42 bài tập tích phân có đáp án LTĐH 2015

hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN 42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015 π ∫π + cos xdx 1) I = − π x + sin x ∫ + sin2x dx 2) I = π π ∫ sin x + cos x dx π 3) I = ∫ sin x.cos2 x dx π 4) I = π π ∫ 2   5) I = ( sin x + cos x ) 7) I = − cos3 x  sin xdx   + sin x x ∫ + cos x e dx dx 10) I = ∫ π  cos x.cos x +  ÷ 4  15) I = 3sin x + 4cos x ∫ 3sin x + 4cos xdx 12) I = π  tan  x − ÷ 4  ∫ cos x dx ∫ ( sin x + e ∫x ( cos x 7sin x − 5cos x ∫ π ( sin x + cos x ) dx π 17) I = π π sin x ∫ x + ( x + sin x ) sin x dx ( + sin x ) sin x π π π 13) I = − 8) I = 9) I = ∫ sin x sin x + dx π 11) I = ∫π 2π π π 6) I = sin x − cos x dx cos x 14) I = π   cos x  + x÷ ∫  + 3sin x + dx π ) dx 16) I = ∫ π  π sin x cos  x + ÷ 6  dx ln x + ln x + − ln x ) dx 18) I = x+2 ∫ ( x + 1) ( x + x + ) dx hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN (x + x + 6)e x 19) I= ∫ dx x + ) + 2013.e − x ( π 20) I =  sin x sinx-sin x  dx  e sìn2x+ ÷ ∫ cos x −  e 2+ ( ln x + 1) 23) I = x ∫ x + ln x dx 21) I = ∫(2 25) I = x ∫ 1+ x + π ∫ π 29) I = 24) I = 26) I = 1+ x dx 28) I = e + cot x sin x 37) I = ∫ ∫3 41) I = + e x + 2e x + 32) I = π ∫2 x cos xdx e 34) I = ln + ln x dx ∫ x ( ∫ dx ) dx  x+  + x − ÷e x dx 38) I = ∫  x 1 ln 3x 40) I = ∫  ( e x e − x dx dx 30) I = x tan xdx ∫ ex + 1) x + 36) I = x.log x + dx e dx x − x + 2014 x dx x4 ∫ ( x − 2) x ln 39) I = ∫ (x π 10 x + x + + 10 x   ex  x   +x + tan x ÷ dx 31) I = ∫   x2 cos x   3π     x ln x dx 33) I = ∫ 2 ( x + 1) ∫ + x − x dx π ∫ ( x + 1) ∫ 35) I = ln x dx x +1 sin x x2 + x + tan x ) e x dx dx cos x ( 2cot x + 3cot x + 1) ∫ ( tan 1 −1 22) I = π − ) − 21− x 27) I = x  x3 x  ∫  x e + + x ÷dx 0  1 42) ∫ + x ) − 2ln x dx  x + x ( + 2ln x ) + ln x (x + x ln x ) dx hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH H D GIẢI: π 1) I = ∫π + cos2 xdx = − Đặt t = tanx => dt = => dt = THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN π ∫π − 1 cos x π 1 dx = ∫ dx 2 π tan x + cos x + cos x − dx Đổi cận => I = cos x (1+tan2 u)du Đổi cận => I = π 1 ∫1 t + 1dt Đặt t = tanu − π x + sin x = ∫ + sin2x dx 2) I = π π x sin x dx + ∫ ∫ + s ìn2x + s ìn2x dx = I1 + I π π π x x dx = ∫ dx = ∫ + s ìn2x 20 0 ( sin x + cos x ) I1 = ∫ x dx π  sin  x + ÷ 4  π u=x  π  π du = dx  cos  x + ÷  π π   4   dx = = dx ⇒  π  ⇒ I1 = − x cot  x + ÷ + ∫ dv =  π π 4 20     v = − cot  x + ÷ sin  x + ÷ sin  x + ÷     4 4    π π π sin x 1 − cos x I2 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ + sìnx ( sin x + cos x ) 40 π π π cos x − sin x dx − ∫ dx π ( sin x + cos x )  sin  x + ÷ 4  1 π d ( sin x + cos x ) 1  = − cot  x + ÷ − ∫ dx = − ln sin x + cos x 4  sin x + cos x 2  π +2 Vậy I = I1 + I = π = π 3) I = ∫ sin x + cos x dx π Đặt t = + cos x => 2tdt = - sinxdx Đổi cận hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH −2tdt I= ∫ = t ( − t ) t t− = ln 2 t+ THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN 2dt ∫ t ( t − 2) = + t = = − ∫ t − ( t − 2) dt ∫ t2 2 dt dt = ∫ − t −2 t ( t − 2) 3 ( − ln − 3 ) π ∫ sin x.cos2 x dx π 4) I = π =∫ π = π π 4 sin x + cos x 1 dx dx dx = ∫ +∫ 4sin x.cos x π cos x cos x π sin x 2 π π π π   ( + tan x ) d ( tan x ) − cot x =  tan x + tan x ÷π + 63 = − ∫ 4π 4  5) I = = π 4  2( sin x +cos x ) − cos3 x  sin xdx ∫    π ∫2 1+sin2x π π 2sìn2xcos2xdx − ∫ 2sìn2xcos 2xdx = I1 + I ∫ Tính: I1= 21+sin2x 2sìn2xcos2xdx Đặt t = + sìn2x => dt = 2cos2xdx Đổi cận   du = dt  u =t  I1 = ∫ 2t ( t − 1) dt = ∫ t.2t dt − ∫ 2t dt Đặt:  ⇒ 2t t 1 dv = dt v =  ln  2 t   t t t t I1 = − dt − ∫ dt = − + 1÷ dt ln ln ∫ ln  ln  ∫ 1 2   t2 = − + 1÷ .2 = − ln  ln  ln ln ln π π 0 hoctoancapba.com π Tính: I = 2sìn2x.cos xdx = − cos xd ( cos x ) = − cos5 x = ∫ ∫ 5 hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH Vậy I = I1 − I = π 6) I = ∫π −   2− ÷− ln  ln  sin x − cos x dx cos x π ∫π = − π sin x sin x sin x sin x dx = − ∫ dx + ∫ dx cos x cos x π cos x − 3 π = THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN π     1− dx + ∫  − 1÷ = ( x − tan x ) −π + ( tan x − x ) 04 dx ∫π  cos2 x ÷  cos2 −    − = 7π − +1 12 7) I = π + sin x x ∫ + cos x e dx π x π = x π x π e dx sin x.e dx e sin x x +∫ = ∫ dx + ∫ e dx + cos x + cos x cos x + cos x 0 π π π π x x x 2 cos x 2 2sin e x e 2 e x dx = I = dx + ∫ tan e x dx = I1 + I I= ∫ dx + ∫ ∫ cos x 2 cos x x 0 2cos 2 π  u = ex  du = e x dx x  e dx   Tính: I1 = ∫ Đặt  dv = x dx ⇒  cos x v = tan x   cos  2   π   π 1 x x2 ⇒ I1 = 2.e tan − 2I2  = e − I  2 20   I=∫ ⇒ I = I1 + I = e 2π 8) I = ∫ π π x + ( x + sin x ) sin x dx ( + sin x ) sin x 2π = ∫ π x dx + sin x 2π dx = I1 +I2 ∫ π + sin x hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH 2π Tính: I1 = ∫ π I1 = - xcot x  u=x  du = dx  ⇒ Đặt  hoctoancapba.com dx v = − cot x dv =   sin x  x dx sin x 2π π THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN 2π 2π π π + ln sin x + ∫ cot xdx = π = π 3 2π Tính: I2 = dx = ∫ π + sin x 2π ∫ π  dx x x  sin + cos ÷ 2  7π 5π 5π = − cot + cot = 2cot = 4−2 12 12 12 π +4−2 Vậy I = 3 π 2 ∫ π 2π dx x π = − cot  + ÷ x π 2 4π sin  + ÷ 2 4 π 9) I = = 2π sin x sin x + dx = ∫ sin x − cos xdx Đặt t = cosx => dt = - sinxdx ∫ 2 π π Đổi cận => I = - ∫ π − t dt = ∫ − t dt π 3 I= cos udu = ∫ ( + cos 2u ) du = 2∫ 40 3 sin u ⇒ dt = cos udu 2 Đặt t = π 3   u + sìn2u ÷ = ( π + ) 4  16 π dx 10) I = ∫ π  cos x.cos x +  ÷ 4  1 π Ta có: cosx cos (x + ) = cosx ( cosx sinx) = cos2x (1- tanx) 2 => I = π π π 3− d ( tan x ) dx = − 2∫ = − ln tan x − 06 = − ln cos x ( − tan x ) tan x − 0 2∫ hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH 11) I = THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN π 3sin x + 4cos x ∫ 3sin x + 4cos xdx π π sin x cos x dx + ∫ dx ∫ ( − cos x ) + 4cos2 x 3sin x + ( − sin x ) 0 =3 π =3 π sin x ∫ + cos π Tính: I1 = x cos x dx = I1 +I2 − sin x dx + ∫ sin x ∫ + cos ∫t I1 = x dx Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận dt π Đặt t = tanu => I1 = = +3 π π π d ( sin x ) cos x sin x − 2 = ln3 Tính: I2 = dx = - ∫ = − ln ∫ − sin x sin x + ) ( sin x − ) sin x + 0 ( π + ln3 Vậy I = π π 7sin x − 5cos x dx Đặt t = x + π => dt = dx π  sin  x + ÷ π ( sin x + cos x ) 4     2 2 3π  sin t − cos t ÷−  cos t + sin t ÷ 2 2     Đổi cận => I = dt ∫ sin t 2 π 12) I = ∫ 7sin x − 5cos x dx =− ∫ 2π = 2 3π ∫ π 2 sin t − cos t dt = − cot t sin t 3π π 3π d ( sin t ) −3∫ = + sin t 2sin t π 3π π =2 hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH 13) I = THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN π  tan  x − ÷ 4  ∫ cos x dx π  sin x  π  tan x − 1  ;cos x = cos x 1 − ( − tan x ) Ta có: tan  x − ÷ = ÷= 2  + tan x   cos x  + tan x => I = - π tan x + ∫ ( tan x + 1) 2 dx Đặt t = tanx => dt = ( tan x + 1) dt, đổi cận dt ∫ ( t + 1) I=- = 14) I = π I=∫ 1 1− =− = t +1 +1 π   cos x  ∫  + 3sin x + + x ÷dx  π cos x dx + ∫ x.cos xdx = I1 + I 2 + 3sin x + * Tính I1 = I = π ∫ 2+ cos x dx ; Đặt t = 3sin x + => t = 3sinx + 3sin x + => 2tdt = 3cosx dx 2 2 t 2 2 ⇒ I1 = ∫ dt = ∫ − dt = ( t − 2ln t + ) = ( − 2ln 2 − + 2ln ) 2+t 2+t 3 ⇒ I1 = + ln 3 * Tính I = π ∫ x.cos xdx u=x  du = dx ⇒ dv = cos xdx v = sin x  Đặt  π π π π ⇒ I = x.sin x − ∫ sin xdx = + cos x 02 = − 2 π π π π π ⇒ I = x.sin x − ∫ sin xdx = + cos x 02 = − 2 π Vậy: I = I1 + I = ln + − π hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH π 15) I = ∫ sin x ( sin x + cos x THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN ) dx π sin x π π dx Do : sin x + cos x = 2sin( x + ) nên I = ∫ Đặt t = x + π 3 sin  x +  ÷ 3  π dt =dx, sinx = sin ( t ) = sin t − cos t Đổi cận 2 5π 5π 5π sin t − cos t 6 I= dt = ( − cot t ) π + ∫ cot td ( cot t ) ∫ 16 16 π 8π sin t 3 5π 3 + cot t π6 = + = = 32 12  π π cos  x + ÷−   6  dx = 16) I = ∫ dx ∫ π  π π  π sin x.cos x + sin x cos  x + ÷  ÷ 6  6  π π π     π π  sin  x + ÷ ÷cos x + sin  x + ÷sin x cos  x + 2 2 cos x 6 6 6    = dx = ∫ ∫  sin x +  π  dx π  3π 3π sin x.cos  x + ÷ cos  x + ÷ 6  6      π π π = ln  π  ln =  ln sin x − ln cos  x + ÷ ÷ =  π 3  * Cách khác: Do sinx.cos (x + π Nên I = ∫ π =   π ) = sin x  cos x − sin x ÷ = sin x   π ( ) ( π 1 d cot x − 2 dx = − ∫ cot x − = − ln cot x − π cot x − sin x 3π ln ln = 3 ( ) ) cot x − hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH e ∫x 17) I = ( THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN ln x + ln x + − ln x 2 t3 ( ) dx Đặt t = lnx =>dt = dx , đổi cận x ) dt = ∫ t + t − − t dt hoctoancap ba.com I= ∫ 20 + t2 + − t2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 = ∫ t + t dt − ∫ t − t dt = ∫ ( + t ) d ( + t ) + ∫ ( − t ) d ( − t ) 20 20 40 40 1 ( 3 1 2 2 = ( + t ) + ( − t ) = 5 + 3 − 16 6 0 ) *Cách khác: Đặt t = + ln x + − ln x ⇒ t = + 16 − x ⇒ t − = 16 − ln x  ln x t  ,đổi 4 4 ⇒ t + 64 − 16t = ( 16 − ln x ) ⇒ 4ln x = 16t − t ⇒ dx =  2t − ÷dt x 4  5+ cận => I =  2 t3    − t ÷dt =  2t − ÷  12    ∫ x+2 dx = 18) I = ∫ ( x + 1) ( x + x + ) ( x + 1) Tính I1 = +3 π +3 ( + tan t ) π ∫ Đặt x+1 = dt = = Tính: I2 =  dx ( x +1 ) π 18 + 3 ( x + 1)  ( x + 1)   12 12 tant => dx = (1+ tan2t)dt, đổi cận dx Đặt u = (x+1)2 + =>du = 2(x +1)dx, đổi cận du  1 u −3 I2 = ∫ = ∫ − ÷du = ln u ( u − 3)  u − u  u Vậy I = + 3  ) x +1 dx = I1 + I 2 ( x + 1) + 3 ( x + 1)   ( + tan t ) I1 = ∫ x +1+1 ∫ ( x + 1) ( x + 1) ( 5 + 3 − 16 +∫ dx ∫ ( x + 1) = dx =∫ 5+ π + 3ln 18 12 = ln hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN (x+2)e ( x + 3) e (x + x + 6)e x 19) I= ∫ dx = ∫ dx Đặt t = (x+2)ex +2013 −x x x + ) + 2013.e x + ) e + 2013 ( ( x x => (x+2)ex = t – 2013, dt = [ex+(x + 2)ex]dx = [(x + 3)ex]dx, đổi cận 3e+ 2013 t − 2013 3e+ 2013 dt = t 2015 − 2013ln t t ∫ I= 2015  x3 x  ∫  x e + + x ÷dx 0  20) I = 1 = ∫ x e x3 3e+ 2013 2015 dx + ∫ = 3e − − 2013ln x x 1+ 3e + 2013 2015 dx = I1 + I 1 t e −1 Tính I1 = x e dx Đặt t = x => dt = 3x dx => I1 = ∫ e dt = 30 ∫ Tinh I2 = x3 ∫ 1+ x x dx Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ dx = 4t dt 1  t3  t  dt  ⇒ I = 4∫ t dt = 4∫  t + − dt =  − t ÷ + ∫ ÷ 1+ t2 t +1 t +1  0 0 = − + 4J π dt π Đặt t = tanu => dt = (1 + tan2u)du => J = + tan u du = u = π ∫ t2 +1 ∫ + tan u 0 ⇒ I2 = − − π e − + 3π Vậy I = Với J = 21) I = I= π ∫e π  sin x sinx-sin x  ∫  e sìn2x+ cos x − ÷dx  0 sin x Tính: I1 = π sin x.cos x sìn2xdx + ∫ dx = I1 + I 2cos x − π ∫e Đặt sin x π sìn2xdx = ∫ sin x.esin x d ( sin x ) u = sin x  du = cos dx ⇒  sin x sin x  v=e dv = e d ( sin x ) hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH I1 = 2sin x e Tính: I2 = π sin x π − 2∫ e THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN sin x π cos xdx =2e − ∫ e sin x d ( sin x ) = 2e − e sin x.cos x ∫ 2cos x − dx Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận = =2 π 1 t2   1 t −2 I2 = ∫ dt = ∫ 1 + dt ÷ = + ln t −4 0 t −4 2 t +2 − ln Vậy I = 22) I = π sin x π ∫ ( tan π = ln − 2 x + tan x ) e x dx π π x x x ∫ cos2 x e dx − ∫ e dx + ∫ tan x.e dx = I1 − I + I 0  u = ex du = e x dx  x Tính: I1 = ∫ cos2 x e dx Đặt dv = 12 dx ⇒  v = tan x   cos x  π I1 = tan x.e Tính: I2 = π π x π π − ∫ tan x.e dx = e − I ⇒ I1 + I = e x π ∫ e dx = e x π x π = e −1 Vậy I = 23) I = e ∫ 2+ 1 ( ln x + 1) x dx x + ln x e = x + ln x + ∫ x ( x + ln x ) dx Đặt t = lnx => x = et, dt = 1 t  et +  2et + t + e +1 dt = ∫ 1 + t dt = + ∫ t dt = + J cận => I ∫ ÷ et + e +t  e +t 0 t e +1 dt Đặt u = et + t ⇒ du = ( et + 1) dt , đổi cận Tính: J = ∫ t e +t J= e +1 ∫ du = = ln ( e + 1) u Vậy I = + ln(e + 1) dx ,đổi x hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN dx   u = ln x ln x   du = dx Đặt  x 24) I = ∫ dx ⇒  dv = x +1  x + v = x +   8 x +1 I = x + 1.ln x − ∫ dx = 6ln − 4ln − J x ( ) Tính: J = x +1 dx Đặt t = x ∫ x + ⇒ t = x + , 2tdt = dx , x = t2 – 1, đổi cận 3 t 1   t −1  J = ∫ 2tdt = ∫  + − = + ln − ln  ÷dt =  2t + ln t −1 t −1 t +  t + ÷2   2 Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 25) I = ∫(2 x − 9) − 1− x ⇒I =∫ (2 x x − 9) x dx x 2 3− x dx = ∫ (2 2 x x − ) 3.2 − x dx = ∫ (2 2x x − ) 3.2 − x t − 25 2t Đặt t = 3.2 − ⇒ t = 3.2 − ⇒ − = ⇒ x dx = dt 3ln x x x 2 ( t − 5) t ( t + 5) − ( t − 5) I= ∫ dt = ∫ dt = ln ln ( t − 25 ) t ln ( t + ) ( t − ) 5ln ( t + ) = 1  2 ln − ln ÷ = ln  5ln   5ln 14 26) I = ∫ + x − x dx ho ctoancapba.com I = ∫ 22 −  ( x − 1)  dx Đặt ( x − 1) = 2sin t ⇒ 3dx = 2cos tdt   • Khi x = ⇒ sin t = − −π ⇒t = • Khi x = => sin t = => t = 0 ⇒I = ∫ −π 0 3 4 − 4sin t = ∫ cos t cos tdt = ( + cos 2t ) dt 3 −∫ −π π dx hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN   −π  −    t + sin 2t ÷ = −   ÷  −π   3 3    2π + Vậy I = 3 1 1 x + − x2 + x +1 x2 + dx = ∫ 27) I = ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx = I1 − I 2x 2x 2x + x + + x2 −1 −1 −1 −1 = 1  1 I1 = ∫ 1 + ÷ = ( x + ln x ) = dx Tính: −1 −1  x  I2 = x2 + dx; t = x + ⇒ 2tdt = xdx; x = ±1 ⇒ t = ⇒ I = 2x ∫ −1 Vậy I = 1 28) I = 10 x3 + x + + 10 x ∫ (x x I1 = ∫ + 1) x + 1 dx = 10 ∫ x x2 + dx + 3∫ dx = 10 I1 + 3I x2 + dx; t = x + ⇒ I1 = − x2 + 1 π I = ∫ dx; x = tan t ⇒ I = x +1 3π Vậy I = 10 − + ( π 29) I = ∫ π ) cos x ( 2cot x + 3cot x + 1) sin x e + cot x sin x dx π =∫ π cot x ( 2cot x + 3cot x + 1) sin x e cot x + cot x +1 dx u +u +1 du; t = u + u + u = cot x ⇒ du = − dx ⇒ I = ∫ u ( 2u + 3u + 1) e sin x dt = ( 2u + 1) du ⇒ I = ∫ ( t − 1) et dt hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN  u = t −1 du = dt ⇒  t t dv = e dt  v = e I = e ( t − 1) − ∫ et dt = = e ( e + 1) t π ∫ 30) I = π π 1 π2  − 1÷ = ∫ x dx − ∫ xdx = J − dx cos x 32  cos x  0  x tan xdx = x  ∫ 0 π π u=x   du = dx  J = ∫ x dx;  ⇒ cos x dv = dx v = tan x cos x  π π d ( cos x ) π π J = x tan x − ∫ tan xdx = + ∫ = + ln cos x cos x π π2 Vậy I = − ln − 32  π  x  e + x  x + tan x  dx 31) I = ∫  ÷   cos x  3π x     π I= x π π − ln π = e x2 dx + ∫ dx + ∫ x tan xdx = J + M + N x2 cos x 3π 3π ∫ 3π J= π π π ∫π x e 1 dx; t = ⇒ dt = − ⇒ J = x2 x x dx 3π ∫ e dt = e t 3π −e π π  u = x2 π  du = xdx x π  M= ∫ dx;  ⇒ ⇒ M = x tan x 3π − ∫ x tan xdx cos x dv = dx  v = tan x 3π 3π cos x  4 2 9π 9π M= −N ⇒M +N = 16 16 9π Vậy I = e 3π − e π + 16 π hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN du = x.ln 2.dx  u = 2x  ⇒ 32) I = x cos xdx Đặt  ∫ dv = cos xdx  v = sin x  π π π π 1 ln x I = x.sin x − ln ∫ x sin xdx = − sin xdx 4 ∫ 0  u = x , du = x ln 2dx  dv = sin xdx Đặt   −1  v = cos x  π   ln  −1 x ln   ÷ x I =−  ln 2.∫ cos xdx ÷  cos x ÷ −  4 4 0 ÷   π    − 1÷.ln  ln 2  ln 2   ln  π  I= I ⇒ I 1 +  − ÷− = 16  16  16   16  π  2 − 1÷.ln   I= 16 + ln 2   u = ln x du = dx   x ln x x   I =∫ dx x ⇒ 33) dv = dx −1 ( x + 1)  v = ( x + 1) ( x + 1)     2 3 1 dx ln ( x + 1) − x I =− ln x + ∫ =− + dx x ( x + 1) 20 ∫ x ( x + 1) ( x + 1) π 2 3 3 ln 1 x ln ln d ( x + 1) 9ln =− + ln x − ∫ dx = − + − ∫ = − ln ( x + 1) 20 2 x +1 20 x2 + 20 9ln ln 9ln − 5ln = − = 20 20 e 34) I = ln + ln x dx ∫ x Đặt t = lnx => dt = dx , đổi cận x hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN 2t  u = ln ( t + 1) dt  du = ¬⇒ t +1   dv = dt   v=t  1 t2 2 I = t.ln ( t + 1) − ∫ dt = ln − J 3 t +1 3 1 I = ∫ ln ( t + 1) dt 30 1 t +1 −1 dt dt = − ∫ Tính J = ∫ t +1 t +1 0 Đặt t = tanu => dt = ( + tan2u)du, đổi cận π tan u + π J = 1− ∫ du = − tan u + ( ln − ) + π x +1 x e dx 35) I = ∫ x + 1) ( Vậy I = Do : x2 + ( x + 1) = e −1 − 2J Tính J = 1  x x.e x  x.e x x = 1− ⇒ I = ∫e − dx dx ÷ = e dx − ∫ 2  ( x + 1) ( x + 1) ÷ ∫ ( x + 1) 0 0  2x x.e  u = x.e x du = e x ( x + 1) dx   dv = dx ⇒  v=−   ( x + 1) ( x + 1)   x ∫ ( x + 1) dx 1 x.e x e J =− + ∫ e x dx = − + e − x +1 0 Vậy I = ∫ ( ) 36) I = x.log x + dx 2x  du = dx  u = log ( x + ) x + ) ln (   ⇒  dv = xdx  x2 x2 +   v = + =  4 x2 + 25ln − 9ln − I= log ( x + ) − xdx = = ln ∫ ln 0 hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN * Cách khác: t = x2 + 25 25 t t 25ln − 9ln − 25 => I = ∫ ln tdt = 2ln ln t − 2ln ∫ dt = 2ln ln 37) I = 3 x−x dx = ∫ x4 I1 = ∫ 3 ∫ 3 x − x + 2014 x x − x3 dx dx = ∫ dx + 2014 ∫ = I1 + I 4 x x 1 x −1 x dx x3 Đặt t = 1 dx − ⇒ t = − ⇒ = − t dt ,đổi x2 x x cận => I1 = 1 3 dx   I = 2014 ∫ = 2014  − ÷ = 8056 hoctoan capba.com  2x  1 x Vậy I = I = + 8056 = 8062 1 2 x+  x+ 1  x+   x x e x dx = J + K 38) I = ∫  + x − x ÷e dx = ∫ e dx + ∫  x − x ÷   1 1 J = ∫e x+ x   x+ x  x+  du = 1 − ÷e dx u = e x  ⇒  x    dv = dx   v=x  dx J = x e x+ 1 x x 1 e  − ∫  x − ÷ dx = e − − K e x 1 x+ ( ) e2 − e e Vậy I = J + K = e − = 2 ln x e dx 39) I = ∫ Đặt t = + e x ⇒ t = + e x , 2tdt = e x dx ,đổi cận x x 3 + e + 2e + 3 ( 2t + 1) − ( t + 1) dt 2t t I =∫ dt = 2∫ dt = ∫ 2t + 3t + 2t + 1) ( t + 1) 3t + ( t − ) + 2 ( 3 = 2ln t + − ln 2t + = = ln 40) I = ∫ ln ( 3x  + x ) − 2ln x dx  80 63 Do: ln( x4 + x2 ) -2lnx = ln [ x2.( 3x2+1 )] – lnx2 hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN xdx   = ∫ ln ( x + 1) dx Đặt: u = ln ( x + 1) ⇒  du = x + = ln( 3x2 + ), nên I =   dv = dx   v=x   6x 4ln + ln I = x.ln ( x + 1) − ∫ dx = −J 3x + 3 1 6x   J = ∫ dx = ∫  − dx ÷ = x − 2∫ 3x +  3x + 1 3 Với K = ∫ ( ) 3x +1 dx Đặt ( 3x ) dx = − K +1 x = tan t ⇒ 3dx = ( + tan t ) dt π 1 + tan t π π ⇒K= dt = ⇒J= − ∫ 3 3 π + tan t 6 12ln + 3ln − 12 + π  −x  x ( − x ) dx −x  u = x e  du = x e   ex dx dx ⇒  41) I = ∫ Đặt  dv = ( x − 2)   v= ( x − 2)   2− x   Vậy I = 1 x e − x I= − ∫ x.e − x dx = − J 2− x 0 e ∫ −x Với J = x.e dx  u=x  du = dx ⇒ −x −x dv = e dx v = −e Đặt  1 + ∫ e − x dx = − − e− x = − + 0 e e 3−e Vậy I = e J = − x e e 42) ∫ e =∫ −x x + x ( + 2ln x ) + ln x (x + x ln x ) (ln x + x ln x + x ) + x + x x ( ln x + x ) dx e e x2 + x dx = ∫ dx + ∫ dx = A + B x x ( ln x + x ) 1 hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH e THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN e 1 e −1 A = ∫ dx = − = x x1 e e 1+ e e e x dx = d ( ln x + 1) = − B=∫ ∫ ( ln x + 1) ln x + x = e + 1 ( ln x + x ) 1 2e − Vậy I = I = e ( e + 1) ... 2013 t − 2013 3e+ 2013 dt = t 2015 − 2013ln t t ∫ I= 2015  x3 x  ∫  x e + + x ÷dx 0  20) I = 1 = ∫ x e x3 3e+ 2013 2015 dx + ∫ = 3e − − 2013ln x x 1+ 3e + 2013 2015 dx = I1 + I 1 t e −1 Tính... Ta có: cosx cos (x + ) = cosx ( cosx sinx) = cos2x (1- tanx) 2 => I = π π π 3− d ( tan x ) dx = − 2∫ = − ln tan x − 06 = − ln cos x ( − tan x ) tan x − 0 2∫ hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH... hoctoancapba.com GV: PHẠM NĂNG KHÁNH 13) I = THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN π  tan  x − ÷ 4  ∫ cos x dx π  sin x  π  tan x − 1  ;cos x = cos x 1 − ( − tan x ) Ta có: tan  x − ÷ = ÷= 2