Cách giải các bài toán tích phân hàm số dạng đặc biệt

TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với mọi x R. Tính: . • Đặt x = –t    Chú ý: . Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và , với mọi x R. Tính: . • Ta có : (1) + Tính : . Đặt  Thay vào (1) ta được: Câu 3. • + Tính . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được . + Tính . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: Suy ra: . Câu 4. • Đặt Câu 5. . • . Đặt  

Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x 4 ( ) ( ) cos+ − = với mọi x ∈ R. Tính: I f x dx 2 2 ( ) π π − = ∫ . • Đặt x = –t ⇒ f x dx f t dt f t dt f x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) π π π π π π π π − − − − = − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ f x dx f x f x dx xdx 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos π π π π π π − − −   = + − =   ∫ ∫ ∫ ⇒ I 3 16 π = Chú ý: x x x 4 3 1 1 cos cos2 cos4 8 2 8 = + + . Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x( ) ( ) 2 2cos2+ − = + , với mọi x ∈ R. Tính: I f x dx 3 2 3 2 ( ) π π − = ∫ . • Ta có : I f x dx f x dx f x dx 3 3 0 2 2 0 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) π π π π − − = = + ∫ ∫ ∫ (1) + Tính : I f x dx 0 1 3 2 ( ) π − = ∫ . Đặt x t dx dt= − ⇒ = − ⇒ I f t dt f x dx 3 3 2 2 1 0 0 ( ) ( ) π π = − = − ∫ ∫ Thay vào (1) ta được: ( ) I f x f x dx x x dx 3 3 3 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos π π π   = − + = + =   ∫ ∫ ∫ xdx xdx 3 2 2 0 2 2 cos cos π π π     = −         ∫ ∫ x x 2 0 3 2 2 sin sin 6 2 π π π     = − =         Câu 3. x I dx x x 4 2 4 sin 1 π π − = + + ∫ Trang 43 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng • I x xdx x xdx I I 4 4 2 1 2 4 4 1 sin sin π π π π − − = + − = − ∫ ∫ + Tính I x xdx 4 2 1 4 1 sin π π − = + ∫ . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I 1 0= . + Tính I x xdx 4 2 4 sin π π − = ∫ . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I 2 2 2 4 π = − + Suy ra: I 2 2 4 π = − . Câu 4. ( ) ( ) 5 2 3 2 1 1 1 x x e x x I dx e x x − + − = − + − ∫ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − + − − = = = + − + − − + − − + − ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x x x e x x e x x e x e x I dx dx dx dx e x x e x x e x x ( ) ( ) 5 5 2 2 5 2 1 2 1 3 2 1( 1 1) 1( 1 1) − − = + = + − − + − − + ∫ ∫ x x x x e x e x x dx dx x e x x e x Đặt ( ) 2 1 1 1 2 1 − = − + ⇒ = − x x e x t e x dt dx x 5 2 5 2 1 5 2 2 1 2 1 2 2 1 3 3 2ln 3 2ln 1 1 + + + + ⇒ = + ⇒ = + = + + + ∫ e e e e I dt I t t e e Câu 5. x I dx x x x 2 4 2 0 ( sin cos ) π = + ∫ . • x x x I dx x x x x 4 2 0 cos . cos ( sin cos ) π = + ∫ . Đặt x u x x x dv dx x x x 2 cos cos ( sin cos )  =    =  +   ⇒ x x x du dx x v x x x 2 cos sin cos 1 sin cos  + =    −  =  +  ⇒ x dx I dx x x x x x 4 4 2 0 0 cos ( sin cos ) cos π π = − + + ∫ = 4 4 π π − + . Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Trang 44 . Trần Sĩ Tùng hoctoancapba. com Bài tập Tích phân TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f.        ∫ ∫ x x 2 0 3 2 2 sin sin 6 2 π π π     = − =         Câu 3. x I dx x x 4 2 4 sin 1 π π − = + + ∫ Trang 43 Bài tập Tích phân hoctoancapba. com Trần Sĩ Tùng • I x xdx. x f x dx xdx 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos π π π π π π − − −   = + − =   ∫ ∫ ∫ ⇒ I 3 16 π = Chú ý: x x x 4 3 1 1 cos cos2 cos4 8 2 8 = + + . Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R