SKKN su dung hang dang thuc de giai phuong trinh

Trong đề tài này có một số dạng toán mà trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi chưa thể nêu ra được cách giải tổng quát mà chỉ thông qua các ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách[r]

Phòng giáo dục nam đàn =====***===== S¸ng GI¸o viªn: d¬ng ngäc hµ ĐT: 0984.919.981 & 0386.584.676 kiÕn kinh nghiÖm Trêng THCS H¦NG TH¸I NGHÜA Sử dụng số đẳng thức QUEN THUộC để giảI phơng trình Năm học: 2012-2013 Phòng giáo dục nam đàn =====***===== đề tài: Sử dụng số đẳng thức QUEN THUộC để giảI phơng trình Năm học: 2012-2013 MỤC LỤC Nội dung Trang Lời nói đầu Lí chọn đề tài ……………………………………………… Nội dung đề tài Kết luận 17 Tài liệu tam khảo 19 PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong phong trào thi đua phát huy lao động và sáng tạo, hẳn biết có nhiều cán bộ, công nhân, nhân dân lao động tuổi nghề còn trẻ, tuổi đời còn ít suy nghĩ, tìm tòi đã có sáng kiến tiết kiệm cho nhà Nước hàng chục tỉ đồng Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo Trong dạy học toán vậy, chúng ta không dạy cho học sinh y sách, cho học sinh làm số bài tập lấy từ sách nào đó Như chưa đủ, dạy học đến phần nào đó ta phải suy nghĩ tìm tòi, suy rộng vấn đề này có liên quan gì đến vấn đề khác và trên sở liên quan đó có thể rút điều bổ ích Trong dạy và học toán nó giống đời sống nói chung, có vấn đề tưởng chừng đã quá quen thuộc, ta tưởng chúng đã quá rõ ràng không có gì đáng suy nghĩ thêm nữa, mà thực đó chứa đựng vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ còn nhiều điều đáng chú ý, đáng nghiên cứu Thí dụ chương trình đại số cấp THCS có gì quen thuộc " Bảy đẳng thức", ứng dụng nó là không nhỏ Tuy nhiên có ứng dụng hay nó mà ta chưa mảy may nghĩ tới, có thể đã nghĩ tới, đã sử dụng chưa phát huy hết tác dụng nó Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi xin giới thiệu ứng dụng số đẳng thức quen thuộc để giải phương trình Mặc dầu quá trình tìm tòi tôi đã cố gắng chọn lọc số ví dụ và cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu không tránh khỏi sai sót, mong các đồng chỉ, đồng nghiệp góp ý, bảo Trong chương trình toán THCS, bảy đẳng thức có tầm quan trọng đặc biệt, đặc biệt là hai đẳng thức: (A B)2=A2 2AB+B2 Nó không giúp cho chúng chúng ta phương pháp tính nhanh, phép biến đổi để rút gọn biểu thức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… mà nó còn cho ta ứng dụng độc đáo đó là giải phương trình là phương trình mà tưởng chừng học sinh THCS không thể giải mà biết vận dụng đẳng thức này thì việc giải phương trình đó lại không khó khăn Tuy nhiên ứng dụng các đẳng thức này vào giải phương trình chưa đưa vào bài dạy cụ thể chương trình chính khoá, song không ít bài tập SGK (Sách giáo khoa) đã buộc học sinh phải sử dụng chúng thì giải Tuy ứng dụng các đẳng thức trên các bài tập SGK dừng lại mức độ đơn giản mà HS mức trung bình khá mà chú ý đã phát Hơn chưa có tài liệu nào giới thiệu cho giáo viên và học sinh các phương pháp biến đổi để ứng dụng các đẳng thức này vào giải phương trình, lúc đó chương trình toán THCS, giải phương trình lại là dạng toán và khó, thường gặp các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 Mặc dầu đã có nhiều phương pháp giải phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa phương trình tích, dùng bất đẳng thức, quy phương trình bậc hai…Trong đó khá nhiều phương trình biết sử dụng đẳng thức thì việc giải phương trình trở nên ngắn gọn và hiệu Chính vì lẽ đó tôi đã rút số dạng biến đổi mà là sử dụng các đẳng thức này vào giải số phương trính khó thường gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy mình Sau nhiều năm đưa ứng dụng này vào giải phựơng trình tôi thấy việc sử dụng các đẳng thức nói chung, đặc biệt là hai đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 vào giải phương trình có nhiều ưu việt đó là: Biến đổi ngắn gọn, học sinh dễ tiếp thu và vận dụng là số học sinh giải nhiều phưong trình khó các kỳ thi ngày càng tăng, đó tôi xin phép giới thiệu số dạng phương trình thuộc loại này hy vọng giúp ích cho quý đồng nghiệp quá trình dạy học PHẦN HAI: NỘI DUNG ĐỀ TÀI I/ Mục đích nghiên cứu: Tác giả muốn đưa sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và đồng nghiệp có số cách vận dụng các đẳng thức và chủ yếu là hai đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phương trình Thông qua các ví dụ cụ thể bạn đọc có thể vận dụng phương pháp nêu trên vào bài toán cụ thể II/ Cơ sở và phương pháp nghiên cứu: Trên sở phương pháp và dạng toán thường gặp chương trình toán THCS sáng kiến này có nhiệm vụ tổng hợp các phương pháp có cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm phương pháp mẻ mà phương pháp cũ không thể giải sử dụng các phương pháp sẵn có làm cho bài toán trở nên phức tạp Đồng thời tác giả đưa vài phương pháp lạ, có khó học sinh THCS với mục đích để bạn đọc so sánh và tham khảo III/ Thực trạng: Trong chương trình toán THCS, các bài toán giải phương trình (hoặc bài toán tìm x, y, a, b,…) lại là dạng toán thường đã có thuật toán giải, có bài toán giải phương trình không trang bị số phương pháp giải thì học sinh gặp khó khăn việc tìm lời giải, đặc biệt các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 Mặc dầu đã có nhiều phương pháp giải phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa phương trình tích, dùng bất đẳng thức, quy phương trình bậc hai…Trong đó khá nhiều phương trình biết sử dụng đẳng thức thì việc giải phương trình trở nên ngắn gọn và hiệu Chính vì lẽ đó tôi đã rút số dạng biến đổi mà là sử dụng các đẳng thức này vào giải số phương trính khó thường gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy mình Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng số đẳng thức quen thuộc để giải phương trình " chủ yếu khai thác, nghiên cứu dạng toán và phương pháp giải dành cho đối tuợng là học sinh THCS, nhiên phương pháp này có thể áp dụng cho đối tượng là học sinh THPT Đồng thời tác giả mạnh dạn nêu vài phương pháp tương đối khó áp dụng cho học sinh phổ thông biết cách vận dụng phù hợp chắn giúp chúng ta giải số bài toán gải phương trình mà sử dụng phương pháp khác chưa hẳn đã giải Trong khuôn khổ đề tài tác giả chủ yếu nghiên cứu các dạng biến đổi phương trình để vận dụng các đẳng thức trên phục vụ cho giải phương trình trên phương trình cụ thể từ đó rút dạng biến đổi Do việc biến đổi phương trình khác là khác nên thân không thể rút công thức, hay phương pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất các phương trình dạng này mà thông qua các phương trình cụ thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp giải các tương tự Tuy nói việc vận dụng các đẳng thức nói chung và đặc biệt hai đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 vào giải phương trình làm cho cách giải dễ dàng và đơn giản hơn, để có cách cách biến đổi phù hợp đòi hỏi HS phải có khả tư duy, phân tích tổng hợp tốt, óc sáng tạo cao đó các dạng toán này nên áp dụng cho đối tượng HS giỏi cuối cấp THCS và ôn tập cho HS đã có các kỹ giải các phương trình đơn giản IV/ Các biện pháp đã tiến hành: Đề tài "Sử dụng số đẳng thức quen thuộc để giải phương trình" nghiên cứu dựa trên dạng bài tập thường gặp, thông qua tìm tòi sáng tạo thân tôi đã vận dụng và hướng dẫn học sinh khối 8; vận dụng vào các bài toán tuơng tự từ đó rút dạng toàn sau: Dạng 1: Phương trình quy dạng : A2 2AB + B2 = ⇔ (A B)2 = ⇔ (A B) = Dạng 2: Phương trình quy dạng : (A B)2 = (C D)2 ⇔ A ± B=C ± D ¿ A ± B=−(C ± D) ¿ ¿ ¿ ¿ Dạng 3: Phương trình quy dạng : ⇔ A= ∓ B  A B 0  C D 0  E F 0 (A B )2 + (C D )2 + (E F)2 =   Dạng 4: Nghiệm nguyên quy dạng (A B)2  p với A, B là các số nguyên và p nguyên dương DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ DẠNG (A B)2 =  (A B) = Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2( x4 - )( x2 + ) + = (1) Lời giải: Phương trình (1)  x2( x2 +1) ( x2 - 1) ( x2 + 2) + =  ( x4 + x2 )( x4 + x2 - 2) + =  ( x4 + x2 )2 - 2(x4 + x2 ) + =  ( x4 + x2 - 1)2 =  x4 + x2 - = Đây là phương trình trùng phương quen thuộc mà ta đã có phương pháp giải Đặt x2 = t điều kiện t  Lúc này ta có phương trình bậc hai ẩn t sau: t2 + t - =  t = 12 - 4.1.(-1) =  1 t1 = > (Thoả mãn điều kiện);  1 t2 = < ( loại vì không thoả mãn điều kiện t > )  1 Lúc này đặt x = t nên ta có x = 2  x=  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  1  1 x1= ;  1 x2 = - Ví dụ Giải phương trình:  x2   x  2  x 2      2 x  x      20 +5 - 20  x  4   =0 (2) Lời giải: Điều kiện x 1  x 2  x  2     Đặt  x   =y ;  x   = z lúc đó phương trình (2) có dạng 20y2 + 5z2 - 20yz =  x  2 x2   x   = x  5(2y - z) =  2y = z dẫn đến   2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )  2x2 - 6x + = x2 + 3x +  x2 - 9x + =  73 Ta dễ dàng tìm x1 = ; 9 x2 = Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là  73  73  73 2 ;  Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 + = x  (3) Lời giải: Điều kiện: x  Thêm và bớt x vế trái (3) để xuất đẳng thức, lúc đó (3)  x+1 + x2 - x + - ( x  1)( x  x  1) = 2  ( x  )2 - ( x  1)( x  x  1) + ( x  x  )2 =  ( x 1  x  x  )2 = x 1 = x  x 1  x + = x2 - x +  x2 - 2x =  x1 = và x2 = ( thoả mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm (3) là:  0;2 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ DẠNG (A B)2 = (C D)2 ⇔ A ± B=C ± D ¿ A ± B=−(C ± D) ¿ ¿ ¿ ¿ Ví dụ : Giải phương trình: x4 = 24x + 32 (4) Lời giải: Thêm 4x2 + vào hai vế phương trình (4) ta được: x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36  ( x2 + 2)2 = ( 2x + )2   x  2 x    x   (2 x  6)   x  x  0(i)   x  x 8 0(ii) Phương trình (i) có hai nghiệm phân biệt x =  Phương trình (ii) vô nghiệm Vậy tập nghiệm (4) là: 1  ; 1+  DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ DẠNG  A B 0  C D 0  E F 0 (A B )2 + (C D )2 + (E F)2 =   Ví dụ 5: Giải phương trình: x + y + z + = x  + y  + z  (5) Lời giải: Điều kiện x 2 ; y 3 ; z 5 (5)  x-2-2 x  +1 +y - - y  + + z - - z  + =  ( x  - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z  - )2 = Vế trái phựơng trình là tổng ba biểu thức không âm nên và khi:  x   0   y   0    z   0  x  1   y  2    z  3   x  1   y  4  z  9    x 3   y 7  z 14  (Thoả mãn điều kiện), nghiệm phương trình là: (x, y, z)=(3; ; 14) DẠNG : NGHIỆM NGUYÊN QUY VỀ DẠNG (A B)2  P VỚI A, B LÀ CÁC SỐ NGUYÊN VÀ P NGUYÊN DƯƠNG Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2+2y2-2xy+x+y -10 = (6) Lời giải: (6)  2( x2 + y2 ) -2xy + x + y - 10 =  2( x + y )2 - 4xy - 2xy + x + y - 10 =  2( x + y )2 - 6xy + x + y - 10 = Đặt S1 = x + y; S2 = xy thì ta có phương trình: 2S12 - 6S2 + S1 - 10 =  S2 = ( 2S12 + S1 - 10) Do S2  Z nên S1  ( S1 là số nguyên chẵn ) S12 Mặt khác ( x - y)2  nên ( x + y )2 - 4xy   S2  S12 Do đó ( 2S12 + S1 - 10)  S12 + 2S1 - 20   ( S1 +1 )2  21 Vì S1 là số nguyên chẵn nên ( S1 +1 )2   1;9 Do đó S1 =   4; 2;0;2 S2 = ( 2S12 + S1 - 10) là số nguyên thì ta chọn được:  S1    S 3  S1   S 0  x  y   x  y 2   Do đó  xy 3  xy 0 Giải hai hệ phương trình này ta tìm đụơc các nghiệm nguyên (x; y) (6) là (-1; -3); (-3; -1); (0; 2); (2; 0) V/ Hiệu việc sử dụng đề tài: Trường THCS Hưng Thái Nghĩa là trường huyện Nam Đàn có học sinh thuộc địa bàn miền núi có hoàn cảnh đặc biệt khó khăn Do đó khó khăn cho việc lựa chọn đối tượng để thực đề tài này Tuy khối có lớp thân phân công giảng dạy lớp, chính vì điều kiện bắt buộc tôi phái sử dụng cùng là đối tượng học sinh lớp 9C, thời gian để so sánh kết đạt đượởctong phạm vi học kỳ sau sử dụng đề tài Nội dung đề tài đề cập đến phạm vi hẹp chương trỡnh toán THCS Vỡ đó gây nhiều khó khăn cho việc đánh giá hiệu đề tài Tôi đó nghĩ cách đề bài kiểm tra( không đưa vào để đánh giá học tập học sinh, mà dùng để đánh giá hiệu đề tài) đó lồng ghép các bài tập là các dạng toán giải phương trỡnh đó nêu đề tài Bảng thống kê điểm kiểm tra chưa sử dụng đề tài lớp năm học 2008-2009 Bảng Điể 10 m Số 3 10 1 2.8 8.4 8.4 21.6 28 2.8 2.8 học sinh đạt đượ c Tỉ lệ (%) 16.8 8.4 Điể _ x m 1.1  2.3  3.3  4.7  5.10  6.6  7.3  8.1  9.1 35 = = 4,8 trun g bỡn h lớp ( sĩ số: 35) Từ bảng cho thấy điểm trung bỡnh chung lớp đạt 4,8 điểm Số học sinh đạt điểm thấp cũn nhiều, 14 em ( 41,2%) cú điểm trung bỡnh Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau thực đề tài lớp năm học 2009-2010: Bảng Điểm Số học sinh đạt 0 Tỉ lệ (%) 0 Điểm trung bỡnh _ lớp ( sĩ số: 32) x 0 15 3.1 12.4 46.9 7 22.1 9 1 3.1 3 10 0 3.1  4.5  5.15  6.7  7.2  8.1  9.1 32 = = 5,4 + Từ bảng cho thấy điểm trung bỡnh chung lớp đó đạt 5,4 điểm Số học sinh đạt điểm thấp cũn ớt, em ( 18,6%) cú điểm trung bỡnh - Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kỡ I năm học: 2008-2009 và học kỡ I năm học: 2009-2010 lớp trường PTCS Nam Thượng Bảng Loại Giỏi Khá TB Yếu Kém Trên TB ĐiểmTB Cách dạy Cũ Mới ( %) 2.8 3.1 (%) 11.2 12.4 (%) 44.8 69 (%) 30 15.5 (%) 11.2 3.1 (%) 58.8 81.4 (đ) 4,8 5,4 - Dựa vào bảng ta cú thể thấy rừ hiệu việc sử dụng đề tài: - Loại giỏi tăng: 0.3% - Loại khá tăng: 1.2% - Loại trung bỡnh tăng: 24.2% - Loại yếu giảm: 14.5% - Loại kém giảm: 8.1% - Đặc biệt điểm trung bỡnh chung lớp đó tăng 1.6 điểm PHẦN BA: KẾT LUẬN Trong phạm vi sáng kiến này thân tôi đã cố gắng trình bày dạng bài giả phương trình cách sử dụng HĐT (A B)2=A2 2AB+B2 Mỗi dạng toán có ít là hai ví dụ minh hoạ Có ví dụ tôi đã đưa vài cách giải khác để bạn đọc tiện so sánh và tìm hướng thích hợp quá trình giải các bài tuơng tự Để triển khai sáng kiến này cách có hiệu trước hết chúng ta cần cung cấp cho học sinh cách tuờng minh các khái niêm mẻ mà chương trình SGK chưa đề cập tới Đồng thời dạng toán cần chọn bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen các dạng toán cách tự nhiên và hiệu Bên cạnh đó cần phải thống kê bài tập vận dụng để học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp Trong đề tài này có số dạng toán mà quá trình nghiên cứu thân tôi chưa thể nêu cách giải tổng quát mà thông qua các ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách tư sáng tạo, nhiên đã quen thuộc các dạng toán ta có thể tìm phương pháp cụ thể cho dạng toán để phát triển và nhân rộng Sau nhiều năm ứng dụng hai HĐT này vào chương trình dạy học tôi thấy việc giải các bài tập phương trình học sinh giải linh hoạt và có bài giải ngắn gọn và rết dễ hiểu, học sinh dễ tiếp thu và vận dụng là số học sinh giải nhiều giải phương trình tương đối khó là các kỳ thi Do đó thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng nó giúp cho quý vị đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn yêu toán điều thú vị và bổ ích Mặc dầu quá trình tìm tòi tôi đã cố gắng chọn lọc số ví dụ và cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu không tránh khỏi sai sót, mong các đồng chí, đồng nghiệp góp ý, bảo Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ SGK và SGV lớp hành 2/ Sách "" Toán bồi dưỡng nâng cao cho học sinh lớp " nhà xuất GD các tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân và Đỗ Quang thiều biên soạn 3/ SGK và GGV lớp hành 4/ Tạp chí " Tuyển tập 30 năm toán học và tuổi trẻ " hội toán học Việt Nam biên soạn 5/ Sách " Toán nâng cao THCS " tác giả Phan Văn Đức NXB Đại học quốc gia TPHCM xuất