Tích phân hàm lượng giác

CHUYÊN ĐỀ VI: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP ATích phân dạng: Fsinx;cosxdx Trong đó Fsinx;cosx là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx.. 1 Nếu Fsinx;cosxlà một hàm số chẵn đố

CHUYÊN ĐỀ VI: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP

A)Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx

Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx

1) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là

F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)

2) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là:

F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx

3) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là:

F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx

4) Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : 2

2t sinx=

1+t và

2 2

1-t cosx=

1+t

B)Tích phân dạng : sin x.cos xdxm n với m,nZ

1) Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn :

+ Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx

+ Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx

2) Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dưới dấu tích phân:

x x sin 2x

2

1 cos

sin  ; sin 2 1 cos2 2x

x   ; cos 2 1 cos2 2x

x 

3) Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo

sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

C)Tích phân dạng : cosax cos. bxdx ; sinax cos. bxdx ; sinax sin. bxdx

Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:

ax bx cos(a b)x cos(a b)x

2

1 cos

ax bx cos(a b)x cos(a b)x

2

1 sin

.

ax bx sin(a b) sin(a b)x

2

1 sin

.

D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:

1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì 



a

a f(x)dx = 0 Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi biến x = -t

2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì    

b

a f x dx

b a b

a xf(x)dx 2 ( )

( thường gặp :   







0(sin ) 2

Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t =  x)

3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì :

























dx

b x f b

b f x dx

b

b a x

dx

x

f

0 ) ( )

( 2

1 1

)

(

Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t

 Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên b b f x dx

b f x dx  



) ( 2 )

( Cách chứng minh điều này

như sau: b f x dx

b dx x f b

b f x dx  



) (

0 ) ( )



0 ) (

b f x dx bằng cách đặt x= -t

Tính các tích phân sau:

Bài 1: 4

0 cos6



x dx

Bài 2: 2 

6

4 sin



dx

Bài 3: 4

0 4



xdx

tg

Bài 4: 2 

3

4 sin

3 cos



dx

Bài 5: 2 

5 4



dx x

Bài 6: 4 

3 4



dx x x

Bài 7: 2 

2 2

3



xdx x

x



4

sin cos

sin 1

2 cos (

3



dx x

x x

x x



0sin3x(cosx sin5x)dx

Bài 10: 



 3

sin 1



dx x

x

Bài 11: 2  

6 sin

) cos 1 (



dx x

Bài 12: 4

0 cos4

2 sin



dx x x

Bài 13: 

3 6

4 cos 4 sin



dx

Bài 27: 

3 4

3 cos sin



dx

Bài 14: 

3 4

3 cos 3 sin



dx

Bài 15:    



2

2

Bài 16: 





2



x x

dx

Bài 17: 



2

3 sin 4



x xdx

Bài 18: 





01 cos2

3

x

x x

Bài 19: 





01 sin2

sin

dx x

x x

Bài 20: 

 2

cos 2



 x x x dx

Bài 21: 

 4

4 cos 4

sin



 x x x dx

Bài 22: 



4



x dx

Bài 23: 3

0 cos2 tan



dx x x

Bài 24: 4

0tan 6



xdx

Bài 25: 



2



x dx

Bài 26: 



4

0cos4 sin4

2 sin



dx x x

Bài 33: 



2

3 cos 4



x xdx

Bài 28: 



4

0cos 1 sin2

sin



dx x x

x

Bài 29: 

3 6 4



 tg x dx

Bài 30: 2

3



xdx

Bài 31: 2

2



xdx x

Bài 32: 



2



x

Bài 34: 2



xdx x

x

Bài 35: 





sin

dx x

x x

Bài 36:

 4 2

0 sin



x

Bài 37: 







 2

) 1 cos (sin



x x

dx x x

Bài 38: 



1

1 2

3 6

1

sin

dx x

x x