SKKN Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập trong chương trình toán THCS

Học về hằng đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu được “Bảy hằng đẳngthức đáng nhớ” , đồng thời phải biết sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một số... Để giúp học sinh có phương

Trong chương trình môn toán THCS, môn Đại số có rất nhiều ứng dụng Các bàitoán đại số giúp các em giải được nhiều bài toán một cách thuận lợi hơn và đặc biệt làrất nhiều bài toán liên hệ với thực tiễn cuộc sống Đầu học kỳ một của lớp 8, học sinh

đã được học “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” Các hằng đẳng thức này rất quan trọngđối với nội dung kiến thức môn toán không chỉ ở lớp 8 mà còn cả ở các lớp sau này Học về hằng đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu được “Bảy hằng đẳngthức đáng nhớ” , đồng thời phải biết sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một số

Tuy nhiên, để nhìn nhận ra các hằng đẳng thức trong một số trường hợp học sinhcòn lúng túng Để giúp học sinh có phương pháp biến đổi thành thạo các biểu thức cóliên quan đến hằng đẳng thức là một việc rất cần thiết, đó là các thao tác cơ bản giúpcác em không chỉ về mặt kiến thức mà còn rèn luyện các tư duy toán học rất tốt.

Trong khuôn khổ chuyên đề này, tôi đa ra một số ví dụ minh hoạ với các tìnhhuống từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ năng khi biến đổi biểu thức cóvận dụng đến hằng đẳng thức

II.Phạm vi :

- Môn Đại số lớp 8

- Chương I : Phép nhân và phép chia đa thức

- Các bài toán : Rút gọn, tính toán, chứng minh…

- Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo

III.Đối t ượng :

Học sinh lớp 8

IV.Mục đích :

- Nâng cao chất lượng dạy và học

- Học sinh hiểu và vận dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập

PHẦN II : NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI



A.NỘI DUNG :

I Cơ sở lý luận,khoa học của đề tài:

Để góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của con người lao động mới môn toán học một vai trò rất quan trọng Học sinh học toán được hình thành và rèn luyện các kỹ năng tính toán, biến đổi, đo đạc, vẽ hình Các em rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp lô gic, khả năng quan sát dự đoán; bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo Bước đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác

Do vậy việc dạy và học toán cần đạt các yêu cầu sau:

8 (a1+ a2+… + an) = a12 + a22 +…+an2 + 2a1a2 +….+2a1an +….+2an-1an

9 an – bn = (a - b)(an-1+ an-2b +an-3b2 + … + abn-2 + bn ) (với mọi n nguyên dương)

10 an + bn = (a + b)(an-1- an-2b +an-3b2 - … – abn-2 + bn ) (với mọi n lẻ)

11 (a + b)n = an +c1 an-1b +c2 an-2b2 + … +cn-1 abn-1 + bn

Khi khai triển (a + b)n ta được một đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu

là an, hạng tử cuối là bn , các hạng tử khác đều chứa a và b; bậc của mỗihạng tử đối với tập hợp biến a, b là n

Các hệ số c1 , c2 , … cn-1 được xác định bởi bảng tam giác Pa – xcan như sau:

- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

- Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên tráicủa số liền trên

II.Đối tượng :

Môn Đại số 8

III.Nội dung, phư ơng pháp nghiên cứu :

 Xuất phát từ các bài tập trong sách giáo khoa và những kiến thức đã học đểhọc sinh làm được các dạng bài tập : Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểuthức, chứng minh đẳng thức

 Để hình thành kỹ năng này cho học sinh khi giảng dạy giáo viên phải tạo racác tình huống có vấn đề Học sinh phải được thực hành nhiều trên cơ sởvận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập

 Về nguyên tắc phải đi từ cái đã biết đến cái chưa biết,từ đơn giản đến phứctạp , từ trực quan sinh động đến t duy trừu tượng

 Phương pháp nghiên cứu chính là:

- Tiến hành giảng dạy theo phương pháp đổi mới

- Tổng kết rút bài học kinh nghiệm

- Bước đầu áp dụng thử nghiệm

3.1 Các ví dụ minh hoạ:

Bài toán 1 : Rút gọn biểu thức

I Cách làm :

- Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng các hằng đẳng thức cơ bản đã học đểrút gọn

- Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau Chẳng hạn : (A- B)2= A2- 2AB + B2 hoặc ngược lại A2- 2AB + B2 = (A- B)2

II Bài tập :

b, B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2).

= [(x+y)( (x2-xy + y2)].[(x- y)(x2 + xy+y2)]

= 4(a2 +b2+c2) +2(ab –ac + bc)

Bài toán 2 : Tính giá trị của biểu thức

I Cách làm : Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm theo hai cách :

+ Thay trực tiếp giá trị của biến vào để tính

+ Rút gọn biểu thức rồi sau đó thay giá trị của biến vào để tính.

47 63

xy  (2)

Từ (1) và (2) ta có :

2

3 ) 2

3

b a y

x      

Bài toán 3 : Chứng minh các hằng đẳng thức

I Cách làm : Để chứng minh hằng đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi: + Biến đổi VT về VP hoặc ngược lại

+ Biến đổi VT và VP cùng bằng một biểu thức

b Nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2

0 ) 1 (

2 2

y x

y x

Bài toán 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

I Các bước giải một bài toán cực trị :

1 Để tìm GTNN của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau :

+ Chứng minh A(x) ≥ m với m là hằng số

+ Chỉ ra A(x0) = m (x0 D)

+ Kết luận GTNN của A là m  x = x0

2 Để tìm GTLN của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau :

+ Chứng minh A(x) ≤ m với m là hằng số

a A = x2 + 2x + 3

= (x+1)2 + 2

Vì (x+1)2 ≥ 0 với mọi x nên A≥ 2 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= -1

Vì (x- 1)2 ≥ 0 với mọi x nên A≥ 8 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1

2 Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vì (x- 3)2 ≥ 0 với mọi x nên A ≤ 4 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=3

b B = - 3x2 +2x +4

= -3(x2 – 2.31 x + 91 ) + 4 + 31

= 133 - 3(x - 31)2

Vì (x- 31)2 ≥ 0 với mọi x nên A ≤ 133 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 31

0 1

y y x

y x

Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng 1 là số chính phương.

2 Bài 2 : Chứng minh rằng số sau là số chính phương

Bài 7 : Cho các số tự nhiên a và b Chứng minh rằng :

a Nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3

b Nếu a2 + b2 chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7



B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:

Qua quá trình giảng dạy cho cho học sinh tôi nhận thấy các em rất ham học Các

em đã tìm tòi, suy nghĩ, chủ động tiếp thu kiến thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên.Các em đã được rèn luyện khả năng tư duy toán học và kỹ năng tính toán tương đốithành thạo

Từ việc nắm chắc, ghi nhớ các “Hằng đẳng thức” giúp các em đã biết vận dụng lýthuyết vào giải bài tập và đặc biệt là biết vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập

có ứng dụng thực tế một cách thành thạo Học sinh đã biết vận dụng hằng đẳng thức

để có lời giải ngắn gọn, khoa học hơn Cũng từ việc nắm chắc các hằng đẳng thứcgiúp các em tiếp cận với các dạng toán một cách tự tin hơn

PHẦN III : KẾT LUẬN



Thông qua việc thực hiện chuyên đề đã giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thứchơn, phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập cho học sinh Giáo viên đã chuẩn bị hệ thống bài tập có chất lượng để tạo cho học sinh sự hứng thú học tập, tự tìm tòi, khám phá để khắc sâu kiến thức , nâng cao chất lượng bộ môn.

Các bài tập trong chuyên đề này phần các học sinh đã thực hiện tương đối thành thạo và trình bày lời giải rất tốt

Với cách khai thác từ các bài tập trong sách giáo khoa nên áp dụng được với tất cả các đối tượng học sinh Có một số bài tập nâng cao dành cho học sinh khá và giỏi cũng được các em vận dụng làm tốt Tuy nhiên khi áp dụng không thể tránh khỏi những khiếm khuyết Tôi rất mong sự đóng góp bổ sung của các đồng chí để đề tài được hoàn thiện hơn



TÀI LIỆU THAM KHẢO

- SGK toán 8 tập 1 - NXBGD

- Ôn tập Đại số 8- Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ Dương Thuỵ

- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8- Vũ Dương Thuỵ

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán8- Bùi Văn Tuyên