skkn áp DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC vào GIẢI bài tập TOÁN 8

Trong đó kiến thức về hằng đẳng thức thuộc chương trình Toán lớp 8, phần lớn các em chỉ nắm được một số dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa mà chưa tự mở rộng được vấn đề.. Vì thế tôi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ

Mã số: ………



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP

TOÁN 8”

Người thực hiện: Lê Thị Hồng

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

- Lĩnh vực khác: ………… 

Có đính kèm

 Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác

Năm học: 2015 - 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

1 Họ và tên: Lê Thị Hồng

2 Ngày tháng năm sinh: 01/02/1987

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: ấp 5, Nam Cát Tiên, Tân Phú, Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0938435453

6 Fax: ………… E-mail: ……

7 Chức vụ: Giáo viên

8 Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn toán 8, chủ đề tự chọn toán 8, nghề tin 8B,

chủ nhiệm lớp 8B

9 Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên huyện Tân Phú – Định Quán

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân đại học sư phạm

- Năm nhận bằng: 2014

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS

- Số năm có kinh nghiệm: 7 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

+ Các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

+ Vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hình học

ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 8

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Môn toán là một môn khoa học về các quan hệ định lượng và các hình thể không gian của thế giới hiện thực, là môn khoa học chi phối các môn khoa học khác

Ở trường phổ thông môn toán học chiếm vị trí quan trọng cơ bản đối với các em học sinh, kiến thức toán các em cần nắm phải là một chuỗi có hệ thống logic Trong đó số học là một môn khoa học chiếm khối lượng kiến thức khá lớn trong bộ môn toán Nó là một môn khoa học mà khả năng tư duy, kĩ năng suy luận của học sinh được thể hiện rõ nét nhất, song song đó tính chặt chẽ và logic cũng được thể hiện

Về phương pháp giáo dục phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiêm cứu cho học sinh

Tuy nhiên trên thực tế thì ý thức học tập của các em học sinh ở bậc trung học cơ sở còn chưa cao, các em chưa tự đi sâu, đi sát vấn đề khi chưa có sự hướng dẫn của giáo viên Trong đó kiến thức về hằng đẳng thức thuộc chương trình Toán lớp

8, phần lớn các em chỉ nắm được một số dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa mà

chưa tự mở rộng được vấn đề Vì thế tôi đã mạnh dạn chọn chuyên đề “Áp dụng hằng đẳng thức vào giải bài tập toán 8” với mục đích khắc sâu các dạng toán trong

sách giáo khoa đồng thời giới thiệu cho các em một số dạng toán mà trong sách giáo khoa không đề cập đến

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Theo từ điển giáo dục (NXB Từ điển bách khoa, 2001): Kỹ năng, khả năng thực hiện đúng hành động, hoạt động phù hợp với những mục tiêu và điều kiện cụ thể tiến hành hành động ấy, cho dù đó là hành động cụ thể hay là hành động trí tuệ …những thao tác cụ thể ấy phải được luyện tập nhiều lần mới quen và ghi nhớ được, để đến khi cần thì biết cách thao tác chúng đây mới là kĩ năng bậc nhất, nghĩa là đạt được nhu cầu biết làm

Một trong những trọng tâm của đổi mới giáo dục phổ thông hiện nay là đổi mới phương pháp dạy học, thực hiện dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh, với sự tổ chức và hướng dẫn đúng mực của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng

thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui học tập, dần dần tạo cho các em học sinh có được những kĩ năng học tập tốt hơn

Môn Toán là một môn học khó và trừu tượng, chính vì vậy đa số học sinh trung bình, yếu và kém rất nản lòng khi học môn toán Do đó trong dạy học người giáo viên phải khéo léo đặt vấn đề, tạo tình huống có vấn đề để giúp các em có hướng giải quyết được vấn đề đặt ra, đưa ra các phương pháp giải và hướng dẫn học sinh loại trừ các phương pháp không giải được Làm được điều đó thì chắc chắn các em sẽ vui vẻ, tự tin, có hứng thú hơn trong khi học toán Từ đó không chỉ giúp các em xóa đi sự xa lánh với môn học mà các em gần gũi, say mê, yêu thích môn học hơn

Nhưng thực tế cho thấy là khi sử dụng hằng đẳng thức vào giải một bài toán cụ thể thì học sinh phải biết phân tích để tìm hằng đẳng thức phù hợp nhưng không phải học sinh nào cũng biết phân tích mà đa số các em chỉ làm máy móc mà không suy nghĩ

Bên cạnh đó một số giáo viên lại có quan niệm giúp học sinh giải được càng nhiều bài toán càng tốt, để từ đó các em bắt chước và học theo chứ không hướng dẫn phương pháp giải một bài toán cụ thể Về phía học sinh thường chỉ học vẹt các qui tắc nhưng lại rất lười giải một bài toán cụ thể dẫn đến các em không nhớ kiến thức để vận

dụng giải toán Đặc biệt, học sinh trường PT.DTNT hầu hết là con em đồng bào dân

tộc thiểu số ở các vùng sâu, vùng xa từ hai huyện Tân Phú và Định Quán Các em ở nội trú tại trường để học tập và sinh hoạt nên thiếu sự quan tâm và động viên cha mẹ mặt khác tư duy các em còn chậm, các em ít nói, thường ỷ lại, nhút nhát, thích hoạt động chân tay do đó việc áp dụng phương pháp dạy học mới gặp rất nhiều khó khăn Đây là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

A GIẢI PHÁP: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 8

1 ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ĐỂ TÍNH

* Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ sau để tính:

1 (A+B) 2 = A 2 + 2AB + B 2

2 (A– B) 2 = A 2 – 2AB + B 2

3 A 2 – B 2 = (A– B) (A+B)

4 (A+B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

5 (A– B) 3 = A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 – B 3

6 A 3 + B 3 = (A+ B) (A 2 – AB + B 2 )

7 A 3 – B 3 = (A– B) (A 2 + AB + B 2 )

a Ví dụ:

Ví dụ 1: Tính (y – 2)3

Giải: (y – 2)3 = y3 – 6y2 + 12y – 8

Ví dụ 2: Tính ( 2x + 3y)2

Giải : ( 2x + 3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

Ví dụ 3 : Tính (a + b + c)2

Giải : (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b).c + c2

= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

b Bài tập

Bài 1 : Tính

a/ (2 + xy)2 b/ (5 – 3x)2

Bài 2 : Tính

a/ ( a + b – c)2 b/ ( a – b – c)2

* Nhận xét: Đối với dạng toán này học sinh chỉ cần vận dụng linh hoạt một trong bảy

hằng đẳng thức để giải

* Lưu ý: với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một biểu thức gồm cả số và

biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó

2 ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đồi

vế trái bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái hoặc biến đổi hai vế

bằng nhau.

a Ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức (x + y)2 – y2 = x(x + 2y)

Giải: VT = (x + y)2 – y2 = (x + y – y)(x + y + y) = x ( x + 2y) = VP (Đpcm)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a + b)2 = (a – b )2 + 4ab

Giải: VT = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

VP = (a – b )2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2

Vậy VT = VP nên (a + b)2 = (a – b )2 + 4ab (Đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)

Cho học sinh giải tương tự:

VP = (a + b)3 – 3ab (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

= a3 + b3 = VT (Đpcm)

Ví dụ 4: Chứng minh (a – b)3 = – (b – a )3

Cho học sinh giải tương tự

VT = (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

VP = – (b – a )3 = – (b3 – 3b2a + 3ba2 – a3)

= – b3 + 3b2a – 3ba2 + a3

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = VT (Đpcm)

b Bài tập

Bài 1: Nhận xét sự đúng sai của kết quả sau: x2 + 2xy + y2 = ( x + 2y)2

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức:

a/ (x + y)3 = x(x – 3y)2 + y(y – 3x)2

b/ (x2 + y2)2 – (2xy)2 = (x + y)2(x – y)2

Hướng dẫn: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

A 2 – B 2 =(A - B)(A+B)

* Nhận xét: Đây là dạng toán không khó nhưng học sinh thường ngại làm khi nghe

đến chứng minh vì vậy để giải được dạng toán này hướng dẫn học sinh cần nhận dạng được hằng đẳng thức sau đó biến đổi để vế trái bằng vế phải

3 ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ TÍNH NHANH

Phương pháp giải : Tách các số trong phép tính sao cho có thể áp dụng các hằng

đẳng thức đã học.

a Ví dụ

Ví dụ 1: Tính nhanh 1012

Giải: 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 200 + 1 = 10201

Ví dụ 2: Tính nhanh 1992

Giải: 1992 = (200 – 1 )2 = 2002 – 400 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601

Ví dụ 3: Tính nhanh 47 53

Giải: 47 53 = ( 50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491

Ví dụ 4: Tính nhanh 342 + 662 + 68 66

Giải: 342 + 662 + 68 66 = 342 + 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000

* Nhận xét: Đây là một phương pháp đơn giản nhưng khi giải các em cần lưu ý khi

tách các số trong phép tính

b Bài tập: Tính nhanh

a/ 10012; 29,9.30,1 b/ (31,8)2 – 2.31,8 21,8 + (21,8)2

4 RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Phương pháp giải:

- Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn.

- Thay giá trị của biến x vào biểu thức đã rút gọn

a Ví dụ

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: 49x2 – 70x + 25 với x = 5

Giải: 49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2.7x.5 + 52 = (7x – 5)2

Với x = 5 ta có: (7x – 5)2 = (7 5 – 5)2 = 302 = 900

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức x3 – 6x2 + 12x – 8 với x = 22

Giải: x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3 x2 2 + 3 x 22 – 23 = (x – 2)3

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2

Giải : ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2

= [( x + y + z ) – (x+ y)]2

= (x + y + z – x –y )2 = z2

b Bài tập

Bài 1: Rút gọn biểu thức rồi tính giá trị của biểu thức

a/ 4x2 – 28x + 49 với x = 4 b/ x3 – 9x2 + 27x – 27 với x = 5 Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b/ (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

* Nhận xét : Qua dạng toán này đa số các em bắt tay vào làm tất cả những gì mà các

em có thể làm được mà không quan sát, tư duy để có thể tìm được lời giải nhanh hơn, ngắn gọn hơn, thích hợp hơn

Do đó ngay sau khi giới thiệu đề bài tôi đã đặt câu hỏi: “Các em hãy quan sát kĩ

đề bài và thử phát hiện các biểu thức đã cho có gì đặc biệt ?” để từ đó các em hình thành cho mình được thói quen phải biết quan sát, biết đặt những câu hỏi phân tích, tự trả lời và tìm cho mình được lời giải thích hợp nhất Kết quả là các em đã nhận ra được các hằng đẳng thức trong các biểu thức đó và rất tự tin bắt tay và làm bài

* Lưu ý : “A; B” trong các hằng đẳng thức có thể là một đơn thức nhưng cũng có thể

là một đa thức.

5 ĐIỀN VÀO Ô TRỐNG CÁC HẠNG TỬ THÍCH HỢP

Phương pháp giải:

- Dựa vào một số hạng tử của đẳng thức có ô trống ta nhận dạng một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

- Thay vào ô trống các hạng tử thích hợp

a Ví dụ

Ví dụ 1: Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ: x2 + 6xy + …… = ( …… + 3y)2

Giải: x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2

Ví dụ 2: Điền vào ô trống: (3x + y)(□ – □ + □) = 27x3 + y3

Giải: (3x + y)(9x2 – 3xy + y2) = (3x)3 + y3 = 27x3 + y3

b Bài tập : Điền vào chỗ trống

a/ x2 - ………… + 4y2 = ( …… - ……)2

b/ (5x – □)(□ + 20xy + □) = 125x3 – 64y3

*Nhận xét: Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp là một phương pháp rất đơn giản

học sinh chỉ cần quan sát các hạng tử đã cho ở hai vế là các em có thể điền được các hạng tử thích hợp

6 CHỨNG MINH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN.

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã

cho không còn chứa x.

a Ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y

(x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3

Giải:

(x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3

= (x3 + y3) + (x3 – y3) – 2x3

= 0; x, y

Giá trị của biểu thức bằng 0 với mọi x, y Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào

x, y

Ví dụ 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x

(2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1)

Giải:

(2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1)

= (2x + 3)[(2x)2 – 2x.3 + 32] – 2(4x3 – 1)

= (2x)3 + 33 – 8x3 + 2 = 8x3 + 27 – 8x3 + 2 = 29

Giá trị biểu thức bằng 29 với mọi x Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x

b Bài tập: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a/ (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7

b/ (x2 + 2x + 3)(3x2 – 2x + 1) – 3x2(x2 + 2) – 4x(x2 – 1)

c/ (x + 3)3 – (x + 9)(x2 + 27)

* Nhận xét: Học sinh thường e sợ khi gặp bài toán chứng minh vì vậy hướng dẫn học

sinh rút gọn biểu thức đã cho để biểu thức đã rút gọn không còn chứa x

7 TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái của đẳng

thức và đưa về dạng ax + b hoặc đưa về phương trình tích từ đó tìm x

a Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm x, biết :

a/ (x + 2)2 – 9 = 0 b/ (x + 2)2 – x2 + 4 = 0

Hướng dẫn giải:

a/ (x + 2)2 – 9 = 0

Giải: (x + 2)2 – 9 = (x + 2)2 – 32 = (x + 2 – 3)(x + 2 + 3) = (x – 1)(x + 5)

Vậy (x – 1)(x + 5) = 0 từ đó ta có x = 1 hoặc x = - 5

b/ (x + 2)2 – x2 + 4 = 0

Cách 1: (x + 2)2 – x2 + 4 = x2 + 4x + 4 – x2 + 4 = 4x + 8

Vậy 4x + 8 = 0 suy ra x = 2

4

8





 Cách 2: (x + 2)2 – x2 + 4 = (x + 2)2 + ( 4 – x2) = (x + 2)2 + ( 2 + x)(2 – x)

= (x + 2) (x + 2 + 2 – x) = 4(x + 2) Vậy 4(x + 2) = 0 suy ra x = -2

b Bài tập: Tìm x, biết:

* Nhận xét: Với phương pháp này đòi hỏi cần có sự linh hoạt trong quá trình biến đổi,

vận dụng các hằng đẳng thức phù hợp với từng bài toán.

* Lưu ý: Trong một bài toán có rất nhiều cách giải ta nên chọn cách giải phù hợp, ngắn gọn và dễ hiểu.

8 TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

Phương pháp giải:

Dựa vào hằng đẳng thức: A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2

Hoặc A 2 – 2AB + B 2 = (A – B) 2

Để đưa biểu thức về dạng:

a/ T = a + [f(x)] 2 với a là hằng số, f(x) là biểu thức có chứa biến x, vì [f(x)] 2  0 với mọi x nên T  a Khi đó giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0 ( ta phải tìm x để f(x) = 0).

b/ T = b - [f(x)] 2 với b là hằng số, f(x) là biểu thức có chứa biến x, vì - [f(x)] 2

 0 với mọi x nên T  b Khi đó giá trị lớn nhất của T bằng b khi f(x) = 0.

a Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4x2 + 4x + 11

Giải:

A = 4x2 + 4x + 11 = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x + 1)2 + 10

Vì (2x + 1)2

 0 với mọi x nên A = (2x + 1)2 + 10  10

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi 2x + 1 = 0 hay x =  21

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 4x – x2 + 3

Giải:

B = 4x – x2 + 3 = - (x2 – 4x – 3) = - [(x2 – 4x + 4) – 7]

= - [(x – 2)2 – 7] = 7 – (x – 2)2

Vì – (x – 2)2  0 nên B = 7 – (x – 2)2  7 Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7 khi

x – 2 = 0 hay x = 2

b Bài tập

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a/ C = - 2x2 + 8x – 15

b/ B = x – x2 c/ A = 5 – 8x – x2

* Nhận xét: Đây là dạng toán khó vì vậy để giải được bài toán này cần có sự linh hoạt

trong quá trình biến đổi các em phải biết tách hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức