Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1

Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1 Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính tích phân Ta xét trường hợp sau: b I = ∫ sin n xdx a b b I = ∫ cosn xdx a b Trường hợp 1: n=1 I = ∫ sin xdx Trường hợp 2: n=2 I = ∫ sin xdx I = ∫ cos2 xdx Trường hợp 3: n=3 I = ∫ sin xdx I = ∫ cos3 xdx Trường hợp 4: n=4 I = ∫ sin xdx I = ∫ cos4 xdx Trường hợp 5: n=5 I = ∫ sin xdx I = ∫ cos5 xdx a b a b a b a b a I = ∫ cosxdx a b a b a b a b a Trường hợp 1: n=1 • b b Tính tích phân: I = ∫a sin xdx I = ∫a cosxdx • Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Bài 1: Tính tích phân sau: π π 2 I = ∫ sin ( x − π ) dx I = ∫ sin xdx π  3π  I = ∫02 sin  − x ÷dx   Trường hợp 2: n=2 n=4 • Tính tích phân: • • • b a a b b a a I = ∫ sin xdx I = ∫ cos4 xdx o • • b I = ∫ sin xdx I = ∫ cos2 xdx o Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc Công thức hạ bậc: cos2 x = ( + cos2x ) sin x = ( − cos2x ) 2 2 1  cos x = ( cos x ) =  ( + cos2x )  = ( + cos2x ) 2  sin x = ( sin x ) • 2 2 1  =  ( − cos2x )  = ( − cos2x ) 2  Bài 2: Tính tích phân sau: π I = ∫ sin xdx π I = ∫ sin 2 xdx π x 2π I = ∫02 sin  − ÷dx 2 2 Bài 3: Tính tích phân sau: π I = ∫ cos xdx π I = ∫ cos xdx π x 2π I = ∫02 cos  − ÷ dx Bài 4: Tính tích phân sau: π I = ∫ cos xdx π I = ∫ sin xdx π I = ∫ sin x dx Trường hợp 3: n=3 n=5 • Tính tích phân: o o • b b a a b b a a I = ∫ sin3 xdx I = ∫ cos3 xdx I = ∫ sin xdx I = ∫ cos5 xdx Cách giải: Đổi biến số b o Phân tích sin3 x sin x thành: I = ∫ f ( sin x ) cosx.dx Sau đặt t = f ( s inx ) a b o Phân tích cos3 x cos5 x thành: I = ∫ f ( cosx ) sin x.dx Sau đặt t = f ( cosx ) a Ta áp dụng đẳng thức thường áp dụng: sin x = − cos2 x 2 • sin x + cos x = ⇒  2  cos x = − sin x sin 3x=sin x.s inx = ( − cos2 x ) s inx •  cos x = cos2 x.cosx = ( − sin x ) cosx  sin 5x=sin x.s inx = ( − cos2 x ) sinx •  cos x = cos x.cosx = ( − sin x ) cosx • Lưu ý: f ( s inx ) thức theo sinx, f ( cosx ) biểu thức theo cosx Bài 4: Tính tích phân sau: π π I = ∫ sin3 xdx I = ∫ sin3 xdx π I = ∫ sin π I = ∫ sin xdx x dx Bài 5: Tính tích phân sau: π π x dx π x I = ∫ cos5 dx I = ∫ cos5 I = ∫ cos xdx π I = ∫ cos5 xdx Bảng tóm tắt TT b Dạng toán I = ∫ sin n xdx a n=1 n=2 n=4 b I = ∫ cosn xdx Cách giải a b b a a I = ∫ sin xdx I = ∫ cosxdx b b a a b b a a b b a a I = ∫ sin xdx I = ∫ cos2 xdx Áp dụng bảng nguyên hàm Áp dụng công thức hạ bậc I = ∫ sin xdx I = ∫ cos4 xdx n=3 n=5 I = ∫ sin3 xdx I = ∫ cos3 xdx b b a a Đổi biến số dạng I = ∫ sin xdx I = ∫ cos5 xdx Dạng 2: Tính tích phân Ta xét trường hợp sau: b I = ∫ sin m x.cosn xdx a b TH1: m=n=1 I = ∫ sin x.cosxdx TH2: m=n=2 I = ∫ sin x.cos2 xdx TH3: m=n=3 I = ∫ sin3 x.cos3 xdx a b a b a b TH4: m lẻ n chẵn I = ∫ sin x.cos2 xdx TH5: m chẵn n lẽ I = ∫ sin x.cos5 xdx a b a b TH6: m ≠ n với m n chẵn I = ∫ sin x.cos2 xdx TH7: m ≠ n với m n lẻ I = ∫ sin x.cos3 xdx a b a Công thức nhân đôi thường áp dụng:  sin x = 2sin x.cosx 1  sin x.cosx= 2sin x.cosx= sin x 2 2 1   sin x.cos2x= ( sinx.cosx ) =  2sin x.cosx ÷ = sin 2 x 2  3 1   sin3 x.cos3x= ( sinx.cosx ) =  2sin x.cosx ÷ = sin x 2  1   sin x.cos x= ( sinx.cosx ) =  2sin x.cosx ÷ = sin x 2  32 4 b Trường hợp 1: m=n=1 Ta có: I = ∫a sin x.cosxdx = b sin xdx ∫a Bài 6: Tính tích phân sau: π π I = ∫ sin x.cosxdx I = ∫ sin x.cos2xdx π 0 π x x I = ∫ sin cos dx 2 I = ∫ sin b 2 Trường hợp 2: m=n=2 Ta có: I = ∫a sin x.cos xdx = b sin xdx ∫a 3x 3x cos dx 2 Cách giải: Hạ bậc Bài 7: Tính tích phân sau: π π I = ∫ sin x.cos2 xdx π I = ∫ I = ∫ 4sin 2 x.cos2 2xdx π x x 8sin cos2 dx 2 x x I = ∫ 3sin cos2 dx 3 b 3 Trường hợp 3: m=n=3 Ta có: I = ∫a sin x.cos xdx = b sin xdx ∫a Cách giải: Đổi biến số dạng Bài 8: Tính tích phân sau: π π I = ∫ sin3 x.cos3xdx I = ∫ sin3 x.cos3 2xdx π 0 π x x I = ∫ sin3 cos3 dx 2 Trường hợp 4: : m lẻ n chẵn Cách giải: Đổi biến số dạng x x I = ∫ sin3 cos3 dx 3 b b a a  Biến đổi: I = ∫ sin m x.cosn xdx = ∫ sin m−1 x.cosn x.s inxdx  Đặt t=cosx biểu thức chứa cosx Bài 9: Tính tích phân sau: π π I = ∫ sin3 x.cos2 xdx I = ∫ sin x.cos4 2xdx 0 x x I = ∫0 sin cos dx 2 Trường hợp 5: : m chẵn n lẽ Cách giải: Đổi biến số dạng π x x I = ∫0 sin cos dx 3 π b b a a  Biến đổi: I = ∫ sin m x.cosn xdx = ∫ sin m x.cosn-1x.cosxdx  Đặt t=sinx biểu thức chứa sinx Bài 10: Tính tích phân sau: π I = ∫ sin x.cos3xdx x x I = ∫0 sin cos dx 2 Trường hợp 6: m ≠ n với m n chẵn Cách giải: Hạ bậc Bài 11 Tính tích phân sau: π π I = ∫ sin x.cos4 xdx Trường hợp m ≠ n với m n lẻ Cách giải: Hạ bậc Bài 11 Tính tích phân sau: π I = sin x.cos3xdx ∫ π I = ∫0 sin 2x 2x cos3 dx 3 π I = ∫ sin x.cos5 2xdx π x x I = ∫0 sin cos dx 3 π x x I = ∫0 sin cos dx 2 π x x I = ∫0 sin cos dx 2 π x x I = ∫0 sin cos dx 3 Bảng tóm tắt TT Cách giải b Dạng toán I = ∫ sin m x cosn xdx a m=n=1 b I = ∫ sin x.cosxdx a m=n=2 m ≠ n với m n chẵn b I = ∫ sin x.cos2 xdx a C1: Áp dụng bảng nguyên hàm C2: Đổi biến số dạng Áp dụng công thức hạ bậc b I = ∫ sin x.cos2 xdx a b I = ∫ sin x.cos4 xdx a b m=n=3 I = ∫ sin x.cos3 xdx a b I = ∫ sin x.cos5 xdx Đổi biến số dạng a b I = ∫ sin x.cos2 xdx m lẻ n chẵn a b I = ∫ sin x.cos4 xdx a b Đổi biến số I = ∫ sin x.cos2 xdx a b I = ∫ sin x.cos3 xdx m chẵn n lẽ a b I = ∫ sin x.cos5 xdx a b I = ∫ sin x.cos3 xdx a b m ≠ n với m n lẻ I = ∫ sin x.cos3 xdx a b I = ∫ sin x.cosxdx a b I = ∫ sin x.cos3 xdx a b Dạng 3: Tính tích phân dạng I = ∫a b 1 dx I = dx n ∫ a sin x cosn x Ta xét trường hợp sau: b 1 dx I = ∫ dx a sin x cosx b b 1 dx I = dx TH 2: n=2 I = ∫a ∫ a sin x cos2 x b b 1 dx I = ∫ dx TH 3: n=3 I = ∫a a cos3 x sin x b b 1 dx I = ∫ dx TH 4: n=4 I = ∫a a cos x sin x b b 1 dx I = ∫ dx TH 5: n=5 I = ∫a a sin x cos5 x b b 1 dx I = dx TH 6: n=6 I = ∫a ∫ a sin x cos6 x Công thức thường áp dụng = + tan x  cos x 1 1 = = ( + tan x )  cos x cos x cos x cos2 x 1 1 = = ( + tan x )  cos x cos x cos x cos2 x 1 1 = = ( + tan x )  cos x cos x cos x cos x b TH 1: n=1 I = ∫a   = + cot x sin x 1 1 = = ( + cot x ) sin x sin x sin x sin x  1 1 = = ( + cot x ) sin x sin x sin x sin x  1 1 = = ( + cot x ) sin x sin x sin x sin x b Trường hợp 1: n=1.Ta có: I = ∫a b 1 dx I = ∫ dx a sin x cosx Cách giải: Đổi biến số dạng 1: Ta biến đổi sau: b b s inx b s inx dx = ∫ dx = dx Đặt t=cosx  I = ∫a ∫ a a sin x sin x − cos2 x b b cosx b cosx dx = ∫ dx = ∫ dx Đặt t=sinx  I = ∫a a cos x a − sin x cosx 1 1 1 = = = = t t t sin t sin t 2sin t cos t t cos2 tan cos2 t t    Hoặc Đặt t= tan 2 2 2  sin cos ÷  cos2 t  2 1 1 1 = = = = t t cost cos2 t cos2 t − sin t cos2 t − sin t − tan cos2 t  Hoặc 2 2 cos2 2 t cos2 1 1 1 1 = = = = = t t t t t cost cos2 t − 2sin t cos2 sin cos2 − tan cos2 t    Hoặc 2 2 2 2 −2  − 2sin ÷  cos2 t t t  cos cos 2 Bài 12 Tính tích phân sau: π π 1 dx dx I = ∫π3 I = ∫ π8 s inx 12 s in2x π I = ∫π2 π π 12 dx I = ∫ x sin Bài 13 Tính tích phân sau: π I = ∫π64 cosx dx 3 π I = ∫π2 x cos dx sin3 x dx cos2x 12 π I = ∫ π8 π dx I = ∫ π9 b 1 dx I = ∫ dx a cos2 x sin x Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Bài 13 Tính tích phân sau: x 12 cos dx b Trường hợp 2: n=2.Ta có: I = ∫a I = ∫ π π π dx s in 2x b Trường hợp 3: n=2.Ta có: I = ∫a I = ∫π2 b 1 dx I = ∫ dx a cos3 x sin x x cos 2 dx Cách giải: Tích phân phần  u=  1  s inx dx = ∫ dx Đặt  Phân tích: I = ∫a a sin x sin x sin x  dv = dx  sin x  u=  b b 1  cosx dx = ∫ dx Đặt  Phân tích: I = ∫a a cosx cos x cos x  dv = dx  cos2 x b b dx sin x Không giải tích phân cách biến đổi π π π π sin x + cos2 x cos2 x 2 2 I = ∫π dx = ∫π dx = ∫π dx + ∫π dx 3 sin x sin x 6 sin x sin x π Bài 14: Tính tích phân I = ∫π2 Tính A = ∫ dx sin x Tính B = ∫ π π cos2 x cos2 x s inx cos2 x.s inx 2 dx = ∫π dx = ∫π dx 2 sin x sin x 6 ( − cos x ) π π π π Cách khác: π I = ∫π2 π π s inx s inx 2 dx = dx = dx π π ∫ ∫ sin x sin x − c os x 6 ( ) Ta phải giải tích phân phần π π 1 I = ∫π2 dx = ∫π2 dx sin x sin x sin x  cosx  u = s inx  du = − dx ⇒ sin x Đặt   dv = dx  v = − cot x  sin x π π π π π cosx cos2 x − sin x 1 2 − ∫π2 dx = − ∫π2 dx = − dx + dx Khi đó: I = π π 3 ∫ ∫ sin x π sin x sin x 6 sin x sin x π Suy ra: I = + ∫π2 dx sin x π π s inx s inx 2 dx = dx = dx Tính A= ∫ π π 2 ∫ ∫ sin x sin x − c os x 6 Đặt t = cosx ⇒ dt=-sinxdx  π  x = ⇒ t = Đổi cận:   x= π ⇒ t =  π π Khi đó: A = ∫ 1 23  1  t +1 dx = − ∫  − ÷dt = ln 1− t 2 t −1  t −1 t +1  = 3+2 ln 2− 3+2 +2 ⇒ I = + ln Vậy: I = + ln 2− 2− π Bài 15: Tính tích phân I = ∫ dx cos3 x b b 1 dx I = ∫ dx Trường hợp 4: n=1.Ta có: I = ∫a a cos x sin x Cách giải: Đổi biến số dạng 1: Ta biến đổi sau: b b 1 1 dx = dx = + cot x ) dx Đặt t=cotx ( 2 ∫ ∫ a a sin x sin x sin x sin x b b b 1 1 dx = ∫ dx = ∫ ( + tan x ) dx Đặt t=tanx Phân tích: I = ∫a a a cos x cos x cos x cos2 x Bài 16 Tính tích phân sau: π π 1 I = ∫ dx I = dx ∫ cos x cos4 2x π π 1 I = ∫2 dx I = ∫2 dx 0 4 x x cos cos Bài 16 Tính tích phân sau: π π 1 dx I = ∫π I = ∫π4 dx 4 sin x sin 2x π π 1 I = ∫π dx I = ∫π dx x x sin sin b b 1 dx I = ∫ dx Trường hợp 5: n=5.Ta có: I = ∫a a sin x cos5 x Cách giải: Tích phân phần  u=  b b 1  s in3x dx = dx Phân tích: I = ∫a Đặt  ∫a sin3 x sin2 x sin x  dv = dx  sin x  u=  b b 1  cos3x dx = dx Phân tích: I = ∫a Đặt  ∫a cos3 x cos2 x cos5 x  dv = dx  cos2 x π π 1 dx dx Bài 17: Tính tích phân I = ∫π I = ∫π3 5 sin x cos x b b 1 dx I = ∫ dx Trường hợp 6: n=6.Ta có: I = ∫a a cos6 x sin x Cách giải: Đổi biến số dạng 1: Ta biến đổi sau: b b b 1 1 dx = ∫ dx = ∫ ( + cot x ) dx Đặt t=cotx Phân tích: I = ∫a a sin x sin x a sin x sin x b b b 1 1 dx = ∫ dx = ∫ ( + tan x ) dx Đặt t=tanx Phân tích: I = ∫a a a cos x cos x cos x cos2 x Bài 18: Tính tích phân sau: π π 1 I = ∫ dx I = ∫8 dx cos6 x cos6 2x π π 1 I =∫ dx I = ∫2 dx 0 x x cos6 cos6 Bài 19: Tính tích phân sau: b Phân tích: I = ∫a dx sin x π I = ∫π dx x sin dx sin 2x π I = ∫π dx x sin π π I = ∫π2 I = ∫π4 Bảng tóm tắt TT b 1 dx I = dx n ∫ a sin x cosn x b b =∫ dx I = ∫ dx a sin x a cosx b b 1 =∫ dx I = ∫a cos4 x dx a sin x b b 1 =∫ dx I = ∫a cos6 x dx a sin x b b 1 =∫ dx I = ∫ dx a sin x a cos8 x b b 1 =∫ dx I = ∫ dx a sin x a cos3 x b b 1 =∫ dx I = ∫ dx a sin x a cos3 x b Dạng toán I = ∫a n=1 I n=4 I n=6 I n=8 I n=3 I n=5 I Cách giải sin m x.cosn x dx a sinα x.cos β x Cách giải: Phân tích tử số sau đưa trường hợp dạng Ví dụ: Tính tích phân sau: π I = ∫π63 sin x.cosx dx Phân tích: = sin2 x + cos2 x Dạng 4: I = ∫ b π I = ∫π2 I = ∫ I = ∫ cos6 x dx Phân tích: cos6 x = ( − sin x ) khai triển đẳng thức sin x 3π π π π π π π π π π 1 dx Phân tích: = sin x + cos2 x sin x.cos2 x = sin 2 x sin x.cos x cos3 x dx Phân tích: cos3 x = ( − sin x ) cosx sinx I = ∫ dx Phân tích: = sin x + cos2 x sin x.cosx I = ∫ dx Phân tích: = sin x + cos2 x sin x.cos4 x I = ∫ cos2x dx Phân tích: cos2x = cos2 x − sin x sin x.cos2 x b b a a Dạng 5: Tính tích phân dạng I = ∫ tan n xdx I = ∫ cot n xdx 10 Ta xét trường hợp sau đây: b b a a TH1: n=1 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số b b TH2: n=2 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm a b a b TH3: n=3 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b b TH4: n=4 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a b a b TH5: n=5 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b b a a TH6: n=6 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số Các công thức thường áp dụng sinx o t anx= cosx cosx o cot x = sinx o + t an x= cos2 x o + cot x = sin x Các cách biến đổi s inx o tan x = +0 cosx o tan x = + tan x − = −1 cos2 x o o o o − t anx cos2 x tan x = tan x + tan x − t an x=tan x ( 1+tan x ) − t an x=tan x − t an x cos x tan x = tan x + tan3 x − t an 3x=tan3 x ( 1+tan x ) − t an 3x=tan 3x − t an 3x cos2 x tan x = tan x + tan x − t an x=tan x ( 1+tan x ) − t an x=tan x − t an x cos x tan3 x = tan3 x + tan x − t anx=tanx ( 1+tan x ) − t anx=tanx b b TH1: n=1 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b b Ta phân tích I = ∫a tan xdx = ∫a s inx dx Đặt t=cosx cosx Bài 20: Tính tích phân sau: π π I = ∫ t anxdx I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx I = ∫ cot xdx π π π π b b a a TH2: n=2 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Ta phân tích tan cot cách công thêm bớt 11 b − ∫ 1dx a cos x b b b b b b 2 − 1dx • I = ∫a cot xdx = ∫a ( + cot x − 1) dx = ∫a ( + cot x ) dx − ∫a 1dx = ∫a sin x ∫a Bài 21: Tính tích phân sau: I = ∫ tan xdx = ∫ ( + tan x − 1) dx = ∫ ( + tan x ) dx − ∫ 1dx = ∫ • b b b b b a a a a a π π I = ∫ t an xdx I = ∫ tan 2 xdx I = ∫ cot xdx I = ∫ cot xdx π π b π π b TH3: n=3 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I = ∫ tan xdx cách công thêm tanx bớt tanx đặt thừa số chung a I = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + t anx − t anx ) dx = ∫ t anx ( + tan x ) dx − ∫ t anxdx = ∫ t anx b b b b b a a a a a b − ∫ t anx dx cos x a b Ta phân tích I = ∫ cot xdx cách công thêm cotx bớt cotx đặt thừa số chung a I = ∫ cot xdx = ∫ ( cot x + cot x − cot x ) dx = ∫ cot x ( + cot x ) dx − ∫ cot xdx = ∫ cot x b b b b b a a a a a b − cot xdx sin x ∫a Bài 22: Tính tích phân sau: π π I = ∫ t an3 xdx I = ∫ tan3 xdx 3 I = ∫ cot xdx I = ∫ cot xdx π π b π π b TH4: n=4 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I = ∫ tan xdx cách công thêm tan2x bớt tan2x đặt thừa số chung a I = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + t an x − t an x ) dx = ∫ t an x ( + tan x ) dx − ∫ t an xdx = ∫ t an x b b b b b a a a a a b − t an 2xdx ∫ a cos x b Ta phân tích I = ∫ cot xdx cách công thêm cot2x bớt cot2x đặt thừa số chung a I = ∫ cot xdx = ∫ ( cot x + cot x − cot x ) dx = ∫ cot x ( + cot x ) dx − ∫ cot xdx = ∫ cot x b b b b b a a a a a b − ∫ cot xdx sin x a Bài 23: Tính tích phân sau: π π I = ∫ t an xdx I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx 4 I = ∫ cot xdx π π π π 12 b b TH5: n=5 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I = ∫ tan xdx cách công thêm tan3x bớt tan3x đặt thừa số chung a I = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + t an 3x − t an 3x ) dx = ∫ t an 3x ( + tan x ) dx − ∫ t an 3xdx = ∫ t an 3x b b b b b a a a a a b − ∫ t an 3xdx a cos x b Ta phân tích I = ∫ cot xdx cách công thêm cot3x bớt cot3x đặt thừa số chung a I = ∫ cot xdx = ∫ ( cot x + cot x − cot x ) dx = ∫ cot x ( + cot x ) dx − ∫ cot xdx = ∫ cot x b b b b b a a a a a b − ∫ cot xdx sin x a Bài 24: Tính tích phân sau: π π I = ∫ t an xdx I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx I = ∫ cot xdx π π b π π b TH6: n=6 I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I = ∫ tan xdx cách công thêm tan4x bớt tan4x đặt thừa số chung a I = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + t an x − t an x ) dx = ∫ t an x ( + tan x ) dx − ∫ t an xdx = ∫ t an 4x b b b b b a a a a a b − ∫ t an 4x dx cos x a b Ta phân tích I = ∫ cot xdx cách công thêm cot4x bớt cot4x đặt thừa số chung a I = ∫ cot xdx = ∫ ( cot x + cot x − cot x ) dx = ∫ cot x ( + cot x ) dx − ∫ cot xdx = ∫ cot x b b b b b a a a a a b − ∫ cot xdx sin x a Bài 25: Tính tích phân sau: π π I = ∫ t an xdx I = ∫ tan xdx I = ∫ cot xdx I = ∫ cot xdx π π π π Dạng 5: Các dạng khác Bài 1: Tính tích phân sau đây: π I = ∫ cos2x ( sin x + cos4 x ) dx HD: Áp dụng hệ thức đối xứng x + y = ( x + y ) − xy π I = ∫ ( + cos3x ) sin xdx HD: Áp dụng công thức nhân đôi π sin4x dx HD: Áp dụng hệ thức đối xứng x + y = ( x + y ) − xy sin x + cos x π cos2x I = ∫ dx HD: Áp dụng công thức nhân đôi sinx + cosx + π sin2x I = ∫ dx HD: Đặt t= cos2 x + cos x π sin x I = ∫ dx HD: cos x = cos2 x − 1 + cos2x π cos3 x I = ∫π6 cos2x-1 dx HD: cos x = − 2sin x Bài 2: Tính tích phân sau đây: I = ∫ 13 3sinx + 4cosx dx HD Phân chia tích phân áp dụng đẳng thức đưa đổi biến 3sin x + 4cos x π I = ∫π43 sin x dx • Cách 1: Nhân tử mẫu cho sin2x chuyển tích phân đổi biến với t=cos2x • Cách 2: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Biến đổi tử số sin x + cos2 x chia thành tích phân • Cách 3: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx • Cách 4: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Nhân tử mẫu cho sinx Đặt t=cosx π I = ∫ π I = ∫ s inx.tanxdx HD: Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx π π dx cosx.sin x • Cách 1: Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx • Cách 2: Biến đổi tử số sin x + cos2 x chia thành tích phân π sin3 x I = ∫ dx HD: Đặt t=cosx sin x + I = ∫ 14 [...]... xdx Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Ta phân tích tan và cot bằng cách công thêm 1 và bớt 1 11 b 1 − ∫ 1dx 2 a cos x b b b b b b 1 2 2 2 − 1dx • I = ∫a cot xdx = ∫a ( 1 + cot x − 1) dx = ∫a ( 1 + cot x ) dx − ∫a 1dx = ∫a sin 2 x ∫a Bài 21: Tính các tích phân sau: I = ∫ tan 2 xdx = ∫ ( 1 + tan 2 x − 1) dx = ∫ ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ 1dx = ∫ • b b b b b a a a a a π π 1 I = ∫ 4 t an 2 xdx 2 I = ∫ 6 tan... Đặt t= cos2 x 0 1 + cos 4 x π sin 3 x 6 I = ∫ 4 dx HD: cos 2 x = 2 cos2 x − 1 0 1 + cos2x π cos3 x 2 I = 7 ∫π6 cos2x -1 dx HD: cos 2 x = 1 − 2sin 2 x Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 3 I = ∫ 4 13 3sinx + 4cosx dx HD Phân chia tích phân và áp dụng hằng đẳng thức đưa về tp đổi biến 0 3sin 2 x + 4cos 2 x π 1 I = 2 ∫π43 sin 2 x dx • Cách 1: Nhân tử mẫu cho sin2x chuyển về tích phân đổi biến với... cosx o cot x = sinx 1 o 1 + t an 2 x= cos2 x 1 o 1 + cot 2 x = sin 2 x Các cách biến đổi s inx o tan x = +0 cosx 1 o tan 2 x = 1 + tan 2 x − 1 = 1 cos2 x o o o o 1 − t anx cos2 x 1 tan 4 x = tan 4 x + tan 2 x − t an 2 x=tan 2 x ( 1+ tan 2 x ) − t an 2 x=tan 2 x − t an 2 x 2 cos x 1 tan 5 x = tan 5 x + tan3 x − t an 3x=tan3 x ( 1+ tan 2 x ) − t an 3x=tan 3x − t an 3x cos2 x 1 tan 6 x = tan 6 x +... phân đổi biến với t=cos2x • Cách 2: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Biến đổi tử số về sin 2 x + cos2 x chia thành 2 tích phân • Cách 3: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx • Cách 4: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Nhân tử mẫu cho sinx Đặt t=cosx π 1 I = ∫ 2 π 3 I = ∫ 3 s inx.tanxdx HD: Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx 0 π 3 π 6 1 dx cosx.sin 2 x • Cách 1: Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx... an 4 x ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t an 4 xdx = ∫ t an 4x b b b b b a a a a a b 1 − ∫ t an 4x dx 2 cos x a b Ta phân tích I = ∫ cot 6 xdx bằng cách công thêm cot4x và bớt cot4x rồi đặt thừa số chung a I = ∫ cot 6 xdx = ∫ ( cot 5 x + cot 4 x − cot 4 x ) dx = ∫ cot 4 x ( 1 + cot 2 x ) dx − ∫ cot 4 xdx = ∫ cot 4 x b b b b b a a a a a b 1 − ∫ cot 4 xdx 2 sin x a Bài 25: Tính các tích phân sau: π π 1 I = ∫ 4... cos2 x 1 tan 6 x = tan 6 x + tan 4 x − t an 4 x=tan 4 x ( 1+ tan 2 x ) − t an 4 x=tan 4 x − t an 4 x 2 cos x tan3 x = tan3 x + tan x − t anx=tanx ( 1+ tan 2 x ) − t anx=tanx b b TH1: n =1 I = ∫ tan xdx hoặc I = ∫ cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b b Ta phân tích I = ∫a tan xdx = ∫a s inx dx Đặt t=cosx cosx Bài 20: Tính các tích phân sau: π π 1 I = ∫ 4 t anxdx 2 I = ∫ 6 tan 2 xdx 3 I = ∫ cot xdx 4 I... an 2 x ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t an 2 xdx = ∫ t an 2 x b b b b b a a a a a b 1 − t an 2xdx 2 ∫ a cos x b Ta phân tích I = ∫ cot 4 xdx bằng cách công thêm cot2x và bớt cot2x rồi đặt thừa số chung a I = ∫ cot 4 xdx = ∫ ( cot 4 x + cot 2 x − cot 2 x ) dx = ∫ cot 2 x ( 1 + cot 2 x ) dx − ∫ cot 2 xdx = ∫ cot 2 x b b b b b a a a a a b 1 − ∫ cot 2 xdx 2 sin x a Bài 23: Tính các tích phân sau: π π 1 I = ∫ 4... 5 x + cot 3 x − cot 3 x ) dx = ∫ cot 3 x ( 1 + cot 2 x ) dx − ∫ cot 3 xdx = ∫ cot 3 x b b b b b a a a a a b 1 − ∫ cot 3 xdx 2 sin x a Bài 24: Tính các tích phân sau: π π 1 I = ∫ 4 t an 5 xdx 2 I = ∫ 6 tan 5 2 xdx 5 3 I = ∫ cot xdx 5 4 I = ∫ cot 2 xdx 0 π 2 π 3 b 0 π 4 π 6 b TH6: n=6 I = ∫ tan 6 xdx hoặc I = ∫ cot 6 xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I = ∫ tan 6 xdx bằng cách công thêm tan4x... b Ta phân tích I = ∫ tan xdx bằng cách công thêm tanx và bớt tanx rồi đặt thừa số chung 3 a I = ∫ tan 3 xdx = ∫ ( tan 3 x + t anx − t anx ) dx = ∫ t anx ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t anxdx = ∫ t anx b b b b b a a a a a b 1 − ∫ t anx dx 2 cos x a b Ta phân tích I = ∫ cot 3 xdx bằng cách công thêm cotx và bớt cotx rồi đặt thừa số chung a I = ∫ cot 2 xdx = ∫ ( cot 2 x + cot x − cot x ) dx = ∫ cot x ( 1 + cot... cot 2 xdx 0 π 2 π 3 0 π 4 π 6 12 b b TH5: n=5 I = ∫ tan 5 xdx hoặc I = ∫ cot 5 xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I = ∫ tan xdx bằng cách công thêm tan3x và bớt tan3x rồi đặt thừa số chung 5 a I = ∫ tan 5 xdx = ∫ ( tan 5 x + t an 3x − t an 3x ) dx = ∫ t an 3x ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t an 3xdx = ∫ t an 3x b b b b b a a a a a b 1 − ∫ t an 3xdx 2 a cos x b Ta phân tích I = ∫ cot 5 xdx bằng cách ... t=tanx Phân tích: I = ∫a a a cos x cos x cos x cos2 x Bài 16 Tính tích phân sau: π π 1 I = ∫ dx I = dx ∫ cos x cos4 2x π π 1 I = ∫2 dx I = ∫2 dx 0 4 x x cos cos Bài 16 Tính tích phân sau: π π 1 dx... π Khi đó: A = ∫ 1 23  1  t +1 dx = − ∫  − ÷dt = ln 1 t 2 t 1  t 1 t +1  = 3+2 ln 2− 3+2 +2 ⇒ I = + ln Vậy: I = + ln 2− 2− π Bài 15 : Tính tích phân I = ∫ dx cos3 x b b 1 dx I = ∫ dx ... cos x cos x cos x cos2 x Bài 18 : Tính tích phân sau: π π 1 I = ∫ dx I = ∫8 dx cos6 x cos6 2x π π 1 I =∫ dx I = ∫2 dx 0 x x cos6 cos6 Bài 19 : Tính tích phân sau: b Phân tích: I = ∫a dx sin x π