Tích phân hàm lượng giác

CHUN ĐỀ VI: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP A)Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx ∫ Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx. 1) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx) 2) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là: F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx. 3) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là: F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx. 4) Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : 2 2t sinx= 1+t và 2 2 1-t cosx= 1+t B)Tích phân dạng : m n sin x.cos xdx ∫ với Znm ∈, 1) Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn : + Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx + Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx 2) Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dưới dấu tích phân: xxx 2sin 2 1 cossin = ; 2 2cos1 sin 2 x x − = ; 2 2cos1 cos 2 x x + = 3) Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) C)Tích phân dạng : ∫ bxdxax cos.cos ; ∫ bxdxax cos.sin ; ∫ bxdxax sin.sin Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức: [ ] xbaxbabxax )cos()cos( 2 1 cos.cos −−+= [ ] xbaxbabxax )cos()cos( 2 1 sin.sin −−+−= [ ] xbababxax )sin()sin( 2 1 sin.sin −++= D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt: 1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫ − a a dxxf )( = 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi biến x = -t. 2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì ∫ + = ∫ b a dxxf ba b a dxxxf )( 2 )( ( thường gặp : ∫ = ∫ π π π 0 )(sin 2 0 )(sin dxxdxxxf ) Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = x− π ) 3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác đònh trên R thì :         ∫ = ∫ − = ∫ − + dx b xf b b dxxf b b x a dxxf 0 )()( 2 1 1 )( .Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t • Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên dx b xf b b dxxf ∫ = ∫ − 0 )(2)( .Cách chứng minh điều này như sau: dx b xf b dxxf b b dxxf ∫∫ − += ∫ − 0 )( 0 )()( rồi tính ∫ − 0 )( b dxxf bằng cách đặt x= -t. Tính các tích phân sau: Bài 1: ∫ 4 0 6 cos π x dx Bài 2: ∫ 2 6 4 sin π π x dx Bài 3: ∫ 4 0 4 π xdxtg Bài 4: ∫ 2 3 4 sin 3 cos π π x dx Bài 5: ∫ + 2 0 )sin(sin 54 π dxxx Bài 6: ∫ + 4 0 )tan(tan 34 π dxxx Bài 7: ∫ + 2 0 cos)sin(sin 223 π xdxxx Bài 8: ∫ + + 4 0 ) cos sin cossin1 2cos ( 3 π dx x x xx x Bài 9: ∫ + π 0 )5sin(cos3sin dxxxx Bài 10: ∫ − + 3 0 sin1 sin1 π dx x x Bài 11: ∫ + 2 6 sin )cos1( π π x dxx Bài 12: ∫ 4 0 4 cos 2 sin π dx x x Bài 13: ∫ 3 6 4 cos 4 sin π π xx dx Bài 14: ∫ 3 4 3 cos 3 sin π π xx dx Bài 15: ( ) ∫ ++ π 2 0 sin1 2 sin dxxx Bài 16: ∫ ++ 2 0 cossin1 π xx dx Bài 17: ∫ + 2 0 cos1 3 sin4 π x xdx Bài 18: ∫ + π 0 2 cos1 3 sin dx x xx Bài 19: ∫ + π 0 2 sin1 sin dx x xx Bài 20: ∫ − + + 2 2 12 cos 2 π π dx x xx Bài 21: ∫ − + + 4 4 13 4 cos 4 sin π π dx x xx Bài 22: ∫ + 4 0 tan1 π x dx Bài 23: ∫ 3 0 2cos tan π dx x x Bài 24: ∫ 4 0 tan 6 π xdx Bài 25: ∫ + 2 0 cos2 π x dx Bài 26: ∫ + 4 0 4 sin 4 cos 2sin π dx xx x Bài 27: ∫ 3 4 3 cossin π π xx dx Bài 28: ∫ + 4 0 2 sin1cos sin π dx xx x Bài 29: ∫ 3 6 4 π π xtg dx Bài 30: ∫ 2 0 3coscos 3 π xdxx Bài 31: ∫ 2 0 4cossin 2 π xdxx Bài 32: ∫ + 2 0 cos23 π x dx Bài 33: ∫ + 2 0 sin1 3 cos4 π x xdx Bài 34: ∫ 2 0 4sin2coscos π xdxxx Bài 35: ∫ + π 0 2cos7 sin dx x xx Bài 36: ∫ 4 2 0 sin π xx Bài 37: ∫ ++ +− 2 0 3cos2sin )1cos(sin π xx dxxx Bài 38: ∫ − + + 1 1 2 36 1 sin dx x xx . CHUN ĐỀ VI: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP A )Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx ∫ Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx. 1) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn. xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) C )Tích phân dạng : ∫ bxdxax cos.cos ; ∫ bxdxax cos.sin ; ∫ bxdxax sin.sin Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích. phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt: 1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫ − a a dxxf )( = 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi biến x = -t. 2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b]