B, áp dụng các biểu thức dơng giải phơng trình và hệ phơng trình: Bài 1: Giải phơng trình: 2 2 2 3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + + = (*) Giải: Ta có: 3x 2 + 6x + 12 = 3x 2 + 6x + 3 + 9 = 3(x +1) 2 + 9 9 với mọi x. 5x 2 + 10x + 9 = 5x 2 + 10x + 5 + 4 = 5(x + 1) 2 + 4 4 với mọi x. 2 2 3 6 12 5 10 9 4 9 5x x x x+ + + + + + = (1) Mà 3 - 4x - 2x 2 = 5 - 4x- 2x 2 - 2 = 5 - 2(x 2 + 2x + 1) = 5 - 2(x+1) 2 5 với mọi x (2) Từ (1) và (2) suy ra phơng trình có nghiệm x = -1 Thử x = -1 là nghiệm của (*) Bài 2: Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 5 ( 7) 2 2 1 3 1 5 1 0 3 4 6 x y z x y z x y z x y z + + = + + + + = = = = Bài 3: Giải phơng trình: 3 1 2 1 2 xy x y y x + = ĐK 1 1 y x 2 1 4 1 3x y y x xy + = (1) Do ( ) 2 1 1 1 0x x y dấu = xảy ra khi y = 2 ( ) 2 1 2 1 1 0y y x dấu = xảy ra khi x = 2 Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: x = 2 y = 2 Bài 4: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 13 26 24 8 4 1 4 4 6 9 4 4 25 20 4 4 1 2 3 2 5 2 4 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + + + + + + = + + + + = + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 4 1 0 2 1 2 2 1 0 1 1 2 1 1 0 xy x y xy y x x y y y x x x y y x + = + = + = Ta cã: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 4 1 x x x x x x x x VT x x x − + − ≥ − ≥ − − + − ≥ − ≥ − ⇒ ≥ − + − = + DÊu “=” x¶y ra DÊu “=” x¶y ra DÊu “=” x¶y ra 3 0 5 0 2 2 0 x x x x − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ = − = VËy S = { } 2 Bµi 5: a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 1 4 3 x y x y xy + + + = + − = §K: 0 1 0, 1 0 xy x y ≥ + ≥ + ≥ mµ 0 3 0 0 x x y xy y > + = + > ⇒ > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 1 4 1 16 6 0 2 1 4 1 4 1 4 1 4 0 1 2 1 2 0 1 2 3 1 2 x y xy x y x y xy x x y y x y x y x y x x y y + − − + − + + − = + − + + − + + + + − + + = − + + − + + − = = ⇔ + = ⇔ = = + = b, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 1 2 1 2 1 4 z xy x yz xy + = − = − §K: 4 1 0 xy xy ≤ ≥ 1 1 4 2 xy xy⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ 2 1xy ≤ “=” xÈy ra ⇔ xy = 1 4 2 1 1z + ≥ “=” xÈy ra ⇔ z = 0 2 z = 0 ⇒ 1 1 4 x y z o = = = hoÆc 1 1 4 0 x y z = − = − = Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2 3 1 0 x xy y z yz − + = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 2 4 4 1 1 4 4 2 4 y y y x x xy y y y y y z xy z − = − ÷ − + = − ÷ ⇔ ⇔ + + = − + = − ÷ 2 2 2 1 0 4 1 2 4 1 0 4 y y y y − ≥ ⇒ ⇒ = ⇒ = ± − ≥ ( ) ( ) { } 1;2; 1 ; 1; 2;1S⇒ = − − − Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 4 2 2 8 5 2 3x x x x− + − + − + − = + ( ) ( ) 2 2 2 4 4 3 2 8 8 2 3x x x x⇔ − − + + − − − = + ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 3x x⇔ − − ± − − = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 " " 2 3 2 2 3 " " 2 x x x x − − ≤ = ⇔ = ⇒ − − ≤ = ⇔ = ( ) ( ) { } 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 x x x S ⇒ − − + − − = + ⇔ = ⇒ = Bµi 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, 1 5 1 3 2 §K : 1x x x x− − − = − ≥ 5 1 5 1 1 5 1 x x x x x x ⇒ < ⇒ − < − ⇒ − < − 1 5 1 0x x⇒ − − − < Mµ 3 2 0x − > ⇒ pt cã { } S = ⊗ b, Gi¶i: 3 2 2 2 : 3 3 2 x x DK x x x − + = ≥ − 3 3 2 2 3 2 x x x x − ⇒ + ≥ − DÊu “=’ 3 2 3 2 x x x x − ⇔ = − 2 2 1 3 2 3 2 0 2 x x x x x x = ⇔ = − ⇔ − + = ⇒ = { } 1;2S⇒ = Bµi 9: Gi¶i 1 2 1 : 1x x DK x− = + + ≥ 1 1 2 1 1 x x x x ⇒ + > − ⇒ + + > − { } S⇒ = ⊗ Bµi 10: Gi¶i : 2 1 1 1 2 2 1 4 x y z xy z + + = − = (1) Tõ (1) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 4 2 4 x y z x y xy z z ⇒ + = − ⇒ + + = + − ÷ ÷ 2 2 1 1 4 0 x y z ⇒ + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 0 1 4 1 4 4 4 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 x y y x x x y y x y x y z ⇒ + + − − = ÷ ⇔ − + + − + = ÷ ÷ ⇔ − + − = ÷ ÷ ⇒ = = ⇒ = 2, ¸p dông B§T C« si: Bµi 1: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 7 1 1 2 4 x x x x x x x x x x x + − + − + + = − + ⇔ + − + − + + = − + ÷ Ta cã §K: 2 2 1 0 1 0 x x x x + − ≥ − + + ≥ 4 Khi đó áp dụng: 1 " " 1 2 a a khi a + = = ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 x x x x x x x x + + + + + + + + 2 2 1 1 1x x x x x + + + + + Mặt khác: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x + = + + + = + + + Vậy ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x + + + + = + = + + = + + = = = Vậy x=1 là nghiệm Bài 2: 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( 1)(2 1) 2 2 x x x x x x x x x x + + = + + + + = + + (1) Ta có x 2 - x + 1 > 0 với mọi x suy ra ĐK 1 2 x áp dụng Côsi cho 2 số x 2 x + 1 > 0 2x + 1 > 0 Ta có: 2 2 2 1 2 1 ( 1)(2 1) 1 2 2 2 x x x x x x x x + + + + + = + + Vậy dấu = xảy ra x 2 x + 1 = 2x +1 x 2 3x = 0 x = 0 TM hoặc x = 3 TM Vậy S = { } 0;3 Bài 3: Giải hệ phơng trình: 1 2 3 12 2 3 3 x y z x y z + + = + + = (1) Với x, y, z > 0 Từ (1) ta có: 1 2 3 6 4 4 4 x y z x y z + + + + + = Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số (1) 1 1 4 x x + dấu = xảy ra khi 1 2 x = (2) 2 1 2 2 2 4 4 y y x y + = + ữ dấu = xảy ra khi 1 2 y = 5 (3) 3 1 3 3 3 4 4 z z z z + = + ữ dấu = xảy ra khi 1 2 z = Từ (1), (2) và (3) ta có: 1 2 3 2 3 1 2 3 6 4 4 4 x y z x y z + + + + + + + = dấu = xảy ra khi 1 2 x y z= = = TM vậy nghiệm của hệ phơng trình là: S = 1 1 1 , , 2 2 2 ữ Bài 4: Giải phơng trình: 2007 x 2008 2008 x 2007 + 1 = 0 1 + 2007 x 2008 = 2008 x 2007 x > 0 áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số dơng 1; x 2008 ; x 2008 ; x 2008 ; x 2008 ( 2007 số x 2008 ) Ta có: x 2008 + x 2008 + + 1 2008 2008 2008 2007 1.( )x = 2008. x 2007 dấu = xảy ra khi chỉ khi 1 = x 2008 x = 1 vì x > 0 Vậy phơng trình có nghiệm x = 1 Bài 5: Giải phơng trình: x 3 x 2 8x + 40 = 8 4 4 4x + ĐK 4x + 4 0 x -1 Với Đ K x -1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có: 4 + 4 + 4 + x + 1 4 4 4.4.4.( 1)x + = 8 4 4( 1)x + 13 + x 8 4 4( 1)x + 13 + x x 3 3 x 2 8x + 40 x 3 3 x 2 9 x + 27 0 ( x 3 ) 2 ( x + 3 ) 0 Do x - 1 x + 3 > 0 ( x 3 ) 2 0 x = 3 TM Vậy x = 3 là nghiệm của phơng trình Bài 6: Giải phơng trình: 2 7 5 12 38x x x x + = + (1) Đ K 5 x 7 Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số 7 x và 1 ta có: 7 1 7 2 x x + x 5 và 1 ta có: 5 1 5 2 x x + 7 1 5 1 7 5 2 2 2 x x x x + + + + = dấu = xảy ra khi chỉ khi 7 x = 1 x 5 = 1 x = 6 Ta lại có: x 2 12x + 38 = ( x 6 ) 2 + 2 2 dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 6 Vậy S = { } 6 Bài tập tơng tự: Bài 1: Giải phơng trình: 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ + + + = + 6 Bài 2: Giải phơng trình: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x + = + 3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải phơng trình: ( ) 2 2 2 3 5 2 3 12 14 2 3 5 2 3 2 2 x x x x x x x + = + + = + ĐK: 2 3 0 1,5 2,5 5 2 0 x x x áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) và ( 2 3x : 5 2x ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 2.2 4x x x x + + + = 2 3 5 2 2 2 3 5 2 0x x Do x x + + > Dấu = xảy ra 2 3 5 2 2x x x = = ( ) 2 3 2 2 2x + dấu= xẩy ra x = 2 Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2 Bài 2: Giải phơng trình a, ( ) 6 2 5 2 1 2 A x x= + = ĐK: 5 2 2 x Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 1 2.1 . 2 2 1 2 . 3 2 2 2 A x x x x ữ = + + + = ữ ữ ữ ữ ữ 6 0 2 A A ( ) 1 xẩy ra 5 13 2. 2 2 6 x x x = = (TMĐK) 13 6 S = b, 2 1 3 5 2 13 : 1 5x x DK x + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 5 2 3 1 5 13.4x x x x + + + = 2 1 3 5 2 13x x + PT xảy ra 3 1 2 5x x = 29 13 x TM = 29 13 S = c, 7 ( ) ( ) 2 2 2 4 5 2 2 3 2 3 1 1 0 x x x x x + + = + + + + = 1x = Bài 3: Giải phơng trình : 2 2 10 12 40 :2 10x x x x DK x + = + ( ) 2 2 12 10 6 4 4x x x + = + Dấu = xảy ra khi x = 6 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 10 2 10 1 1 16x x x x + + + = 2 10 4 : 2 10 0x x Do x x + + > Dâu = xẩy ra x = 6 (TM) { } 6S = Bài 4: Giải phơng trình : 2 1 3 2( 3) 2 2x x x x + + = + (1) áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 1x ; x 3 và 1 ; 1 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1 3 2( 1) 2( 3) x x x x x x x x + + + + + (2) (1) và (2) xảy ra khi chỉ khi: 1 3x x = x 2 6x + 9 = x 1 x 2 7x + 10 = 0 x = 2 hoặc x = 5 x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn vậy { } 5S = Bài 5: Giải phơng trình : 4 2 4 4 3 2 1x x x x = 4 2 4 3 2 1 ( 1)x x x x = Đ K : x 4 2 4 2 4 4 ( 2 1 1x x x = + ( x 0 ) 4 4 2 2 1 2 x x x x + = + Ta có: 2 2 1 2x x + dấu = xảy ra 2 2 1 x x = 2 1x = (1) Mặt khác: ( ) ( ) 2 4 4 2 2 4 2 2 1 1 2x x x + + ữ ( ) ( ) ( ) 4 2 4 4 4 2 4 4 4 4 2 2 4 2 4.2 2 16 2 16 2 x x x x x x x x + + + = + = (2) Dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 1 Từ (1) và (2) suy ra phơng trình có nghiệm của nó là 1 TM Vậy S = { } 1 8 Bµi tËp t¬ng tù: Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 6 3 3 2 1 x x x x x − = + − − − Bµi tËp 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2 6 3 1 1 x xy x y x y − + = − + = 9 . B, áp dụng các biểu thức dơng giải phơng trình và hệ phơng trình: Bài 1: Giải phơng trình: 2 2 2 3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + + = (*) Giải: Ta có: 3x 2 + 6x +. tự: Bài 1: Giải phơng trình: 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ + + + = + 6 Bài 2: Giải phơng trình: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x + = + 3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải phơng trình: ( ) 2 2 2. x = 3 TM Vậy x = 3 là nghiệm của phơng trình Bài 6: Giải phơng trình: 2 7 5 12 38x x x x + = + (1) Đ K 5 x 7 Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số 7 x và 1 ta có: