Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 10 (có đáp án chi tiết)

a) Giải phương trình: Câu 3 (2 điểm)a)Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.b)Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): và điểm . Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x  2)2  ( y  3)2  9 và điểm A  (1; 2) Đường thẳng  qua A,  cắt (C) tại M và N Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

1 a Tìm m:

y x   mx  m và y  2 x  3 cắt nhau tại hai điểm

Yêu cầu bài toán  PT sau có hai nghiệm dương phân biệt

4

m m

Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 4   x 5

M Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại

B Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB( ; x y  )A B 0 1,00

Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0 PT đường thẳng AB: x y 1

(C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3 Có A nằm trong đường tròn(C) vì

( vì  a b    2  a 2  2 a b b     2  2 a b a    2  b 2   a b    2) 0,25 (*)  AB2 BC2  CD2  DA2  AC2  BD2(Đpcm)

( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ) 0,25

4 b Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2

2 2

Hình vẽ câu 3b:

H

A

N M

trong đó  là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm

độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q  1; 1 và điểm A có hoành độ

dương

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT KONTUM

——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinhlàm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

x

x x

0 -2

P m

Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m 2, P min 144 khi m 2 0,5

x y

x y xy

x y

x y xy

A

B

Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của

BC cũng là trung điểm của HD, trong tam giác AHD có OH là đường trung bình nên

A

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập

được phương trình này là: x2y23x 29 0 suy ra tâm K của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC có tọa độ là 3; 0

2

 

0,25

ĐỀ SỐ 3:

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG – NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán 10

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y x 2  3x2 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm giá trị lớn nhất của góc A khi  2 2 1 

Câu 4 (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A11; 2 ,  B12; 2 , C11; 2

a) Tìm tọa độ điểm M Ox sao cho  0

1 1 45

b) Tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự là A B C1, ,1 1

Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC.

Câu 5 (2 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x y z  3 Chứng minh rằng

x y z xyz

2đ

Từ đồ thị trên suy ra đồ thị hàm số yx2  3x2 như hình vẽ 2:

Từ đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt điều kiện là:

24

m m

2 0

x x

0.25

0.5

1

2đ

2 2 2 2 2 2

coscot

Chứng minh được trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A B C1 1 1.

Môn thi: Toán

SỐ BÁO DANH:……… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(3.0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

2 2

2

10 1

x x

Câu 2:(2.5 điểm)

a) Tính giới hạn dãy số: lim n4n2 1 3 n61

b) Cho dãy số  u n xác định như sau:

1

1 1

2013

1 ( 1)2013

n n

Câu 4: (2.0 điểm) Cho phương trình: x4  ax3  bx2  cx d   0

a) Với d 2013, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

b) Với d 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh 2 2 2 4

Môn thi: Toán (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)

yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập

luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải

sau có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần

là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng

bài.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

4sin sin 3 6 2sin 3

4(1 sin sin 3 ) 2(1 sin 3 ) 0

4 sin (1 sin 3 ) cos 2(1 sin3 ) 0

4(sin cos 3 cos ) 2(1 sin 3 ) 0

 4 2 2 2 2

2 4

11

3 2

12013

2012

n n

1 1 1 2014 20132013

2012

n n

n n

Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD

Ta có: DT=AC=a 3

Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT 1200  ST a 7

Xét tam giác vuông SDT có DT=a 3, ST a 7 SD2a

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P.

Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần

lượt tại K, J, Q Thiết diện là ngũ giác NPQKJ.

0,25

0,25

0,5

0,25 0,25

b) d=1: Gọi x0 là nghiệm của phương trình (x 0 0)

ĐỀ BÀI

Bài 1 (4.0 điểm)

1 Giải phương trình:

 22

1 5

-HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Chú ý:

1.Trong đề toán này có nhiều bài mà phương pháp giải có nhiều lựa chọn, do đó giáo viên chấm cần để ý kĩ cách giải của học sinh để xây dựng một đáp án phù hợp cho cách giải khác.

2.Bài toán có nhiều ý độc lập nhau thì học sinh làm đúng bước nào thì cho điểm bước đó, nếu ý sau liên quan tới ý trước mà ý trước sai thì không chấm tiếp các ý còn lại.

11 25

15

6 0

( )2

1

(1) 6

a b

298

2.1 Cho hàm số y x 22ax b (1) Biết đồ thị (P) của hàm số (1) có trục đối

xứng x= 2 và có đỉnh nằm trên trục Ox Hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

O

Vậy P x( )x3 3x23x 4là một đa thức thỏa ycbt

Ta chứng minh n = 3 là bậc nhỏ nhất cần tìm Thật vậy vì không có đa thức bậc

nhất với hệ số nguyên nhận x 33 1 làm nghiệm, giả sử tồn tại đa thức bậc hai

với hệ số nguyên nhận x 3 3 1 làm nghiệm là ax2bx c khi đó tồn tại đa

thức với hệ số nguyên mx + n sao cho P x( )mx n ax   2bx c  bằng cách

đồng nhất hệ số ta thấy không tồn tại m, n, a, b, c nguyên

Gọi O là giao điểm hai đường phân giác

Ta có: AD BC sinADB BE AC sinAEB

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức A x 4 1 2 1 2

1 Giải phương trình (1) khi m  2

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Hình vẽ bài 3

AP

Câu 4 (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có BC = a, AB = 3BC Gọi M

là điểm đối xứng của B qua C, đường thẳng đi qua B vuông góc với DM tại

N cắt CD tại I.

1 Chứng minh tứ giác CMNI nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh tam giác ANC vuông tại N

3 Tính độ dài đoạn thẳng BN theo a

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2  b2  c2  0 Chứng minh rằng: 2 2 2 2

2

3 2

2 3

2

2

y y x

y x

*

0

*

3 0 1 5 6 5

0 1

xet

y y

y

y y

y

Chia cả 2 vế cho y2 được:

2 1

1

:

0 6 1 5

1

2 2 2

0 6 5

b a

đpcm c

b a

c b a c b

a

c b

a

c b a vi c b a c b a c

b a c

b a c

2

2

0 2

2 2

2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

Lại có  MCB=  BCD  CMB   CBD (c.g.c)

Tương tự, AM= 2 AC

Do ABCD là hình thang cân  BD=AC  AM=BM= 2 BD= 2 AB

AMB vuông cân tại M MBAˆ=MABˆ=45 o

Lại có AB=BD(gt) ADB cân tại B ADB =180 o −1/2ABDˆ(2)

b) Giả sử BC=AC, gọi H là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác BCD.

So sánh sđ IBˆ & sđ CDˆ ; tìm quan hệ giữa DH với (O).

nên ICBˆ=CBAˆ=CABˆ=ICDˆ dẫn đến CI là

Kết hợp với (*) suy ra K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác BCD  K≡H

Vậy HD là tiếp tuyến của (O)

µ Bài 3

Cho tứ giác ABCD.Các điểm M,N,P,Q theo

thứ tự thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA thỏa

Đặt MA/AB = x ; NB/BC = y ; PC/CD = z ; DQ/DA = t (0<x,y,z,t<1 )

 (1−x−z)(1−y−t)≤0 ( ⇔( x+y+z+t)−(x+z)(y+t)≥1 (2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x+z=y+t=1

µ Bài 4

thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Gợi ý:

của các tam giác tương ứng có hai

đáy thì

EF + FG + GH + HE = AC + BD

Mà AC + BD là đường ngắn nhât không đổi  EFGH có chu vi nhỏ nhất