Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) phần 1

Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H. Chứng minh rằng: a) . b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH).

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ SỐ 1:

Môn thi: Toán

(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1(4đ): cho n số : a a a a1, , , , 2 3 4 a  n 0;1 Chứng minh rằng:

(1a a a a  a n) 4(a a a a  a n)

Bài 2(4đ): Giải phương trình: 2012 2012 2014 2014 3

Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD Trên

đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H Chứng minh rằng:

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Trang 2

Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 1

1 1

2 2

3 3

( 1) 0( 1) 0

2os2 0(1)3

Trang 3

1 1 1 1

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình

của tam giác ABD nên HK//BD mà ACBD HK AC(1)

0.5 0.5 0.5 0.5

Trang 4

Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi

uuuruuur uuur uuur uur uuuruuur uuur uur

Hay A’B’CD là hình vuông

1

1 1 1

Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.

ĐỀ SỐ 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG … ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)

Đề này có 05 câu, gồm 01 trang

Câu I (Khối A: 4,0 điểm; Khối B, D: 5,0 điểm )

Cho hàm số yf x 2x39mx212m x2 1, ( m là tham số)

tuyến vuông góc với đường thẳng  có phương trình 3x20y17 0 .

nghiệm phân biệt x x1, 2 x1x2 thoả mãn điều kiện 2

1 2

Đề chính thức

Trang 5

1 Giải phương trình: tan 4cos 2sin 2 2

nhiên một số vừa lập Tính xác suất để lấy được số không chia hết cho 3.

Câu IV ( 6,0 điểm)

  C : x12y 22 4 có tâm là I và điểm M  1;0 Viết phương trình đường thẳng  đi qua M cắt  C tại hai điểm A B, sao cho tam giác IAB

Trang 6

x x

Trang 7

Đáp án Toán 11- Trang 1

Trang 8

các tập sau thoả mãn điều kiện tổng các chữ số chia hết cho 3 là:

a x by a b  Giả sử  cắt (C) tại hai điểm A B, thoả

của AB

0 0

Trang 9

 góc giữa SCD và ABCD là góc SI HI,  SIH 300.

909090

MS

Đáp án Toán 11- Trang 3

Trang 10

Trang 11

Chú ý: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.

Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.

Câu 2 ( 3,0 điểm) Cho phương trình

(2sinx1)(2 s 2co x2sinx m ) 1 2  cos x2 ( Với m là tham số)

a, Giải phương trình với m = 1

b, Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;

Câu 4 (4,0 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.

a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin cos

sin sin

B cosC A







b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M sin22A sin22B sin22C

cos A cos B cos C

a, Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2)

b, Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng điqua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau

Câu 6 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA =

a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a, Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b, M là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu của S trên DM Tính độdài đoạn SK theo a và x Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK

Trang 12

0,250,25

0,25

Câu 2 (2sinx1)(2 s 2co x2sinx m ) 1 2  cos x2

a , Với m =1 ta được phương trình :

(2sinx1)(2 s 2co x2sinx1) 1 2  cos x2  (2sinx1).cos x2 0

0,250,250,25

0,25

Trang 13

k k k

Câu 5

a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin cos

sin sin

B cosC A

vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A

b,M sin22A sin22B sin22C

cos A cos B cos C

0,50,250,250,250,250,250,25

Trang 14

Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3)

Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0

*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0

*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0

0,25

a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên

SA vuông góc với AB và AD Vậy các tam

giác SAB và SAD vuông tại A

Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB

Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC

Vởy tam giác SBC vuông tại C

Tương tự tam giác SDC vuông tại D

Trang 15

-Hết -Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

- Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác

2 2.Tìm m để phương trình có nghiệm x 0;

Trang 16

*PT tương tương: sin22x-2sin2x+m-1/2=0

1)Với m=1/2:Thay PT ta được: sin22x-2sin2x=0

sin 2 0

sin 2 2

x x





  x=

*Xét HS: y=t2-2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng)

*Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2

*Điều kiện:

0000

x y

0,5 1,0 1,0 0,5

Trang 17

x y

2 2014 0

( 2014) 1 2014 2014lim

2014lim( 2014)

0 0

( 1)

k

k i k i i k

1,0

0,5 0,5

0,5

0,5 0,5 0,5

Trang 18



+

*Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1)

1,0 0,5

Trang 19

*VABCD=1/4VAEG F= 1

24AE.A F.AG=

212

(a b  c )(b c  a )(c a  b )2)*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4

  

)2 9R2

*Dấu bằng xảy ra khi OA OB OC O    

 O trùng trọng tâm G tam giác ABC

tam giác ABC đều ABCD là tứ diện đều.

Trang 20

Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200

Ta được vị trí của M trong tam giác ABC (1/2

điểm)

Câu4:

3

8 8 5 3 4

1 8 8 ) 5 3 ( 4

1 5

Trang 21

b) Chọn ngẫu nhiên một số có 4 chữ số đôi một khác nhau Tính xác suất để số đượcchọn không nhỏ hơn 2013.

  b) Cho phương trình: m x  1 x3  4xx3  3x  1 0 (x là ẩn, m là tham số) Chứngminh với mọi giá trị thực của mphương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phânbiệt

Câu 4

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh mặt phẳng A BD'  song songvới mặt phẳng CB D' '  Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD’ sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (A’BD).

b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện đó

Câu 5

Cho a b c, , là các hằng số thực và P x  ax3bx2cx Tìm tất cả các số a b c, , saocho P 2 26 và P x   1 với mọi số thực x sao cho x 1

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…; Số báo

Trang 22

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinhlàm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phầnđó

II ĐÁP ÁN:

1(2đ) Ta có sin 2x 3 cos 2x2 3 sin x cosx 1 3

26

22

Trang 23

nhỏ hơn 2013 Ta sẽ tính số các số có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd và các

số này chỉ có thể xảy ra với

0,25

1

a  , b 0,1, ,9 \ 1   , c0;1; ;9 \ 1;  b và d0;1; ;9 \ 1; ;  b c có 7 cách chọn

Từ hai trường hợp trên ta được n A   7.8.9.9 7.8.9 7.8.9.8  Do đó xác suất cần

tìm là:

   

 

7.8.9.8 8 9.9.8.7 9

u n

N M

D'

C' B'

D

C B

A' A

Ta có tứ giác BCD’A’ là hình bình hành nên CD BA' '  CD' BDA' (1)

0,5

Ta có tứ giác BDD’B’ là hình bình hành nên B D BD' '  B D' ' BDA' (2)

Từ (1) và (2) ta được A BD'  CB D' '

0,5

Trang 24

M

D'

C' B'

D

C B

A' A

Gọi S là trung điểm của AB, khi đó MS BD MS BDC ' và

Do MNS BD B D ' ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song

với B’D’ cắt D’C’ tại P’, do P’ là trung điểm của C’D’ nên P’ trùng với P Do

Trang 25

3 83

a b c

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu I( 1 điểm): Giải phương trình

(sin 2 sin 4) cos 2 0

Câu II(2 điểm):

1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi mộtkhác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3

2/ Tìm số nguyên dương n sao cho:

Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: yx33x2 2 (C)

1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

9 2011

2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với

đồ thị ( C )

Trang 26

Câu IV(2 điểm):

BAD=600 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); 3

4

a

SO  Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của DE

1/ Chứng minh (SOF) (SAD)

2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD)

3/ Gọi   là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Xác định

thiết diện của hình chóp với mặt phẳng   Tính diện tích của thiết diện này

2)+4(cosx-1

2)=0  (cosx-1

2)(sin2x+4)=0  x= 2

Trang 27

Đối chiếu với điều kiện: x= 2

3 k



Vậy phương trình có nghiệm: x= 2

Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được

3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán





 

Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn)

 phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7

Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn)

 phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25

Trang 28

a OH

O là trung điểm của AC nên d C SAD( ;( )) 2 ( ;( d O SAD))3a

0,250,5

0.25

Trang 29

3 Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD)  H là trung điểm của AK

tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt

SD, SA tại M và N Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN

2

2 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I: (2 điểm)

Câu II: (3 điểm)

1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn

Trang 30

21

3.4

212.3

21

Câu IV: ( 3 điểm)

1 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là

điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và

BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q Tìm vị trí của M và điều kiện của a,

b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.

2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho

ĐK: sinx cos x 0  dẫn tới

sinx 0;cos x 0.  0.25 Khi đó:

Trang 32

Trang 33

Ta được vị trí của M trong tam giác ABC.

Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ SỐ 9:

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

Môn thi: Toán

Trang 34

Tuyển tập cỏc đề thi học sinh giỏi toỏn lớp 11 (cú đỏp ỏn chi tiết) – phần 1

Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang và cú 5 cõu)

Cõu I Giải hệ phương trỡnh, hệ phương trỡnh.

x x

Cõu 3 Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau,

mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận đ

-ợc một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận đ-ợc cùng một loại đề Hỏi có baonhiêu cách phát đề hợp lệ ?

Trang 35

Câu I Giải hệ phương trình, hệ phương trình.

x x

Trang 36

Tuyển tập cỏc đề thi học sinh giỏi toỏn lớp 11 (cú đỏp ỏn chi tiết) – phần 1

0 2

3 0

) 1 ( 3 1 ) 1 ( 2 1 lim 3

1 2 1 lim

y

y y

y

y y

y

y y

I

y y

2

1 1 2 1

) 3 1 ( 3 1 ) 1 ( ) 1 (

3 2

1 1

1 lim

) ) 1 ( 3 1 ) 1 ( ) 3 1 ( (

) 3 ( )

1 ( 2 1 lim

3 2

0

2 3

2

2 2

2 0

y y

y

y y

y

y y y

y y

y

y y

Vậy I 21

Cõu 3 Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau,

mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận đ

-ợc một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận đ-ợc cùng một loại đề Hỏi có baonhiêu cách phát đề hợp lệ ?

Lời giải

Gọi sn là số cách phát đề hợp lệ cho n thí sinh a a1, 2, , an

Ta viết ai  a ij(  j ) nếu ai và aj cùng nhận đợc một loại đề và ai  ajtrong trờng hợpngợc lại

Xét một cách phát đề hợp lệ cho (n1) thí sinh a a1, 2, , a an, n1

- Nếu a1  an thì bỏ đi thí sinh an 1ta đợc một cách phát đề hợp lệ cho n thí sinh

n

a a1, 2, , a Khi đó có 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh an 1 (khác với 2 đề của a a1, n)

- Nếu a1  an thì bỏ đi hai thí sinh a an, n1 ta đợc một cách phát đề hợp lệ cho (n 1) thísinh a a1, 2, , an1 Khi đó có 10-1=9 cách phát đề hợp lệ cho a an, n1(cụ thể an  a1,còn an 1 phát 1 trong 9 đề khác a1)

Nh vậy ta có hệ thức sau

s 1  8 s  9 1,   n 2.Mặt khác, dễ tính đợc : s2  10.9  90, s3  10.9.8  720.

2 Mặt phẳng (a) qua M và vuụng gúc với AK Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp

S.ABC cắt bởi mp(a) cú diện tớch lớn nhất

Trang 37

1 CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin trong tam giác); SAB =SAC(c-g-c) ;vuông cân tại A:

SA ( ABC)

AC SA

AB SA

2.BC AK; SA  AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại

P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N Từ N kẻ đt songsong với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hình chữ nhật PQEF : S td PQ.PF

Ta có : BC=a 3; AK= a/ 2

Tính được PQ  2x 3 ;PF  (a 2x)

4 4

3 2

) 2 2

( 3 ) 2 (

3

2

a x Max S a x

a x x

Trang 38

ĐỀ SỐ 10:

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I Giải phương trình: 2 2sin x 12cosx1

1

2

2012 2013

u S

Câu III Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Gọi O là giao điểm của SB với MNH Chứng minh: OK/ /SC

2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc cáccạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM x,

AN y Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.

Trang 39

sin 4

sin 12 x

cos 12

1

2

2012 2013

u S

Suy ra un là dãy tăng

Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho limn u n L (L 2)

    Từ (*) ta có : 1

Trang 40

1( 1)

02013

n

u

      Mặt khác :

2 1

Câu III Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 41

Chỉ ra được 2

3

DASA  Suy ra MH / /SD(SBD) MH//SBDb) Chứng minh: OK / /SC

AM x AN  Tìm ,y x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.

Kẻ DH MN , do (DMN) (ABC) suy ra DH (ABC)

Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC

1

(x+y) x+y= 3xy (0x,y1 )

Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:

S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN =

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	2,99 MB