Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) phần 2

Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm M. Biết rằng và . Tính các góc của tam giác ABC.

Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 ĐỀ SỐ 16: KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TỈNH ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (4 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0x x x x x+ + − + − − = 2. Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 1 , , 1 x y y z x y z xy yz zx  − =  − = ∈   + + =  ¡ Câu II (2 điểm) Giả sử , , ,A B C D lần lượt là số đo các góc · · · · , , ,DAB ABC BCD CDA của tứ giác lồi ABCD bất kì. 1. Chứng minh rằng sin sin sin 3sin 3 A B C A B C + + + + ≤ . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin sin sin sin 3 A P B C D= − + + + . Câu III (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9 . Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm 1 1 1 , ,A B C . Đường thẳng 1 AA cắt đường thẳng 1 CC tại điểm I ; đường thẳng 1 AA cắt đường thẳng BC tại điểm N ; đường thẳng 1 BB cắt đường thẳng 1 1 AC tại điểm P . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 IPC . Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M. Biết rằng BM MN= và · · 2BAC ABC= . Tính các góc của tam giác ABC. Câu V (1 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) : 0; 0;f +∞ → +∞ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 1 3 2 2 2 f x f f x x   ≥ +  ÷   với mọi 0x > . Chứng minh rằng ( ) f x x≥ với mọi 0x > . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… 1 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Câu Nội dung Điểm I 4điểm I.1 (2 điểm) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0 3 cos 1 3 sin .cos cos sin .cos sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x + + − + − − = ⇔ − + + − + − = 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 sin 3 sin .cos cos sin .cos sin cos 0 3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0 sin cos 3 sin cos 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + − + − = ⇔ − − − − + − = ⇔ − + − = 0,5 2 sin 0 sin cos 0 4 1 3 sin cos 1 sin 6 2 x x x x x x π π    − =  ÷  − =     ⇔ ⇔   + =    + =   ÷    0,5 ( ) 4 4 2 2 6 6 2 5 2 2 3 6 6 x k x k x k x k k x k x k π π π π π π π π π π π π π  = +   = +     ⇔ + = + ⇔ = ∈     = +   + = +    ¢ 0,5 I.2 (2 điểm) +) Nếu 0x = thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm 0,25 +) Nếu 0x ≠ ta đặt ; y ax z bx= = thay vào hệ ta được 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 1 0 1 2 1 x a a b a a b x a b a a b a a a ab b x a ab b  − =   − = − = −    − = ⇒ ⇔    + − + + = − = + +      + + =   0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 4 3 1 4 3 1 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 0 2 3 1 0 a b a b a b b a a a b a a a b a a  = −    = ±   − = − =     ⇔ ⇔ ⇔    = − + − + + = + − + =         − + =   0,5 +) Nếu 1 1 a b = −   = ±  thay vào (1) không thỏa mãn 0,25 2 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 +) Nếu 2 1 1 1 2 1 2 3 1 0 2 0 a b b a a a a b  =    = −   = −   ⇔   − + = =        =   thay 1 1 a b =   = −  vào (1) không thỏa mãn, thay 1 2 0 a b  =    =  vào (1) ta có 2x = ± . Do đó nghiệm của hệ là ( ) 1 1 ; ; 2; ;0 , 2; ;0 2 2 x y z     = − −  ÷  ÷     0,25 II 2điểm II.1 (1 điểm) Nhận xét. Nếu 0 ,0 ; 2 x y x y π + < < < thì sin sin 2sin cos 2sin 2 2 2 x y x y x y x y + − + + = ≤ . Dấu bằng xảy ra khi x y= 0,25 Sử dụng nhận xét trên ta có 4 sin sin sin sin 2sin 2sin 3 2 6 4 2 6 4sin 4sin 2 3 A B C A B A B C A B C A B A B C A B C + + + + + + + + ≤ + + + + + + + ≤ = 0,5 sin sin sin 3sin 3 A B C A B C + + + + ≤ . Dấu bằng xảy ra khi A B C = = . 0,25 II.2 (1 điểm) Đặt , 3 B C D t + + = ta có ( ) 2 2 3 ; 1 3 3 A t t π π π = − < < 0,25 Khi đó theo phần II.1 ta có 2 3 3 5 sin 3sin cos sin 3 2 2 t P t t t π −   ≤ − + = − +  ÷   0,25 Khi đó ( ) 2 2 2 2 3 5 sin cos 7 2 2 P t t         ≤ − + + =  ÷  ÷  ÷         0,25 Đẳng thức xảy ra khi ( ) 3 5 cos ; sin 2 28 28 t t= − = Vậy max 7 , 2 3P B C D t A t π = ⇔ = = = = − (với t xác định bởi (1) và (2)) 0,25 III 1điểm +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có 7 9 A cho 7 vị trí còn lại. Vậy ( ) 7 9 9n A A= 0,25 +) Giả sử { } 0;1;2; ;9B = ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 9M nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một khác nhau 3 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 của các tập { } { } { } { } { } \ 0; 9 ; \ 1; 8 ; \ 2; 7 ; \ 3; 6 ; \ 4; 5B B B B B nên số các số loại này là 8 7 8 7 4.7.A A+ . 0,5 Vậy xác suất cần tìm là 8 7 8 7 7 9 4.7. 1 9. 9 A A A + = . 0,25 IV 2điểm * Dễ thấy · 0 1 90IPC = , do đó O là trung điểm của 1 IC . 0,5 * · · · · 1 1 1 2 //IOP IC P CAB CC B BC OP= = = ⇒ * Do BM=MN; 1 1 //OI OC IN C B= ⇒ 0,5 Do đó · · 1 CIA BAC= , mà · · · ( ) 1 1 2 CIA BAC ACB= + Vậy · · · ( ) · · 1 2 BAC BAC ACB BAC ACB= + ⇒ = 0,5 Cùng với · · 2BAC ABC= ta được · · · 0 0 72 ; 36BAC ACB ABC= = = M O I N P A1 B1 C1 A B C 0,5 V 1điểm 1 (3 ) (2 ) 2 (1) 2 f x f f x x   ≥ +  ÷   Từ (1) suy ra 1 2 2 2 ( ) ( ) , 0 2 3 3 3 x x x f x f f f x x     ≥ + ⇒ > ∀ >  ÷  ÷     (2) 0,25 Khi đó 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 4 2 ( ) . 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 27 3 x x x x x x f x f f f f x           ≥ + > + = + > +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           Xét dãy ( ) n a , (n=1,2,…) được xác định như sau: 1 2 3 a = và 2 1 1 2 3 3 n n a a + = + . 0,25 4 Tuyn tp cỏc thi hc sinh gii toỏn lp 11 (cú ỏp ỏn chi tit) phn 2 Ta s chng minh bng quy np theo n rng vi mi * nƠ luụn cú ( ) n f x a x> vi 0x > (3) Tht vy, khi 1n = thỡ theo (2), ta cú ngay (3) Gi s mnh (3) ỳng vi n k= . Khi ú 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ( ) . . . 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 . . 3 k x x x x x x f x f f a f a a k k k a k x a x + + > + > + ữ ữ ữ + = = Vy (3) ỳng vi 1n k = + . 0,25 Tip theo ta chng minh lim 1 n a = . Tht vy, ta thy ngay * 1 n a n< Ơ . Do ú: 1 1 ( 1)( 2) 0 3 n n n n a a a a + = > , suy ra dóy ( ) n a tng ngt. Dóy ( ) n a tng v b chn trờn nờn hi t. t lim n a l= thỡ 2 1 2 3 3 l l= + vi 1l , suy ra 1l = . Vy lim 1 n a = . Do đó từ (3) suy ra ( )f x x với mọi 0x > (đpcm). 0,25 S 17: Bi 1 (2 im). 1. Gii phng trỡnh: a) 2 2 2 2sin 2 tan cot 2 x x x + = + + . 2. Gii phng trỡnh: ( ) ( ) 2 2 25 9 2sin 2cos tan 4 2 0 2 cos 1 2 sin 1 x x x x x + + ữ ữ = + + Bi 2 (3 im). Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 Mụn thi: toáN THPT Thi gian lm bi: 180 phỳt 5 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 1. Cho dãy số ( ) n u xác định bởi ( ) 1 * 1 4 1 4 4 1 2 9 n n n u u u u n N + =    = + + + ∀ ∈   . Tìm công thức số hạng tổng quát n u của dãy số. 2. Cho n là số tự nhiên, 2.n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( 1)2 . n n n n n n n n n C n C n C C C n n − − − + − + − + + + = + 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Bài 3 (2 điểm). 1. Cho dãy số k {x } xác định bởi: k 1 2 k x 2! 3! (k 1)! = + + + + Tính : 1 2 3 2012 lim n n n n n x x x x+ + + + 2. Cho hàm số : 2 3 1 sin 1 0 ( ) 0 0. víi víi x x x f x x x  + −  ≠ =   =  Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Bài 4 (3 điểm). Cho tam giác đều ABC 1. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho 2 2 2 MA MB MC= + . Hãy tính góc · BMC 2. Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB . Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1. Hết Họ và tên : Số báo danh : 6 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 Bài Lời giải Điểm Bài 1 1.(1 đ) Điều kiện : ( ) cos 0 sin 2 0 1 tan cot 2 0 x x x x ≠   ≠   + >  Ta có : 2 2sin cos2 1 tan cot 2 sin 2 sin 2 x x x x x x + + = = Do đó phương trình đã cho tương đương với : ( ) 2 2 sin2 2 sin 2x x+ = + ( ) ( ) sin 2 1 . 2 sin 2 2 0x x⇔ − − = sin 2 1 2 sin 2 2 x x  =  ⇔  =   sin 2 1 1 sin 2 2 x x =   ⇔  =  ( Thỏa điều kiện (1) ) Giải các phương trình trên ta được : ( ) 5 ; ; 4 12 12 x k x k x k k Z π π π π π π = + = + = + ∈ 2. (1 đ) ĐK: ( ) 1 1 2 3 2 3 cos 0 2 2 3 cos 2 ; ; ; 2 4 5 2 2 ; 2 sin 4 4 2 x l x x x l l l l l Z x l x l x  π  ≠ + π  ≠    − π   ≠ ⇔ ≠ ± + π ∈     π π   ≠ − + π ≠ + π ≠ −     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2sin 6 2cos 4 tan 0 4 2 sin 1 cos 2 2sin tan 1 sin 2 2sin 2 cos 2sin cos sin 1 sin 2 tan sin 2 1 1 sin 2 1 tan 0 cos pt x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π     ⇔ − π − − + π+ + =  ÷  ÷     π   ⇔ − − = − ⇔ − = −  ÷   − ⇔ − = = − ⇔ − + = ( ) sin 2 1 4 tan 1 4 x k x x x k loai π  = + π  =  ⇔ ⇔   = − π   = − + π   So với điều kiện ( ) 2 4 x m m Z π = + π ∈ là nghiệm phương trình đã cho. 0.25đ 0.25đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 7 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. ĐỀ SỐ 18: Trường THPT Lê Quý Đôn o0o ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN- KHỐI 11-VÒNG 2 Năm học 2013-2014 Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình : ( ) ( ) ( )  = +   = + +   = + + +   2 2 3 4 2 4 6 4 2 2 1 3 1 4 1 x y x y z y y z x z z z Câu 2 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh 2AB = . Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa mãn 2 2 2 MA MB MC+ = . Tìm quỹ tích của điểm M. Câu 3 (2,5 điểm). Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + Câu 4 (3,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 1 1u = và 2 1 3 2 n n u u + = + * , n N∀ ∈ . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . b) Tính tổng 2 2 2 2 1 2 3 2015 S u u u u= + + + + . HẾT 8 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 Họ và tên học sinh:………………………………… SBD:……………………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG KHỐI 11- VÒNG 2 Câu/ điểm NỘI DUNG CẦN ĐẠT Điểm Câu 1(2,5đ ) Nếu x=0 thì (1) => y=0, (2)=> z=0. Thay vào (3) thỏa mãn. 0,5 Nếu x≠0 thì (1)=> y>0, (2)=> z>0, (3)=> x>0. 0,25 Ta có 2x 2 = y(1 + x 2 ) ≥ 2xy (BĐT cosi)⇔ x ≥ y 3y 3 = z(y 4 + y 2 +1) ≥ z.3y 2 ⇔ y ≥ z (vì y 4 + y 2 + 1 ≥ 3y 2 ) 4z 4 = x(z 6 + z 4 + z 2 +1) ≥ x.4z 3 ⇔ z ≥ x (vì z 6 + z 4 + z 2 + 1 ≥ 4z 3 ) => x ≥ y ≥ z ≥ x ⇔ x = y = z 1,5 Khi đó thay vào hệ ta được: x = y = z = 1. Hệ có 2 nghiệm: (0;0;0), (1;1;1) 0,25 Câu 2(2đ) Chọn hệ trục tọa độ Bxy sao cho ( ) 0;0B , tia Bx qua A và tia By qua C. Vì 2AB = , ABC∆ vuông cân tại B, nên ta có: ( ) 2;0A , ( ) 0;2C . Giả sử ( ) ;M x y . 0,5 2 2 2 MA MB MC+ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y⇔ − + + + = + − ⇔ 2 2 4 4 0x y x y+ − + = . Đây là pt của đường tròn tâm ( ) 2; 2I − , 2 2R = . 1,0 Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm ( ) 2; 2I − , bán kính 2 2R = . 0,5 Câu 3(2,5đ ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 a b a b a ab b ab a b+ = + − + ≥ + 0,5 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c⇒ + + ≥ + + = + + = + + 0,5 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc c a b 1 a b c ab a b c ab a b c ⇒ ≤ = = + + + + + + + + 0,5 9 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 Tương tự: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc a b c 1 a b c bc a b c bc a b c ≤ = = + + + + + + + + ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc b c a 1 a b c ca a b c ca a b c ≤ = = + + + + + + + + 0,5 Vậy: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c 1 a b 1 b c 1 c a 1 a b c + + + + ≤ = + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 0,5 Câu 4a Dễ thấy * 0, n u n N> ∀ ∈ . Có 2 2 2 1 1 3 2 3 2 n n n n u u u u + + = + ⇔ = + . 0,25 Đặt 2 n n v u= thì có: ( ) 1 1 3 2 1 3 1 n n n n v v v v + + = + ⇔ + = + * , n N∀ ∈ . 0,5 Đặt 1 n n x v= + , ta có: 1 3 n n x x + = * , n N∀ ∈ . Suy ra ( ) n x là cấp số nhân với 1 2x = , ccông bội q= 3. 0,5 Suy ra 1 1 1 2.3 2.3 1 2.3 1 n n n n n n x v u − − − = ⇒ = − ⇒ = − * , n N∀ ∈ . 0,5 Câu 4b Ta có 0 1 2 2014 2.3 2.3 2.3 2.3 2015S = + + + + − 0,5 ( ) 0 1 2 2014 2 3 3 3 3 2015= + + + + − 0,25 ( ) 2015 2 3 1 2015 3 1 − = − − 0,25 2015 3 2016= − 0,25 ĐỀ SỐ 19: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác 2 2 sin 3 cos2 sin 0.x x x+ = 2) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 8 4 4 4. x y x y y x  − + =   − + − =   Câu II (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c là ba hằng số và ( ) n u là dãy số được xác định bởi công thức: 10 [...]... 20 12 k k k = C20 12 ( x ) ữ C20 12 x k ữ k =0 k = 0 20 12 suy ra h s ca s hng cha x l o 20 12 1 2 011 2 2010 3 20 09 20 12 20 12 C2012C20 12 C2012C20 12 + C2012C20 12 C2012C20 12 + + C20 12 C20 12 +) Ta cú ( 1 x ) 20 12 ( 1 + x ) 20 12 0,5 0 1 2 3 2 011 20 12 = ( C20 12 ) ( C20 12 ) + ( C20 12 ) ( C20 12 ) + ( C20 12 ) + ( C20 12 ) 2 3 2 2 2 2 2 T ú suy ra ng thc cn chng minh 1 1,5 im 3 t f ( x ) = 8 x ... (1+ x) 2 011 k 2 011 = C0 + C1 x1 + + C 20 11x k + + C 20 11x 2 011 2 011 2 011 P = (1+ x) 20 16 k 20 16 = C0 + C1 x + + C2016 x k + + C 20 16 x 20 16 20 16 20 16 0.5 Ta cú h s ca x k trong P l Ck 20 16 Vỡ P = M.N , m s hng cha x k trong M.N l : 0.5 0 k k 1 5 k 5 k nờn C5 C2 011 + C1 C2 011 + + C5 C2 011 = C2016 5 0.5 0 k k1 2 k 2 k 3 4 k 4 C5 C 20 11x k + C15xC2011x k 1 + C5 x 2C2011x k 2 + C3x 3C2011x k 3... 1) = ( x 1) 11 11 k 11 (a 0 1,0 + a1 x + a2 x 2 + + a110 x110 ) (2) 0,5 1 H s ca x11 trong v trỏi bng C11 = 11 28 Tuyn tp cỏc thi hc sinh gii toỏn lp 11 (cú ỏp ỏn chi tit) phn 2 11 k k VP (2) = C11 x11 k ( 1) ữ( a0 + a1 x + a2 x 2 + + a110 x110 ) k =0 H s ca x11 trong v phi bng 0 1 2 3 10 11 C11a0 C11a1 + C11a2 C11a3 + + C11 a10 C11 a11 T ú suy ra ng thc cn chng minh 2b) 1,0 k k+ Cn... 1 428 } suy ra s cỏch chn ra t sao cho s abcd1 7 7 chia ht cho 7 v ch s hng n v bng 1 l 128 6 128 6 0, 015 Vy xỏc sut cn tỡm l: 90000 2 1,5 im + Vi 2sin x 1 = 0 sin x = 2 Xột ng thc ( 1 x ) 2 +) Ta cú ( 1 x ) 20 12 20 12 ( 1 + x ) 20 12 20 12 = ( 1 x2 ) k = C20 12 ( x 2 ) k =0 k 0 ,25 0 ,25 0,5 0,5 0,5 20 12 0,5 1006 suy ra h s ca s hng cha x 20 12 l C20 12 0,5 20 12 20 12 k k k = C20 12 ( x ) ữ C20 12. .. cos 2 ( A B) = 1 M =3 A = B = C = 600 1 cos C = cos ( A B ) 2 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 Vy MaxM = 3 khi tam giỏc ABC u Cõu 3: Gii phng trỡnh: 4( x 2 + 4 x + 2) = 11 x 4 + 4 K: x R ( ) 4 x 2 + 4 x + 2 = 11 x 4 + 4 (( ) ( )) ( )( 2 3 x 2 + 2 x + 2 x 2 2 x + 2 = 11 x 2 + 2 x + 2 x 2 2 x + 2 0.5 ) 6t 2 11t 2 = 0(*) x + 2x + 2 >0 x 2 2x + 2 Gii (*) c t = 2 tha món yờu cu x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x... x ( L = lim ) 2x +1 1 x 0 3,0 im ( + lim 3 )( ) 2. 3 x + 1 1 ) 3 0,5 0,5 1,0 2. 3 x + 1 4 3.4 x + 1 20 13 20 12. 2013 x x2 4 3.4 x + 1 20 13 20 12. 2013x x x 0 + + lim x0 Chng minh cụng thc: lim x0 n 20 13 20 12. 2013 x 1 x 1,0 ax + 1 1 a = ( a 0; n Ơ * ) (1) x n p dng (1) ta thu c 2a) (x 11 11 k VT (2) = C11 x11k ( 1) 2, 5 im 1,0 2 011. 20 12 L = 1 + 2 + 3 + + 20 12 = = 2 011. 1006 = 20 23066 2 11 Xột x 1 t... 0 ,25 2 Suy ra: ( a 2 + b2 + c 2 ) 2 1 x0 + 2 ữ 1 2 x0 t2 vi t = x0 + x 2 2 = 1 0 2 x0 + 2 + 1 t + 1 x0 t2 4 3t 2 4t 4 0 (t 2) (3t + 2) 0 (ỳng do t 2 ) Mt khỏc: t +1 3 4 Vy a 2 + b2 + c 2 3 2 Du bng xy ra khi a = b = c = (ng vi x0 = 1 ) 3 2 2 a = c = , b = (ng vi x0 = 1 ) 3 3 0 ,25 0 ,25 S 22 : S GIO DC V O TO H TNH K THI CHN HC SINH GII TNH CP THPT NM HC 20 12- 2013 MễN TON LP 11 THI. .. 2, 0 2 2 (1 + cos 2 x)(1 + 4 cos 2 2 x) sin 2 x = 0 sin x = 0 x = k 2 (vi k nguyờn) cos 2 x = 1 0 ,25 0 ,25 x = 2 cos 2u iu kin: x; y [ 2; 2] t vi u , v [0; ] 2 y = 2 cos 2v (1 cos 2u )(1 + cos 2v) = 2 HPT cos 2u sin 2v + cos 2v sin 2u = 1 I .2 (1,0) 0 ,25 sin u cos v = 1/ 2 sin(u + v) + sin(u v) = 2 sin 2 u cos 2 v = 1/ 2 sin 2( u + v) = 1 u + v = u + v = 4 4 sin(u v) = 1/ 2. .. tớnh xỏc sut chn c mt s chia ht cho 7 v ch s hng n v bng 1 2 Chng minh ng thc sau: ( C ) ( C ) +(C ) (C ) 2 0 20 12 2 1 20 12 2 2 20 12 2 3 20 12 2 011 20 12 1006 + ( C20 12 ) + ( C20 12 ) = C20 12 2 2 Cõu 3 (2, 5 im) 1 Chng minh rng phng trỡnh 8 x 3 6 x 1 = 0 cú ba nghim thc phõn bit Hóy tỡm 3 nghim ú sin n 2 Cho dóy s ( un ) c xỏc nh bi: u1 = sin1; un = un 1 + 2 , vi mi n Ơ , n 2 n Chng minh rng dóy... 0 ,25 0,5 0 ,25 25 Tuyn tp cỏc thi hc sinh gii toỏn lp 11 (cú ỏp ỏn chi tit) phn 2 v (0, ) b) d=1: Gi x0 l nghim ca phng trỡnh ( x0 0 ) 1 1 4 3 2 2 x0 + ax0 + bx0 + cx0 + 1 = 0 b = x0 + 2 ax0 c x0 x0 1.0 im 0 ,25 2 2 1 1 1 2 1 2 2 Ta cú: ( a + b + c ) ( x + 2 + 1) = a + c + x0 + 2 ax0 c ữ ( x0 + 2 + 1) x0 x0 x0 x0 2 2 2 2 0 2 2 1 1 1 2 1 2 ax0 + c x0 + 2 ax0 c ữ = x0 + 2 . 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 o C C C C C C C C C C− + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 2 011 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 C C C C C C= − + −. ) 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12 0 0 1 . 1 k k k k k k x x C x C x = =    − + = −  ÷ ÷    ∑ ∑ suy ra hệ số của số hạng chứa 20 12 x là 20 12 1 2 011 2 2010 3 20 09 20 12 20 12 20 12 20 12 20 12. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 2 ĐỀ SỐ 16: KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TỈNH ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên ) Thời