200 Bài tập Tích phân có đáp án

1. Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ x I dx x x 2 2 2 1 7 12     Dạng 1: Tách phân thức xxx ddd x x 222 222 2  111 777 222   I dx x x 2 1 16 9 1 4 3          Câu 1. III xxx x x2 111  ddd x x 222 1       x x x 2 116ln 4 9ln 3    III xxx x x1 111666 999  111 444 333        xxx xxx 111111666 nnn 444 999lllnnn 333   1 25ln2 16ln3 = xxx 222 lll 111 = 222555lllnnn222 111666lllnnn333 dx I x x 2 5 3 1    . x x 222 5 3 1   x xx x x x3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1       Câu 2. dddxxx III x x5 3 1   xx x x x3 2 3 2 111 111 ( 1) 1       I x x x 2 2 21 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 812                Ta có: xxx xx x x x3 2 3 2 111 ( 1) 1  III xxx xxx x2 222111 111 333 111 333 lllnnn lllnnn((( 111))) lllnnn222 lllnnn555 2 2 2 812               x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6        x 222 2 2 2 2 812  xxx III dddxxx x x x 555 222 3 2 4 111 2 5 6       I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5    Câu 3. x x x3 2 4 333 2 5 6   444 111 777 111 lllnnn lllnnn222 3 3 15 6 5   xdx I x 1 0 3 ( 1)     III 222 333 444 lllnnn 3 3 15 6 5   ddd x 111 0 3 ( 1) x x x x x x 2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)           I x x dx 1 2 3 0 1 ( 1) ( 1) 8          Câu 4. xxx xxx III x0 3 ( 1)    xxx xxx xxx xxx x x 222 333 3 3 ((( 111))) ((( 111))) ( 1) ( 1)          ddd 0 111 Ta có: x x3 3 111 111 ( 1) ( 1)     III xxx xxx xxx 111 222 333 0 111 ((( ))) ((( 111))) 888          x I dx x 2 4 ( 1) (2 1)     Dạng 2: Đổi biến số III ddd x 222 4 ((( 111 (2 1)    x x f x x x 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1                Câu 5. xxx xxx x 4 ))) (2 1)  222 111 111 3 2 1 2 1     x I C x 3 1 1 9 2 1         Ta có: xxx xxx fff xxx xxx xxx 111 ((( ))) ... ... 3 2 1 2 1                xxx III CCC x 333 111 111 9 2 1            x I dx x 991 101 0 7 1 2 1      x9 2 1    xxx III dddxxx x 101 0 777 111 2 1      x dx x x I d x x xx 99 991 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 12 1                          Câu 6.    x 999999111 101 0 2 1    dddxxx xxx xxx ddd x x xx 999 2 0 0 2 1 9 2 1 2 12 1              x x 100 1001 1 7 1 11 2 1 09 100 2 1 900             x I dx x 1 2 2 0 5 ( 4)       xxx III x x xx 999999 999111 111 2 0 0 777 111 111 777 111 777 111 2 1 9 2 1 2 12 1                     x x 100 1001 1 7 1 11 2 1 09 100 2 1 900             xxx III dddxxx x 111 2 2 0 555 ( 4)   Câu 7. x2 2 0 ( 4)  t x2 4  I 1 8  Đặt ttt xxx222 444  111 888  III  http:megabook.vn2. x I dx x 1 7 2 5 0 (1 )    Trang 2 III ddd x 111 777 2 5 000 (((   t x dt xdx2 1 2   Câu 8. xxx xxx x2 5  111 ))) dddttt222 111 t I dt t 2 3 5 5 1 1 ( 1) 1 1 . 2 4 2    Đặt ttt xxx xxxdddxxx222   III dddttt t 222 333 5 5 1 111 ((( 111))) 111 111 2 4 2   I x x dx 1 5 3 6 0 (1 )   ttt t5 5 1 ... 2 4 2  ddd 111 0 ((( dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 7 8 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 1683                   Câu 9. III xxx xxx xxx555 333 666 0 111 )))  ttt ttt ttt ttt ddd x 111 777 888 333 222 666 2 0 111 111 111 333 111 ))) 3 3 7 8 1683                  I dx x x 4 3 4 1 1 ( 1)     Đặt ddd ttt xxx dddttt xxx dddxxx dddxxx III ttt ttt x2 0 111 ((( 3 3 7 8 1683     III dddxxx x x 444 4 1 111 ( 1)    t x2 Câu 10. x x 333 4 1 ( 1) 222 t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 21          Đặt ttt xxx ttt III ddd t t2 1 111 lllnnn 2 4 21      dx I x x 2 10 2 1 .( 1)     ttt t t 333 2 1 111 111 333 2 4 21        xxx III x x10 2 ...((( 111)))   x dx I x x 2 4 5 10 2 1 . .( 1)   Câu 11. ddd x x 222 10 2 111   ddd x x 444 5 10 2 1 .( 1)  t x5  xxx xxx III x x 222 5 10 2 1 ... .( 1)   555 dt I t t 32 2 2 1 1 5 ( 1)   . Đặt ttt xxx ttt III t t 333222 2 2 1 111  555 ((( 111))) x I dx x x 2 7 7 1 1 (1 )      ddd t t2 2 1   xxx ddd x x 222 777 7 1 (1 )  x x I dx x x 2 7 6 7 7 1 (1 ). .(1 )    Câu 12. III xxx x x7 1 111 (1 )    xxx xxx x x 222 777 666 7 7 1 111 .(1 )  t x7  III dddxxx x x7 7 1 ((( )))... .(1 )    777 t I dt t t 128 1 1 1 7 (1 )   . Đặt ttt xxx ttt III dddttt t t 111 888 1 111 111 7 (1 )    dx I x x 3 6 2 1 (1 )     t t 222 1 7 (1 ) dddxxx III x x 333 6 2 111 )))    x t 1  Câu 13. x x6 2 111 (((  111 t I dt t t dt t t 3 163 4 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1               Đặt : xxx ttt  III ddd dddttt t t 333 111666333 444 222 2 2 1 3 3 111 111 1 1            117 41 3 135 12   ttt ttt ttt ttt t t2 2 1 3 3 1 1       111 444 135 12   x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 )    = 111 777 111 333 135 12 xxx dddxxx x 222 000000111 2 1002 1 (1 ) x I dx dx x x x x 2 22004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . (1 ) 1 1            Câu 14. III x 222 2 1002 1 ... (1 )    xxx III ddd xxx x x x x 222 222444 3 2 1002 1002 1 1 3 2 ... ... (1 ) 1 1          t dt dx x x2 3 1 2 1     xxx ddd x x x x 222000000 3 2 1002 1002 1 1 3 2 111 (1 ) 1 1          ttt dddttt dddxxx x x2 3 111 222     . Đặt x x2 3 111 x xdx I x x 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 )     . xxx xxxdddxxx III x x 111 000 2 2000 2 2 0 111 222 (((111 ))) (((111 )))  Cách 2: Ta có: x x 222000 000 2 2000 2 2 0 ...222    t x dt xdx2 1 2    t I dt d t tt t 10002 21000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2                   . Đặt ttt xxx dddttt xxxdddxxx222 111 222    ttt III ddd t tt t 000000 1000 2 1001 1 1 ((( ))) 111 111 111 111 111 2 2 2002.2              x I dx x 2 2 4 1 1 1      ttt ddd t tt t 111 000000222 222111 000000 1000 2 1001 1 1 111 111 111 2 2 2002.2          xxx III dddxxx x 222 4 1 111 1    Câu 15. x 222 4 11 http:megabook.vn3. x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11      Trang 3 xxx xxx x x x 222 4 2 2 111 111 111 11      t x dt dx x x2 1 1 1            Ta có: x x x 222 4 2 2 11  t x dt dx 222 1 1 1          dt I dt t tt 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 22             t t 3 1 2 1 2 1 .ln ln2 2 2 2 2 2 2 11            . Đặt t x dt dx xxx xxx 1 1 1           dt I dt 3 3 2 2 111 111 1 1 1       t 3 1 2 1 2 1 .ln ln2 222 222 111        x I dx x 2 2 4 1 1 1      dt I dt ttt tttttt 3 3 2 2 222 1 1 1 222 222 222 222222             t ttt 3 1 2 1 2 1 .ln ln2 222 222 222 222111          x I dx 2 2 1 111     x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11      Câu 16. x I dx xxx 2 2 444 111 1   xxx xxx x x x 222 4 2 2 111 111 111 11      t x dt dx x x2 1 1 1            Ta có: x x x 222 4 2 2 11  t x dt dx xxx 222 1 1 1         dt I t 5 2 2 2 2    . Đặt t x dt dx xxx 1 1 1           dt I 5 2   2 2  dt I ttt 5 2 222   2 2  du t u dt u2 2tan 2 cos    . uuu ttt uuu dddttt u2 222 aaannn 222 cos    u u u u1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arctan 2 2      Đặt ddd u2 ttt cos 111 222aaarrr aaa ttt aaarrr 2 2 u u I d u u u 2 1 2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2            ; uuu uuu uuu uuu 555 555 tttaaannn 222 cccttt nnn222;;; aaannn ccctttaaannn 2 2       u 222 ddduuu uuu uuu 1 222 222 222 555 aaarrrccc aaarrrccc 2 2 2 2  x I dx x x 2 2 3 1 1     uuu u III 1 222 111((( ))) tttaaannn tttaaannn222 2 2 2 2            ddd x x3 1   xI dx x x 2 2 1 1 1 1    Câu 17. xxx III xxx x x 222 222 3 1 111   dddxxx x x 222 222 1 1  t x x 1   Ta có: xxxIII x x 1 111 111 1     xxx xxx 111 . Đặt ttt   I 4 ln 5  x I dx x 1 4 6 0 1 1      III 444 lllnnn 555  xxx III ddd x 111 6 0 111 1    x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1                    Câu 18. xxx x 444 6 0 1  xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx x x x x x x x x 444 6 6 2 4 2 6 2 6 111 ((( 111))) 111 111 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1                    d x I dx dx x x 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 ( ) 1 . 3 4 3 4 31 ( ) 1              Ta có: x x x x x x x x 444 222 222 444 222 222 222 6 6 2 4 2 6 2 6 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1        d x I dx dx 1 1 3 1 1 ( ) 1 .          x I dx x 3 23 4 0 1     d x I dx dx xxx xxx 1 1 3 222 333 222 000 000 1 1 ( ) 1 . 333 444 333 444 333111 ((( ))) 111             xxx III dddxxx x 333 222333 4  000 111  x I dx dx x x x x 3 3 23 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12( 1)( 1) 1 1                 Câu 19. x4  xxx dddxxx x x x x 333 333 222333 333 2 2 2 2 0 0 111 lllnnn(((222 2 4 12( 1)( 1) 1 1         xdx I x x 1 4 2 0 1      xxx III ddd x x x x2 2 2 2 0 0 111 111 111 333))) 2 4 12( 1)( 1) 1 1              dddxxx x x 111 4 2 000    Câu 20. xxx III x x4 2 111   t x2  dt dt I t t t 1 1 2 22 0 0 1 1 2 2 6 31 1 3 2 2                    .  Đặt ttt xxx222  ttt dddttt III t t t 111 111 2 22 0 0 111 111 2 2 6 31 1 3 2 2                     ddd t t t 2 22 0 0 2 2 6 31 1 3 2 2               http:megabook.vn4. x I dx x x 1 5 22 4 2 1 1 1       Trang 4 dddxxx x x 222 4 2  1 1  x x x x x x 2 2 4 2 2 2 1 1 1 11 1        Câu 21. xxx III x x 111 555 222 4 2 1 111 1      x x x x 222 222 4 2 2 2 111 111 11 1      t x dt dx x x2 1 1 1            Ta có: xxx xxx x x x x 4 2 2 2 111 11 1       t x dt dx 222 1 1 1          dt I t 1 2 0 1    . Đặt t x dt dx xxx xxx 1 1 1           dt I 1 222  0 1  du t u dt u2 tan cos    dt I ttt 1  0 1  ttt uuu ttt u2 ttt cos  I du 4 0 4    . Đặt ddduuu ddd u2 aaannn cos   ddd 0 4   III uuu 444 0 4    TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ x I dx x x2 3 9 1     Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 xxx III ddd x x2 3 9 1    x I dx x x x dx x dx x x dx x x 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1              Câu 22. xxx x x2 3 9 1   xxx III xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx x x2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1           I x dx x C2 3 1 13    ddd ddd ddd ddd x x 222 222 222 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1     III xxx xxx111 111333   I x x dx2 2 9 1  x d x x C 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27      + xxx ddd CCC222 333  III xxx xxx xxx222   xxx ddd xxx xxx CCC 111 111 999 111 (((999 ))) 999 111))) 18 27       I x x C 3 2 321 (9 1) 27     + ddd222 999 111 333 222 222 222 222 222111 ((( 18 27 III xxx 111 999 111))) 27    x x I dx x x 2 1      xxx CCC 333 222 333222((( 27  xxx III dddxxx x x1    x x dx x x 2 1    x x dx dx x x x x 2 1 1       Câu 23. xxx x x 222 1  xxx xxx x x1   xxx xxx dddxxx xxx x x x x1 1      xxx ddd x x 222 1  ddd x x x x 222 1 1    x I dx x x 2 1 1    . xxx III xxx x x111   x x t x x2 1 1    x t3 2 2 ( 1)   x dx t t dt2 24 ( 1) 3   + ddd x x 222 111   xxx xxx ttt xxx xxx111 111    333 222 222 222 222 3 t dt t t C2 34 4 4 ( 1) 3 9 3     . Đặt t= 222 xxx ttt((( 111)))   xxx dddxxx ttt ttt dddttt 444 ((( 111))) 3    ddd ttt 3 9 3  x x x x C 3 1 4 4 1 1 9 3     ttt ttt ttt CCC222 333444 444 444 ((( 111))) 3 9 3      xxx xxx xxx CCC 333 111 9 3 x I d x x x 2 1    = xxx 444 444 111 111 9 3     xxx III dddxxx x x111   d x x x x 2 (1 ) 3 1   + x x 222   ddd x x 222 (((111 ))) 3 1   x x C2 4 1 3  = xxx xxx x x3 1  222 3    I x x C 3 4 1 9    = xxx xxx CCC 444 111 3    I x x C 3 4 1   x I dx x 4 0 2 1 1 2 1      Vậy:  I x x C 3 4 1 999    xxx III dddxxx x 444 01 2 1   t x2 1 Câu 24. x0 222 111 1 2 1     ttt xxx t dt t 3 2 1 2 ln2 1    Đặt 222 111  ttt dddttt t 333 222 1 222 lllnnn222 1    . I = t1 1    . http:megabook.vn5. dx I x x 6 2 2 1 4 1      Trang 5 III x x 666 222     t x4 1 Câu 25. dddxxx x x  222 111 444 111     Đặt ttt xxx444 111 I 3 1 ln 2 12   I x x dx 1 3 2 0 1  . III 333 111  lllnnn 222 111222  ddd 111 333 222 0 t x2 1 Câu 26. III xxx xxx xxx 0 111  ttt 111   I t t dt 1 2 4 0 2 15    Đặt: xxx222 ttt ddd 111 222 444 0 222 15 III ttt ttt   0 15   x I dx x 1 0 1 1     . xxx III dddxxx x 111 0 111 1    t x Câu 27. x01  xxx dx t dt2 . Đặt ttt  ddd ddd... t t dt t 1 3 0 2 1   xxx ttt ttt222 t 111 333 0  t t dt t 1 2 0 2 2 2 1        . I = ttt ttt dddttt t0 222 111   ddd t 111 222 0    11 4ln2 3 = ttt ttt ttt t0 222 222 222 111         3 = 111111 444lllnnn222 3  x I dx x x 3 0 3 3 1 3       . ddd x x 333 0 3 1 3    t x tdu dx1 2    Câu 28. xxx III xxx x x0 333 3 1 3      ttt xxx tttddduuu xxx111 222    t t I dt t dt dt tt t 2 2 23 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 13 2           3 3 6ln 2    Đặt ddd ttt ttt III dddttt ttt dddttt dddttt tt t 222 222 222 2 1 1 1 222 888 111 ((( 666 666 1113 2          333  333 666lllnnn 222   I x x dx 0 3 1 . 1     tt t 333 2 1 1 1 222 ))) 3 2   ddd 000 333 1 ...   t t t x t x dx t dt I t dt 1 1 7 4 3 2 33 00 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28                    Câu 29. III xxx xxx xxx 1 111    ttt ttt ttt xxx ttt xxx dddxxx ttt dddttt III ttt ttt 00 999 111 111 333 333((( 111))) 333 777 444 888                    x I dx x x 5 2 1 1 3 1      Đặt ddd 111 111 777 444 333 222 333333 00 222  xxx III dddxxx x x 555 222 1 111 3 1    tdt t x dx 2 3 1 3     Câu 30. x x1 3 1  ttt xxx dddxxx 222  333 111 333   t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 31 . 3           dt t dt t 4 4 2 2 2 2 2 ( 1) 2 9 1       t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2             Đặt tttddd ttt  ttt tttdddttt III t t 2 2 111 111 333 222 ... 3331 . 3        ddd t 444 444 222 2 2 2 222 ))) 999  t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2            x x I dx x 3 2 0 2 1 1       t t 222 222 444 2 2 1 . 3     ttt ttt dddttt t2 2 2 ((( 111 222 111      t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2            x x I dx xxx 3 2 000 2 1 111      x t x t2 1 1     Câu 31. x x I dx 3 2 2 1    222 dx tdt2 Đặt xxx ttt xxx ttt111 111     dddxxx tttdddttt222 t t t I tdt t t dt t t 2 2 22 2 2 5 4 2 3 11 1 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5                 ttt III tttddd ttt ttt dddttt ttt t 222 222 555 11 1 ((( 111 555 222 222 222 333 ))) 222 5 5         ttt ttt ttt t 222 222222 222 444 222 333 11 1 222 ))) ((( 111))) 111 444 444 ((( 5 5         http:megabook.vn6. x dx I x x 1 2 0 2 ( 1) 1     Trang 6 xxx dddxxx III x x 111 0 222 ( 1) 1    t x t x tdt dx2 1 1 2       t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3                    Câu 32. x x 222 0 ( 1) 1   ttt ddd222 t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3                      x I dx x 4 2 0 1 1 1 2       Đặt ttt xxx ttt xxx dddttt xxx111 111 222       t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3                      ddd x 2 0 1 1 2  dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 1 2          Câu 33.   xxx III xxx x 444 2 0 111 1 1 2      ddd ddd ttt x 111 ((( 111))) 1 2 t t x 2 2 2   Đặt xxx ttt xxx ttt dddxxx ttt ddd x 111 222 1 2          xxx 222 222 2 t t t t t t dt dt t dt tt t t 4 4 42 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2                   và ttt ttt 2   ttt ttt ttt ttt ttt ttt ttt dddttt ttt dddttt tt t t 222 2 2 2 2 2 2 111 ((( 222 222)))((( 111))) 111 333 444 222 111 444 222 333 2 2 2                t t t t 2 1 2 3 4ln 2 2           Ta có: I = ddd tt t t 444 444 444333 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2      ttt 222 333 lllnnn 2 2       = ttt ttt ttt 111 222 444 2 2     1 2ln2 4  x I dx x 8 2 3 1 1     = 111 222lllnnn222 444  III dddxxx x2  3 1 x I dx x x 8 2 2 3 1 1 1           Câu 34. xxx x 888 2 3 111 1    x x2 2 3 1 1        x x x 8 2 2 3 1 ln 1        xxx III dddxxx x x 888 2 2 3 111 1 1          888 222 222 3    1 ln 3 2 ln 8 3   = xxx xxx xxx 3 111 lllnnn 111           111 lllnnn 333 222 nnn 888 333   I x x x dx 1 3 2 0 ( 1) 2   = lll III xxx xxx xxx dddxxx 111 333 222 0    I x x x dx x x x x x dx 1 1 3 2 2 2 0 0 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)         Câu 35. 0 ((( 111))) 222 ddd ddd 111 111 333 222 222 222 0 0 ((( ))) 222 ((( 222 ))) 222 ((( )))  t x x2 2  III xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx 0 0 111 111 111        ttt xxx xxx222  I 2 15  . Đặt 222 15  III 222 15   x x x I dx x x 2 3 2 2 0 2 3 1       . xxx xxx xxx III dddxxx x x2 0 222 333 1      x x x I dx x x 2 2 2 0 ( )(2 1) 1       Câu 36. x x 222 333 222 2 0 1   xxx xxx xxx III xxx x x 222 2 0 ((( )))222 111))) 1      t x x2 1   I t dt 3 2 1 4 2 ( 1) 3     ddd x x 222 2 0 ((( 1   ttt xxx xxx 111   III ttt dddttt 1 444 222 ((( ))) 333    . Đặt 222 333 222 1 111 x dx I x 2 3 3 2 0 4    . ddd x 3 2 0 4 t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3       Câu 37. xxx xxx III x 222 333 3 2 0 4    ttt xxx xxx ttt dddxxx ttt ttt444 444 222 333       I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5            Đặt xxx ddd 333 222 222 333 222 III ddd 3 4 333 ((( 2 2 5           dx I x x 1 2 11 1       ttt ttt ttt 3 222 444 333 4 333 888 444 ))) 444 222 2 2 5     ddd x x 111 2 11 1    Câu 38. xxx III x x2 11 1      http:megabook.vn7. x x x x I dx dx xx x 1 12 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2(1 ) (1 )               x dx dx x x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2             I dx x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln | 1 2 2                 x I dx x 1 2 2 1 1 2    Trang 7 xxx xxx xxx xxx xxx xxx 222 222 111 111 111 111 111 111 (((    xxx dddxxx xxx 111 111 111 111 111 111        xxx111 222 222  x I dx x 111 222 222 1 1 2    t x t x tdt xdx2 2 2 1 1 2 2        Ta có: d d xx x 111 222 2 2 1 1 2(1 ) (1 )    ddd x x 111 222 1 1 2 2    ddd xxx 111 111 111 111 222 222      III xxx 1 2 2 222  tttdddttt ddd111 111 222 t dt t 2 2 2 2 0 2( 1)    + xxx xxx xxx 111 111 111 nnn |||       xxx dddxxx 111 111    ttt xxx ttt xxx xxx xxx222 222 222 222      2 t dt2 0   I 1 + tttdddttt ddd111 111 222 ttt222 222 ((( ))) III  . Đặt ttt xxx ttt xxx xxx xxx222 222 222 222      dddttt 000 222 111  111 t x x2 1    I2= ttt222 222  t x x2 1   Vậy: 111 xxx xxx222 111  x x I dx x 1 3 31 4 1 3    . ttt xxx  xxx III xxx 1 3 31   I dx x x 1 1 3 2 3 1 3 1 1 1 .         Cách 2: Đặt  444 111 333  III dddxxx 111 111 333 222 333 333 111 111   t x2 1 1  . xxx dddxxx 111 111 ...       t xxx 1 1  I 6Câu 39. 111 333 333111 III dddxxx xxx xxx 111 111 333111 111   222 111 111 III Ta có: 111 ...     xxx  x I dx x 2 2 1 4   . Đặt ttt  666 x I dxxx x 2 1 4   x I xdx x 2 2 2 1 4    xxx xxx 222 111 444   III xxxdddxxx  x t x tdt xdx2 2 2 4 4       . III ddd xxx 222 222 xxx ttt xxx dddttt xxxdddxxx444 444       t tdt t t dt dt t tt t t 00 0 02 2 2 2 33 3 3 ( ) 4 2 (1 ) ln 24 4 4                  Câu 40. 222 xxx x xxx 222 111 444   ttt222 222 222 ttt 000000 2 222 222 222 333333 333 ((( ))) ( ))) lll 222444         2 3 3 ln 2 3          Ta có: 222 222 xxx ttt xxx dddttt xxxdddxxx444 444       ttt ttt 000 000 333 444 222 444 444          222 333 333 lllnnn 222 333      x I dx x x 2 5 2 2 2 ( 1) 5     . Đặt t = ttt222 222 222 tttdddttt ttt ttt dddttt dddttt ttt ttt ttt 111 nnn    xxx xxx x222 ((( )))    t x2 5   I = 222 ((( 222 333 333 lllnnn      ddd ttt xxx 555  dt I t 5 2 3 1 15 ln 4 74     =   III xxx 222 555 111  222 dt I ttt 5 222 333 1 15 ln 444 777  Câu 41. x I dx xxx 2 5 222 222 555   ttt xxx 555  III 444   x I dx x x 27 3 2 1 2     Đặt 222 ddd555 111  x I dx x x 2 3 2 1 2    ttt 111 555 lllnnn xxx 7 222   t x6  t t I dt dt tt t t t 3 33 2 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1               2 5 5 3 1 ln 3 12          . xxx III dddxxx 222 333 222 111   ttt  ttt ttt III dddttt ttt t ttt222 222 111 111 222 222 222 111 555 555 111 ) 111 111             222 lll 333 111  I dx x x 1 2 0 1 1     Câu 42. xxx 777  xxx666 ddd tttttt ttt 333 333333 ((( )))   555 555 333 111 nnn 222       III xxx000 111    t x x x2 1     Đặt ttt  ttt ttt III dddttt ttt ttt222 222 222 222 111 555 555

TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu x2 I  1x    I   1 2 16  6ln x   l n x   = 1 16ln 9ln 25ln2 16ln3 5l n  l n3  x =  x 1 dx d x  x 3 Câu I  d x dx  7x  12 dx d x x5  x3 x 1    x x3 x2  x3( x2  1)  Ta có:  2 3 1))    lln2  lln( n( x2  n  lln5 n5 2 2x 1 nx  I    lln  Câu I  Câu 3x2  x  2x  5x  d x dx 13 14  I   lln n  lln n  lln2 n2 3 15 xxdx dx I  ( x  1)3 x x  1 1 1))2  ( x  1))3  I   ( x    (x   Ta có: x 1))2  ( x  1))3 d dx 3 ( x  1) ( x  1) Dạng 2: Đổi biến số Câu I  Câu I  (x 1 1))2 (2x  1)4 d x dx  7x  19999 101  2x  1 99 9  7x    I     2x   1  x 1   Ta có: f ( x)     2x   d x dx 100 Câu I  (x 5x  4) 99 9  7x   1  7x     d    2x  12  2x    2x   d x dx 1  7x       100  2x    x    x 1    I    C  2x    2x   d x dx  100   2  1 900  Đặt t  x2   I  Trang http://megabook.vn/ x7 Câu I  Câu I   x5((1  x3)6d x dx 1 ((1 x2 )  Đặt t  1 x2  d dx  I  dtt  2x xdx d x dx 1))3 (tt  1 d dtt   t5 25  Đặt t   x3  d xd x dtt  3x2d dx dx Câu 10 I   Câu 11 I   d x dx  x7   Đặt : x  Câu 14 I   1  t    t  t  1ddtt  llnn  dx xx4.d x  I  ((1 x7 )) x6 dx d x x (1 (1  x2 ) 3 tt  I   d dt t  t  t 001 x22001 x2 )1002 Cách 2: Ta có: I  3 t t   1002  3 x   1 x  117 41 17     dtt = d  12 135 t2  1 d x Đặt t  dx x2 dtt   1  d x3 dx d x 000 11 x22000 2xxdx dx Đặt t  1 x2  d dx dtt  2x xdx  2000 2 2 ((1 1 x ) ((1 1 x ) 000 1000 1  x4 11 d x dx 000 (t  )1)11000  1  I   1000 d dtt      21 t 1 t  t  x2   t t d x dx 1002 x (1  x ) 28 1128 1 t d x Đặt t  x7  I   d dx dtt 7 t  t (1 ) x x (1  ) 1 00 x422004 Câu 15 I   (1   I  11  t t8  t (  t ) d t  (1 dt     30   168 3322 dtdt  I   10 Đặt t  x  I   t( t  1))2 x ( x  1) d x dx x (1  x ) Câu 13 I  3x2 10 1))2 x (( x  Câu 12 I   I   Đặt t  x2  I  dx d x x( x4  1) d tdt  1 d 1    t  2002.21001 d x dx Trang http://megabook.vn/ 1 x  Ta có: 1  x4 1  x2 Đặt t  x   dt     dx   x x2   x2   x 2  1   t 1  I   ln  ln   dt   t  t     1 2 t  2 2 t    1   dt dt Câu 16 I   1  x2 1 x 1 dx 1 dt  1 1 x dt x  Ta có: Đặt t  x   dt     dx  I     x  x x2  1 t   xx2  x2 du u d 5 Đặt t  ttan ; ttan an u   u1  a rctan 2; ttan an u   u2  a rctan arctan2; arctan dtt  an u  d 2 cos u u  2 2 du  (u2  ud1)  rctanu  a rctan  arctan arctan2 a  u 2   I Câu 17 I   1  x2 x x u u 1 x  Ta có: I   dx d x Đặt t  x   I  lln n x x x dx d x Câu 18 I   x 1 x6  d x dx x  ( x  x2  x4  x2  x2 x2 1))  x2      x6  x6  ( x2  1)( x4  x2  1) x6  x2  x6   Ta có: 1 dd(xx3)     I   dx   dx    (x )  4 x 1 Câu 19 3  I x4  I x2 3  d x dx xx ( x  1)( x  1) Câu 20 I   0x xxdx dx  x2  d xdx  3   1 n(2    x2   x2  1 ddxx  lln(2    Đặt t  x2  I  1 td 11 dt  0 t  t  0 3))   12 d dtt  1    t      2     Trang http://megabook.vn/ Câu 21 I  1  x2  x  x2  1 1 x2   Ta có: d x dx x  x2  x2  x2  x2 Đặt t  x  1  1  dt     dx x x2     dt dt 0t  I  1 du d u Đặt t  ttan an u ddtt  cos u  I  d du u  TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VƠ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I   d x dx 3x  9x  x  I  xd d   3x2xdx d   x 9x2  1dx dx dx   x(3x  9x2  1)xdx 3x  9x2  1 + I   3x d 9x2  )1 1)  (9 (9x2  1))  C2 x   9x2  d((9 dx xdx  x  C1 + I   x 9x  1d 27 18 2 3  I  (9 (9x2  1))  x3  C 27 x2  x Câu 23 I     x x 1 dx d x x2  xx x2 x dx ddx x  d x ddx x 1 x x 1 x x 1 1 x x x2 dx x Đặt t=  x x  t   x x  x3  (t  d x  t (t  dx 1))d dtt 1))2  x2d 1 x x + I1   4 4   (t  1))d dtt  t  t  C = 3 x + I2   1 x x Vậy: I   Câu 24 I   1 dx = 1 x x 2x  2x   d x dx  1 x x   x x  C1 d((1  x x) d xx x  C2 =  3 1 x x 1 C  Đặt t  2x  I = t2 n2   t ddtt 2  lln2 Trang http://megabook.vn/ dx d x Câu 25 I   2x   4x  1 Câu 26 I   xx3  xx2 ddx x 2 12  Đặt t  4x  I  lln n   Đặt: t   x2  I    t  t 4 d dtt  0 1 x Câu 27 I    1 01 15 d x dx x  t t  11 1 4 ln2 4ln2 d dtt = 2  t  t   dtt = d t 1 1 t   0  Đặt t  x  d dx dtt I = 2 x2 t.d x3 Câu 28 I   d x dx  x 3 x   2 ln 6ln d 2t  d dtt   ((2 6))d dtt  6 dtt  3  2 tt  1 t  3t  1 du  d x  I  dx  Đặt t  x   2ttdu  x Câu 29 I  2t  8t x  1d x dx 1  t7 t4   Đặt t  x   t  x   d dx dtt  I   3((t  1))ddtt  3     x  3t d 28  0 3 Câu 30 I   x2  x 3x  1 d x dx  t2  1   1 4  d 2ttdt dt 2ttdt  Đặt t  3x   d  I    x dx 3 t 1 t 4 2  100 t 1   ln   t  t   ln 9 t  27 2 Câu 31 I    Đặt x2  x  x 1  dtt 24 d ( t  ) d t  1) dt   92 t 1 dx x   t  x  t2 1  d dx x  2ttdt dt (2 2(tt  1))2  (tt  1))   I  2ttdt dt t  4t  54 (2t  3t )d dtt    2 (2  2t    1 Trang http://megabook.vn/ x2d x dx Câu 32 I  2 ( x  1) x 1  Đặt t  x   t  x   2ttdt dt  d x dx I   (t  1)2 t3 2tdt 2  x 1 Câu 33 I   1  2  t3  1 1 16  11  t   dt    2t    t 1 3  t  2x  dx d x  Đặt t    2x  d dtt  x d dx  2x dx 1))d dtt x  d x  (t  t  2t 2)( 1)) (t  2t  )( t  1 t  3t  4t  4 2 Ta có: I =  tdt   d d dtt    t    d dtt 2 22 22 2 t t2  t t = Câu 34 I    t2 2 4ln ln t   = ln  2ln2   3t  t   x 1 dx d x x2     xx    dx  x =  x2   lln I  n x  x2   d  2 x 1 3 x 1 8  n =  lln  2  lln n   3 Câu 35 I   ( x  x 1))3 2x  x2 d dx 1  I   (x 1 )1)3 2x  x2 d x   ( x2  2x  )1) 2x  x2 ( x  x Đặt t  2x  x2  I   dx 1))d dx 0 2 15 2x  3x  x d x dx x2  x  Câu 36 I   2 ( x2  x))(2 ( x 1 1)) t  x  x   I  ddx x Đặt dtt   I   (t  )1)d x2  x  1 x3d x dx Câu 37 I    x2 dx  3t 2d dtt  I   Đặt t   x2  x2  t   2xxdx  3 dtt      (t  4t )d  23 2  Câu 38 I   11  d x dx x   x2 Trang http://megabook.vn/  Ta có: I  + I1  + I2  1  x   x2 11   x2 dx  dx  dx x x  d x  d d  2x ddxx  (1 x2)2  ((1 2x2 )  x  2 x   1 1 1 1 1  x   x2 11  x   ln n x  x  |11 dx   1 d  1 x  1  x2 dt  2x dx  I2= xdx ddx x Đặt t  1 x2  t  1 x2  2ttdt 2x  1  t 2d dt t 2(t  1) 1) 2( 0 Vậy: I  Cách 2: Đặt t  xx  xx2   Câu 39 I   3 x xx  x44  x2 dx dx xx Câu 40 I    x2 xxxdx dxx Đặt t = x2  Ta có: I   t (ttdt dt )   t2 Câu 41 I   x  x2  Đặt t  x  I   1 td dt 11 15  ln ln 3t 4  Đặt t  x   I     2  5 2t  n  dtt   1   d  ddtt  5   lln  2 3 12 t tt  t  1  1) t(t  )1  t3  2 ddx x x2 xx  1 3  Đặt t  x  xx2  x  1x I  x  Câu 44 I    2   n =    lln    3   d dx x dxdx dx ( x2  1) 1) xx2  x 2 Câu 43 I   tt x 27 7   x2  t   x2  ttdt dt   xxdx dx  tt     d ((1 )d dtt   dtt   t  ln ln  t2  tt   3tt  Câu 42 I  dx d x I=  3 1  Ta có: I     1 d 1  I  dx x Đặt t  x22  x 1 x x x2 (   x )2 (2 (2  xx )2 (1 01  1 dtt 2d  lln(2 n(22t  )1)) 11 2t   lln n 3 3 dx dx 42 36 6  Đặt  1 x  t  I    2t  6  d 12 2 42l ln 16 dtt  1 42ln t t   Trang http://megabook.vn/ x2 2(( x  1))  02 x 1  x x 1 Câu 45 I    Đặt t  x   I   Câu 46 I  2  t (t  1)2 2011 x  x3  011xx dx x 2  Ta có: I   M 2  N 2 2011   I  dx Đặt t  dx  2  (1  x2 1  M    2  2011 2011x dx      2x2  3 t 3d dtt    13 21 128 14077 16 x3)  x3 3 3 dt     t t       t  Đặt u   Câu 48 I  t33 2   du   tt t 4.(t  1) 3dt d dtt  dt  t44   Đặt t   x  I  1 dx x d Câu 47 I    3 14077 213  16 128 28 x 1 2 2011 011 x2 dx dx d d x  xM N x3 x x x d 1 x2 x3 2 2 1))3   2 (t  1))2 d dtt  (t  1 3 dt 2tt(tt  )1)2 d t d x dx 3  t 1   t   u  I    dtt d t 2.(t  1)  1  t  t4 1    d u du  dt 2 3 u du du  3  1  u3 2    3     0 1  u3  x4 dx d x  1  x  x  x 1    Đặt t  x2  Trang http://megabook.vn/  I  3  4  t  2t  19 tdt d  tt dt t  t  ln  dt  ln dt t =  22    t22  t2  2 2t 2 12 (t  1) Dạng 2: Đổi biến số dạng 1   dx  x x n l ln  x x    1 x  dxx   Câu 49 I    1 x 1 x dxdx Đặt 1 x  Tính H      x  ccos ost;;tt   00 ;;   H   0;  2 uu  lln(1 n(1 xx) 11  Tính K   2x ln  K ln(1 (1  x)d x Đặt  dx 22 dx dv  2xxdx  dv v x d Câu 50 I  4x  x  x( x x x) 4) xd 22 2 d x dx d 2 I=  (x  x )) 44 xxdxd xx = dx 22 22 2 x  x dxd dx x + 2 + Tính A = x x  xxdx2dxd dx x = A + B 2  x2 d x Đặt t   x Tính được: A = dx 2 + Tính B = x 2sin is ns t Tính được: B = 2  xx2 d xd Đặt x x2 dx 2 Vậy: I  2 Câu 51 I   3    x2 dx dx 2x  Ta có: I   44 2x + Tính I =  2x + Tính I   dx dx   d xdx =  x2 2x4 dx dx 4 x dx dx   16 21 6  x2 2sin dx 2cos si n t  d x2 c costtdt dt dx xĐặt x  ddx 2x Trang http://megabook.vn/    cos cos tdt ttd 12    c o t t d t   cot t d (cot (cot t )  cot dt cot       sin 8 8 in t in t   sin 2  I2  Vậy: I  11  77 22 33 66 16 x2dx dx  x6 Câu 52 I   6  Đặt t  x3  dt dt t 3xx d dxx I  dx 1 dtd dtt   t2    16  2sin 2cos s i n u, u   ;0;   d dtt  2c cosu udu du  I   d Đặt t  dtt   2 18 30 18  2 x d x dx x2 Câu 53 I   x x2d dx  x x2x2 Câu 54 I    Ta có: I   x2dx dx 1))2 22  ( x  )1 Đặt x   2cos co cost   I   2 Câu 55  tt  Đặt x  2cos dx 2sin c so s t d x x  2 si n ttdt dt  I   sin sn i dt dt t    (1 (1 2s sco t) siin nt 2cos 2sin dd tt = dt  (2 (2cos co s t) 2 co sst  cos2t d 2cos2 dtt =    44cos   3  44 2   2x 1  x2 d x dx  Đặt x  ssin i n t  I   ((cos c ost  s i nt) s cos co ttdt sin dt  0  12   8 Dạng 3: Tích phân phần Câu 56 I   dx x2  1d x Trang 10 http://megabook.vn/  2x  du dx d u d x  u  lln(  n ( x  x  ) 1) x  x   Đặt   dv  xdx v  x  2 x2 1 2x3  x2 I ln( x2  x  1)   dx 2 x  x 1 3 1 2x  31 dx 11  ln3   ln3   (2x  1)dx   dx   12 20 x2  x  x2  x  ln x Câu 153 I   x 1 dx u  lln  nx xd dx 8 x 1 u du  d   dx d x   Đặt   I  x  l n x  d x6 ln8  l n  2J 1.ln dx 6ln8 4ln3 x  dv  x   x  v  x  3  x 1 t t 1  d x Đặt t  x   J   2ttdt dt  2 d  dx dtt     dtt d 2 x t 1 t  1 2 t 1 t 1 + Tính J    t 1    2t  ln  t 1   Từ I  20ln2  6ln3    ln3  ln2 e x  x lln n x 1 x ed x dx x Câu 154 I   e e e x e e x  I  xe n xxe exd x   ddx x xexdxdx   lln dx 1 e e ee ex +Tính I   ex lln nxxxdx d  exx lln nx   1 e e + Tính I   xxe exd x  xxe ex   exd x  ee(e  dx dx 1)) x ee x e ddx x x d x  eee  dx e x e ddx x = ee1 x Vậy: I  I II     lln n2xx  d x dx  ln x x   e  lln nxx Câu 155 I    e lln nxx 1x e  ln x  Tính I   n x  I1  d x Đặt t   lln dx 2  3 dx Lấy tích phân phần lần I  e  ln2 xxdx + Tính I   ln 2 Vậy I  e   3 Trang 34 http://megabook.vn/ Câu 156 I  ln( x  1)  x3 dx  2x u  ln( x2  1)  du  2 d xdx   x2  Do I =  ln( x  1)   Đặt   dx  2x2 1xxx( x2  1) dv  v   x   2x ln2 ln5  x  d x 1dx ln2 ln5 dx d( x2  1)         dx   1 x 1 x2   x x2    2 ln2 ln5     ln | x |  ln | x2  1| = 2ln2  ln5  1 Câu 157 I =  ln( x  1) x2 dx  dx u  ln( x  1) du   dx  x   I   ln( x  1)  dx   3ln2  ln3  Đặt   dv  x ( x  1) x  v   1 x2 x   1 x   dx  1 x  Câu 158 I   x ln     dx   x  du     1 x    2  (1  x) I  x x2 ln  x d x  x dx  Đặt u  ln  x         2   x  0   x2   dv  xdx v  x     2  ln3 ln3 ln3 1 x dx  d x    1  d x dx    ln  ( x  1)( x  1)  x 1 2  1 Câu 159 I   x ln  x   dx x  2 Câu 160 I   x2.ln(1  x2)dx Câu 161 I   ln x ( x  1) dx   1 10 u  ln  x    Đặt  x   I  3ln3  ln2   dv  x2dx    x2 )  I  ln2     Đặt u  ln(1  dv  x dx u  ln x  dx   Đặt  dv   ( x  1)2  I   ln3  ln Trang 35 http://megabook.vn/ ln x  e x (e x  ln x) dx  ex e Câu 162 I   e e  Ta có: I   ln x.dx   e2x x 1e 1 dx  H  K e e  + H   ln2 x.dx Đặt: u  ln x  H  e   2ln x.dx  e  dv  dx 1 e e2x + K x 1e dx Đặt t  e    I  x 1 Vậy: I  ee –  ln ee 1 t 1 e dt  ee  e  ln t ee  e1  e ee  x 1x Câu 163 I   ( x   )e dx x 2  Ta có: I   e x x  x  dx    x   e x dx  H  K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H  xe x x I  x 1x 52     x   e dx  e  K x 1 2 e  Câu 164 I  ln( x   x)dx     4  x u  ln x2   x  Đặt   I xxnlln x x 99x  x   xd  dx2   0 x2  dv  dx Trang 36 http://megabook.vn/ TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 Câu 165 I    x2ex  0 x   dx 1 x  4  I   x2ex dx   x 1 x dx 11 t 1 + Tính I   x e dx Đặt t  x  I   e dt  et  e  30 3 x3 + Tính I     dt       4 1 t x 1 x Vậy: I  e    3   x2 Câu 166 I   x  ex   x3  2  I   xe dx + x2 1 dx 2 + Tính I   xexdx  e2 + Tính I   cos2 t  sin2 t   x2   I2    dx    x2  x t4 dx Đặt t  x  I  4  dt  ( cot t  t ) 2 = 3 x2   dx Đặt x  2sin t , t   0;   2  Vậy: I  e2   Câu 167 I   x 4 x  e2x   x2  x2 dx x3 4 x  I   xe x e2x dx   dx  I  I e2  + Tính I   xe dx  + Tính I    I 2x x3  x2 dx Đặt t   x2  I  3  16 61 e2 3 3 12 Trang 37 http://megabook.vn/ x2  Câu 168 I   ( x  1) exdx 2  Đặt t  x   dx  dt I   t  2t  t2  Câu 169 I     e2 2 et 1dt       et 1dt = e  1    e   e  t2 t  1  x2 1 x3.e dx  x2 2  Đặt t  1 x  dx  tdt  I   (t  1)e dt   t 2et dt  et 2 t 1  J  (e2  e)  2  + J   t e dt  t e   2te dt  4e  e   tet   et dt   4e2  e  2(tet  et )  1  1 1   2 t t 2 t Vậy: I  e2 x ln( x2  1)  x3 Câu 170 I   x2   Ta có: f ( x)  dx x ln( x2  1)  x( x2  1)  x  x ln( x2  1)  x x x 1 x 1 x 1 x 1 1  F( x)   f ( x)dx   ln(x  1)d (x  1)   xdx   d ln(x  1) 2 2 = ln ( x  1)  x  ln( x2  1)  C 2  4  I   ln x  x2   3x3 Câu 171 I   x 9   ln x  x2   3x3 x 9 + Tính I    x2   I1  ln9  udu  ln3 + Tính I   Vậy I   dx    ln x  x2  x 9 dx Đặt ln x  dx  34  x3 x 9  x2   u  du  dx  I  3I x2  dx u2 ln9 ln2  ln2  ln3 x3 x 9 dx Đặt  I   (u2  9)du  ( dx ln x  x2  x2   v  dv  x x 9 dx, x2  v 9 u3 44  9u)  3   ln x  x2   3x3 x2  dx  I  3I  ln2  ln2  44 Trang 38 http://megabook.vn/ e ( x3  1) ln x  2x2  dx  x ln x Câu 172 I   e e e  ln x  I   x dx   dx  x ln x 1 e x3 e3  +  x dx   31 e + e e  ln x d(2  x ln x) e   x ln xdx    x ln x  ln  x ln x  ln 1 Câu 173 I  e3 x ln3 x  ln x Vậy: I  e e3   ln dx  Đặt t   ln x   ln x  t  (t  1)3 dt = t  I  dx  2tdt ln3 x  (t  1)3 x t  3t  3t  1 15 dt (t  3t  3t  )dt   ln2    t t 1  Câu 174 I  x sin x dx x  cos u x   Đặt   sin x dv  dx  cos2 x    4 dx  cos xdx Đặt t  sin x  I   cos x    sin2 x + I1     du  dx x 4 dx  dx   I      cos x   cosx cos x v   0 cos x  2  0 dt 1 t  2 ln 2  2  ln 2 Vậy:  ln(5  x)  x  x dx 1 x2 Câu 175 I  ln(5  x) dx   x  x dx  K  H x2 1 4  Ta có: I   + K ln(5  x) x2 u  ln(5  x)  dx  K  n4lln4 dx Đặt  dv   x2 + H=  x  x dx Đặt t   x  H  164 15 164 Vậy: I  ln4  15 Câu 176 I    x(2  x)  ln(4  x 2)  dx Trang 39 http://megabook.vn/ 2 0  Ta có: I   x(2  x)dx +  ln(4  x2)dx = I  I 2 + I   x(2  x)dx    ( x  1)2dx  0 2 + I   ln(4  x2 )dx  x ln(4  x2 )  2  (sử dụng đổi biến: x  1 sin t ) x2 dx (sử dụng tích phân phần) x   6ln2    (đổi biến x  2tan t ) Vậy: I  I  I  3   6ln2 ln x dx x 1 Câu 177 I   u  ln x  dx 8 x 1 du   dx  Đặt   I  x  1ln x  2 dx  x dv  x   x  v  x  3  x 1 2t dt  dx Đặt t  x   J    2   dt   ln3  ln2 2 x t  t    2 + Tính J   20ln2  6ln3 6ln3  44  I  6ln8  4ln3  2(2  ln3  ln2)  20ln2  x2 1 x3 ln xdx Câu 178 I  u  ln x  1  1  Ta có: I      ln xdx Đặt  dv  (  )dx x  1 x x3 x  1 2  1   63  xd ln  lnxx  xln x    x x  dx =  ln2   ln2 x 64   4x4   4x  I  e x  x ln x  x e dx x Câu 179 I   e e e x e dx  H  K  J x  Ta có: I   xe dx   e ln xdx   x x e e 1 + H   xexdx  xex 1e  exdx  ee(e  1) e e e x e x e e dx  ee   dx  ee  J x x 1 + K   ex ln xdx  ex ln x   1 Vậy: I  H  K  J  ee1  ee  ee  J  J  ee1 Trang 40 http://megabook.vn/  x cos x  sin3 x  Câu 180 I  dx   2cos x Đặt    sin3 x  sin x  u  x du d u d x dx   dv  cos x dx  v     sin3 x ni2 s 2x 2sin    2 1   1 dx  I =  x +    (  )  cot x  = sin x  2 2  sin2 x 4  x sin x  cos3 xdx Câu 181 I     u  x du  dx 4 x dx     sin x  Đặt:     tan x   I    dv  dx v 2cos2 x cos2 x   cos3 x 2.cos2 x    ( x  sin x) 0  sin x dx Câu 182 I    Ta có: I   x sin2 x dx    sin2x   sin2x dx  H  K 0 u  x du  dx  dx x x dv     + H  dx   dx Đặt:  v  tan  x       x  sin2   2  0 2cos x  2cos  x    4    4        2   H    x   1 2  tan  x     ln cos x              sin x cos2 x + K dx Đặt t   x  K   dx  sin2 x  sin2 x 0 2    dx 2  tan  x     K    40  2cos2 x      4  Vậy, I  H  K    2K   Trang 41 http://megabook.vn/ Câu 183 I   sin x)) x(cos3 x cos x sin  dx  cos2 x     cos x(1  cos2 x)  sin x  x.sin x dx   x.cos x.dx   dx  J  K  2    cos x cos  x 0    Ta có: I   x      u  x + Tính J   x.cos  J  ( x.sin x)   sin x.dx   cosx  2 cosx.dx Đặt  0 dv  cos xdx 0  x.sin x + Tính K    cos x  dx Đặt x    t  dx  dt (  t ).sin(  t ) K   cos2(  t )   cos2 x  (  t ).sin t dt    cos2 t ( x    x).sin x  2K    dt    dx    K   cos x Đặt t  cosx  dt   sin x.dx  K   cos2 x sin x.dx  (  x).sin x dt ,  1 t2 dx   sin x.dx 0  cos2 x đặt t  tan u  dt  (1 tan2 u)du 1  K     Vậy I  (1  tan2 u)du     tan2 u 2 Câu 184 I   x  ( x  sin x)sin x  Ta có: I   2 Vậy I  x sin2 x  u    2 4 dx (1  sin x)sin x dx Đặt 2 dx   sin x    du  x(1  sin x)  sin2 x + K      2 2 2 (1  sin x)sin2 x 3 4 + H     2 dx   x sin x 2 dx   dx H K  sin x u  x   du  dx dv  dx  v   cot x  H    sin2 x  2 dx dx  3  32   x 2  cos  x  2cos     2 2   32  Câu 185 I   x sin2 x dx  cos2x Trang 42 http://megabook.vn/   x  sin x dx  0  cos2x  Ta có: I     x dx   sin2 x dx  H  K 2cos2 x   u  x x x  du  dx dx   + H  dx Đặt  dx   2 0 dv  cos x v  tan x 2cos x  cos2 x    H  x n at x 2  + K  2cos2 x    nl o sc  x  23  n at  3x d   n2l  23      1 x ddx   tan x d xdx   tan x  x     3 2 2cos2 x sin2 x Vậy: I  H  K  1      1  ln2       (  ln2) 2 3 2  Câu 186 I   x  1sin x  1.dx 2 1  Đặt t  x   I   t.sin t.2tdt   2t sin tdt   2x sin xdx 2  du  4xdx  Đặt u  2x  I  2x2 cos x   4x cos xdx dv  sin xdx v   cos x du  4dx u  4x Đặt  Từ suy kết  dv  cos xdx v  sin x  Câu 187 I   sin x   cos x e dx x  I  x e dx sin x x  e dx 0  cos x 2x cos    x x 2sin cos 2 sin x x exdx  tan x exdx e dx   + Tính I     cos x 2x 0 2cos x  ue   du  exdx   x 2 e dx x x    n + Tính I   Đặt dv  dx    e I  e attaned x e dx  x 20 2x v  tan x   cos 2cos2   2  Do đó: I  I  I  e2 Trang 43 http://megabook.vn/  Câu 188 I   cos x ex (1  sin2x) dx  cos x  (sin x  cos x)dx u du    x cos x   e ex  I  02 x dx Đặt   dx sin x e (sin x  cos x) v  dv   sin x  cos x (sin x  cos x)     I  cos x x e  2 sin x sin xdx   sin x  cos x 0 ex sin xdx  ex  u1  sin x du1  cos xdx 1   Đặt   I  sin x x  dx   1 e  dv1  ex v1  ex   u2  cos x du2   sin xdx   Đặt  dx   1  dv1  ex v1  ex   I  1     cos x e2 1 ex  sin xdx  ex 1    I  2I     cos xdx x  e  e 1   e2  cosxdx ex  e 1  I   2 e2  Câu 189 I  sin6 x  cos6 x  6x    dx   Đặt t   x  dt  dx  I     6t  2I    6t   dt     sin t  cos t 6x (6x  1) sin x  cos x 6x   dx  dx    6x    sin6 x  cos6 x (sin6 x  cos6 x)dx     5  5   cos4x dx  16   8 4 5 I  32  Câu 190 I     sin4 xdx 2 x    Ta có: I   x sin xdx  2x        x sin xdx 2x    2x sin4 xdx 2x   I1  I Trang 44 http://megabook.vn/ 2x sin4 xdx  2x   + Tính I   Đặt x  t  I     sin xdx 2x  2t  dt   2t sin4 (t )   I     x sin xdx 2x  0  sin4 x dt   dx x 2t   1 6  sin4 t    sin4 xdx  16 (1  cos2x)2 dx  40   4  16 (3  4cos2x  cos4x)dx   64 80 Câu 191 I  e  cos(ln x) dx  Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt   I   et cos costdt =  (e  1) (dùng pp tích phân phần)  2 Câu 192 I   esin x sin x.cos3 xdx 11 t  Đặt t  sin x  I   e (1  t )dt  e (dùng tích phân phần) 20 2  Câu 193 I   ln(1  tan x) dx   Đặt t  =     x  I   ln 1  tan   t  dt =       4    tan t   ln 1   tan t dt = 4  ln  tan t dt   ln2dt   ln(1  tan t )dt  = t.ln2 04  I  2I   ln2  I   ln2  Câu 194 I   sin x ln(1  sin x))dx u  ln(1  sin x)  Đặt  dv  sin xdx   cos x   du   sin x dx  v   cos x Trang 45 http://megabook.vn/    I   cos x.ln(1  sin x)   cos x 0   2  cos x  sin x dx    dx   (1  sin x)dx   1  sin x  sin x 0  Câu 195 I  tan x.ln(cos x) dx x cos   Đặt t  cosx  dt   sin xdx  I    ln t t dt   ln t t2 dt  u  ln t du u d t dt d  t Đặt    I   1 ln2 dv  dt 2   v t t  Trang 46 http://megabook.vn/ TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 196 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x)  f ( x)  cos4 x với x R   I Tính: f ( x)dx     Đặt x = –t     2   f ( x)dx       2  f ( x)dx    f ( t )( dt )      f ( t )dt     f ( x)dx dx    f ( x)  f ( x)  dx  2  cos4 xdx  I   3 16 1 Chú ý: cos4 x   cos2x  cos4x 8 Câu 197 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x)  f ( x)   2cos2x , với x R Tính: 3  I f ( x)dx 3   Ta có : I     f ( x)dx   3  3 f ( x)dx   f ( x)dx (1)  + Tính : I    3 f ( x)dx Đặt x  t  dx  dt  I     f (t )dt  f (x )dx  Thay vào (1) ta được: I     f ( x)  f ( x)  dx    2 1  cos2x    cos x dx 0     3   2       cos xdx   cos xdx   sin x 02  sin x     0        Trang 47 http://megabook.vn/  sin x  Câu 198 I    x2  x  dx  I      x2 sin xdx     x sin xdx  I  I   + Tính I    x2 sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I     + Tính I    x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I    4   x e  3x    x  Suy ra: I  Câu 199 I    I  e x  x  1  x  e x  3x    x  e x  x  1  x  dx dx   e x  x  1  x   e x  x  1 e x  x  1  x  5 2 dx   dx   e x  x  1 e x  x  1  x  dx 5 e x  x  1 e x  x  1 dx     x  dx 2 x  1(e x x   1) x  1(e x x   1) e x  x  1 x Đặt t  e x    dt  dx x 1 e5 1  I  3  e2 1 2e5  2e5  dt  I   2ln t   2ln e 1 t e 1  Câu 200 I  x2  ( x sin x  cos x) dx  x u  x x cos x  cos x I  dx Đặt  x cos x cos x ( x sin x  cos x) dx dv  ( x sin x  cos x)2     I  x  cos x( x sin x  cos x)  o scos c xnisxx sin x x d u  d x dx du cos o s c x  1 v  sinxo xnis scx  cos x x   dx  cos2 xdx = 4 4 Trang 48 http://megabook.vn/ ... 2tan2 u  Trang 26 http://megabook.vn/ Dạng 4: Tích phân phần   Câu 118 I   x sin si n x d dx x ccos os2 x  Sử dụng công thức tích phân phần ta có:  I        x xxd d   os x ...   et cos costdt =  (e  1) (dùng pp tích phân phần)  2 Câu 192 I   esin x sin x.cos3 xdx 11 t  Đặt t  sin x  I   e (1  t )dt  e (dùng tích phân phần) 20 2  Câu 193 I   ln(1 ...  I  I   + Tính I    x2 sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I     + Tính I    x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I    4   x e  3x    x