Đang tải... (xem toàn văn)
Khẳng định nào sau đây đúng?. A..[r]
(1)Bài [ĐỀ MH 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn 1
f ,
2
'
f x dx
và
1
1
x f x dx
Tính
1
0
f x dx
A.
5 B. C
7
4 D.
Hướng dẫn giải:
Xét
1
1
Ix f x dx
Đặt
1
3
3
3
0
0
'
1
' '
3 3
3
du f x
u f x x
I f x x f x dx x f x dx
x dv x dx v
Chứng minh BĐT tích phân sau:
2
*
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Với t ta có: 0tf x g x 2 t f2 2 x 2tf x g x g x2
Lấy tích phân vế theo biến x ta được:
2 2 2 0
b b b
a a a
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
h t tam thức bậc không âm nên ta có điều kiện:
2
2 2
0
'
b b b b b b
a a a a a a
t
f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx
Dấu ‚=‛ xảy tf x g x
Áp dụng:
2
1 1
2
3
1 ' '
7
x f x dx x dx f x dx
(2)Dấu ‚=‛ xảy f x' kx3
Mặc khác:
1
3 3
0
7
' ' 7
4
x f x dx k f x x f x x dx x C
Mà f 1 0 nên
1
4
0
7 7
4 4
C f x dx x dx
NHẬN XÉT: Thật BĐT (*) hệ BĐT Holder tích phân BĐT Holder tích phân phát biểu sau:
1
b b p p b q q
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
với ,p q1 thỏa 1
p q
Dấu ‚=‛ xảy tồn hai số thực m n, không đồng thời cho p q
m f x n g x
Hệ quả: Với p q 2 BĐT trở thành f x g x dx 2 f2 x dx g x dx. 2 BTAD: Cho hàm số f x liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn
1
2
1
1 '
3
x f x dx
Giá trị nhỏ tích phân
2
f x dx
là:
A 0
3
f
B 3 0
3
f
C 3 0
3
f
D 0
3
f
Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 0,
0;1
max 'f x
và
1
0
1
f x dx
Gọi M là giá trị lớn tích phân
3
f x dx
Khẳng định sau đúng?
A. 1;3
2
M
B
1 0;
2
M
C
1 ;1
M
D
3 ; 2
M
(3)Ta có: f x' 6, x 0;1 f x f x' 6f x , x 0;1 (1) Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được:
0
' , 0;1
x x
f t f t dt f t dt x
2 2
2
0 0
0
0
6 12 12
2 2
x
x x x
f t f x f
f t dt f x f t dt f x f x f t dt
(2)
Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được:
1
3
0 0
12
x
I
f x dx f x f t dt dx
Đặt
0
' x
u f t dtdu f x x dx f x dx
Suy
1
0 2
0 0
1 1 1
2 2 18
f t dt
I udu f t dt f x dx
Vậy
3
1 12
18
f x dx
Nhận xét: Ta hàm số f x thỏa mãn kiện đề cho xảy dấu ‘’=‛, hàm là: f x 28,815042623089894049x335,5890622041211331x28,6518534912024751x
- Chú ý:
' ' '
g x
h x
f t dt f g x g x f h x h x
Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn 0
f ,
1
f và f x' 0, x 0;1 Biết tích phân
2
0
2 2 x x f x' dx
đạt giá
trị nhỏ nhất, tính f 2 ? A. 2
3
f B 2 2
3
f C 2 2
2
(4) 2
2
f
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 2
2
2
0
2 2 ' '
I x x f x dx x x f x dx
Ta có :
2 2 2
2 ' '
2
x x f x x x f x
1 2
2
0
2
2 ' '
2
x x f x dx x x f x dx
Mà:
1 1
0 0
4
2 ' '
3
x x f x dx x x dx f x dx f f
Do
3
I
Dấu ‚=‛ xảy : ' 2 2 3
3
f x x x f x x x C
Ta có: 3
1 2 2
3
f C f x x x f
Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn
1 1
, 0;1
x
x
f t dt x
Gọi m giá trị nhỏ tích phân
2
f x dx
Khẳng
định sau đúng?
A. 1;3
2
m
B
1 0;
2
m
C
1 ;1
m
D
3 ; 2
m
Hướng dẫn giải:
Theo hệ BĐT Holder:
2
1 1 1
2 2
0 0 0
xf x dx x dx f x dx f x dx xf x dx
Giờ ta việc tìm tích phân
0
xf x dx
(5)Gọi F(x) nguyên hàm f x , ta có:
1 0
'
xF x dx x F x F
Mà
1 1 1
0 0 0
' '
xF x dx xF x dx F x dx xf x dx F x dx
Suy
1
0
1
F xf x dxF x dx (1)
Từ đề:
1 2 1
0 0
1 1
1
2 2
x
x x x
f t dt F F x F dx F x dx dx
Tương đương
1
0
1
1
2
x
F F x dx dx (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
0
1
xf x dx
Vậy
2
2
1
3
3
f x dx
Dấu ‚=‛ xảy f x x
Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liện tục 0;1 thỏa mãn f 1 0,
1 2
0
1
'
4
x e
f x dx x e f x dx
Tính
1
0
f x dx
A.
4
e
B
2
e
C. e2 D
2
e Hướng dẫn giải:
Xét
1
0
1 x
I x e f x dx, đặt
1 x x'
u f x du f x dx
dv x e dx v xe
Suy
1 2
1
0
1
' '
4
x x e x e
(6)
2 1 1 1
2 2
2
0 0
1
' '
4
x x
e e
xe f x dx x e dx f x dx
Dấu ‚=‛ xảy f x' kxex Mà
1
0
1
'
4
x e
xe f x dx k
Suy f x xe dxx 1 x e xC Mà f 1 0 C
Vậy
1
0
1 x x
f x x e x e dx e
Bài Cho hàm số f x có đạo hàm dương liên tục 0;1 thỏa mãn f 0 1,
1
2
0
1
3 ' '
9
f x f x dx f x f x dx
Tính
1
f x dx
A.
4 B
3
2 C
8
5 D
7
Hướng dẫn giải:
Đề
1
2
0
1
3 ' '
3
f x f x dx f x f x dx
Áp dụng hệ BĐT holder:
1 1
2
0 0
' '
dx f x f x dx f x f x dx
Suy
2
1 1
0 0
1
2 ' ' '
3
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
Hay
0
1 '
3
f x f x dx
Dấu ‚=‛ xảy
0
1
' 1
3
3 '
f x f x dx
k
f x f x k
Xét
3
2 3
1 1
' '
3 9
f x
(7)Vì f 0 1 nên
3
0
1
1
3
f x x f x dx
Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục a b; thỏa mãn lim xa f x
,
lim
xb f x và
2
' 1, ;
f x f x x a b Tìm giá trị nhỏ P b a A.
2
B C. D
2
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
'
' 1
1
f x f x f x
f x
Lấy tích phân hai vế ta được:
1
0
'
1 arctan arctan arctan
1 b
b a a
f x
dx f x a b b a f b f a
f x
Vì lim , lim xa f x xb f x
nên b a
Nhận xét: Khi hàm số f x cotx cận b,a0 dấu ‚=‛ xảy Bài Cho hàm số f x dương liên tục 1; 3 thỏa mãn
1;3
max f x
1;3
1
2
f x
và biểu thức
3
1
1
S f x dx dx
f x
đạt GTLN, tính
1
f x dx
A.
5 B
3
4 C
3
5 D
5
Hướng dẫn giải
Từ đền suy 2, 1; f x x nên
2
0
f x f x
f x
, x 1; 3
Lấy tích phân vế ta được:
3 3
1 1
1
2
2
0
f x f x
dx dx f x dx
f x f x
(8)Tương đương
2
3 3 3
1 1 1
1 25 25
5
4
f x dx dx f x dx f x dx f x dx
f x
Dấu ‚=‛ xảy
1
5
f x dx
Bài Cho hàm số f x xác định liên tục 1; 2 thỏa mãn
1
3
2
3 x
x
x x
f x dx
với x x1, 2 1; 2 sao cho x1x2 Tìm GTLN tích phân
2
1
f x dx
A.
2 B
3
2 C
5
3 D
5
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
3
2
3 x
x
x x x dx
2
1 1
2 2 2
0
x x x
x x x
f x dx x dx x f x dx
Do hàm
f x x f x liên tục 1; 2 nên:
2 0 , 1; 2
x f x f x x x
Từ suy
2 2
1 1
3
f x dx f x dx xdx
Dấu ‚=‛ xảy f x x ; x11;x22
Bài 10 Cho hai hàm số f x không âm liên tục 0;1 Đặt
x
g x f t dt
và ta giả sử ln có g x f x 2, x 0;1 Tìm GTLN tích phân
1
0
g x dx
A.
3 B
8
5 C
5
3 D
13
(9)Gọi F x hàm số thỏa mãn
x
F x f t dt
'
1
F x f x
g x F x
Ta có
2 '
1 1
1 2
f x F x
F x g x f x
F x F x
Nháp: xét
' '
1
1 2
F x F x
dx x C F x x C
F x F x
Xét hàm số h x 2 F x x C , x 0;1
Ta có '
'
2
F x h x
F x
nên h x nghịch biên 0;1 Suy h x h 2 F 0 C
Ta có
0
0
F f t dt nên h x 1C Ta chọn Csao cho 1 C C
Vậy
1
0
7
1 1
3
F x x g x x g x dx
BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số f x không âm liên tục 0;1 Đặt
0
x
g x f t dt và ta giả sử ln có g x f x 3, x 0;1 Tìm GTLN của tích phân
1
2
0
g x dx
A.
3 B. C
4