Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) phần 2

Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm M. Biết rằng và . Tính các góc của tam giác ABC.

ĐỀ SỐ 16:

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TỈNH

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT chuyên ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu III (1 điểm)

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9

Câu IV (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm A B C1, ,1 1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 tại điểm I;đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC tại điểm N; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

3 1 cos 3 1 sin cos sin cos 3 0

3 cos 1 3 sin cos cos sin cos sin cos 0

3 sin 3 sin cos cos sin cos sin cos 0

3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0sin cos 3 sin cos 1 0

+) Nếu x 0 ta đặt y ax z bx ;  thay vào hệ ta được 0,25

+) Nếu 2

11

1 2

1

2 3 1 0

20

a b

0,25

+) Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 9 nên số có chín chữ

số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một khác nhau

của các tập B\ 0; 9 ; \ 1; 8 ; \ 2; 7 ; \ 3; 6 ; \ 4; 5  B   B   B   B   nên số các số loại này là

CIA  BAC ACB

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n * luôn có

( ) n

f x a x với x  0 (3)Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3)

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k Khi đó

a   a  a  a   , suy ra dãy ( ) an tăng ngặt

Dãy ( ) an tăng và bị chặn trên nên hội tụ Đặt lima n l thì 1 2 2

1 Cho dãy số   un xác định bởi

1

* 1

4 1

4 4 1 2 9

Tìm công thức số hạng tổng quát uncủa dãy số

2 Cho n là số tự nhiên, n  2. Chứng minh đẳng thức sau:

víi víi

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC

1 M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA2 MB2MC2 Hãy tính góc BMC

2 Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của

các cạnh

AC và SB Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI

Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1

cos 0

tan cot 2 0

x x

Ta có :

22sin cos 2 1 tan cot 2

2

x x

2

x x

( Thỏa điều kiện (1) )

Giải các phương trình trên ta được :

2sin cos sin

So với điều kiện 2  

n n



  Suy ra      

1 1 0

n k



  Đạo hàm hai vế của (2) ta được          



Thay x 1vào (3) ta được đpcm

3 (1 đ) Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 10

5 

C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu ) và 3

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thoả mãn YCBT.

Ta có MB = M’A, MC = M’C = MM’, Vậy MB2 + MC2 = MA2

Suy ra M’A2 + MM’2 = MA2  AM M' 90 ,0 CM M ' 600 BMC 1500

0.25 đ

0.25đ0.25 đ

Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt

phẳng chứa SA và song song với BI

Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P

Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q

Vậy PQ // BI

Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI 1

3

SP SA

0.5đ

0.5đ

-o0o -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

MÔN TOÁN- KHỐI 11-VÒNG 2

Năm học 2013-2014

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,5 điểm) Giải hệ phương trình :

Câu 2 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh AB  2 Trong mặt

phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa mãn MA2  MB2  MC2 Tìm quỹ tích

Bxy sao cho B0;0, tia Bx qua A và tia Byqua C.

Vì AB  2 ,  ABC vuông cân tại B, nên ta có:A2;0 , C0; 2 Giả sử

 x2y2 4x4y0 Đây là pt của đường tròn tâm I2; 2 , R 2 2.

Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I2; 2 , bán kính R 2 2 0,5Câu

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu III (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số 23n  1 chia hết cho 3n1 nhưng không chia hết cho 3n2.

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ

số khác nhau.

Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( ACD ').

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B',

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị

2:

CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM

0,25

Kết luận: nghiệm hệ phương trình là 2cos2 0

2cos 0 2

x y

Gọi u1 a u, 2 b u, 3 c là ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội q; (v n)

là cấp số cộng có công sai d với v1a v, 3 b v, 9 c Khi đó ta có:

2

21

4 3 0

3 10 26

d a

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu

nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác

Giả sử A k = 23k  chia hết cho 31 k+1 mà không chia hết cho 3k+2 (A k = B.3 k+1 ; với B nguyên,

không chia hết cho 3).Ta có:

Dễ thấy: B3 2 1.3 k chia hết cho 3 mà B 23k không chia hết cho 3 (vì B không chia hết cho 3)

nên B2 2.3 k 1 23k không chia hết cho 3

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là

3

C Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau

sau đây:

TH1 Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5!

hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị

của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả

0,25

thảy 3 60

3!

  số tự nhiên

TH2 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác

trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c

tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị

của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy

A

         

0,25Kết luận:   12.600 1.4000,213382106

1) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và

B Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( ACD ').

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC Một

mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S Chứng

D'

M

Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ tại F.

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại

R, Q

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P 0,50

IV.1.b

(1,25đ

)

Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên

MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.

 Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng

 '

MN MB NB NM PC PQ QC QP  MJ=NK và PK=QI

 Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích

các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S) 0,25Đặt AM k;

AB  ta có điều kiện 0k 1 và có:

2 1

S

B'

Lấy I = AMB'D' và O = ACBD,

ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)

2

xy  

32

x y xy



  1 1 3

2

Câu V Khảo sát tính chẵn – lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốysinsinx 1,0đ

V Tập xác định của hàm số yf x( ) sin sinx là D  (đối xứng qua 0)

( 2 ) ( )

,

Tập giá trị của hàm số tsinx là 0;  nên  0,25

1 Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính

xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1

n



   , với mọi n,n2 Chứng minh rằng dãy số  u xác định như trên là một dãy số bị chặn n

Câu 4 (3,0 điểm).

1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2, các cạnh bênbằng nhau và bằng 3a (a 0) Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a.

2 Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC) Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng 12 12 12 12

3 Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB CD BC , AD AC BD,  và một điểm X thay đổi trong không gian Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng XA XB XC XD   đạt giá trị nhỏnhất.

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinhlàm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phầnđó

0,25

22sin 2sin cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos

(sin cos )(2sin 1) 0

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: abcd1 0,5

Ta có abcd1 10. abcd 1 3.abcd7.abcd chia hết cho 7 khi và chỉ khi 1 3.abcd 1

chia hết cho 7 Đặt 3 1 7 2 1

3

h abcd  h abcd  h  là số nguyên khi và chỉ khi

     suy ra số cách chọn ra t sao cho số abcd1

chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286

 suy ra nhận xét được chứng minh.

Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi ta được: sin1 sin 22 2 sin2

n

n u

M S

Gọi I ACBD Do SA SB SC SD   nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S

nên SI vuông góc với AC, BD suy ra SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dễ thấy mọi

điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D

Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao

điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC Ta có BC vuông góc với SH và SA nên

BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vuông góc với SK.

0,25

Trong tam giác vuông SAK ta có 12 12 12

SH SA SK , kết hợp với giả thiết ta được

D

C

G B

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,

BC, AD Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên AN BN suy ra MN AB,

tương tự ta chứng minh được MN CD và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai

đường thẳng BC, AD Từ đó suy GA GB GC GD  

Môn thi: Toán

SỐ BÁO DANH:……… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(3.0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

2 2

2

10 1

2 12

x x

Câu 2:(2.5 điểm)

a) Tính giới hạn dãy số: lim n4n2 1 3n61

b) Cho dãy số  u n xác định như sau:

1 1 1

2013

1 ( 1)2013

n n

b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với hai đường thẳng SD và AC.

Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) Biết MD =

x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 4: (2.0 điểm) Cho phương trình: x4  ax3 bx2  cx d   0

a) Với d 2013, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

b) Với d 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh 2 2 2 4

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)

yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần

là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm

a

x y b

b) cos 2x cos 4x2  6 2sin3x

4sin sin 3 6 2sin 3

4(1 sin sin 3 ) 2(1 sin 3 ) 0

4 sin (1 sin 3 ) cos 2(1 sin3 ) 0

4(sin cos 3 cos ) 2(1 sin 3 ) 0

sin 3 1

sin 3 1

2 cos 0

b) un  0,   n N*

1,5 điểm

0,25

3 2

12013

2012

n n

1 1 1 2014 20132013

2012

n n

n n

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a.

Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD

Ta có: DT=AC=a 3

Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT 1200  ST a 7

Xét tam giác vuông SDT có DT=a 3, ST a 7 SD2a

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P.

Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần

lượt tại K, J, Q Thiết diện là ngũ giác NPQKJ.

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

b) d=1: Gọi x0 là nghiệm của phương trình (x 0 0)

2 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013 1lim

b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn

2

A B C   Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

2cos 4 4cos 2 cos 2 cos 2

-HẾT -

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,

- Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11

TH2: 3 sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 1

2 1 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013lim

Suy ra sin ' 4,cos 3

16cos C 8cos C  1 1 2cosC 4 4cos C1  1 2cos C  44 (4)

Dấu bằng trong (4) xảy ra khi

4) Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. 1,0

a

điểm

Ta chứng minh được

) ( ),

31

11

2 2

2 2 2

2 2

x a CH

CS CA

Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có

2

22 2

2 2 2

x a

x a CK

sin

CK CH

2 2

2 2

2(3 ) 133(2 ) 19

2 2

n

n n a

Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình: cos 2 3cos 1 1

1

* 1

12

n n

n

u

n u u

Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi, , 1 1 1 1 M N lần lượt là

trung điểm của BB và 1 CD Mặt phẳng A MC cắt 1  AB tại E.

a) Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông.

Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;

Câu 2 (4 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.

a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin cos

sin sin

B cosC A

1

2

2012 2013

i i

u S

-Họ và tên : Số báo danh :

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2013 - 2014

MÔN : TOÁN HỌC (Đáp án và biểu điểm gồm có 04 trang)

Câu1 Phương trình đã cho tương đương với : (2sinx1)(2 s 2co x m 1) 0

 là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A

b,M sin22A sin22B sin22C

cos A cos B cos C

2 2 2 2 11

2 2 2

2 3 2

4 11

2 4 4

2

2 2

2 2

4 2

x x x x x

x x

x

x x

x

22

222

x x t

Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu

Nên

3

750

6103422

222

22

2

2

2 2

x x x

x

x x t

0.5

0.50.50.50.50.5

Câu 4 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011  

Suy ra un là dãy tăng

Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho limn u n L (L 2)

    Từ

0.5