TỒNG hợp các bài tập TÍCH PHÂN có đáp án

I Tìm ngun hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = x2 – 3x + x ĐS F(x) = x 3x − + ln x + C 2x + f(x) = x2 x −1 f(x) = x ( x − 1) f(x) = x2 x3 − 2x + + C x f(x) = x + x + x 3 2x3 − +C x lnx + x + C ĐS F(x) = ĐS F(x) = ĐS F(x) = ĐS F(x) = 2x 3x 4x + + +C f(x) = x − x ĐS F(x) = x − 33 x + C ( x − 1) x x − x + ln x + C x −1 f(x) = f(x) = ĐS F(x) = ĐS F(x) = x x3 − x3 + C f(x) = sin x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x +C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = tanx – x ĐS F(x) = 1 x + sin x + C 12 f(x) = (tanx – cotx)2 cotx – 4x + C 13 f(x) = ĐS F(x) = tanx - sin x cos x ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) = cos x sin x cos x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos x + C 16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos x − cos x + C 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = 2x e − ex + C 18 f(x) = ex(2 + e−x ) cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 19 f(x) = 2ax + 3x x ĐS F(x) = x 2a + +C ln a ln 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = x +1 e +C 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = +3 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 2x − ĐS f(x) = x2 + x ĐS f(x) = x +1 3 f’(x) = x−x f(4) = ĐS f(x) = 8x x x 40 − − 3 f’(x) = x - +2 x2 f(1) = ĐS f(x) = x2 + + 2x − x f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = + 2x + f’(x) = ax + b , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = x2 ĐS f(x) = x4 – x3 ĐS f(x) = x2 + + x II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx  I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx ∫ (3 − x) ∫ (5 x − 1)dx ∫ − x dx dx ∫ 2x −1 ∫ (2 x ∫x x dx +5 3x ∫ ∫ x.e + 2x3 x +1 ∫ ( x + 1) xdx dx 10 ∫ ∫ + 5) x dx dx 11 x (1 + x ) x + 1.xdx ln x ∫ x dx 12 dx 13 ∫ sin x cos xdx sin x 15 ∫ cot gxdx 14 ∫ cos x dx 16 tgxdx x ∫ cos dx dx 17 ∫ sin x 20 ∫ e 21 ∫ x dx x e x dx e tgx 23 ∫ 22 ∫ dx cos x e −3 x 24 − x dx dx ∫ − x2 25 ∫ x ∫x 2 26 − x dx dx ∫ 1+ x2 27 ∫ dx + x +1 29 ∫ cos ∫x 19 ∫ tgxdx 18 ∫ cos x 30 ∫ x x sin xdx x − 1.dx x dx 28 1− x2 dx 31 ∫ e x + 32 x + 1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I Hay ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ ( x + 5) sin xdx ∫ (x + x + 3) cos xdx ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ x ln xdx 10 ∫ ln ∫ ln xdx 12 ∫ e x x x 14 ∫ xtg x 2 15 ∫ sin xdx 18 ∫ x e x cos xdx ln xdx x 16 x dx 19 ∫ x ln(1 + x dx 20 )dx xdx 21 ∫ x lg xdx ∫x dx + 1)dx 17 ∫ e ∫2 11 ∫ xdx x dx 13 ∫ cos x dx ∫ ln( x ∫ x.e 22 ∫ x ln(1 + x)dx 23 ∫ ln(1 + x) dx x2 24 cos xdx TÍCH PHÂN I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e ∫ ( x + x + 1)dx )dx 2 ∫ x − dx ∫ x + 1dx π ∫ (e ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx π ∫ ( x + x + x + x x + x )dx 3 ∫ ( x + x x )dx ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx π 1 ∫ (3sin x + 2cosx + x )dx π ∫ (e x + x + 1)dx 10 2 ∫ ( x + x x + x )dx 11 ∫ ( ∫ (x 12 + 1).dx 13 −1 e2 14 ∫ x − 1)( x + x + 1)dx -1 7x − x − dx x 15 ∫ π 2 ( x + 1).dx 16 ∫ x + x ln x x.dx +2 ∫x dx x+2 + x−2 cos3 x.dx 17 ∫ sin x π π 18 ∫ 21 e x + e− x ln ∫ 22 e x − e− x 19 ∫ x − x dx e +e e x dx ∫ 20 tgx dx cos2 x ∫ 4x + 8x dx e + e− x 22 x dx π dx ∫ + sin x 2 25 ∫ (2 x − x − )dx 24 ∫ (2 x + x + 1)dx −1 27 ∫ ( x − 4)dx 26 ∫ x( x − 3)dx −3 −2 2   + dx x  1 28 ∫  x 29 ∫ x − 2x dx x3 e 30 ∫ 16 dx x 31 ∫ x dx e 32 x + − 7x dx ∫ x  e2  33 ∫  x −   dx  x  II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π ∫ sin π π 2 ∫ sin π xcos xdx 3 ∫ sin x dx + 3cosx ∫ tan xdx π π ∫ cot gxdx π ∫ ∫ x x + 1dx ∫ x 11 ∫ x − x dx 1 13 14 ∫ dx dx x3 + 1 ∫1 x + x + 2dx − 12 ∫ + x dx x3 + 1 10 ∫ x x2 ∫ x + 1dx − x dx ∫ x + 4sin xcosxdx xcos xdx π π x2 + 1 15 ∫ (1 + 3x )2 dx dx π 16 ∫ e π sin x π 17 ∫ e π cosxdx x ∫e 18 π 20 ∫ e π +2 π 19 ∫ sin π xdx sin x π 21 ∫ e π cosxdx 22 x ∫e cosx cosx sin xdx xcos xdx sin xdx +2 π 23 ∫ sin π xdx xcos xdx π 24 ∫ sin π π 25 ∫ sin x dx + 3cosx xcos xdx π π 27 ∫ cot gxdx π 26 ∫ tgxdx π 28 ∫ 29 ∫ x + 4sin xcosxdx 0 30 1 ∫ x − x dx 31 ∫ x 32 ∫ x +1 33 ∫ x dx 35 ∫ dx x3 + e sin(ln x) ∫ x dx 1 36 e 38 ∫ 40 e e 37 ∫ 2ln x +1 x 44 ∫ 46 ∫ e2 + ln x ∫ x ln x dx e 41 ∫ + x dx x −1 x dx 2x +1 1 + 3ln x ln x dx x ∫ cos (1 + ln x) dx e 42 ∫ − x dx + ln x dx x 39 dx e2 e 34 ∫ x x + 1dx 3 x x + 1dx 43 ∫ x x + 1dx 1 dx x +1 + x 45 ∫ e x +1 dx x 46 ∫ dx x +1 − x + ln x dx x e 47 e e 49 ∫ ∫ x 52 ∫ ( sin x + 1) cos xdx 54 ∫ − x dx dx + x2 ∫ − x dx 56 58 ∫ e − x dx x +3 ∫ e dx −1 1 x 59 ∫ (2x + 1)3 dx 60 ∫ 61 ∫ x 4x + 11 2x − ∫ x2 − 4x + 4dx 64 x3 ∫ x2 + 2x + 1dx π π 4sin3 x dx + cos x 65 ∫ (sin6 x + cos6 x)dx 66 ∫ π π 67 ∫ + sin 2xdx 68 ∫ cos4 2xdx cos x x dx 2x + 62 ∫ x2 + 5x + 6dx − xdx 69 x x + 5dx 0 63 + ln x ∫ x ln x dx e ∫ 57 e2 1 ∫ cos (1 + ln x) dx e 55 + 3ln x ln x dx x 50 dx e2 51 π 48 ∫ 2ln x +1 53 e sin(ln x) ∫ x dx π 1 + sin 2x + cos 2x ∫ sin x + cos x dx π 70 ∫ ex + 1dx 71 π 72 4 ∫ (cos x − sin x)dx 73 75 π sin x dx ∫ cos x + 2x + ∫2 x + x − dx − π cos x dx + sin x ∫ cos x dx − sin x dx ∫ −1 x + 2x + 74 76 π π 77 ∫ cos3 x sin xdx π ∫ 78 ∫ cos5 xdx 0 79 π sin 4x ∫ + cos2 xdx 80 ∫ x π π 82 ∫ 14 dx cos x 81 ∫ sin 2x(1 + sin x)3dx e π + ln x dx x 83 ∫ e 84 ∫ dx cos x 1 + ln x dx x 85 ∫ 87 86 ∫ x cos x ∫ − 5sin x + sin xdx 0 90 dx ∫ x −x −3 ln e + 2e ln(tgx) dx ∫ π sin x ∫ + sin x π 97 99 101 103 94 96 dx π ∫ sin x + sin x + cos x 98 π ∫ (e sin x dx + cos x) cos xdx 100 e ∫ 1 + ln x ln x dx x 1 − sin x dx ∫ + sin x 1 ∫ + x2 dx 102 ∫ − x dx 104 ∫ 1 105 ∫ x2 − x + 1dx − x2 x 106 ∫ x4 + x2 + dx 0 π 2 107 ∫ dx + cos x + sin x 108 ∫ sin x dx ( + sin x ) ∫ ∫ (1 − tg x)dx π 109 ∫ x π π sin x cos x dx ∫ + cos x x dx ∫ 11+ x −1 dx π cos x + sin x 92 π sin x − cos x sin x ∫ ln 95 π 0 π (1 − x3 )6 dx tg x dx cos 2x 88 ∫ 89 ∫ cos x + sin x dx + sin x 93 π π 91 − x dx 3 − x dx 110 ∫ x2 − x2 dx x x2 − dx dx 101 ∫ 113 ∫ x x2 −1 115 117 119 + 3x dx x2 112 ∫ π dx 114 ∫ dx −1 x + 2x + x x −1 dx x−5 1+ x ln 123 ∫ e +2 x 125 ∫ x + + 3x 120 ∫ x x2 + dx 122 ∫ x dx + x dx 124 ∫ x + dx 3x + dx x + 1dx dx dx ∫ ∫ + cos2 x 118 cos x ∫ 121 ∫ cos x dx + cos x 116 ∫ x3 dx (1 + x )5 π 1+ x ∫ + x dx 1− x 126 ∫ dx x x2 + II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần : b ∫ u( x)v'(x)dx = u( x)v( x) b a a b − ∫ v( x)u '( x)dx a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv sin ax    ∫ f ( x) cosax dx α e ax    u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax        β @ Dạng β @ Dạng 2: @ Dạng ∫ f ( x) ln(ax)dx α dx  u = ln(ax)  du = x Đặt dv = f ( x)dx ⇒   v = f ( x)dx  ∫ β ax sin ax  3: ∫ e cosax dx   α Ví dụ 1: tính các tích phân sau x xe a/ ∫ ( x + 1)2 dx đặt đặt u = x e x  dx   dv = ( x + 1)  x8 dx b/ ∫ ( x − 1)3 u = x   x3 dx dv =  ( x − 1)3  1 1 dx + x2 − x2 dx x dx =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I c/ ∫ (1 + x )2 (1 + x ) + x (1 + x ) 0 Tính dx + x2 I1 = ∫ bằng phương pháp đổi biến số Tính I2 = x dx ∫ (1 + x )2 bằng phương pháp từng phần : đặt u = x  x  dv = dx  (1 + x )  Bài tập e e ln x ∫ dx x ∫ x ln xdx e ∫ x ln( x + 1)dx e ln x dx x3 ∫ ∫ x ln xdx e ∫ x ln xdx 1 e ∫ x ln( x + 1)dx ∫ x ln xdx π e ∫ ( x + cosx) s inxdx x 10 ∫ ( x + ) ln xdx π 2 11 ∫ ln( x + x)dx 12 ∫ x tan xdx π 13 ∫ ln x dx x5 π 14 ∫ x cos xdx 10 π 15 ∫ xe x dx ∫ 16 e x cos xdx Tính tích phân sau 1) ∫ x.e 3x π π 2) ∫ ( x − 1) cos xdx dx 3) ∫ (2 − x) sin 3xdx 4) π ∫ x sin xdx e ∫ x ln xdx 5) e 6) ∫ x ln(3 + x ).dx 9) ∫x 7) ∫ x ln x.dx 1 π ∫ (1 − x ) ln x.dx 8) π 10) ∫ x cos x.dx x ∫ ( x + 1).e dx π 12) ∫ ( x + x).sin x.dx cos x.dx 0 π 2 ln x ∫ x5 dx 13) 14) ∫ x cos e 17) π 15) xdx 18) π x + sin x ∫ cos2 x dx 21) e π 19) ∫ x sin x cos 20) 22) ∫ (x + 1) ln x dx 26) ∫ xtg xdx ∫ x ln(1 + x )dx 29) 2 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 32) 2x ∫ ( x − 2)e dx 27) e ln x x ∫ dx 30) π 2x − ∫ x − 3x + dx 3 ∫ 23) ∫ ln( x − x) dx x + x +1 dx x +1 b ∫ ( x + a)( x + b) dx a ∫ 11 28) ∫ ( x + cos x) sin xdx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: e2x dx 25) ∫ ( x + 1) xdx 24) ∫ cos x.ln(1 + cos x)dx 1 e ln(1 + x) ∫ x2 dx xdx π ∫ (x ln x) dx e 16) ∫ sin ∫ x(2 cos x − 1)dx 31) x ∫ e sin xdx ∫ x ln xdx π2 x3 + x + dx x2 +1 11) x2 ∫ (3x + 1) dx 0 1− x ∫ x(1 + x 2008 ) dx 2008 2x − 6x + 9x + ∫ x − 3x + dx −1 x4 ∫ ( x − 1) dx 10 11 x2 − ∫ x( x + 3x + 2) dx 12 ∫ x(1 + x ) dx 1 13 ∫ + x dx x 14 ∫ + x dx x n −3 ∫ (1 + x ) n dx ∫ ( x + 2) ( x + 3) dx 1 15 ∫ x − x + 2dx x 16 ∫ (1 + x ) dx 0 17 ∫ x − x + x dx 18 19 1− x2 ∫ + x dx 1 21 ∫ 23 24 dx x2 + x + x+2  x−2 −1  3x −  ∫  x + − x − 1dx  0  x2 + x +1  ∫1 x − − x + 1dx    −  30 32 dx IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: ∫ sin x cos xdx π 2 ∫ sin x cos xdx 12 x + 2x + ∫ x + dx  2x + x −  ∫  x + − x + 1dx    0 33 ∫ x + 4x + π  28 ∫  x − − x + 1dx   31 ∫ x + 11 dx x2 + 5x + 26 ∫ x − dx  2x −  ∫  x + − 3dx  0 29 1 27 dx 1+ x4 ∫ + x dx ∫ 2− x 22 ∫ + x 1 25 20 ∫ + x dx x +x +x +2 dx x6 + 3x + x + ∫ x − 3x + dx π ∫ sin x cos xdx π ∫ (sin x + cos )dx π π ∫ cos x(sin x + cos x)dx ∫ (2 sin x − sin x cos x − cos x)dx π π ∫ sin x dx π ∫ (sin 10 x + cos10 x − cos x sin x)dx π ∫ dx − cos x π 11 ∫ sin x dx + cos x π 10 ∫ dx + sin x π dx 12 ∫ sin x cos x π π π dx 13 ∫ sin x + sin x cos x − cos x 14 ∫ cos x dx + cos x π 15 ∫ cos x dx − cos x π 17 ∫ cos x dx + cos x π cos xdx 19 ∫ (1 − cos x) π 0 π sin x − cos x + 20 ∫ sin x + cos x + dx π − xdx π 24 ∫ dx + tgx xdx π dx 25 ∫ π cos x cos( x + ) + sin x dx π 18 ∫ dx sin x + cos x + 23 ∫ tg π 27 ∫ π 22 ∫ cot g π 21 ∫ tg xdx 2π 16 ∫ sin x dx + sin x π π π π π 26 ∫ sin x + cos x + dx sin x + cos x + π dx 28 ∫ sin x + cos x + π 13 30 ∫ + cos x + sin x dx sin x + cos x 29 ∫ sin 4x dx + cos x 0 13 π π π 4 π 33 ∫ sin x dx cos x 34 ∫ sin x(1 + sin x) dx 0 π 3 π 35 dx 32 ∫ sin x − sin x π 31 ∫ sin 3x dx + cos x ∫ cos x sin xdx 36 ∫ π sin x − sin x dx sin xtgx π π dx 37 ∫ + sin x + cos x 38 ∫ dx sin x + π 39 ∫ cos π π 40 ∫ sin xdx + cos x x sin xdx π π π 43 π ∫ π 45 ∫ π dx ∫ sin x cos x π 41 ∫ dx sin x + π dx sin x sin( x + ∫ π π ) sin xdx cos x π sin x 48 ∫π (2 + sin x) 47 ∫ sin xdx (sin x + cos x) − π 2 π 50 ∫ x cos xdx x dx 0 π π 52 ∫ + sin x e x dx + cos x 51 ∫ sin x.e x +1 dx 0 π π sin x sin x ∫ tgx + cot g x dx π 54 ∫ sin xdx sin x − sin x + 6 π 57 ∫ (2 x − 1) cos 56 ∫ π 55 ∫ cos(ln x)dx π π ) 46 ∫ tgxtg ( x + )dx π π 53 sin x cos( x + π 49 ∫ sin dx ln(sin x ) dx cos x π 58 ∫ x sin x cos xdx 0 14 xdx π π 59 ∫ xtg 60 ∫ e xdx 61 ∫ e sin x sin xdx 0 π 2x π 62 ∫ ln(1 + tgx)dx sin x cos xdx 0 π π 64 ∫ (1 − sin x) cos x2 dx (1 + sin x)(2 − cos x) dx 63 ∫ (sin x + cos x) 0 π 65 ∫ sin x sin xdx − 66 π π ∫ cos x(sin x + cos x) dx π 67 π 4sin x dx + cos x ∫ 68 ∫ cos x cos 3xdx π − π π 69 ∫ sin x sin xdx π − 70 ∫ sin x cos xdx 2 π 71 ∫ sin xdx V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong R(x, f(x)) có dạng: a +) R(x, a−x a+x +) R(x, a2 − x2 +) R(x, n ) Đặt x = a cos2t, t [0; ] ax + b cx + d +) R(x, f(x)) = ) Đặt x = ) Đặt t = a sin t hc x = ax + b cx + d n (ax + b) αx + βx + γ )’ = k(ax+b) 15 a cos t Víi ( αx + βx + γ Khi ®ã ®Ỉt t = αx + β x + , đặt t = ax + b +) R(x, a2 + x2 ) Đặt x = +) R(x, x2 a2 ) Đặt x = a n2 ni π π a tgt , +) R ( n1 cos x ) t ∈ [− ; ] π , t∈ [0; π ] \ { } x ; x ; ; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk ∫ x x2 + − x x2 −1 dx ∫ ( x + 3) dx ∫ dx x + 12 x + dx ∫ x x3 + 1 2 ∫ x + 2008dx dx ∫ x + 2008 1 ∫ x 1 + x dx ∫ x 1 11 ∫ ∫ x2 +1 x +1 dx 2 2 dx (1 + x ) + x dx 15 ∫ π 17 ∫ cos xdx + cos x cos xdx + cos x x dx 19 ∫ 1+ x2 21 ∫ 23 ∫ dx 12 ∫ (1 − x ) 2 x dx 14 ∫ 1− x2 π 1+ x dx 1− x 10 ∫ 13 ∫ (1 − x ) dx π 16 ∫ sin x π 18 ∫ sin x + sin x dx + cos x 20 ∫ x 22 ∫ x+ 2x + 2x + + 10 − x dx xdx dx cos x − cos x dx x dx x2 +1 24 ∫ x15 16 + x dx 25 π ∫ − cos x sin x cos xdx 26 ln ∫ ln dx 27 ∫ 1+ x + 28 ∫ x2 +1 −1 e 12 x − x − 8dx 31 ∫ x5 + x3 1+ x 32 ∫ dx 33 ∫ x(e x + ln 34 ∫ x + 1)dx −1 ∫ π ln 36 ∫ π cos xdx 37 ∫ 38 ∫ + cos x ln cos x + 3tgx cos x dx cos x π 39 ∫ x+2 x+3 x − x + x dx 0 35 + ln x ln x dx x 30 ∫ e x dx ex +1 29 ∫ ex +1 0 dx ln x x ln x + dx e x dx (e x + 1) cos xdx + cos x 2a 40 ∫ dx x + a dx VI MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], ®ã: a ∫ −a a f ( x )dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [x) = 3π 3π ; 2 ] tháa m·n f(x) + f(- − cos x , 3π TÝnh: ∫ f ( x)dx 3π − +) TÝnh x + sin x dx ∫ −1 + x Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: a ∫ f ( x)dx = −a VÝ dô: TÝnh: ∫ ln( x + −1 17 + x )dx π ∫π cos x ln( x + + x )dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: a a a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx π ∫ x dx VÝ dô: TÝnh ∫ x − x + −1 − π x + cos x dx − sin x Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó: a a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx − (1 ≠ b>0, ∀ a) π x +1 VÝ dô: TÝnh: ∫ + x dx ∫ π −3 − sin x sin x cos x dx 1+ ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0; π th× π π ], ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx π 2009 sin x VÝ dô: TÝnh ∫ 2009 dx sin x + cos 2009 x π ∫ sin x sin x + cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], ®ã: π ∫ xf (sin x)dx = ππ f (sin x)dx 2∫ π π x ∫ + sin x dx VÝ dô: TÝnh b b a a Bài toán 6: f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx π b ⇒ x sin x ∫ + cos x dx b ∫ f (b − x)dx = ∫ f ( x)dx 0 π x sin x VÝ dô: TÝnh ∫ + cos x dx ∫ sin x ln(1 + tgx)dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu k× T th×: a +T T a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx nT ∫ ⇒ T f ( x) dx = n ∫ f ( x)dx VÝ dô: TÝnh 2008π ∫ cos x dx 18 Các tập ¸p dông: π 1− x dx 1+ 2x ∫ −1 ∫ π − dx ∫ (1 + e x )(1 + x ) −1 1− x ∫1cos x ln(1 + x )dx − π x7 − x5 + x3 − x + dx cos x x + cos x ∫ − sin x dx π − 2π ∫ sin(sin x + nx)dx π sin x ∫ π − + cos x tga dx cot ga e e xdx ∫ 1+ x2 + ∫ dx =1 x(1 + x ) (tga>0) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ∫ x − 1dx −3 ∫ x − x + dx ∫ x x − m dx π ∫ sin x dx π − π ∫ − sin x dx −π π ∫ π tg x + cot g x − 2dx 3π 2π ∫ sin x dx ∫ π ∫ ( x + − x − )dx −2 11 10 ∫ x − dx ∫ cos x cos x − cos x dx ∫ ( x + − x − )dx −3 15 ∫ x − 4dx 2π 17 ∫ 2) ∫ x2 − 3x + 2dx 12 π 13 π − + cos x dx −1 − 2dx x2 14 ∫ x2 + 16 ∫ + cos 2xdx π + sin xdx 18 2 ∫ x − x dx VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 19 Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = π Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = π Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đờng có diện tích nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x phía dới 0x Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giíi h¹n bëi x − x  y = o ≤ x ≤ y =  Cã hai phần diện tích Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích phần Bài 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn x + 2ax + 3a y=   1+ a4   y = a − ax 1+ a4 Tìm a để diện tích lớn nhÊt Bµi 6: Tính diện tích hình phẳng sau: 20 1)  x2 y = −  (H1):  y = x   4) 7) y = x  (H4): x = −y2   ln x  y = x   (H7): y = x = e  x =  2) (H2) : 5)  y = x − 4x +   y = x +  y = x  (H5):  y = − x  8) (H8) : 3) −3x −  y = x −  (H3): y = x =   6) y2 + x − = (H6): x + y − =   y = x − 2x    y = − x + 4x  9) (H9): 3  y = x + x − 2  y = x  10) 13)  y − 2y + x = (H10): x + y =   y = 2x +  y = x −1 11) (C ) : y = x  (d ) : y = − x (Ox)  12) 14)  y = − − x2  x + y =  15) (C ) : y = e x  (d ) : y = (∆) : x =  y = x  x + y − = y =   x2 y=   16  y =  1+ x2   y = ln x, y =   x = e , x = e  1   y = sin x ; y = cos x  19  π x = ; x = π   17  y = 2x   y = x, y = 0, y = 18) 20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cđa (p) ®i qua M(5/6,6)  y = x − 4x +   y = −2 x +  y = x − 11  21) 22)  y = −x + 6x −   y = −x + 4x −  y = x − 15  21 23) y = x  y =  x  y =  x = e  24)  y = / x − 1/   y = / x /+ 25)  y = x3   y = x  26)  y = −3 x − / x / +  y = 27) y = x +  y = − x 30) y = x3  y =  x = −2; x =  33)  y = x + 2x  y = x + 2  y = x − 2x +  28)  y = x + x + y =   y = sin x − cos x  31)  y =  x = 0; x = π  34) 29)  y = / x −1/    y = −x +  32)  y = x + + x  y =   y = 2x − 2x   y = x + 3x −  x = 0; x =  35)  y = / x − 5x + /  y =  y = 2x  36)  y = x − x − y =   y = / x − 5x + / 38)  y = x +  y = eÏ  41)  y = e − x x =   y = 2x  44)  y = x − x − y =   y = ( x + 1) 47)  x = sin πy  32)  x = ( y + 1)   y = sin x x =   y = / x − 3x + /  y = 37)  y = / x − 3x + /  39)  y = −x2  42)  x2 y =  x2 − x6  x = 0; x =   y = 2x  2 x + y + = y =  45) 48) 43)  y = sin/ x /   y = / x /− π 46)  y = x (a − x )  a   y = / x − 1/  x =  x y = −   y = x   33) 40) 34)    x = 0;  x =   x ;y =0 y = 1− x4  22  y = / x − 4x + /  y = 49) x = / y − 1/  x = y =  y = 36)  x = 0; y = − x  x −2 35) 39)  y = 6x    x + y = 16  37)  y =   y =   y =  x2 x2 27 27 x 38)  y = (4 − x)    y = 4x    y = / log x /  y =   x = , x = 10 10  ax = y  40)  ay = x  y = x  41)  y = sin x + x 0 ≤ x ≤ π  (a>0) 42)  y = 2x   27 y = 8( x − 1)  43) x2/25+y2/9 = vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn (p) (d) nhỏ 45)  y = x3 − 2x + 4x −  y = TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Cơng thức: y y x=b x=a O (C ) : y = f ( x) a y=0 b b x b x=0 a y=b (C ) : x = f ( y ) y=a O V = π ∫ [ f ( x )] dx a b V = π ∫ [ f ( y )] dy a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y -3=0 23 x Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y = x; y = − x; y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y = (x − 2)2 y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y = − x ; y = x + Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường : y= x2 ;y = x2 + Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x e ; y = ; x= 1;x=2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = 1;x=e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x ln(1 + x ) ; y = ;x=1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox 1) 2)  y = ( x − 2)  y =  y = x , y = 4x  y = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 24 3) 4) 5)  y = x +1   y = 0, x = 0, x =   y = 2x − x  y = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y  y = x ln x  y =  x = 1; x = e  6) (D) y = x2 7) quay quanh trôc a) 0x;  y = x ( x > 0)   y = −3x + 10 y =  quay quanh trôc a) 0x;  y = x  y = x  ( H) n»m ngoµi quay quanh trơc a) 0x; 8) MiỊn hình tròn (x 4)2 + y2 = quay quanh trơc a) 0x; b) 0y 9) MiỊn (E): x2 y2 + =1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 10) 11) 12)  y = xe Ï  y =  x = 1, ;0 ≤ x ≤    y = cos x + sin x  y =  π x = ; x = π  y = x2   y = 10 − 3x quay quanh trôc 0x; quay quanh trôc 0x; quay quanh trục 0x; 13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 14) 15)    y = x−4   x = 0; x =  y = x −1  y =  x = 0; y =  quay quanh trôc 0x; quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 25 26 ... mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đờng có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x phía dới 0x Bài 3: Xác định tham... dx 1− x 126 ∫ dx x x2 + II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần : b ∫ u( x)v''(x)dx = u( x)v( x) b a a b − ∫ v( x)u ''( x)dx a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và... 13 ∫ cos x dx ∫ ln( x ∫ x.e 22 ∫ x ln(1 + x)dx 23 ∫ ln(1 + x) dx x2 24 cos xdx TÍCH PHÂN I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e ∫ ( x + x + 1)dx )dx 2 ∫ x − dx ∫