Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh SKKN toán 12

Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập ,tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh, trước tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giáo phảI giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán. Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để đem đến cáI chung nhất mang tính chân lý. Từ đó vận dụng các phương pháp toán học để giảI quyết các bài toán đặt ra.

SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh A. ĐẶT VẤN ĐỀ . I)LỜI MỞ ĐẦU. Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập ,tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh, trước tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giáo phảI giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán. Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để đem đến cáI chung nhất mang tính chân lý. Từ đó vận dụng các phương pháp toán học để giảI quyết các bài toán đặt ra. Với lý do đó tôi chọn đề tài “ Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh “ II)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU. 1) Thực trạng: Trong chương trình giảI tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương pháp. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó. Do đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa khai thác hết được, chưa phát huy được tính sáng tạo, khám phá của học sinh. 1 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Tôi nhận thấy việc khai thác các phương pháp giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng. 2) Kết quả: Khi tôi được phân cônggiảng dạy lớp 12, kiến thức về giảI tích học sinh lớp tôi được phân công còn hạn chế,các bài toán về nguyên hàm, tích phân còn ít nên việc vận dụng các phương pháp giảI còn chậm và đang còn bế tắc trong cách định hìnhphương pháp giải. Tôi đã dần hình thành các phương pháp giải, phát triển từ bài toán cơ bản đến những bài toán ở mức độ khó hơn. Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy được tốt hơn, tôi đã mạnh dạn cảI tiến nội dung, phương pháp, khai thác cấu trúc logic của bài toán, tìm ra nhiều phương pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn dưới nhiều hình thức khác nhau. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I) GIẢI PHÁP THỰC HIỆN. 1. Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm – tích phân. Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm – tích phân, các tính chất cơ bản và các phương pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân. Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều phương pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một số trường hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phương pháp đơn giản hơn thông thường. Học sinh được phát triển về tư duy thuật giải trong quá trình tính nguyên hàm, tích phân theo những quy trình xác định, được rèn luyện về tính linh hoạt , khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán. 2 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trong chương trình môn toán trường phổ thông trung học, nội dung kiến thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm các vấn đề sau đây: - Định nghĩa nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm. Bảng các nguyên hàm cơ bản. - Định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích. 1.Các phương pháp xác định nguyên hàm – tích phân Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số:      <++ ≥ = 01 0 )( 2 khixxx khixe xF x là một nguyên hàm của hàm số:    <+ ≥ = 012 0 )( khixx khixe xf x trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau: - Với x ≠ 0, ta có:    <+ > = 012 0 )(' khixx khixe xF x - Với x = 0, ta có: 1lim 0 )0()( lim)0(' 1 1 lim 0 )0()( lim)0(' 0 00 02 00 = − = − − = = −−+ = − − = ++ −− →→ + →→ − x ee x FxF F x exx x FxF F x xx xx Nhận xét rằng F’(0 - ) = F’(0 + ) = 1 ⇒ F’(0) = 1, có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0. Tóm lại : )( 012 0 )(' xf khixx khixe xF x =    <+ ≥ = 3 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Xác định tích phân bằng phương pháp phân tích. Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Phương pháp chung: Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng: f(x) = ∑ = n i ii xf 1 )( α với f i (x) có nguyên hàm trong bảng công thức và α i là các hằng số. Bước 2: Khi đó: ∑ ∫∫ ∫ ∑ == == n i iii n i i dxxfdxxfdxxf 11 )()()( αα Ví dụ: Tính tích phân : ∫ + = x e dx I 1 . Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 1 = (1 + e x ) – e x . Ta được: ( ) ( ) ∫∫∫ + + −=         + −=⇒ + −= + −+ = + x x x x x x x xx x e ed dxdx e e I e e e ee e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = x - ln(1 + e x ) + C. Xác định tích phânbằng phương phápđổi biến số. Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: 4 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Định lý1: b. Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm thì: ∫f(u)du = F(u) + C. c. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm ϕ’(t) là những hàm số liên tục, ta được: ∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt. Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau: Định lý 2: a. Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm trong khoảng [a,b] thì: )( )( )( )( )()( b a b a uFduuf ϕ ϕ ϕ ϕ ∫ = . b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = ϕ(t) xác định và liên tục trên đoạn [α, β] và thoả mãn các điều kiện sau: (i). Tồn tại đạo hàm ϕ’(t) liên tục trên đoạn [α, β]. (ii). ϕ(α) = a và ϕ( β) = b. (iii). Khi đó: [ ] ∫ ∫ = b a dtttfdxxf β α ϕϕ .)(')()( Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = ϕ(t) hay u = ϕ(x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể. Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: 5 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Dấu hiệu Cách chọn 22 xa − ( )      ≤≤=       ≤≤ − = π ππ ttax ttax 0,cos 22 ,sin 22 ax − [ ]       ≠∈= ≠       − ∈= 2 ,,0, cos 0, 2 , 2 , sin π π ππ tt t a x tt t a x xa xa xa xa + − − + , tax 2cos = ( )( ) xbax −− x= a + (b – a)sin 2 t Hàm có mẫu số t là mẫu số Hàm f(x, )(xf ) t = )(xf Hàm f(x) = ( )( ) bxax ++ 1 t = bxax +++ Ví dụ 1: Tính tích phân: ∫ + = 1 2 xx dx I . Giải: Đổi biến số: xdxtdtxtxt =⇒+=⇒+= 11 222 Ta có: ( ) C x x C t t dt tt t dt tt tdt xx xdx xx dx I +         ++ −+ = +         + − =       + − − = − = − = + = + = ∫∫∫ ∫ ∫ 11 11 ln 2 1 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 11 11 2 2 22 222 Ví dụ 2: Tính các tích phân: ∫ + = 8 3 2 1xx dx I Giải: Đặt: 6 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 38 23 1 1 2 2 =⇒= =⇒= =⇒= + =⇒+= tx tx x tdt dx t xdx dx x x dtxt Khi đó: ( ) dt tt t dt tt tdt xx tdt xx dx       + − − = − = − = + = + 1 1 1 1 2 1 11 11 22 222 ( ) . 2 3 ln 2 1 1 1 ln 2 1 1ln1ln 2 1 1 1 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 =       + − = +−−=       + − − =⇒ ∫ t t ttdt tt I Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rất thông dụng trong quá trình xác định nguyên hàm của hàm số. Phương pháp này cụ thể như sau: Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì: ∫udv = uv - ∫vdu. Còn đối với tích phân xác định, ta có: ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=∫f(x)dx ta tiến hành theo các bước sau: - Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫f(x)dx = ∫f 1 (x).f 2 (x)dx. - Bước 2: Đặt: u = f 1 (x), dv= f 2 (x)dx ⇒ du,v. - Bước 3: I = uv - ∫vdu. 7 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau: - Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. - Tích phân ∫vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I. Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức. - Khi gặp các tích phân có dạng: ∫P(x)a x dx, ∫P(x)sinxdx, ∫P(x)cosxdx nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x). - Khi gặp các tích phân có dạng: ∫P(x)log a xdx nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x). - Khi gặp các tích phân có dạng: ∫e ax sinbxdx, ∫e ax cosbxbx nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = e ax . Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp này: Ví dụ : Tính tích phân: . 1 )1ln( 2 2 dx x xxx I ∫ + ++ = Giải: Ta viết lại I dưới dạng: . 1 )1ln( 2 2 dx x x xxI ∫ + ++= Đặt: ( )        += + = ++ + + = ⇒      + = ++= 1 1 . 1 1 1 1 1ln 2 22 2 2 2 xv x dx dx xx x x du dx x x dv xxu Khi đó: 8 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ( ) ( ) .1ln1 1ln1 22 22 Cxxxx xdxxxxI +−+++= −+++= ∫ Xác định tích phân bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ. Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau: - Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x). - Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:    +=− +=+ ')()()( )()()( CxBxGxF CxAxGxF - Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) = 2 1 [A(x) + B(x)] + C. Đối với phương pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn. Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = xx x cossin sin − . Giải: Chọn hàm số phụ: g(x) = xx x cossin cos − . Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: f(x) + g(x) = xx xx cossin cossin − + Suy ra: 9 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ( ) CxxxxF CxxGxF CxxxGxF CxdxxGxF xx xx xgxf Cxx xx xxd dx xx xx xGxF ++−=⇒    +=− +−=+ ⇒ +==−⇒ = − − =− +−= − − = − + =+ ∫ ∫∫ cossinln 2 1 )( ')()( cossinln)()( ')()( 1 cossin cossin )()( cossinln cossin )cos(sin cossin cossin )()( Xác định tích phân của các hàm số lượng giác. Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử dụng các phương pháp sau: a) Sử dụng các nguyên hàm cơ bản. b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác. c) Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản. d) Phương pháp đổi biến. Đối với các dạng tích phân: I = ∫R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau: - Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = cosx. - Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = sinx. - Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = tgx. - Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến t = tg 2 x . e) Phương pháp tích phân từng phần. f) Sử dụng nguyên hàm phụ. 10 [...]... biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần 11 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể 1 Ví dụ : dx x + 4x 2 + 3 Tính tích phân: I = ∫ 4 0 Giải: Biến đổi: 1 1 1 1 1  = 2 =  2 − 2  2 2 x + 4x + 3 x + 1 x + 3 2 ... ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến Tích phân của các hàm số vô tỉ Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp sau: - Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản - Phương pháp đổi biến - Phương pháp tích phân từng phần - Sử... định tích phân I1 = ∫ 0 dx x +1 2 −π π . của học sinh. 1 SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Tôi nhận thấy việc khai thác các phương pháp giải các bài toán về nguyên. dụng các phương pháp toán học để giảI quyết các bài toán đặt ra. Với lý do đó tôi chọn đề tài “ Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh A. ĐẶT VẤN ĐỀ . I)LỜI MỞ ĐẦU. Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập ,tư duy tích cực