Tổng hợp các tài liệu ôn thi Đại Học hay và có đáp án, giúp các em nắm chắc kiến thức, phát triển tư duy, các tài liệu đều được biên soạn kĩ càng, cô đọng nhất để gúp các em hiểu sâu vấn đề, với mong muốn mở rộng cánh cửa Đại Học với các em hơn, giúp các em thực hiện mơ ước của mình Chúc các em học tốt Ban biên soạn tài liệu.
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn Trang 1 TP1: TCH PHN HM S HU T Dng 1: Tỏch phõn thc Cõu 1. x Idx xx 2 2 2 1 712 = -+ ũ ã Idx xx 2 1 169 1 43 ổử =+- ỗữ ốứ ũ = ( ) xxx 2 1 16ln49ln3 + = 125ln216ln3 +- . Cõu 2. dx I xx 2 53 1 = + ũ ã Ta cú: x x xxxx 3232 111 (1)1 =-++ ++ ị Ixx x 2 2 2 11313 lnln(1)ln2ln5 2228 1 2 ộự = ++=-++ ờỳ ởỷ Cõu 3. x Idx xxx 5 2 32 4 31 256 + = + ũ ã I 2413714 lnlnln2 331565 =-++ Dng 2: i bin s Cõu 4. x Idx x 2 4 (1) (21) - = + ũ ã Ta cú: xx fx xx 2 111 () 32121 Â ổửổử = ỗữỗữ ++ ốứốứ ị x IC x 3 11 921 ổử - =+ ỗữ + ốứ Cõu 5. ( ) ( ) x Idx x 99 1 101 0 71 21 - = + ũ ã ( ) xdxxx Id xxx x 9999 11 2 00 7117171 2192121 21 ổửổửổử == ỗữỗữỗữ +++ ốứốứốứ + ũũ x x 100 100 11711 1 21 0 910021900 ổử - ộự =ì=ở-ỷ ỗữ + ốứ Cõu 6. x Idx x 1 22 0 5 (4) = + ũ ã t tx 2 4 =+ ị I 1 8 = Cõu 7. Idx xx 4 3 4 1 1 (1) = + ũ ã t tx 2 = ị t Idt t t 3 2 1 1113 ln 242 1 ổử =-= ỗữ + ốứ ũ Cõu 8. dx I xx 3 62 1 (1) = + ũ Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng Trang 2 ã t : x t 1 = ị t Idtttdt tt 3 1 6 3 42 22 1 3 3 1 1 11 ổử =-=-+- ỗữ ++ ốứ ũũ = 117413 13512 p - + Cõu 9. dx I xx 2 102 1 .(1) = + ũ ã xdx I xx 2 4 5102 1 . .(1) = + ũ . t tx 5 = ị dt I tt 32 22 1 1 5 (1) = + ũ Cõu 10. x Idx x 1 7 25 0 (1) = + ũ ã t txdtxdx 2 12=+ị= ị t Idt t 2 3 55 1 1(1)11 . 24 2 - == ũ Cõu 11. x Idx xx 2 7 7 1 1 (1) - = + ũ ã xx Idx xx 2 76 77 1 (1). .(1) - = + ũ . t tx 7 = ị t Idt tt 128 1 11 7(1) - = + ũ Cõu 12. x Idx x 2 2001 21002 1 . (1) = + ũ ã x Idxdx xx x x 22 2004 3210021002 11 3 2 1 (1) 1 1 == + ổử + ỗữ ốứ ũũ . t t dtdx xx 23 12 1=+ị=- . Cỏch 2: Ta cú: xxdx I xx 1 2000 2200022 0 1.2 2 (1)(1) = ++ ũ . t txdtxdx 2 12=+ị= ị t Idtd tt tt 1000 22 1000 100021001 11 1(1)1111 11 22 2002.2 ổửổử - == = ỗữỗữ ốứốứ ũũ Cõu 13. Ixxdx 1 536 0 (1) =- ũ ã t dttt txdtxdxdxIttdt x 1 78 326 2 0 111 13(1) 3378168 3 ổử - =-ị=-ị=ị=-=-= ỗữ ốứ ũ Cõu 14. xdx I x 1 03 (1) = + ũ ã Ta cú: xx xx xx 23 33 11 (1)(1) (1)(1) +- ==+-+ ++ Ixxdx 1 23 0 1 (1)(1) 8 ộự ị=+-+= ởỷ ũ Cõu 15. x Idx x 2 2 4 1 1 1 + = + ũ ã Ta cú: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 + + = + + . t txdtdx x x 2 11 1 ổử =-ị=+ ỗữ ốứ ị dt Idt tt t 33 22 2 11 111 2222 2 ổử ==- ỗữ -+ - ốứ ũũ t t 3/2 12121 .lnln 1 2222221 ổử == ỗữ ỗữ ++ ốứ Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 3 Câu 16. x Idx x 2 2 4 1 1 1 - = + ò · Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 - - = + + . Đặt txdtdx x x 2 11 1 æö =+Þ=- ç÷ èø Þ dt I t 5 2 2 2 2 =- + ò . Đặt du tudt u 2 2tan2 cos =Þ= ; uuuu 12 55 tan2arctan2;tanarctan 22 =Þ==Þ= Þ u u Iduuu 2 1 21 2225 ()arctanarctan2 2222 æö ==-=- ç÷ èø ò Câu 17. x Idx x 1 4 6 0 1 1 + = + ò · Ta có: xxxxxxxx xxxxxxxx 44224222 66242626 1(1)11 11(1)(1)111 +-++-+ ==+=+ +++-++++ Þ dx Idxdx xx 11 3 232 00 11()1 34343 1()1 ppp =+=+= ++ òò Câu 18. x Idx xx 2 2 3 1 1- = + ò · Ta có: x Idx x x 2 2 1 1 1 1 - = + ò . Đặt tx x 1 =+ Þ I 4 ln 5 = Câu 19. xdx I xx 1 42 0 1 = ++ ò . · Đặt tx 2 = Þ dtdt I tt t 11 22 2 00 11 22 63 1 13 22 p === ++ æö æö ++ ç÷ ç÷ èøèø òò Câu 20. x Idx xx 15 2 2 42 1 1 1 + + = -+ ò · Ta có: x x xx x x 2 2 42 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = -+ +- . Đặt txdtdx x x 2 11 1 æö =-Þ=+ ç÷ èø Þ dt I t 1 2 0 1 = + ò . Đặt du tudt u 2 tan cos =Þ= Þ Idu 4 0 4 p p == ò Câu 21. x Idx x 3 2 3 4 0 1 = - ò · x Idxdx xxxx 33 2 33 2222 00 1111 ln(23) 2412 (1)(1)11 p æö ==+=-+ ç÷ -+-+ èø òò Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 4 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 1. x Idx xx 2 391 = +- ò · x Idxxxxdxxdxxxdx xx 222 2 (391)391 391 == = +- òòòò + IxdxxC 23 11 3 ==+ ò + Ixxdx 2 2 91 =- ò xdxxC 3 222 2 2 11 91(91)(91) 1827 = =-+ ò Þ IxxC 3 23 2 1 (91) 27 =-++ Câu 2. xx Idx xx 2 1 + = + ò · xx dx xx 2 1 + + ò xx dxdx xxxx 2 11 =+ ++ òò . + x Idx xx 2 1 1 = + ò . Đặt t= xxtxx 2 11+Û-= xt 322 (1) Û=- xdxttdt 22 4 (1) 3 Û=- Þ tdtttC 23 444 (1) 393 -=-+ ò = ( ) xxxxC 3 1 44 11 93 +-++ + x Idx xx 2 1 = + ò = dxx xx 2(1) 3 1 + + ò = xxC 2 4 1 3 ++ Vậy: ( ) IxxC 3 4 1 9 =++ Câu 3. x Idx x 4 0 21 121 + = ++ ò · Đặt tx 21 =+ . I = t dt t 3 2 1 2ln2 1 =+ + ò . Câu 4. dx I xx 6 2 2141 = +++ ò · Đặt tx 41 =+ . I 31 ln 212 =- Câu 5. Ixxdx 1 32 0 1=- ò · Đặt: tx 2 1=- Þ ( ) Ittdt 1 24 0 2 15 =-= ò . Câu 6. x Idx x 1 0 1 1 + = + ò · Đặt tx = Þ dxtdt 2. = . I = tt dt t 1 3 0 2 1 + + ò = ttdt t 1 2 0 2 22 1 æö -+- ç÷ + èø ò = 11 4ln2 3 - . Câu 7. x Idx xx 3 0 3 313 - = +++ ò Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 5 · Đặt txtdudx 12 =+Þ= Þ tt Idttdtdt t tt 222 3 2 111 281 (26)6 1 32 - ==-+ + ++ òòò 3 36ln 2 =-+ Câu 8. Ixxdx 0 3 1 1 - =+ ò · Đặt tt txtxdxtdtItdt 1 1 74 323 3 0 0 9 1133(1)3 7428 æö =+Þ=+Þ=Þ=-=-=- ç÷ èø ò Câu 9. x Idx xx 5 2 1 1 31 + = + ò · Đặt tdt txdx 2 31 3 =+Þ= Þ t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 3 1 . 3 æö - + ç÷ ç÷ èø = - ò dt tdt t 44 2 2 22 2 (1)2 9 1 =-+ - òò t tt t 3 44 2111009 lnln. 931275 22 æö - =-+=+ ç÷ + èø Câu 10. xx Idx x 3 2 0 21 1 +- = + ò · Đặt xtxt 2 11 +=Û=- Þ dxtdt 2 = Þ ttt Itdt ttdtt t 2 22 2225 423 1 11 2(1)(1)1454 22(23)2 55 æö -+ ==-=-= ç÷ èø òò Câu 11. xdx I xx 1 2 0 2 (1)1 = ++ ò · Đặt txtxtdtdx 2 112 =+Þ=+Þ= tt Itdttdtt tt t 2 2 22 223 3 1 11 (1)1116112 .2222 33 æö æö Þ==-= = ç÷ ç÷ èøèø òò Câu 12. ( ) x Idx x 4 2 0 1 112 + = ++ ò · Đặt dx txdtdxtdt x 112(1) 12 =++Þ=Þ=- + và tt x 2 2 2 - = Ta có: I = tttttt dtdttdt t ttt 444 232 222 222 1(22)(1)1342142 3 222 æö -+ +- ==-+- ç÷ èø òòò = t tt t 2 12 34ln 22 æö -++ ç÷ ç÷ èø = 1 2ln2 4 - Câu 13. x Idx x 8 2 3 1 1 - = + ò Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng Trang 6 ã x Idx xx 8 22 3 1 11 ổử =- ỗữ ỗữ ++ ốứ ũ = ( ) xxx 8 22 3 1ln1 ộự +-++ ởỷ = ( ) ( ) 1ln32ln83 ++-+ Cõu 14. Ixxxdx 1 32 0 (1)2= ũ ã Ixxxdxxxxxxdx 11 3222 00 (1)2(21)2(1) = =-+ ũũ . t txx 2 2=- ị I 2 15 =- . Cõu 15. xxx Idx xx 2 32 2 0 23 1 -+ = -+ ũ ã xxx Idx xx 2 2 2 0 ()(21) 1 = -+ ũ . t txx 2 1 =-+ Itdt 3 2 1 4 2(1) 3 ị=-= ũ . Cõu 16. xdx I x 2 3 3 2 0 4 = + ũ ã t txxtxdxtdt 3 2232 4423=+ị=-ị= ị Ittdt 3 2 4 3 4 338 (4)42 225 ổử =-=-+ ỗữ ốứ ũ Cõu 17. dx I xx 1 2 1 11 - = +++ ũ ã Ta cú: xxxx Idxdx x xx 11 22 22 11 1111 2 (1)(1) +-++-+ == +-+ ũũ x dxdx xx 11 2 11 111 1 22 ổử + =+- ỗữ ốứ ũũ + Idxxx x 1 1 11 1 111 1ln|1 22 - - ổử ộự =+=+= ỗữ ởỷ ốứ ũ + x Idx x 1 2 2 1 1 2 - + = ũ . t txtxtdtxdx 222 1122=+ị=+ị= ị I 2 = tdt t 2 2 2 2 0 2(1) = - ũ Vy: I 1 = . Cỏch 2: t txx 2 1 =++ . Cõu 18. ( ) xx Idx x 1 3 3 1 4 1 3 - = ũ ã Ta cú: Idx xx 1 1 3 23 1 3 11 1. ổử =- ỗữ ốứ ũ . t t x 2 1 1 =- ị I 6 = . Cõu 19. x Idx x 2 2 1 4 - = ũ ã Ta cú: x Ixdx x 2 2 2 1 4 - = ũ . t t = xtxtdtxdx 222 44-ị=-ị=- ị I = ttdttt dtdtt t ttt 0 000 2 222 3 333 ()42 (1)ln 2 444 ổử ==+=+ ỗữ + ốứ ũũũ = 23 3ln 23 ổử - ỗữ -+ ỗữ + ốứ Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn Trang 7 Cõu 20. x Idx xx 25 22 2 (1)5 = ++ ũ ã t tx 2 5 =+ ị dt I t 5 2 3 115 ln 47 4 == - ũ . Cõu 21. x Idx xx 27 3 2 1 2- = + ũ ã t tx 6 = ị tt Idtdt t tttt 33 3 222 11 2221 551 (1)11 ộự - ==-+- ờỳ +++ ởỷ ũũ 25 531ln 312 p ổử =-+- ỗữ ốứ Cõu 22. Idx xx 1 2 0 1 1 = ++ ũ ã t txxx 2 1 =+++ ị dt It t 13 13 1 1 2323 ln(21)ln 213 + + + ==+= + ũ Cõu 23. x Idx xx 3 2 22 0 (11)(21) = ++++ ũ ã t xt 21 ++= ị Itdt t t 4 2 3 42364 2161242ln 3 ổử =-+-=-+ ỗữ ốứ ũ Cõu 24. x Idx xxxx 3 2 0 2(1)211 = +++++ ũ ã t tx 1 =+ ị ttdt Itdt tt 22 22 2 2 11 2(1) 2(1) (1) - ==- + ũũ t 2 3 1 22 (1) 33 =-= Cõu 25. xxx Idx x 3 22 3 4 1 2011-+ = ũ ã Ta cú: x IdxdxMN xx 3 2222 2 33 11 1 1 2011 - =+=+ ũũ x Mdx x 3 22 2 3 1 1 1 - = ũ . t t x 3 2 1 1 =- ị Mtdt 3 7 3 2 3 0 3217 2128 - =-=- ũ Ndxxdx xx 22 2222 3 32 11 1 2011201114077 2011 16 2 - ộự ===-= ờỳ ởỷ ũũ ị I 3 14077217 16128 = Cõu 26. dx I xx 1 3 33 0 (1).1 = ++ ũ ã t tx 3 3 1=+ ị tdt Idt tttt 33 22 2 22 11 4323 33 .(1).(1) == ũũ Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng Trang 8 dtdt t dt t t tt t t 333 2 3 222 3 224 111 33 4 23 3 3 1 1 1 1 1 .1 - ổử - ỗữ ốứ === ộựổử ổử - - ỗữ ờỳ ỗữ ốứ ốứ ởỷ ũũũ t dt udu tt 34 13 1=-ị= ị uu Iduuduu 1 1 11 21 2 21 2 22 33 33 3 00 0 0 111 1 333 2 3 - - ổử ỗữ ===== ỗữ ỗữ ỗữ ốứ ũũ Cõu 27. x Idx xx x 22 4 2 3 1 1 = ổử -+ ỗữ ốứ ũ ã t tx 2 1 =+ ị t Idt t 3 22 2 2 (1) 2 - = - ũ = tt dttdtdt tt 333 42 2 22 222 21119242 ln 34 42 22 ổử -++ =+=+ ỗữ ỗữ - ốứ ũũũ Dng 2: i bin s dng 2 Cõu 28. ( ) x Ixxdx x 1 0 1 2ln1 1 ổử - ỗữ =-+ ỗữ + ốứ ũ ã Tớnh x Hdx x 1 0 1 1 - = + ũ . t xtt cos;0; 2 p ộự =ẻ ờỳ ởỷ ị H 2 2 p =- ã Tớnh Kxxdx 1 0 2ln(1) =+ ũ . t ux dvxdx ln(1) 2 ỡ =+ ớ = ợ ị K 1 2 = Cõu 29. Ixxxdx 2 522 2 ()4 - =+- ũ ã I = xxxdx 2 522 2 ()4 - +- ũ = xxdx 2 52 2 4 - - ũ + xxdx 2 22 2 4 - - ũ = A + B. + Tớnh A = xxdx 2 52 2 4 - - ũ . t tx =- . Tớnh c: A = 0. + Tớnh B = xxdx 2 22 2 4 - - ũ . t xt 2sin = . Tớnh c: B = 2 p . Vy: I 2 p = . Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn Trang 9 Cõu 30. ( ) xdx I x 2 2 4 1 34 2 = ũ ã Ta cú: x Idxdx xx 22 2 44 11 34 22 - =- ũũ . + Tớnh I 1 = dx x 2 4 1 3 2 ũ = xdx 2 4 1 37 216 - = ũ . + Tớnh x Idx x 2 2 2 4 1 4 2 - = ũ . t xtdxtdt 2sin2cos =ị= . ị tdt Itdttdt tt 2 222 22 2 42 666 1cos1113 cotcot.(cot) 8888 sinsin ppp ppp ổử ===-= ỗữ ốứ ũũũ Vy: ( ) I 1 723 16 = Cõu 31. xdx I x 1 2 6 0 4 = - ũ ã t txdtxdx 32 3=ị= ị dt I t 1 2 0 1 3 4 = - ũ . t tuudtudu 2sin,0;2cos 2 p ộự =ẻị= ờỳ ởỷ ị Idt 6 0 1 318 p p == ũ . Cõu 32. x Idx x 2 0 2 2 - = + ũ ã t xtdxtdt 2cos2sin =ị=- ị t Idt 2 2 0 4sin2 2 p p ==- ũ . Cõu 33. xdx I xx 1 2 2 0 32 = +- ũ ã Ta cú: xdx I x 1 2 22 0 2(1) = ũ . t xt 12cos -= . ị tt Idt t 2 2 2 2 3 (12cos)2sin 4(2cos) p p + =- - ũ = ( ) ttdt 2 3 2 34cos2cos2 p p ++ ũ = 33 4 22 p +- Cõu 34. xxdx 1 2 2 0 121 ũ ã t xt sin = ị Itttdt 6 0 31 (cossin)cos 1288 p p =-=+- ũ Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng Trang 10 Dng 3: Tớch phõn tng phn Cõu 35. Ixdx 3 2 2 1 =- ũ ã t x dudx ux x dvdx vx 2 2 1 1 ỡ ỡ = ùù =- ị ớớ - = ù ợù = ợ x Ixxxdxxdx xx 33 22 22 22 3 1 1.521 2 11 ộự ị= = + ờỳ ờỳ ởỷ ũũ dx xdx x 33 2 2 22 521 1 = - ũũ Ixx 23 2 52ln1= +- ị ( ) I 521 ln21ln2 24 =-++ Chỳ ý: Khụng c dựng phộp i bin x t 1 cos = vỡ [ ] 2;31;1 ộự ẽ- ởỷ