BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC VINH
LE THI NGOC
DAY HOC GIAI TOAN
THEO HUONG TANG CƯỜNG BOI DUGNG NANG LUC HUY DONG KIEN THUC DA CO CUA HOC SINH
Ở TRƯỜNG THPT
Chuyên ngành:
LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Trang 2Viết tắt HS GV HDKT Nxb Sgk THPT HD PT PH&GQVD MP CMR NL A Viết đây đủ Học sinh Giáo viên Huy động kiến thức Nhà xuất bản Sách giáo khoa Trung học phổ thông Hoạt động Phương trình
Phát hiện và giải quyết vấn đề Mặt phẳng
Chứng minh rằng Năng lực
Trang 3trang Mo I0 1 L Li do Chon dé tai 1 2 Mục đích nghiên CUUL 2
3 Giả tuyết khoa
02 2
4 Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài
"— 2
5 Phương pháp nghiên cứu
HH4 TH TH HT HH TH TH TH TT HH TH TT HH Hệ 2
6 Đóng góp của luận văn
11141111 KH TH TT HT TT TT HT HH TH HH, 3
7 Cấu trúc luận văn
HH1 TH TH HT TT HT TT TH TT TH HH TH HT Tà Tư 3 NỘI DUNG
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỤC
¡0 ` 4
1.1 Khái niệm về năng lực HĐKT, các dạng năng lực HĐKT và sự cần
thiết phải bồi dưỡng năng lực HDKT cho HS
4
Trang 41.2 Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HDKT
HT TH kg 9
1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề
HH TH TH Họ TT TH 9
1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
HH Họ HH tr 12
123 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương 1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác 1.3 Phát triển năng luc HDKT cho HS thong qua việc vận dụng phương pháp
dạy học kiến tạo dạy học phát hiện và giải quyết vấn 23
13.1 Vận dụng phương pháp day học kiến tạo vào dạy học
14 Một số trí thức định hướng năng lực huy động kiến
1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng
— 31
1.4.2 Tri thức phương
1 34
1.5 Một số khó khăn, trở ngại trong khi dạy và học các kiến thức của hình học
khơng
QUAN eee Q0 TT nh in 37
1.6 Thực trạng về việc hình thành và bồi dưỡng năng lực HĐKT trong dạy học
Trang 5- :j‹1 41
Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC TĂNG CƯỜNG NĂNG LỰC HĐKT
CỦA HS TRONG QUÁ TRÌNH DẠY GIẢI
¡5 42
2.1 Định hướng xây dựng các phương
"0: ƠƯ- 42
2.2 Phương thức 1: Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều hình thức
khác để huy động kiến thức phù hợp với năng lực toán 2.2.1 Rèn luyện cho HS biến đổi bài tốn theo nhiều góc độ khác nhauđể phát
huy được năng lực
2.2.2 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo hướng liên tưởng đến những vấn
đề quen
"0ì J Ướng Ỏ 52
2.3 Phương thức 2: Rèn luyện cho HS NLHĐ kiến thức thông qua dạy học
chuỗi bài
toán se +56
Trang 681
Chuong 3: THUC NGHIEM SƯ PHAM
TH TH in HE 82
3.1 Mục đích thực nghiỆm - - - s 5 313119 1 vn ng re 82 3.2 Nội dung thực nghiỆm G5 < 1321183118318 11 11 xxx re 82 3.3 Tổ chức thực nghiệm +2 - + %+S+S£+E+E+E+EeEeEeEexexexrxexrxerrxrrrrrrer 82 3.3.1 Lớp thực ngiñiỆm - c1 x18 19 11 1 19 1v ng ngư 82 3.3.2 Tiến trình thực nghiỆm .- - + + ++s + £+EvExerereerxeerrersee 82 3.3.3 Nội dung và kết quả kiểm tra . ¿ 2 2 ss+s + Sx+x+e+e+zxzxzxcerx 83 3.3.3.1 Nội dung kiểm tra - ¿22525255 St sxcvserererxrereree 83 3.3.3.2 Kết quả kiỂm tTa ¿- c2 St St tt sEErveertrtrvrrrrrsrsrecee 84
3.4 Kết quả thực nghiệm - (2c 3 338211318188 1 1211111111 ExErkerrkre 86 3.4.1 Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học .- 86
3.4.1.1 Đối với lớp thực nghiệm ++s++++s++s++x+>+ex+e+exsx 86 3.4.1.2 Đối với lớp đối chứng «+ c+cexerersxerererersrererke 86
3.4.2 Kết luận về thực nghiệm sư phạm - 5+ + +++++<+s+x+e+ess++ 86
3.5 Kết luận chương
Ân HH TH HH 87
Trang 7I LY DO CHON DE TAI
1 Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo lại càng được
Dang và nhà nước ta đặc biệt quan tâm, điều đó đã thể hiện rõ trong luật giáo dục Việt Nam: “ Mục tiêu của giáo dục Trung học Phổ thông nhằm giúp HS
củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục Trung học cơ sở, hoàn thiện
học vấn phổ thông và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng
nghiệp để tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề
hoặc đi vào cuộc sống lao động” (Luật Giáo dục, chương 2, điều 23)” Để đạt
được mục tiêu đó thì GV là người được giao phó trọng trách tiếp thu những kiến thức, những phương pháp dạy học tiến tiến, hiện đại; Những hiểu biết của
mình để truyền đạt, giáo dục cho HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản
Người GV phải thực sự tâm huyết với nghề, phải luôn biết trăn trở để tìm ra những giải pháp tích cực, có hiệu quả cao trong giảng dạy đồng thời giáo dục
cho HS phát huy ý thức tổ chức quá trình tự học, tự tìm tịi khám phá tri thức để
tự hoàn thiện bản thân Và một trong những vấn đề mà giáo dục đang quan tâm nữa là làm sao để HS phải biết vân dụng kiến thức đã có của mình vào thực tiễn Để làm được điều đó thì trước hết phải đào tạo cho họ có trình độ và một năng lực nhất định, và năng lực đó cần phải được bồi dưỡng thường xuyên
Trang 8còn dạy cho học sinh cách huy động kiến thức sao cho phù hợp để khi đứng trước một vấn để các em có thể biết cách lựa chọn tri thức phù hợp và đúng
đắn Song áp dụng như thế nào còn phụ thuộc vào năng lực HĐKT của chính các em Với yêu cầu đổi mới dạy học toán ở trường THPT hiện nay đòi hỏi học
sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân
3.Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề tuỳ mức độ khác nhau được vận dụng trong nhiều phương pháp dạy học tích
cực, dạy học theo quan điểm phát hiện Từ nhu cầu thực tế đó nên cũng đã có một số cơng trình nghiên cứu về năng lực huy động kiến thức và cách huy động kiến thức có hiệu quả, nhưng để làm sáng tỏ vào chủ đề cụ thể về véc tơ và quan hệ vng góc thì chưa được nghiên cứu
Vì những lí do nói trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học
giải toán theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức
của học sinh ở trường THPT thể hiện qua chủ đề: Véc tơ trong không gian
Quan hệ vng góc ”
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
1 Cơ sở lí luận của việc bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức
2 Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức đã có của học sinh thông qua dạy học giải toán chủ đề “ Véc tơ trong không gian Quan hệ vng góc”
II GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trên cơ sở tơn trọng chương trình SGK, nếu trong quá trình dạy học giải
toán giáo viên chú trọng tổ chức các HĐ cho học sinh nhằm phát triển năng lực
huy động kiến thức thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn nói chung, học chủ đề “ Véc tơ trong không gian Quan hệ vng góc” nói riêng ở
trường THPT
IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức, các dạng năng
Trang 92 Nghiên cứu một số phương pháp tăng cường năng lực huy động kiến thức của học sinh trong dạy học giải toán theo chủ dé “ Véc tơ trong không gian
Quan hệ vng góc”
3 Huy động tổ hợp kiến thức để xây dựng và phát triển bài toán theo một
chuỗi các bài toán liên quan
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí về khoa học toán học,
giáo dục học, tâm lý học, liên quan đến đề tài
2 Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh, thăm dò các ý kiến của giáo viên về các vấn đề nghiên cứu liên quan
3 Thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và
các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng VI DONG GOP CUA LUẬN VĂN:
1 Về mặt lý luận:
- Xác định được vai trò và sự cần thiết phải bồi dưỡng năng lực huy động
kiến thức đã có của HS ở trường phổ thông
- Thấy được một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT
- Xác định được các phương thức dạy học nhằm phát triển năng lực HDKT
của HS
2 Về mặt thực tiễn:
- Đóng góp quá trình hình thành và phát triển tri thức ở HS
- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, GV các trường THPT
VII CẤU TRỤC LUẬN VĂN: Gồm 3 chương MỞ ĐẦU
NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIẾN
Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC TĂNG CƯỜNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN
Trang 10Chuong 3: THUC NGHIEM SU’ PHAM KET LUAN
NOI DUNG
Chuong1
MỘT SỐ CƠ SỞ LÝ LUAN VA THUC TIEN
1.1 Khái niệm về năng lực HĐKT, các dạng năng lực HĐKT và sự cần thiết phải bồi dưỡng nang luc HDKT cho HS THPT
1.1.1 Khái niệm về năng lực, năng lực HĐKT
Một số cơng trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra rằng,
qua quá trình hoạt động HS dần hình thành tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cho bản
thân Và từ những nền tảng đó họ bắt đầu phát triển những khả năng của mình
ở mức độ từ thấp đến cao Cho đến một lúc sự phát triển bên trong đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong cuộc sống thì lúc đó HS sẽ có những năng lực nhất định
Vậy thế nào là năng lực? Khái niệm này cho đến nay vẫn có nhiều cách
hiểu và cách diễn đạt khác nhau, dưới đây là một số cách hiểu về năng lực Theo từ điển Tiếng Việt thì: “ Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”
Trang 11Còn ở Việt Nam tác giả Trần Đình Châu quan niệm: “Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động đó”
Tác giả Phạm Minh Hạc thì cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lí
của con người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”
Cho dù cách tiếp cận khác nhau nhưng ta thấy năng lực biểu hiện bởi các
đặc trưng:
Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều Kĩ năng thực hiện những hoạt động thành phần có quan hệ chặt chế với nhau
- Năng lực tồn tại và phát triển thơng qua hoạt động; nói đến năng lực tức
là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân
- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liên với tính sáng tạo tư duy có khác nhau về mức độ
- Năng lực có thể rèn luyện và phát triển được
- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau
Ở mỗi người có những loại năng lực khác nhau và hai người khác nhau thì
có những năng lực khác nhau và tố chất ở họ khác nhau
G.Polia nói: “ Tất cả những tư liệu, yếu tố phụ, các định lý, sử dụng trong quá trình giải bài toán được lấy từ đâu? Người giải đã tích luỹ được kiến
thức đó trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bài tốn đang giải là sự tổ chức”[1]
Nhu vậy ta có thể hiểu “huy động” là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến
thức mà mình đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyết trong vốn tri thức của bản thân
Năng lực huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó như sau: Năng lực huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đã có thích
Trang 12khoa học có tính logic, hệ thống và kế thừa rất cao Mọi kiến thức toán học đều xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức
sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, chúng liên kết lại với nhau như những mắt xích
Một kiến thức tốn học mới hay một bài tập toán được đưa ra thì nó ln nằm trong hệ thống tốn học đó, nó không thể tách rời, không tự sinh ra một
cách độc lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đã có trước đó Để giải quyết được vấn dé chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức cũ Song để coi kiến thức nào là phù hợp với vấn đề đặt ra, kiến thức cũ sẽ sử dụng thế nào, đó chính là năng lực huy động kiến thức Tất cả chúng ta - những người thầy luôn phải đưa ra những lời khuyên kịp thời và có ích để
khuyến khích HS tìm tịi phát hiện Có thể bắt đầu từ những câu hỏi của G.Polya như “Ta đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay là ta đã gặp nó dưới
một dạng hơi khác” [1] Còn người giải toán phải biết sắp xếp, lưu trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp lý để khi cần huy động được chính xác, đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cái bản chất của những kiến thức toán học dưới dạng định
lý đã chứng minh
Như vậy có thể khẳng định: Không HĐKT thì khơng thể giải được bài
tập toán và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân
Ta có thể minh hoạ thơng qua ví dụ sau:
Vi dul: Chitng minh rdng ba cạnh a,b,c của một tam giác bất kì thoả mãn bất đẳng thức:
a+b? +c <2(abt+bc+ca)
Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác.Hãy huy động những định lý đã biết, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:
a> b-c (1)
a<b+c (2)
a’=b’ + c? -2be cosA (3) c?
Trang 13Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại (3) và (4) vì chúng đề cập mối quan hệ đẳng thức chứ không phải bất đẳng thức như điều
phải chứng minh, ta thấy mỗi cạnh phải có bậc hai, trong đó mỗi cạnh được tính bình phương một lần Hãy thử với (1), ta bình phương 2 vế:
a’ > b? +c? -2bc Tương tự ta có:
b?> a? + c? -2bc c€°>a?+b”-2bc
Cộng theo từng vế và ước lượng ta sẽ đi đến điều phải chứng minh
1.1.2Vai trò và sự cần thiết phải bồi dưỡng năng lực HĐKTtrong dạy
học toán
Ta đã biết năng lực định hướng là tìm tịi cách thức giải quyết vấn đề, tìm tòi lời giải các bài toán được xác định trên cơ sở các khả năng của HS như: khả năng phát hiện các đối tượng và quan hệ trong mối liên hệ tương tự; Khả năng phát hiện ý tưởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân ; Khả năng
nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; Khả năng nhận dạng và thể hiện các phương pháp Nhưng năng lực HĐKT còn đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với năng lực định hướng và nó bao trùm lên năng lực định hướng
Năng lực HĐKT không phải là điều bất biến, một bài toán nếu đặt vào
thời điểm này có thể khơng giải được, hoặc giải được, chứng minh được một cách rất máy móc, dài dịng, nhưng đặt trong thời điểm khác (có thể khơng xa lắm), nếu có năng lực huy động kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất độc đáo, hay
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
Nx+Š5 +Aj2x+3 <9(*)
Với bài toán này nếu ra cho HS lớp 10 chắc chắn các em sẽ liên tưởng
đến tri thức cội nguồn: khử hết căn bậc 2 của bất phương trình (*) Hướng suy
Trang 14chưa phân ban) hoặc HS lớp 11(học theo chương trình phân ban) sẽ giải quyết bài này bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
(#) © f(x)= \Jx+5 + J2x+3 - 9< 0 Tập xác định D=[ +0)
1 1 -3
f&)= OO oars * axes 7° VEE vx e (Git)
Nhận thấy f(11) = \/16 + 25 - 9 =0 3 3 >-> c>—E Vậy (Œ) © pee © 1”? f(x)<f(11) x<ll
Tóm lại: Tập nghiém cua (*) 1a: | - 3 „l1 -
Như vậy nếu biết HĐKT cộng năng lực giải quyết vấn đề tốt thì cách giải
sẽ gọn gàng hơn nhiều HS mà liên tưởng kém thì bài tốn sẽ trở nên khó khăn
hoặc là giải rất dài dịng Trong q trình giải một bài toán cụ thể nào đó, người giải chỉ cần sử dụng một phần kiến thức mà mình đã có Cần sử dụng kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hệ nào điều đó phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải Do vậy việc thu nhận, lưu trữ kiến thức một cách khoa học cũng là một yếu tố quan trọng cho việc HĐKT, mỗi một dạng toán, một don vi kiến thức nếu biết cách sắp xếp theo một trật tự thích hợp như chúng ta phân loại sách trên giá thì khi cần đến có thể đễ dàng huy động nó
Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, cần thiết phải rèn
luyện cho học sinh năng lực liên tưởng, năng lực HĐKT và đặc biệt là ứng
dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán, chẳng hạn khi giải một phương trình bậc hai đối với an và co£ thì HS phải liên tưởng ngay đến việc đặt ẩn phụ
để đưa về giải phương trình bậc hai đối với ẩn phụ đó Việc rèn luyện các năng
lực cũng như HĐKT làm sao cho đúng mà hiệu quả là việc làm thường xuyên của GV đối với HS hoặc chính bản thân HS
Trang 15có tác dụng kiểm tra khả năng tư duy của HS để trong trường hợp nếu hiểu sai bản chất sẽ được uốn nắn và bổ sung kịp thời
Ví dụ 3: Tìm m để biếu thức
^Í(m+1)x?-2(m-1)x+3m-3 có nghĩa với mọi x
HS đã hiểu sai dẫn đến việc huy động kiến thức sai như sau:
Biểu thức có nghĩa với mọi x © f(x)= (m+1)x? - 2(m-1)x +3m-3 > 0 Vx
a>0 m+l >0 m>-l (ee = m¬ ‹ m>-l c© [mz ©m>l m< -2 Ta có kết quả m > 1 a=b=0 c>0 a>0 A>0 Đúng là: f(x)= ax+bx+c> 0, Vx ©
Lời giải xét thiếu trường hợp a = 0
Cái sai ở đây là trí thức cội nguồn nắm không vững dẫn đến là xét thiếu
trường hợp Hoặc đôi khi hiểu một cách máy móc, áp dụng vấn đề không linh
hoạt cũng dẫn đến việc HĐKT sai
HĐKT là một trong những thành tố quan trọng của hoạt động tốn học nó
giải quyết những mâu thuẫn trong q trình giải tốn cũng như những nhu cầu
của toán học Việc bồi dưỡng năng lực HĐKT là nhiệm vụ quan trọng trong
dạy, học tốn Nó đóng góp vào quá trình đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Trang 16thông, thấy được mối quan hệ biện chứng giữa những nội dung kiến thức của từng chương, mục trong SGK, đóng góp vào sự phát triển tư duy logic, tư duy biện chứng, khả năng kiến tạo tri thức cho bản thân
1.2 Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT 1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề
Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một
quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những øì có khả năng xảy ra
thì ta đã làm công việc dự đốn Để có dự đốn mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đốn
của mình
Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được
ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý
và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [32]
Dự đốn có vai trị quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,
vậy liệu có cách nào học được dự đốn hay khơng? Theo G.Polia thì “ trừ những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được năng khiếu dự đốn đó Q trình dự đốn có kết quả khi
phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đốn của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự
đoán đúng Những dự đốn có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên những qui tác, kinh nghiệm nhất định chứ khơng phải là đốn mị, càng khơng phải là nghĩ liều” [1]
Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS
phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phải được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng
Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp,
Trang 17với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự Chúng ta hãy thử làm một điều dự đoán trong ví dụ sau:
Ví dụ 4: Dạy học định lí cosin trong tam giác ( Hình học 10)
Khi tính các yếu tố trong tam giác bất kì thì định lí Pitago xem ra phải
chịu “bất lực”, lúc này chúng ta mong mỏi có một định lí hay một cơng thức nào đó để có thể giải quyết được nó Bây giờ ta sẽ đi tìm kiếm, rồi dự đốn để
tìm ra mối liên hệ giữa cạnh và các góc trong tam giác
Đặc biệt hoá là một năng lực của tư duy, đôi khi nó giúp ta định hướng
được cách giải quyết vấn đề Trước hết ta xét các trường hợp của góc A lần
lượt 1a: 90°, 120°,60°,30°.Goi H 1a chan đường cao xuất phát từ đỉnh B 3
Trường hợp I: Tam giác ABC c6 A = 120°
Khi đó có thể đưa về định lí Pitago trong tam giác vuông và đi tới công thức:
a?=BC°= BH” + HC?
= (AB.sin60°)’ + (AB.cos60?+AC)?= c?+ b?+bc (1) 3
Trường hợp 2: Tam giác ABC có A = 600 Đưa về định lí Pitago, ta có:
? = BC = AH” + HC” = (AB.sin6ó0”)° + (AC-AH)? =c? + b? -be (2)
3
Trường hợp 3: Tam giác ABC có A =300 Ta áp dụng Pitago cho tam
giác vng thì:
a’= BC’ = AH’ +HC’ = (AB.sin30°) +(AC-AH)” =c? + b”- bex/3(3)
3
Tam giác ABC có A= 90”: a?= c?+ bˆ(4) (a la cạnh huyền AABC)
Từ (1), (2).(3), (4) hãy dự đoán xem với tam giác ABC bất kì thì:
Trang 18“ “ 4 2 2
+) Nếu ô trống là sinA thì A = 90/, (*) trở thành a” = c” + bŸ - be (sai)
¿ ¿ 4 » 2_— 2
+) Nếu ô trống là cosA thì A =90°, (*) trở thành a? = c? + bŸ (đúng)
3
Nhung A = 30” (*) trở thành a* = c? + bŸ - bc » không đúng với (3).Vậy
3
phải điều chỉnh lại (*) để khi cho A = 30” thì (#) trùng với (3), chang han cho 6
trống là 2cosA
Dự đoán cuối cùng là: (#*#) GV đề nghị HS chứng minh công thức (**)
Như vậy chúng ta đã hoàn thành xong cơng việc trong đó có sự gợi ý, dẫn dắt của GV và sự nổ lực của HS để có thể có những sáng tạo nho nhỏ mà dần đà thắp sáng niềm say mê toán học ở HS
Ví dụ 5: Trong không gian cho 2 tia Ax, By chéo nhau Lấy M thuộc
Ax.(P) qua By và song song Ax Đường thẳng d qua M song song với AB cắt
(P) tại I Xác định giao điểm I và tim tap I khi M chạy trên Ax
Phân tích:
-Xác định giao điểm I của d với (P)
-Tìm qui tích của I khi M chạy trên Ax
Dự đoán:
M chạy trên Ax thì I chạy trên đường thẳng nào đó song song với Ax Ta sẽ chứng minh phần thuận để làm rõ luận điểm này:
Trang 19= ABIM là hình bình hành va AM= BI
Khi M chạy trên Ax thi I chay trén Bz / Ax
Tất cả người giải toán đều phải xây dựng các phỏng đoán hay đề ra giả thiết và đó chính là năng lực dự đoán vấn đề của họ Như vậy thì điều kiện cần
để có một năng lực dự đoán tốt là người giải tốn phải khơng ngừng tích luỹ vốn tri thức, biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ và khi họ cọ sát nhiều với
dạng tốn khác nhau sẽ có thêm những kinh nghiệm quí báu cho bản thân
1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
Đứng trước một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những phương án
có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để
huy động kiến thức đối với việc giải tốn Nó được thể hiện qua các HĐ như:
- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên hệ liên mơn: đại số hố, hình học hố, lượng giác hoá,
- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc tơ và phương pháp
toạ độ), hoặc phương pháp biến hình
Ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết phải chuyển đổi ngôn ngữ từ đại số sang hình học hay ta nói là phương pháp hình học hố
200852008 4 720083 qd)
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:{X”"”+y”"”+z”"°=3 (2), với x,y,z>0
x??!0+y2019+z70!19=3 (3)
Đa số HS sẽ thấy ngợp hoặc lúng túng khi đứng trước bài tốn này, vì thơng thường các em liên tưởng đến phương pháp đánh giá nhưng việc đánh giá
Trang 202008_— v 1004.2—
x78 =x (x'04)? dé các em biết dịch chuyển ngôn ngữ, sử dụng phương
pháp véc tơ vào giải toán:
- > >
Xét trong không gian Oxyz: X (x14, y!04, 1004) Y (x 1005, y 1005, 71005)
XP
Hãy để ý (1).3) =4 _ ; Ø)=X.Y=3
ly |=3
2 3 DR) OD > >
vay: X Y=|X||¥| > cos(X, Y)=1 Do do
2008 _y 2009 sy 2009, TY 2008, ;Z
Vậy (x,y,z)=(1,1,1) là nghiệm duy nhất của hệ Ta đã giải xong bài toán
2010 2009
Hay: x z
một cách nhẹ nhàng Nhận thấy số mũ của hệ phương trình là các số tự nhiên liên tiếp nhau nên nếu khái quát hoá một chút sẽ có bài tốn sau:
x”+ y”+ zm = 3
Giải hệ phương trình: 4x”"”"+ y”"?!'+ 2" =3
2n+2 2n+2 47°33 2n+2 _
x"? hy
Trong một số trường hợp cần phải chuyển hố hình thức của đối tượng cho
phù hợp với nội dung để phát hiện cách huy động kiến thức đúng đắn trong HĐÐ
nhận thức, việc chuyển hố đó có khi phải nhờ đến HĐ lượng giác hố Ta xét
ví dụ 2x y= 2 2 l-x 2x+ x‘y=y 2y
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: {2y+y”Z=z © “Ly
2z +2?x =X 2z x=
"1z
Trang 21y =tan2œ z = tan4œ x = tan8a
sin7œ
Ta có tan§ơ = tanœ => tan8oœ - tana = ———————= cos8acosa
nt nt
7a=nt >a = Km Vậy x= tan oe
Vấn đề đặt ra là làm sao biết được bài tốn lại có cách giải như thế? Nói
chung chúng ta khơng có một chìa khố vạn năng để mở ra tất cả cách giải cho các loại bài toán mà nhiều khi muốn giải được nó cần phải sử dụng kinh nghiệm, phải có vốn kiến thức, phải có năng lực tư duy
Việc chuyển đổi ngơn ngữ có thực hiện được hay khơng cịn phụ thuộc vào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài tốn đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ nào, nếu là bài tốn hình học thì làm sao để chuyển sang được ngôn ngữ véc tơ hoặc toa độ Tuy nhiên khơng phải bài tốn nào cũng chuyển đổi được ngôn ngữ Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài tốn hình học có
giải được bằng phương pháp véc tơ một cách thuận lợi hay không là khả năng diễn đạt các khái niệm, các mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố
cần tìm ra ngơn ngữ véc tơ Nếu sự “phiên dịch” khơng gặp khó khăn lớn thì
việc sử dụng véc tơ để giải bài tốn đó là có cơ sở
Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp HS có thêm những định hướng,
những đường lối cho việc tìm tịi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau Ta sẽ lấy ví dụ để minh hoạ cho điều đó
Ví đụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A BC Gọi L,J lần lượt là trung điểm của A'D' và BB Chứng minh rằng: I J.L AC
Cách]: (Phương pháp vectơ)
> => > > >, >
a
„ —> =>
Đặt AB= a ;AD=b ;AA =c Tacó a,b,c đơi một vng góc và
> >
Trang 22Cách 2:(Phương pháp toa dé)
Khơng mất tính tổng qt ta cho cạnh lập phương bằng 1 Chọn hé toa do
ĐêCác vng góc có gốc là A và các trục Ax, Ay, Az lần lượt chứa các cạnh
AB, AD, AC Khi đó toạ độ các đỉnh: A(0,0,0) ; B(1,0,0); C(0,1,0); A’(0,0,1); B(1,0,1); C(1,1,1); D(0,1,1)
Ta có: 10,10 ;1/0.1) a có: 10, 2,1) ;J,0,2) = =d=q-1-T); H= 2 2) AÈ =d11 =(1,1,1)
7? >, 11 > >,
Do dé: I.AC =1-5-5=05U LACS ULACE
1.2.3 Năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập
tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trị khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo
Biến đổi về dạng tương tự là một HĐ biến đổi đối tượng, HĐ này thể hiện
trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của HĐ ( các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các
quan hệ giữa chúng) Những HĐ đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình
thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có;
Trang 23với tư cách là sản phẩm của HĐ nhận thức Để sự tìm tịi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể
Việc biến đổi đối tượng sẽ dẫn đến những bài toán tương tự Có rất nhiều
dạng tương tự, ví dụ sau đây thể hiện một sự biến đổi để đưa về dạng tương tự
đã biết:
Ví dụ 9: — Giải phương trình^/5-x = x”-5
Với bài tốn này nếu ta cứ đem bình phương hai vế để khử căn bậc hai thì sẽ được một phương trình bậc 4 không đầy đủ Khi đó HS sẽ thấy mất phương hướng giải quyết vấn đề Vậy phải làm cách nào? Ý nghĩ thông minh nhất lúc
này là tìm cách biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải Có thể bằng cách này hay cách khác nhưng nếu thật để ý và táo bạo một
chút thì ta xem 5 là ẩn và x là tham số Đặt 5 = t (t >0) 5 t-x = (x*-t)?
PTS \Vtx=x-to lề >0
Giải PT: t-x = (x? - t)? © t -(2x?+1)t +x'+x =0 là một PT bậc hai ẩn t
Từ đó có thể dễ dàng tìm được x
Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài
toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Việc biến đổi đó có
thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của HS hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán phẳng với bài toán không gian Việc làm này thể hiện ở việc xét cái tương tự giữa những
vấn đề trong không gian đối với những vấn đề trong mặt phẳng: cái tương tự với
mặt phẳng là đường thẳng, mặt cầu là đường tròn, cái tương tự tứ diện là tam
giác, Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bài toán tương tự
Trang 24AB, AC, AD tại các điểm tương ứng M, N, P thì sáu điểm B, C, D, M, P thuộc mặt cầu
Trước khi giải quyết bài toán này ta có thể giải bài toán phẳng tương tự sau: “ Nếu đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối tâm vòng tròn ngoại tiếp với đỉnh A của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC tại các điểm M, N tương ứng thì bốn điểm B, C, Ñ, M thuộc một đường tròn”
Trong quá trình giải các bài tốn, bằng HĐ phân tích có định hướng cần “nhìn thấy” mối liên hệ giữa các bài tốn khơng những về tính chất của kết luận, về công cụ sử dụng để giải bài toán mà cần phát hiện được mối liên hệ cấu trúc của bài tốn: “Nhìn thấy” một bài toán là bộ phận của bài toán khác hay kết luận của bài toán cần chứng minh có thể suy ra từ bài toán đã biết
3
Ví dụ 11: Cho tam giác vuông ADB ( D =Iv).Vẽ đường cao DE Gọi M, J tương ứng là trung điểm của DE và BE Chứng minh AM L DỊ
Lời giải:
Ta có thể sử dụng phương pháp Vectơ để giải quyết bài toán trên
Việc đầu tiên là HS phải biết chuyến đổi ngôn ngữ Từ giả thiết:
_> —> - A
DE 1 AB=> DE AE=0 va DE AB=0
> 5
AD1DB=> DA DB=0
Do M, J lan Ivot 1a trung diém DE, EB nén: ee ee ee ee
AM DI = ;( AD + AE )( DE + DB ) Ị
IL.> > >> 3D
=, (AE DB +AE DE ) D
I.> >> ¡c
= (DE - DA) DB + AD DE]=7 DE AB =0
> -> =>
Suy ra: AM L DJ <> AM(DE+ DB)=0(1)
Vi du 12: Cho tam giác cân ABC tại A vẽ đường cao AD, vẽ DEL AB,
Trang 25Loi gidi:
> 5
Tacé: CEL AMS CE.AM=0
> => => â AM(DE-DC)=0
ơ
©AM(DE+DB)=0 (2)
So sánh 2) ta có kết luận 2 bài toán
tương đương Nhận thấy DJ là đường trung bình của tam giác CEB nén DJ ⁄CE do vậy CE.L AM © DJ L AM -
Nhu vậy khi xác định năng lực HĐKT thì khả năng biến đổi vấn đề, biến đổi các bài tốn đóng vai trò rất quan trọng Nhờ quá trình biến đổi vấn đẻ,
biến đổi các bài tốn HS có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương tự đã giải
1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau
Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện
chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài tốn có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lượng giác hố, hình học hố; hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữ như: chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng
hợp sang ngơn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ giác có một
cạnh bằng không, một tứ giác có một góc bằng 180, cái tương tự như tứ diện trong không gian, hoặc xem xét, đặt nó trong mơi trường không gian khác, chẳng hạn có thể nghiên cứu hình chóp trong hình hộp, đường tròn trong một
mat cau,
Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm tốn có thói quen nhìn nhận
theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc xảo một niềm tin
Trang 26Vi du 13: Day của hình chóp S.ABCD 1a hinh binh hanh Mot mặt phẳng
bất kì cắt cạnh bên của hình chóp tại các điểm K,L,M,N bắt đầu từ SA
á inh: S4 4 SC _ SB, SD
Chứng minh: SK *t SM= su? SN
Khi nhìn vào kết luận của bài toán HS rất dễ liên tưởng đến định lí Talet nhưng có mơt mâu thuẫn là khơng có dấu hiệu về tỉ lệ giữa các cạnh Cần phải có sự tư duy khác để huy động kiến thức phù hợp với yêu cầu đặt ra
HS dễ dàng chứng minh được KM, LN, SO đồng qui tại ILmặt khác 2 tam
giác có chung đáy và đường cao tỉ lệ với nhau tương đương với diện tích 2 tam giác đó tỉ lệ Nhưng ở bài tốn này khơng nhìn thấy đường cao thì ta có thể
thay thế cơng thức nào khác để tính diện tích?
Bài tốn được giải như sau: Cách 1:
Gọi dt ASAO = dt ASOC =S; dt ASKTI=S,; dt ASIM=§, Vì diện tích ASKT và dt ASAO tỉ lệ với nhau:
1 „1
5 SK.SI sinKSI 2
dt ASKI - - SK.SI hay S,_ SK.SL (1)
dtASAO † Ä SA.SO Ss SA.SO
2 SA.SO sin ASO
§,_ SLSM
Tương tự: *2= So.sc 2
dt ASKM _ SK.SM hay StS; _ SK.SM @) dtASAC _ SA.SC 2S SA.SC
SAS, SL, SK , SM Cộng (1),(2): 3S2= So Sa + SC) SI, SK.SC + SM.SA of sasc 4) ¿ ` 28O0_ SA , SC Thé (3) vao (4): “ST = SK +t SM (5)
Trang 27SB , SD _280 SL * SN (6)
SA, SC _ $B, SD
Tu (5).(6) = gx + sq = SL + SN (đpem)
Rõ ràng việc HĐKT phải đúng đắn, linh hoạt và nếu càng có nhiều cách huy động khác nhau thì càng có nhiều khả năng giải quyết vấn đề đã đặt ra
Bằng những hoạt động tư duy khác, GV đưa ra cho HS hướng tìm tòi mới: Cách2: Sử dụng kiến thức: “Nếu điểm M thuộc (ABC) thì có 3 số x,y,z
> > lS >
ma xt+y+z=1 :OM =xOA +yOB +zOC với mọi điểm O” >> 3
Chon hé véc to g6c{ SA , SB, SC }
pat SSom - Bay SCL, SDL sk -™ > SEs sMm~P SN 74:
Ta phai chttng minh : m+p=n+q > > => 3 Do ABCD là hình bình hành nên: SA + SC= SB + SD > 1 > 7 n> > SA = — (SD + SB - SẺ) = 45N +” sB- P SẺ Ta có SK = + m — m PL m 3|5 Mặt khác: K,L,M,N cùng thuộc mặt phẳng nên a + hay: q+n=m +p (dpem)
Cách 3: Dùng thể tich dé chitng minh hé thitc
Dat V = Veapcp- Ta C6 : Vexun + Vsxim = Vsxne + Vsuxm SA SB SC Vv, SA SD SC V
SK'SN'SM' 2 ”SK' SL'SM'2” SA SB SD V | SB SC SD V Z §K 'SN 'SL '2 * SN’ SM‘ SL° 2
SA SB SC SD V
Chia hai vế cho &c SK'SN'SM'SL'2 SA, SC_SB, SD, SK * SM~ SL * SN (đPem)
Trang 28Đôi khi người làm tốn cịn phải xem xét bài tốn dưới góc độ khác tức là chuyển từ việc giải bài toán đại số hoặc giải tích trở về giải bài tốn hình học
_—> =>
Chẳng hạn từ một tri thức đã biết : Với hai véc tơ u , v khác ở thì —>—> ¡| DP — —>
| |.| v | cos( u,v)
> > 2 ⁄ 2
Chú ý cos( u, v ) < 1 ta có thể suy ra các bất đăng thức:
—> —> —>| ¡—>
w.v <|u||v |: Iu.v|< [ul|.|v|ap
Ta xét trong hệ toạ độ Đêcac vng góc ừ =(X¡:y,;Z,) và v =(X;;Y;;Z;) thì biểu thức giải tích của ),(I) là:
XIX;tY,Y;†Z/Z2 < VjXi+y¡j+Z4ˆ \X;+y; +22 ()
lx,Xzty,yztZ/2L < Vx) +y,7+2,> xy +y2"+2,° (IT)
Các bất đẳng thức trên gợi ý cho việc vận dụng chúng vào giải một số bài toán như: chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ phương trình
hoặc bài tốn cực trị
Ví dụ 14 :Giải bất phương trình
^jx+1 +^/2x-3 + \/50-3x < 12
Lời giải: Tập xác định của vế trái là |9 lA lA |S o
> >
Xét các véc to u = (\/x+1 3 \/2x-3 ; \/50-3x ) va v = (13151)
> >
tacé |u| =\/48 =4,\3 va v =\3
Theo (†) bất phương trình đã cho luôn được thoả mãn.Vậy nghiệm của
v50
3
Trang 29Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy nếu biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng, người giải toán biết liên tưởng, huy động kiến thức phù hợp sẽ mang lại một cách giải quyết vấn đề tốt đẹp nhất
Ví dụ 15:(Bài toán lớp 7) Cho tỉ lệ thức 5 = ` Biết rằng xy = 90 Tính x, y Cách1: Hiển nhiên x # 0 Nhân cả hai vế của 5 = š với Xx,
2 2
tacộ:đ =*Ơ og â 2 5 2 5 Lig & x2=36, Do đồ x= +6=> y=‡ l5
Cách 2: Dat 5 =F =k thi x=2k, y=5k Thay các giá trị này vào xy = 90 ta có kết quả trên
*Vận dụng làm bài tập sau: Tìm x, y, z biết: i = = a2 „ VỚI XyZ=l2
Với bài toán này mà chỉ nhìn ở cách giải thứ nhất sẽ không cho kết quả mong đợi, nó chỉ được giải quyết khi ta áp dụng cách giải thứ 2 Như vậy biết nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau khơng những củng cố
được kiến thức mà còn rèn luyện, bồi dưỡng thêm khả năng HĐKT ở HS
Việc tăng cường mối liên hệ giữa các chương, mục trong một môn học cũng hình thành nên các cách giải quyết khác nhau cho một vấn đề
Ví dụ 16: Để chứng minh hai đường thẳng vng góc trong khơng gian ta
có thể thực hiện bằng nhiều cách:
Cách I: Sử dụng mối quan hệ song song, vuông góc (thể hiện trong hai chương quan hệ song song, quan hệ vng góc)
Cách 2: Sử dụng phép quay góc 90( thể hiện ở chương phép biến hình)
1.3 Phát triển năng lực HĐKT cho HS thông qua việc vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.3.1 Vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo vào dạy học toán
Ta đã biết phương pháp dạy học theo quan điểm kiến tạo là phương pháp
Trang 30em phát hiện ra kiến thức mới; Tạo cho HS cơ hội tập duyệt đề xuất các phán
đoán, các “giả thuyết” HS thể hiện năng lực huy động kiến thức bằng việc chứng minh để kiểm nghiệm các phán đoán Nếu phán đoán đúng tức là tri thức đó đã được thích nghi và các em đã có một tri thức mới vừa kiến tạo
Để trả lời câu hỏi: “ năng lực huy động kiến thức của HS được thể hiện ở
những khâu nào khi vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo vào dạy,học tốn
Cần phải làm gì để mọi HS đều có thể tham gia vào quá trình kiến tạo tri
thức?” Ta thấy nhiệm vụ của GV là phải khai thác từ nội dung dạy học xem
chỗ nào có thể cho HS tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức, kĩ năng cho họ
Từ đó thiết kế tình huống, chuẩn bị các hoạt động, câu hỏi, hướng HS tham gia
vào quá trình kiến tạo Trong q trình này HS có thể trình bày quan niệm, nhận thức của mình; có thể tranh luận để đi đến thống nhất ý kiến GV gợi ý,
phân tích các ý kiến, uốn nắn nhận thức cho HS, thể chế hoá kiến thức cho HS
Ví dụ I7: Dạy học khái niệm đường vng góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau trong khơng gian (Hình học 11)
Ta sử dụng kiến thức đã có về hình lập phương để chứng tỏ tồn tại đường
thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau và vng góc với hai đường thẳng đó * Cho hình lập phuong ABCD.A BCD B Cc
Hãy chỉ ra những đường thẳng vừa vng góc
v6i AA’, vừa vng góc với BC; AY vừa vng góc với A’A vita vudng géc BD” \
+) Các HĐ để HS huy động kiến thức:
~Trong những đường thẳng vừa kể ra ở
trên đường thẳng nào vừa vng góc, vừa cắt cả AL “
hai đường thẳng đã cho?
-Có bao nhiêu đường thẳng vừa vng góc vừa cắt cả hai đường thẳng đã cho? Hãy lập luận nhận xét của mình
Trang 31-Tinh chất “ngắn nhất” của đường vng góc trong mặt phẳng còn đúng với khái niệm này khơng?
- Có luôn tồn tại khái niệm đường vng góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau trong không gian hay không? Hãy tìm hiểu vấn để này qua các
trường hợp sau:
Trường hợp 1: a,b chéo nhau và vng góc với nhau (Hình vẽ) Gọi (P) D b và vng góc a, giao điểm của (P) và a là H
Trong (P) dựng HKL c, HK L b thì HK là đường vng góc chung cua a
và b (Sự phát hiện này còn cho ta một qui trình xác định đường vng góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau trong không
gian)
Trường hợp 2: a, b chéo nhau bất kì ( Hình vẽ)
Goi (P) > b và (P) ⁄⁄ a, gọi c là hình chiếu vng góc của a trên (P) thì
đường vng góc chung của a và b được xác định như thế nào?
Gọi K=b“ c (tại sao ln có giao điểm này?), gọi d là đường thẳng qua K và vng góc với (P),d¬ a=H
(vì sao d ln cắt a2) thì HK là đường vng góc chung cua a và b
H a K b)
Cuối cùng là HS có các hoạt động để củng cố khái niệm
Một trong những năng lực kiến tạo là việc luyện tập cho HS thói quen
khai thác tiểm năng SGK, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán
Trang 32Bài toán : Trong fam giác ABC ta có a = : (2b°+2c’-a’) (1)
Ta thử suy tư thêm xem sao Sẽ có hai hệ thức tương tự cho m',„ mỶ, ¬ 4 4 2 2 2 3 2 2 2 Từ đó có ngay: m,ˆ+mf,+m c= gla +b“+c') Sử dụng (*) từ (1) ta lại viết: m, = i (b*+c7+(b*+c?-a’)) = ; (b*+c?2becosA) al 2 2A 2A =1 ((b-c)“+4bc cos 2 ) = becos' 2° Do đó ta có bài toán A Bài toán l: Trong fam giác ABC ta có m, 2 be cos > (2) Tuong tu c6é cdc bat dang thttc cho m,, m, va din đến:
Bai toan 2: Trong tam gidc ABC ta có
Cc m, M,.m, 2 abc.cos 2 C08 5 COS >
hay là :
™m,.My™M, he 26085 COS 5 COS 5 A B C
Từ (1) có thể viết
2 222 2x1 > 9» _f
a= : (2bˆ+2c-a') 2 7 ((b+cy- a) = 4 (b+c+a)(b+c-a) = p(p-a) Do đó ta được
Bài toán 3 Trong tam giác ABC ta có
m, 2 \\p(p-a) Tuong tu voi m,, m,
Như GS Nguyễn Cảnh Toàn đã viết trong tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn
Trang 33“Các ban đã có sẵn một lịng u tốn, chỉ cần các bạn biết cách tập dượt suy nghĩ sáng tạo và bền bỉ, kiên nhẫn tập dượt thì rồi nay mai, bạn sẽ thấy rằng
phát minh tốn học khơng phải là một điều gì thần bí cao xa”
1.3.2 Vận dụng phương pháp dạy học PH & GQVĐ để học sinh HĐKT
trong giải toán
Then chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là GV thiết kế được những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình huống có
vấn để, khai thác được những nội dung bài học một cách triệt để, có những sáng tạo trong xây dựng những bài toán Mỗi một bước thực hiện là HS đã phải trãi nghiệm qua hàng loạt kiến thức khi được huy động và họ phải phân tích, chọn lựa để tìm ra kiến thức nào là phù hợp, là đúng đắn
Từ việc nghiên cứu phương pháp dạy học PH và GQVĐ giáo viên xác lập một quy trình giải tốn để HS phát triển được năng lực HĐKT, đó là:
Bước I: Tạo tình huống gợi vấn đề:
+ Đưa học sinh vào tình huống gợi vấn đề + Phân tích tình huống đó
+ Dự đốn vấn đề nảy sinh và đạt mục đích xác minh tính đúng đắn
Bước 2: Giải quyết vấn đề:
+ Phân tích mối quan hệ giữa dữ kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm + Đề xuất, lựa chọn hướng giải quyết và tìm tịi lời giải
+ Thực hiện lời giải
Bước 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:
+ Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải
+ Phát biểu chính xác vấn đề (kiến thức mới cần lĩnh hội)
+ Xét khả năng ứng dụng của nó + Vận dụng vào tình huống mới
Tất cả những vấn đề đó đều địi hỏi HS phải có một năng lực trí tuệ nhất
định, năng lực HĐKT thích hợp mới giải quyết được yêu cầu đặt ra Ví dụ 19: Dạy giải bài tập
Trang 34Sin?A+sin?B +sin°C=2 +cosAcosBcosC(#)
Bước: Tạo tình huống gợi vấn đề:
+) Đưa HS vào tình huống gợi vấn đề GV nêu ra ba bài tập nhỏ: Bài T: Cho tam giác ABC vuông cân tại A
Tính sin?A + sin?B + sin°C và cosAcosBcosC
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 60°, C = 30° Tính sin?A + sin?B + sin°C và cosAcosBcosC
Bài 3: Cho tam giác ABC đều
Tính sinˆA + sinˆB + sinˆC và cosAcosBcosC
+) Phân tích tình huống:
So sánh giá trị sin?A+sin’B+sin’C và cosAcosBcosC trong 3 bài tập trên Dự đoán vấn để: Sin?A + sin°B + sin°C = 2 + 2cosAcosBcosC
Bước 2: Giải quyết vấn đề
+) Phân tích mối quan hệ giữa dự kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm
-_ Điều kiện đã cho: A, B, C là các góc của một tam giác - A+B+C=rr và vấn đề cần giải quyết: Chứng minh rằng:
Sin?A + sin’B + sin?C = 2 + 2cosAcosBcosC (0 < A,B,C < z)
Đối với các tam giác đặc biệt ở bài 1, 2, 3 vấn đề được đặt ra có tính đúng đắn +) Đề xuất, lựa chọn hướng giải quyết và tìm tịi lời giải
Hướng 1: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) về đẳng thức đúng
Hướng 2: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) về vế phải (sử dụng công
thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích)
Hướng 3: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) vẻ vế phải (sử dụng cơng
thức biến đổi tích thành tổng)
+) Thực hiện lời giải
Trình bày lại 3 cách giải
Bước 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:
Trang 35+) Khang định lại vấn đề dự đoán là chính xác Kiểm tra lại dự kiện đã cho xem đã sử dụng hết chưa? Có thể phát biểu lại bài toán như thế nào?
( Cho A + B+ C = x, chứng minh rằng:
sin?A + sin’B + sin?C = 2 + 2cosAcosBcosC )
+)Xét khả năng vận dụng kết quả trên để giải bài toán: “Cho tam giác ABC
có: Sin°A + sinˆB + sin?C = 2 CMR tam giác đó là tam giác vng”
Vận dụng vào tình huống mới
Dự đoán vấn đề mới: Trong tam giác ABC có: Cos’A + cos’B + cos”C = 2 + 2 sinAsinBsinC
Ví dụ 20: Dạy học phát hiện khái niệm phương tích của một điểm đối với
đường tròn
“Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A; vẽ đường cao AH Chứng minh ‘CH CB =CA”,
GV có thể chỉ dẫn để HS vẽ đường tròn đường kính AB tâm O và yêu cầu
HS tinh CH, CB qua CO và R = } AB (Hình vẽ)
«|
|
HS tính được CA? = CO” - R?=> CH CB = CO” - R” Từ đó HS có thể
phát biểu và chứng minh mệnh đề tổng quát sau: Nếu từ điểm C bất kỳ vẽ cát tuyến cắt đường trịn tại A, B thì ta có hệ thức CH_ CB =CO?-R”
Ta sẽ có khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn
Trang 36y=\/4-x’; y=X
Bước I: Nêu tình huống gợi vấn đề - Cơng thức tính diện tích của hình phẳng?
Giao điểm của 2 đường cong có toạ độ ( + ^/3 ;1) nên diện tích của hình
phẳng cần tính bằng:
x3
S=2 la - X di (Hình vẽ)
Bước 2: Giải quyết vấn đề
x3
-Tính I= [vee dx bằng cách như thế nào ?
0
Hướng !: — Đổi biến số: x= 2sint ta được
x 3 x
3
1,=|4-x?dx= J Acos*t.dt =2( t+ 5 sin2) |” =2( xt 3 )
0 0
\3
-Tinh L= J Xá = V3 Vậy S=2(1,+L)= Tu, 0
Hướng 2:Thay cho việc tính I, ta thấy các giao điểm của phương trình
đường trịn y=/4-x” với đồ thị hàm bậc hai y = x là M( 5/3 ;1) và N(- ^/3 ;1) - Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong đó là phần nào?
- Vậy kiến thức cần sử dụng tiếp theo nữa là gì ?
4
Gọi O(0;0), A(2;0) thì tanMOA = a nén MOA= 30° Sy gua= + :
Trang 37\3
Cử -Š) áx =ŸŸ 1 an 3
0
Bước 3: Kiểm tra và vận dụng kết quả HS nhận xét hai cách giải quyết vấn đề
Nếu thay đường tròn bởi elip thì kết quả như thế nào ? Ta có bài tốn sau Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong:
+
BK vày=-
Xo
|,
y=
1.4 Một số tri thức định hướng năng lực huy động kiến thức
1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng
Phương pháp luận của phép duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan trọng và cần thiết trong dạy học Tốn, nó được áp dụng vào các phương pháp dạy học và giúp cho người học thấy được sự biện chứng trong nội tại của toán học thể hiện qua các cặp phạm trù về mối quan hệ chung - riêng, mối quan hệ
nhân - quả, mối quan hệ giữa nội dung - hình thức, Nắm được phương pháp
luận của phép duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh hiểu sâu được cội nguồn
của Toán học, thấy được mối liên hệ đan xen của các đơn vị kiến thức và vận dụng chúng để tìm tri thức mới; mặt khác phép duy vật biện chứng còn rèn luyện khả năng sáng tạo, độc lập và biết phát hiện vấn đề trong cuộc sống
a) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan
hệ chung- riêng
Ta biết rằng phạm trù cái riêng dùng để chỉ một sự vật, một hiện tượng, một qúa trình còn phạm trù cái chung dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính
những quan hệ, những mối liên hệ tồn tại phổ biến ở nhiều sự vật, hiện tượng Liên hệ đến Toán học tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng khi nghiên cứu một vấn đề thông thường ta sẽ: “ Đi từ trường hợp riêng đến trường hợp chung, lấy
trường hợp riêng soi sáng cho trường hợp chung và vận dụng trường hợp riêng
Trang 38những trường hợp riêng là một thủ thuật ta rất hay dùng Chẳng hạn như trong Bài tốn tìm quỹ tích, Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không sử dụng đến
đạo hàm Có những bài toán mà khi khảo sát cái riêng sẽ cho ta cách tìm cái chung
Ví dụ 22: Yêu cầu HS tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y)(y+z)(Z+x), VỚI X+y+Z=l và x, y,Zz> 0
Khi đứng trước bài toán này nhiều HS cảm thấy e ngại song nếu GV hướng dẫn HS phân tích cái chung thành những cái riêng cụ thể, đó là:
xyz; (x+y)(y+z)(z+x), thì bài tốn sẽ được giải quyết một cách nhẹ nhàng
Áp dụng BĐT Cauchy cho từng cái riêng đó ta có:
1 = x+ytz > 34/xyz (1)
2 = (xty)+(ytz)+(xtz) > 3 */(x+y)(y+z)(x+z) (2)
Nhân vế với vế (1) va (2) ta duoc: 2>9/S & S< Gy = a9
335 © các đẳng thức (1),(2) xảy ra © x =y =z =3 Đẳng thức S = 7
8
Vay MaxS = 559 khix=y=z=
Whe
Qua q trình phân tích từ cái chung dẫn tới cái riêng chúng ta đã đưa việc dùng BĐT Cauchy cho một biểu thức (rất khó thực hiện) về dùng BĐT Cauchy cho từng nhóm biểu thức đơn giản để tìm GTLN
Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác
nhau thì có thể khái qt thành nhiều cái chung khác nhau, chẳng hạn ta có thể
Trang 39Đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại được một cái riêng và cứ như thế ta sẽ tìm ra được những cái mới, chẳng hạn một tứ giác đem đặc biệt hoá theo các tính chất và quan hệ giữa các cạnh, các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng
Trong dạy học Tốn, nếu người giáo viên nắm được mối quan hệ giữa cái chung - cái riêng, biết biến đổi phát triển bài toán thành chuỗi các bài tốn thì
khơng những HS hiểu được sâu sắc kiến thức của bài tốn đó mà còn biết thêm
các kiến thức khác và đem lại hiệu quả cao trong học tập (phần này sẽ được thể
hiện tiếp trong chương 2)
b) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan hệ giữa nội dung - hình thức
Theo quan điểm triết học, nội dung là những mặt, những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật; hình thức là phương thức tồn tại và phát triển của sự vật hiện tượng, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật Nội dung và hình thức khơng tồn tại tách rời nhau, nó có sự thống nhất biện chứng với nhau Nội dung giữ một vai trò quyết định đối với hình
thức trong quá trình vận động và phát triển của sự vật, và hình thức cũng có tác động sâu sắc tới nội dung
Vận dụng vào toán học ta có thể mơ tả mối quan hệ giữa nội dung “Điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB” theo sáu hình thức để làm sáng tỏ quan điểm trên: A, B, O thẳng hàng và OA=OB; D,: A —> B (B là ảnh của A qua
> >
Trang 40> >
Ngược lại từ đẳng thức hình thức: OA = -OB có thể liên tưởng các nội
> >
dung: O là trung điểm đoạn AB; hai véc tơ OA và OB đối nhau; A là ảnh của B qua phép vị tự Vụ
Trong thực tế ở một số tình huống nội dung có thể bị che lấp bởi hình thức, hình thức biểu thị khơng bình thường Vì vậy cần tăng cường diễn đạt nội dung
đó qua những hình thức khác nhau để tạo điều kiện cho các em huy động được tốt
kiến thức và kinh nghiệm đã có vào giải quyết nội dung.Chẳng hạn ta có ví dụ:
x"+y”"+z”" =3
“Giải hệ phương trình: 4x?"?!+ y”*!'+ z”*”' =3, với x,y,z>0.” x”?+ y2? +z2=3
HS sẽ không biết bắt đầu như thế nào bởi những phương pháp và tri thức
đã có quá xa lạ với hình thức biểu thị nội dung đó nên cần phải có sự biến đổi hình thức để đưa việc giải hệ phương trình đại số về việc giải bài toán bằng
phương pháp véc tơ
Đơi khi trong q trình giải tốn HS cịn phải biết biến đổi đối tượng bằng cách chuyển hố hình thức của đối tượng cho phù hợp với nội dung để phát hiện cách HĐKT một cách đúng đắn
Vi du 23: Đề xuất cho HS hoạt động tìm nghiệm (x, y, z, t) của hệ :
x?+y?=9
Z'+Ú=l6 để x+z đạt giá trị lớn nhất Xét bài toán với tư cách là đối tượng
Xt+yz > 12 x?+y?=0