Chuyên đề: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bất đẳng thức (BĐT) là một công cụ để giải nhiều dạng toán khác nhau, đặc biệt là giải phương trình và hệ phương trình.. Trong phạm vi bài viết này chúng tôi xin giới thiệu cách vận dụng[r]

Chuyên đề: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giáo viên: Vũ Hồng Lượng

Đơn vị công tác: Trường THCS Yên Dương – Tam Đảo - Vĩnh Phúc

A Mục đích chuyên đề.

Bất đẳng thức (BĐT) cơng cụ để giải nhiều dạng tốn khác nhau, đặc biệt giải phương trình hệ phương trình Trong phạm vi viết chúng tơi xin giới thiệu cách vận dụng BĐT để giải phương trình (PT) hệ phương trình (HPT)

B Đối tượng bồi dưỡng - Số tiết dạy - Tài liệu tham khảo.

- Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp - Số tiết dạy cho học sinh: 08 tiết

- Tài liệu tham khảo:

+ Nâng cao phát triển toán - Vũ Hữu Bình

+ Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Bùi Văn Tuyên…

C Nội dung kiến thức.

1 BĐT Cauchy. - Dạng bản

, 0;

a b

  ta có a b 2 ab Dấu " "  a b . - Dạng tổng quát

1, , ,2 n

a a a

  ; ta có a1a2 an n a a an n

Dấu " "  a1a2   an

BĐT Bunyacovsky. - Dạng bản

, , ,

a b x y R

  , ta có      

2 2 2 2 2

ax+by  a b x y

Dấu " "

x y a b

  

- Dạng tổng quát

1, , , ; , , ,2 n n

a a a x x x R

  , ta có

 2  2 2  2 2

1 2 n n n n

a x a x  a x  a a  a x x  x

Dấu

1 2

" " n n x

x x

a a a

    

D Bài tập vận dụng.

Dạng Sử dụng BĐT để tạo tính đối nghịch hai vế phương trình.

Phương pháp Dùng BĐT để đánh giá hai vế (vế trái (VT) vế phải (VP)) PT, giả

VP A VT A

  





VP A VT A

  





VP A VT A

  



 Khi

VP A VP VT

VT A

    



 .

* Thí dụ Giải phương trình x 4 6 x x210x27

Lời giải ĐK 4 x 6.

Xét VT2  2 x 6   x

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có x 6   x  x 6  x2 Suy VT 2 4 hay VT 2 (1)

Dấu xảy x 5 Lại có VP x 210x27x 52 2 2 (2) Dấu xảy x 5.

Từ (1) (2) đối chiếu với ĐK, suy PT có nghiệm x 5. * Thí dụ Giải phương trình 4 4 x x  x 1 x 22x 34x14

Lời giải Ta có

1 2 14 2 14 14

VP x  x  x  x    x x  x   x  (3) Dấu xảy x 2.

Mặt khác VT  8 x 228 (4) Dấu xảy x 2.

Từ (3) (4) suy PT cho có nghiệm x 2. * Thí dụ Giải phương trình 41 x2 41 x41x 3

Lời giải ĐK   1 x 1 Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

2

41 1 1 1

2

x x

x x x   

    

(5)

41 1 .1 1

2

x

x x  

   

(6)

41 1 .1 1

2

x

x x  

   

(7)

Cộng theo vế (5), (6), (7) thu 41 x2 41 x41x  1 1 x 1x (8) Lại theo BĐT Cauchy ta có

  (1 )

1 1

2

x x

x x   

    

;

 

(1 )

1 1

2

x x

x x   

    

Suy

2

1 1

2

x x

x x  

      

(9) Từ (8) (9) suy 1 1 x 1x3.

Dạng Sử dụng BĐT Cauchy để đưa BPT có nghiệm nhất. * Thí dụ Giải phương trình 2x211x21 4 x 4 (10)

Lời giải Ta có

2

2 11 47

2 11 21

8 2

x  x  x   

  nên 4x  0 hay x 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta

   

3 3

3 4x 2.2 x1   2 x1  x (11)

Từ (10) Và (11) suy 2x211x21 x 3 Hay  

2

2x 12x18 0  x  0 x3. Thử lại ta x 3là nghiệm PT (10).

Dạng Sử dụng điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm để giải phương trình. a, Đối với hệ phương trình hai ẩn.

* Thí dụ Giải hệ phương trình

2

2

2 (12)

2 (13)

x x y

x y x y

    

 

  

 

Lời giải Nếu y 0 từ PT (13) ta có x 0 Thay vào PT (12) ta 2 0 vơ lí Vậy

0

y  , coi PT (12) PT bậc hai ẩn x, PT có nghiệm

' 1 y3 0 y 1

      (14)

Tương tự coi PT (13) PT bậc hai ẩn x, PT có nghiệm

' 1 y4 0 1 y 1

        Kết hợp với (14) suy y 1 Thay vào PT (12) ta x 1. Các giá trị thỏa mãn PT (13) Vậy HPT cho có nghiệm x y  ;  1; 1 b, Đối với hệ phương trình ba ẩn.

* Thí dụ Giải hệ phương trình 2

4 4

x y z

x y xy z

   



   



Lời giải Coi z tham số Viết HPT có dạng sau

2

2 4

x y z

z z xy

   



  

   Khi x y, nghiệm PT bậc hai ẩn X

   

2

2 2 0

2

z

X   z X   

(14)

PT (14) có nghiệm  

 

 

2 2

2 2

2

z

z  z z

          

Với z 2, ta có

0

x y xy

  

  

* Thí dụ Giải hệ phương trình

2

3

4

2

1

1

x x

y y y

z

x

z z z

 

   

  



 

  



Lời giải Vì

2

2

0,

x

x

x    nên xảy hai trường hợp sau:

1, Với y 0, x z 0 Vậy x y z ; ;  0;0;0 nghiệm HPT. 2, Với y 0, suy z 0 x 0 Dễ thấy x2 1 2x

  nên

2

2

x x

x   hay y x . Theo BĐT Cauchy ta có y4 y2 1 33 y y4 .1 32  y2 Suy

3

3

y

y

y y   hay zy.

Từ PT thứ ba hệ suy x z Vậy x y z x   , điều xảy x y z. Thay vào PT đầu ta x  y z 1 Dễ thử x y z ; ;  1;1;1 thỏa mãn HPT cho. Vậy hệ có hai nghiệm x y z; ;  1;1;1 ; 0;0;0  

Dạng Sử dụng BĐT Bunyacovsky. * Thí dụ Giải hệ phương trình

1 1

9

x y z

x y z

      

 

   



Lời giải ĐK x y z , , Áp dụng BĐT Bunyacovsky ta có

1 x 1 y 1 z12  1 1 x    1 y z 136

Suy x 1 y 1 z 1 6 Dấu xảy x  y z 3, thỏa mãn PT thứ hai HPT Vậy HPT có nghiệm x y z ; ;  3;3;3 

Dạng Dự đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất. * Thí dụ Giải phương trình

6 10

4 2 x  3 x 

Lời giải ĐK x 2 Nhận thấy

1

x 

nghiệm PT Ta chứng minh nghiệm

+ Nếu

2 2x

6 10

2;

2 x  3 x  .

Suy VT 4. + Nếu

1

x 

6 10

2;

2 x  3 x 

Vậy PT có nghiệm

x 

Bài tập áp dụng

Giải PT HPT sau:

1 x 2 10 xx212x40 (ĐS x 6). x22x 4 x34x (ĐS x 2). 4x1 8x31 1 (ĐS x 0,5).

 1  1

1

x y y x xy

x y y x xy

    

 

   



 (ĐS x y ;  2; 2).

2 2

2

2

2

x y x y

x x y

   

 

   



 (ĐS x y  ;  1; 1).

6

2

2

2

2

1

1

x y x

y z y

z x z



 

  

 

  

 



 (ĐS x y z ; ;  1;1;1 ; 0;0;0   )

4 4

6

x y z

x y z

      

 

   

 (ĐS x y z ; ;  2; 2; 2).