TỒNG hợp các bài tập TÍCH PHÂN có đáp án

Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.1... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số... Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1 f(x) = x2 – 3x + 1x ĐS F(x) =

C x x

2 3

f(x) = 2

x

x  ĐS F(x) =

C x

3

3

5 3

x

x  ĐS F(x) =

C x

x 33 2 

2

7 f(x) = ( x x 1)2 ĐS F(x) =

C x

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x+ C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) =

C x

14 f(x) = sin 2 x cosx2 x

2 cos

ĐS F(x) = - cotx – tanx + C

3 2

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) dt u' (x)dx

 I = f[u(x)].u' (x)dx f(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

3 2

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 x sin. xdx 2 x cos xdx 3  (x2  5 ) sinxdx

4

 (x2  2x 3 ) cosxdx

5 xsin2xdx 6 xcos2xdx 7 x.e x dx

8 lnxdx

(x  x 1)dx

2 1

x dx x

tgx dx x

cos

2 1 ) 2

( x x dx

26 



 2

2

) 3 (x dx



 4

1

3 2 1 1

29  

2

1 3

2 2

dx x

x x

x x

1 4

1

1 x dx

 13

1 2 1

1 (1 3 )  x dx

18 1 2

2 0

e

e

dx cos  x

 41 2

x dx x





49 2ln 1

1

e x

e dx x



 50 e 1 lnln2

e

x dx

e

e

dx cos  x

1

3 2

x dx(2x 1) 

 60

1

0

x dx 2x 1 



dx x



dx x

x 74 



2

0 5 2 sin cos



dx x

x

75 

 0

2

2 2

x x

dx x x



dx x x





dx x

tgx

0

8 ) 1

(



dx x





dx x

x x

sin



dx x

sin



dx x

x

x 98 2 

0 sin cos ) cos (



xdx x

x x

1

ln ln 3

1

sin 2

1



dx x

1

2 0

2 0

1 (1 x dx)

x







113

2 2 2 3

1

1 x dx x

x x

8 2 3

1 dx

e  2

7 3 3 0

1

3 1

x dx x

ax

ax

f x cosax dx e

Ví dụ 1: tính các tích phân sau

0 1

dx x

ln

e

x dx x

ln

e

x dx x

ln x

dx x

0

3 sin ) 2 ( x xdx 4) 

1

2 ) ln 1

3

1

ln

10) 

 0

cos x dx x

2

0

2 2 ) sin (



dx x x x





2 0

ln(1 x)dx x



 22)

1

2 2x 0

(



xdx x

) 7 2

( x x dx 32)  

3 2

dx x x

( 1

3 1  

0

3 1

1dx

x

x x

x

x x

1

0 2

3 1 1

5 1 

0

3 2 ) 1 3

x

6 1  0

2

2 ( 3 ) )

2 (

x x

7 2 

1

2008

2008 ) 1

(

1

dx x

1 2

2 3

2 3

9 9 6 2

dx x

x

x x x

9 

 3

2

2 2

4 ) 1

x

10 1  0

2

3 2 ) 1

x

n n

11 2   

1

2 4

2

) 2 3 (

3

dx x

x x

x

12 2 1

4 ) 1 (

1

dx x x

13 2 

0

2 4

1 dx

0 4

1 x dx x

x x

3

2 ) 1

2 3

2

2 3

3 3 3

dx x

x

x x

19 



 2

1

4

2 1

1

dx x

x

20 1 0 3 1

1

2

dx x

x x x

22  

1

0 2

4 1

2

dx x x

1 2 0

0

3 1

2 2

1

1 2 1 2

2

dx x

0

1 2

1 3

x

x x

1

0

2 3

3 2

x

x x

1

2

1 2 1

1

x

x x

0

2

1 1

2 2

IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:

1 2 x 4 xdx

0

2 cos sin





2 20

3

2 cos sin



xdx x



dx x

2 cos



dx x x



dx x x

x x

10 cos cos sin ) (sin



dx x x x

0 2 sin 1



dx x

6

4 cos sin

x x

 2

0 1 cos cos



dx x x

 2

0 2 sin sin



dx x x



 2

0 sin cos 1

1



dx x x

2

3 cos 2 sin

1 cos sin





dx x x

x x

0 1 1



dx tgx

cos





x x

0 4 sin 5 cos 5

6 cos 7 sin



dx x x

x x

0 2 sin 3 cos 13



x x





 2

0 sin cos

2 sin 2 cos 1



dx x x

x x

4

sin 2



dx x x

sin sin



dx xtgx

x x

 2

0 2 sin 1



x dx

0

2 cos 1

4 sin



x xdx

41 

 2

6 sin(

4 cos(

sin



x x dx

sin

4



x x

2 sin

2

0

1 2 2

sin



dx e



53 4 

6

2 cot

4 sin 3

sin





dx x g tgx

x x

54 



 2

0

2 5 sin 6 sin

2 sin



x x

) ln(sin





dx x x

57  x x dx

2

0

2 cos ) 1

2

(



58 0

2 cos sinx xdx x



xdx x

4

0

) 1

ln(



dx tgx

63 

 4

0

2 ) cos 2 (sinx x





 2

0

2 ) cos 2 )(

sin 1 (

cos ) sin 1 (

dx x x

x x

2

3 cos 5 cos





xdx x

R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:

+) R(x,

x a

x a



+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t

+) R(x, n

d cx

b ax





) Đặt t = n

d cx

b ax

\ ]

; 0

1 dx

x x

x

10

 

2 2

0 1

1

dx x x

2

1 x

dx x

sin



dx x x



dx x

x x

20   3

0

2

3 10 x dx x

x x

dx x

3 ln

0

2 1

x

x

e

dx e

e

dx x

x x

1

ln ln 3 1

31 



 3

3 5

1 x dx

x x

2 ln

2 1 ln

ln

dx x x x

35



 3

0

2

2 cos

3 2 cos

2 cos



dx x

tgx x

x

36 



2 ln

0 ( x 1 )3

x

e

dx e



x xdx

2

0

2 2

VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

3  

] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2  2 cos 2x,

Tính: 



2 3

2 3 ) (





dx x f

+) Tính 

 1

1

2

4 1

sin

dx x

x x

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:

1

2 ) 1





 2

2

2 ) 1 ln(

cos





dx x x

0 ) (

3

2 2 1





dx e

x x

x

x

Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;

2

], th×

(sin





dx x f x

2009 cos sin

sin



dx x x

) (sin 2

b b

dx x f dx x b f

0 0

) ( )

(

VÝ dô: TÝnh 

 0

2 cos 1

sin dx

x

x x

4

0

) 1 ln(

4 sin



dx tgx x

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:

0 ) ( )



T nT

dx x f n

dx

x

f

0 0

) ( )

1

2 2 1

4

4

3 5 7 cos

1





dx x

x x x x

2

2 sin 4 cos





dx x

x x

5 

 2

1

2

1

) 1

1 ln(

sin





dx x

dx x

xdx

(tga>0)

VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1 



 3

3. 

1

0

dx m x

 2

2 sin





dx x

0 cos

2

) 2 2

2

3 cos cos

cos





dx x x

4 2 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 4x , trục hoành , đường thẳng x =

-2 và đường thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường

thẳng x = 2

Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm

m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới

3

y

x o

x x

y

Có hai phần diện tích bằng nhau

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần

Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1

1

3 2

(

2 :

) (

: ) (

Ox

x y

d

x y

)

(

2 :

e y

2

x y

x y

2

2

y x

x y

y

y

x

x y

1

1 2

x y

2

y y x y x y

e

x

y x

y

,

1

0 ,

ln

x y

20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)

4 2

5 4

2

x y

x y

x x

3 4

5 6

2

x y

x x

y

x x

x y

x y

0 1

24) 

/ 1 / 2

x y

x y

x y

2

3

26) 

3 2

y

x x

y

27) 

5 4

2 2

2

y

x x

y

x x

2 2

x y

x y

30) 

3

x x

x y

x x

y

; 0

cos 2 sin

y

x x

y

33) 

2

x

y

x x

6 3

2 2

2 2

x x

x x

y

x x

/ 6 5 / 2

y

x x

2

2 2

y

x x

y

x y

/ 2 3 / 2

y

x x

y

38)

x

y

x x

x y

x x

y

x x

y

41) 

e y

x ẽ

6 2 2

x x

x x

x y

2

2 2

y

x x

y

x y

0 1 2

x y

46)

2



a

x a x y

x y



sin

) 1 ( 2

/ 1 /

2

x

x y

) 1

x

x y

y x

4 4

2 2

x y

x y

x

3

; 0

2 2 2

y x x y

x y

x y

27

2 2

38) 

x y

4

) 4 (

2

3 2

10 1

/

lo g /

x x

x y

x ay

y ax

x y

2

) 1 ( 8 27 2

x y x y

43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)

44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ

số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất

2 2 3

y

x x

y 

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x;y 2 x;y 0   

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)   2 và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay

quanh:

a) Trục Oxb) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  4 x y x2 ;  2  2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 1 ; 2

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay

x

x x

y

; 1 ln

quay quanh trôc a) 0x;

10 3

) 0 (

2

y

x y

x x

x

quay quanh trôc a) 0x;

8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn trong (E): 1

4 9

2 2

; ,

y

; 2 0

si n cos 4 4

quay quanh trôc 0x;

x

y

3 10

2

quay quanh trôc 0x;

13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

x x

1

y x

x y

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y