u + u +1 toán dạng Tiếp theo, toán quen thuộc với phân tích mẫu thức thành u2 + u +1 u+ với = = tan t 2 1  u +  + 2  đến ta nghĩ đến phương pháp đổi biến ta đưa toán dạng đơn giản Với phân tích ta tới thuật giải là: bước 1: Đặt u = x ⇒ du = xdx u bước 2: Đưa toán biến : 109 với x =1 u =1 x = ; u=0 ta có: I = du ∫ u + u +1 bước 3: Dưa toán dạng quen thuộc: 1 ∫0 I= du ∫ u + u +1 u+ Đặt với = du  3  (u + ) +     ( ) 3 = tan t du = + tan t dt ⇒ 2 u =1 t= π ; u=0 t= π π∫ toán trở thành I = π (1 + tan t )dt (1 + tan t ) π 3 dt π∫ bước 4: Tính kết luận:I = = 3π 18 Câu 3: Phân tích tốn - Ta thấy hàm sau dấu tích phân có chứa cosx.dx esinx ta tách nên ta tính tích phân cho phương pháp đổi biến số ... LỰC GIẢI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở LỚP 12 2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện lực giải tốn qua việc hình thành kỹ nhận dạng thể giải. .. phần rèn luyện lực giải toán theo định hướng phát giải vấn đề dạy học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân .35 2.1 Biện pháp Rèn luyện lực giải toán qua việc hình thành kỹ nhận dạng thể giải. .. nêu chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: ‘? ?Rèn luyện lực giải toán theo định hướng phát giải vấn đề dạy học chủ đề nguyên hàm tích phân lớp 12? ??’ Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa số vấn đề lí luận