Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án)
TÍCH PHÂN LUYÊN THI ĐẠI HỌC Bài 1: Cho tích phân I ( x ) = ∫ ( e2 t + e − t ) dt Tính I(x) x=ln2 ĐS: I ( x ) = x Bài 2: Tìm giá trị a thuộc đoạn [2;3] cho Bài 3: Giải phương trình ∫ a e3ln + eln − 2eln cos ( x+a2 ) dx = sin a ĐS: a = 2π ∨ a = ln x + dx = ĐS: t=e, t=e-9 e x ∫ + 8π − t 1 f ' ÷ = −4 a b Bài 4: Tìm giá trị a, b cho hàm số f ( x ) = + + thỏa điều kiện: ĐS: x x f ( x ) dx = − 3ln ∫2 ∫ ( 3x a Bài 5: Tìm a để a = b = −3 + x − ) dx ≥ − a ĐS: −2 ≤ a ≤ −1 ∨ a ≥ Bài 6: Tính tích phân sau a 1 I= ∫02 a − x2 dx = π 2 I= ∫0 − x dx = π 3 I= ∫ − 4x dx 0 Bài 7: Tính tích phân sau x2 π dx = − I= ∫0 − x2 Bài 8: Tính tích phân sau a π dx = I = ∫0 a +x 4a I = ∫ dx x + 16 Bài 9: Tính tích phân sau 1 π I = ∫0 x + dx = 32 + 1÷ ( ) I = ∫0 I = ∫0 (x + 2) 2 − 3x dx I= ∫0 − − x dx = − ( ) 5+ π dx = x +4 24 1 dx I = ∫0 2x + 2 I = ∫2 dx ( 16 + x ) I= ∫ dx = 32 Bài 5: Tính tích phân sau π dx = Đặt x+1=3tant I = ∫−1 x + x + 10 12 1 π I = ∫ Đặt 2x+1= tant dx = 4x + 4x + 36 1 π 3 Đặt x+ = tant dx = x2 + x + 2 Bài 6: Tính tích phân sau I = ∫ I = ∫1 2ln x + ( x + 1) dx I = ∫ e = ln x x2 + 4 x÷dx x x −1 I= ∫ ln ( 1+tanx ) dx, x= I= ∫ 1 I= ∫ dx − x − x − x dx ln x dx x ln x + e3 π m − t , ln = ln m − ln n n I= ∫ x ( x-1) I= ∫ dx x −4 Bài 3: Tính tích phân sau ( x + t anx ) cosxdx π 2x − cosx ÷cosxdx I = ∫04 cos x Bài 4: Tính tích phân sau x x-1 dx x-10 −2 35 π ( 2 ln ) ( 0 2013 π I = ∫ x +1 = π I= ∫ xsin x cos x ( 4sin x.cos x − 3sin x ) dx = π − 1) dx I= ∫ ( x - tan x ) dx I= ∫ ln x dx x ( ln x + 1) e 1 dx = − + ln π sinx.cos x tan π 3sinx+cosx+3 I= ∫ dx = π − ln sinx+2cosx+3 Bài 7: Tính tích phân sau π (x π I =∫ dx x − 4x + 5 I= ∫ x ( − x ) I= ∫π3 I = ∫2 dx dx x.lnx.ln ( lnx ) e3 I= ∫ I= ∫ I= ∫ xsinx dx cos3 x x −1 dx I = ∫ x sin x.cos xdx I = ∫ −1 x + ÷ π 2x I = ∫π2 − cosx ÷sin xdx sin x π 2 ) I = ∫−1 x e x + x + dx ln 2 I = ∫0 π I = ∫ I = ∫ e x + e − x − 2dx , ý: a m > a n m>n sin x dx sin x + cos x I = ∫0 x3 + x + 10 x + dx x2 + 2x + I = ∫0 (x x 3dx − 4) ( x + 3) ( x + 1) 2 dx π π π + sin x + cos2x dx = sinx+cosx I = ∫ I = ∫ cosx dx sinx+cosx Bài 5: Tính tích phân sau 1− x dx I = ∫0 (1+ x) 1 dx e + ex x3 x + x2 + dx I = ∫0 I = ∫0 2x I = ∫0 dx I = ∫2 ( x + 1) ( x + 8) 2+ x ln dx 4− x 2− x ( 3e 4x + e2 x ) + e2 x ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 2π Tìm A, B cho f(x)= Asin2x+B thỏa f ' ( ) = 4, 3 f ( t ) = ∫ 4sin x − ÷dx 2 t dx thỏa f ' ( 1) = 2, Tìm A, B cho f(x)= sin πx + B Cho sin x dx cos x 10 I = ∫0 x.t an xdx I = ∫ I = ∫0 π π Giải phương trình f(t)=0 ĐS: k π , k ∈¢ BÀI TẬP TÍCH PHÂN 1/ I =∫ x I= ( 15 ) + HD: x + x2 + dx I =∫ DS: I= 3 − − 2 x +1 + x −1 dx ĐS: ( π π cos3 xdx sin x dx 2/ I =∫ 3/ I =∫ 4/ I = ∫1 I =∫ 6/ I =∫ 7/ I = ∫2 5/ 8/ 9/ ( x 1+ x 1 DS: I= x 1+ x dx + ex ( 3e 4x ) DS: I=-ln − DS: I=- ln2+2ln 3 DS: I= + e2 x ) + e2 x ( +9 ( dx x − x2 dx ) 27 DS: I=2ln HD: ) ( ln Làm cho mẫu số ( Đổi biến thành đổi biến ) HD: Đổi biến thành đổi biến ) − HD: 3+ e − ( e 2− dx DS: I= 1+e ( e − 1) ) ) 2 HD: Đổi biến thành biến đổi HD: Đổi biến 1 I = ∫ 44 x 42 x + 4dx DS: I= ln + 2 −1 dx ln3 I =∫ DS: I=2 Có ba cách giải x 1+ ln2 ( Đổi biến thành đổi biến )( ) HD: Đổi biến π 10/ I = ∫ esin x s inx.cos xdx DS: I= 11/ I = ∫3 π 12/ Cho e-2 2 x sin x 2π dx DS: I= − ln − Từng phần cos x t 3 f ( t ) = ∫ 4sin x − ÷dx Giải phương trình f(t)=0 2 ( ) f ' ( 1) = 2, 13/ Tìm A, B cho f(x)= sin πx + B thỏa ĐS: π A = − , B=2 14/ Tìm A, B cho f(x)= Asin2x+B thỏa ĐS: A = 2, B= 16/ 18/ I =∫ 1 dx x ( + x3 ) dx x + x2 k π , k ∈¢ ∫ f ( x ) dx = 2π ∫ f ( x ) dx = 2π 15/ Tìm giá trị số a biết: I =∫ f ' ( ) = 4, ĐS: 17/ I =∫ 19/ I =∫ 1 ∫ a + ( − 4a ) x + x dx ĐS: a=3 dx x ( x + 1) dx x + 2x I= ∫ ( xln x+ 1+x 1+x ⇒ I = + x ln x I= ∫ x + x e e ( ( ) dx BÀI TẬP TÍCH PHÂN ) u=ln x+ 1+x du = dx + x ⇒ x dx dv = v = + x + x2 ) ( ) x + + x − ∫ dx = ln + − ln − 0 1 −x −2x ÷dx = ∫0 x x + 2x ÷dx = ∫0 x ( e + e ) dx e e du = dx u=x ⇒ −2x −x −2x −x dv = ( e + e ) dx v = −e − e 1 1 1 1 ⇒ I = x −e − x − e −2x ÷ − ∫ −e− x − e−2x ÷dx = −e −1 − e−2 + −e − x − e−2x ÷ = − − 2 2 0 e 4e u=x du = dx ⇒ x −x x −x dv = ( e + e ) dx v = e − e 1 1 I= ∫ e x + x ÷xdx = ∫ x ( e x + e − x ) dx 0 e 1 ⇒ I = x ( e x − e − x ) − ∫ ( e x − e− x ) dx = x ( e x − e − x ) − e x + e − x = 0 0 du = dx x u=x 2x −1 I= ∫ 1−2x dx = ∫ x.e dx ⇒ 2x −1 2x − e dv = e dx v = e 1 1 11 1 ⇒ I = x e2x −1 − ∫ e2x −1dx = x ( e x − e − x ) − e 2x −1 = 0 0 4 0 x 1 e2x 1 I= ∫ 1−2x dx = ∫ x.e2x −1dx = ∫ x dx = ∫ x.e 2xdx e 0 e e 2x x x x.e 1 I= ∫ 1−2x dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ x.e 2xdx e e e e 2x e 1 dt I= ∫ x3 e x + x2 ÷dx t=x ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = , x=0 ⇒ t=0 x=1 ⇒ t=1 e 1 ⇒ I = ∫ x e x + x2 e 2 dt 1 t t xdx = t e + = ∫ t ( e + e − t ) dt ÷ ÷ t ∫ e 2 u=t t −t dv= ( e + e ) dt I= ∫ e x+lnx dx = ∫ e x e ln xdx = ∫ x.e x dx → e ln x = e loge x = x 1 2 I= ∫ e x+2lnx dx = ∫ e x e2 ln x dx = ∫ e x e ln x dx = ∫ x e x dx 1 1 1 x3 x x 1 d ( x + 1) I= ∫ dx = ∫ x − dx = ∫ xdx − ∫ ÷dx = ∫0 xdx − ∫0 x +1 0 x +1 x +1 x2 + Cách 2: Đổi biến đặt t=x2+1 1 I= ∫ e x+e dx = ∫ e x ee dx t=e x ⇒ dt = e x dx x=0 ⇒ t=1 x=1 ⇒ t=e x 0 u=t du = dt ⇒ t t dv=e dt v = e e ⇒ I= ∫ te t dt 10 I= ∫ xdx x +1 − x x ) ( =∫ x ( ( ) x + + x dx x +1 − x )( x +1 + x 1 0 ) =∫ x ( ) x + + x dx x +1− x =∫ x ( ) x + + x dx = ∫ x x + + x dx = ∫ x x + 1dx + ∫ x 2dx 11 12 13 t= 14 t=1 + cos2 x ⇒ dt = −2cosx.sinxdx sinx.cos x s inx.cosx.cos x I= ∫ dx = dx t=cos x ⇒ dt = −2s inx.cosxdx 2 ∫ + cos x + cos x t=cosx ⇒ dt=-sinxdx x 1 I= ∫ dx t=x ⇒ dt = 2xdx I= dt -1 x − 3x + 2 ∫ t − 3t + ln ln e2x dx e x ex dx I= ∫ =∫ + 3ex + 1 + 3e x + t2 − t2 − 3e x + ⇒ t = 3e x + ⇒ 2tdt = 3e xdx ex = ⇒ I = ∫ 2tdt 1+ t dx I= ∫ t= x ⇒ t = x ⇒ 2tdt = dx , x=1 ⇒ t=1 x=4 ⇒ t=2 x 1+ x π ( π 2 ) 21 2tdt dt = 2∫ = 2∫ − ÷dt t 1+ t t t +1 ( ) ( ) t t +1 1 1 x 15 I= ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = t an + C x x 1+cosx 2 + cos2 2cos2 2 ÷ cosx 1 ÷ x 15 I= ∫ dx = ∫ − dx = ∫ − dx = x − t an + C ÷ ÷ ÷dx = ∫ 1 − x x 1+cosx 2 1+cosx + cos2 ÷ 2cos2 ÷ 2 2 lnx 1 dt 16 I= ∫ dx t=ln x + ⇒ dt = ln x dx ⇒ I = ∫ = ln t + C x t x ( ln x + 1) ⇒ I= ∫ 2 BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 1: Tính tích phân: 1 I = ∫1 x ln + ÷dx x π 3 π ln ( sinx ) dx = ln I = ∫π3 ÷− cos x 4 Bài 2: Tính tích phân: π x sin x 2π 3−2 dx = + ln I = ∫03 cos x 2+2 I = ∫0 x 3e x dx = π2 π I = ∫ π π π2 x tan xdx = + ln − 32 e−2 I = ∫ esin x sinx.cos xdx = π dx = 9−2 x + 4x + 72 x π dx = I = ∫ x +1 16 I = ∫0 x sin xdx = 2π2 − π I = ∫0 x sin x.cos xdx = π Bài 3: Tính tích phân: I = ∫ π I = ∫ x ln ( x + x + 1) dx = ln − 12 ( ) dx = − 4ln + 2ln x + 3x + Bài 4: Tính tích phân sau: x − 13 2x + π dx = − ln18 I = ∫ 2 I = ∫0 dx=ln3+ x + 2x + x − 5x + 18 Bài 5: Tính tích phân sau: 3dx π = ln + I = ∫0 Áp dụng đẳng thức chia làm tích phân x +1 Cần nhớ: A B C Dx + E = + + + , ∆ =n -4mp[...]... tan 2 x, = 1 + cot 2 x ADCT: 2 2 cos x sin x Bài 3: Tính các tích phân sau: π 3 π 4 π 3 π 6 π 4 π 6 1 I = ∫ 3 I = ∫ 5 I = ∫ 1 1 + dx 4 6 ÷ sin x cos x 1 dx sin 4 x.cosx 1 dx cos 4 x.sin 2 x π 3 π 6 π 3 π 6 π 4 π 6 2 I = ∫ 4 I = ∫ 1 1 + ÷dx sinx cosx 1 dx cosx.sin 3 x ∫ 1 dx cos 2 x.sin 4 x 6 I = 13 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tính các tích phân sau 2 1 x ln ( x + 3 ) 1 I= ∫ dx = 4ln... cot 2 α + 1 = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin 2 α kπ tan α cot α = 1 ( với ∀α ≠ ,k ∈ Z ) 2 • • BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tính các tích phân sau: 1 I = 3 I = π 2 π 6 π 2 0 π 2 0 8 sin x.cos xdx = 315 2 I = ∫ cos3 x 1 dx = 2 sin x 2 π 2 0 cos 2 x.cos4xdx = 0 4 I = ∫ sin 2 x.cos 4 xdx = ∫ ∫ 5 4 π 32 Bài 2: Tính các tích phân sau: 1 I = π 4 0 sin 4 x dx = ln 2 sin 4 x + cos 4 x ∫ ADCT: sin x + cos x = 1, 2 2 2...TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ - VÀ HÀM LƯỢNG GIÁC k ∫α ax 2 + bx + c dx TH 1: Tam thức ax 2 + bx + c có nghiệm kép Dạng 1: I = β VD: Tính tích phân: 1 I = 1 ∫0 x 2 + 2 x + 1 dx ln 3 ex 1 3 I = ∫ln 2 (e ) x 2 − 2e + 1 x 2 I = dx 4 I = 1 ∫0 4 x 2 + 4 x + 1 dx 1 π 2 0 cosx dx sin 2 x − 6sinx + 9 ∫ VD: Tính các tích phân sau: 1 dx 1 I = ∫ 2 3 x − 3x + 2 1 2x dx 3... 0 VD: Tính các tích phân sau: 2x − 3 π 3 dx = ln 3 + ∫0 x2 + 2 x + 4 18 2 1 x − x +1 π dx = 1 − ln 3 + 3 I = ∫ 2 0 x + x +1 3 3 1 I = 2 3x + 1 3 π dx = ln 2 − −1 x + 2 x + 5 2 4 1 2x − 2 dx 4 I = ∫ 2 0 x + 2 x + 10 2 I = ∫ 1 2 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: I = Dạng 2: I = ∫ b ∫ b a a sin m x.cos n xdx sin m x dx cos n x Phương pháp: • Trường hợp 1: m là số lẻ, n chẵn o Ta phân tích sin m x = sin... sin 5 x = sin 4 x.s inx= ( 1-cos 2 x ) sinx 2 o Ta đặt t=cosx • Trường hợp 2: n là số lẻ, m số chẵn o Ta phân tích cos n x = cos n−1 x.cosx o Ví dụ: cos3 x = cos 2 x.cosx= ( 1-sin 2 x ) cosx; cos 5 x = cos 4 x.cosx= ( 1-sin 2 x ) cosx 2 o Ta đặt t=sinx • Trường hợp 3: m và n cùng lẻ o Ta phân tích sinx hoặc cosx o Ta đặt t=cosx hoặc t=sinx • Trường hợp 4: m và n đều chẵn o Ta dùng công thức hạ bậc... thể mở rộng ra 3 hoặc 4 nghiệm đơn…… VD: Tính tích phân sau: x +1 dx 1 I = ∫ 2 −1 x − 3 x + 2 0 2 I = ∫ 4 0 5x + 3 dx 2 x − 4x − 5 3 I = ∫ 2 1 x2 dx x 2 − 7 x + 12 11 Chú ý: Các bài sau ví dụ cho trường hợp mẫu số toàn là nghiệm đơn (3 nghiệm đơn) 3x 2 + 1 3 I = ∫ 3 dx −1 x − 2 x 2 − 5 x + 6 0 x2 + 2x + 6 4 I = ∫ 3 dx −1 x − 7 x 2 + 14 x − 8 0 Chú ý: Các bài sau ví dụ cho trường hợp mẫu số có nghiệm... − 5sinx + 6 dx ln 2 VD: Tính các tích phân sau: Chú ý: u là một hàm số bậc nhất theo biến x, còn m là một số thực 1 π dx = x +3 12 3 2 1 π dx = 3 I = ∫ 2 −1 x + 2 x + 10 12 β a'x+b' dx Dạng 2: I = ∫ α ax 2 + bx + c 1 I = ∫1 1 π dx = ∫2 x 2 − 6 x + 10 2 1 1 π 3 4 I = ∫0 4 x 2 + 4 x + 4dx = 36 3 4 2 I = 2 Cần nhớ: x0 là nghiệm kép, có thể mở mũ 3 hoặc 4… VD: Tính tích phân sau: 1 I = ∫ 1 0 3x + 1 dx 2... x ∫ 1 dx cos 2 x.sin 4 x 6 I = 13 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tính các tích phân sau 2 1 x ln ( x + 3 ) 1 I= ∫ dx = 4ln 2 − 3 ln 3 + 2 0 x2 + 3 5 9 15 3 I= ∫0 x ln x + 4dx = ln 3 + 8ln 2 + 2 8 Bài 2: Tính các tích phân sau π x.cosx π 3 1 1 I= ∫ 3 dx = − + 0 sin 3 x 36 6 2 π 2 e 3 I= ∫ 2 cos3 x.esin x sinxdx = − 1 0 2 e ln ( x + 1) 4e dx = ln 5 I= ∫1 2 x ( e + 1) e + 1 1 3 1+ x 7 I= ∫ x ln ÷dx = − ... cosx.sin x ∫ dx cos x.sin x I = 13 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tính tích phân sau x ln ( x + ) I= ∫ dx = 4ln − ln + x2 + 15 I= ∫0 x ln x + 4dx = ln + 8ln + Bài 2: Tính tích phân sau π x.cosx π 1 I= ∫ dx... ∈ Z ) • • BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tính tích phân sau: I = I = π π π π sin x.cos xdx = 315 I = ∫ cos3 x dx = sin x π cos x.cos4xdx = I = ∫ sin x.cos xdx = ∫ ∫ π 32 Bài 2: Tính tích phân sau: I... x ( ln x + 1) ⇒ I= ∫ 2 BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 1: Tính tích phân: 1 I = ∫1 x ln + ÷dx x π 3 π ln ( sinx ) dx = ln I = ∫π3 ÷− cos x 4 Bài 2: Tính tích phân: π x sin x 2π 3−2