SKKN sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1,đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòihỏi học sinh phải nắm vững cá

I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý do chọn đề tài

I.1.1 Cơ sở lý luận:

Trên bước đường cải tiến và đổi mới phương pháp dạy học cùng với nhữngnhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước ta đã vạch ra thì trách nhiệm của độingũ giáo viên chúng ta là phải hình thành được ở học sinh những cơ sở, nhân cáchcủa người Việt Nam, có lối sống văn hóa lành mạnh có học vấn cao, có hiểu biết vàchiếm lĩnh được những nội dung của khoa học tự nhiên và xã hội, góp phần cho sựphát triển của đất nước trong tương lai

Toán học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa

mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác Là bộ môn chiếm ưu thế quan trọngtrong giáo dục đặc biệt là dạy học, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao độngnghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và giải cácbài toán cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy toán

Trong hoạt động giáo dục hiện nay đồi hỏi học sinh cần phải tự học; tựnghiên cứu rất cao Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình

tự giáo dục Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo; tư duy khoahọc từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội

I.1.2 Cơ sở thực tiễn.

Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1,đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòihỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụngcác hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để biến đổi vàrút gọn

Việc “sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc

hai” trong chương trình Toán lớp 9 giúp rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải

toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9.

I.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vàoviệc thực hành giải bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Đưa ra để thảo luận, tìm phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượnghọc sinh, giúp học sinh nắm được phương pháp để học tốt dạng toán biến đổi biểuthức chứa căn thức bậc hai

I.3 Thời gian - Địa điểm

I.3.1 Thời gian:

Năm học 2013 - 2014

I.3.2 Địa điểm:

Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên - Quảng Ninh

I.3.3 Phạm vi của đề tài:

I.3.3.1 Giới hạn đối tượng nghiên cứu:

Hướng dẫn sử dụng hằng đẳng thức để giải các bài toán có chứa Căn thứcbậc hai ở lớp 9

I.3.3.2 Giới hạn về địa bàn nghiên cứu:

Huyện Tiên Yên - Tỉnh Quảng Ninh

I.3.3.3 Giới hạn về khách thể khảo sát:

Trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên HS lớp 9 THCS Tiên Lãng baogồm 2 lớp với tổng số 51 học sinh

I.4 Đóng góp mới về mặt thực tiễn:

- Giúp giáo viên thấy được tầm quan trọng của việc phù đạo học sinh yếukém và bồi dưỡng học sinh giỏi, từ đó có ý thức đổi mới phương pháp, hình thức tổchức và nội dung tiết dạy sao cho phù hợp với đối tượng học sinh

- Giúp học sinh nắm vững một số phương pháp rút gọn biểu thức bằng cách

áp dụng hằng đẳng thức

II PHẦN NỘI DUNG II.1 Chương I: TỔNG QUAN

Một số vấn đề lý luận về “sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có

chứa căn thức bậc hai”

II.1.1 Cơ sở lý luận

Toán học là một môn khoa học trừu tượng, đóng vai trò quan trọngtrong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học Khi học toán các em sẽnắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán,phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc sống

Môn toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương

pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩnăng đó là cơ sở để thực hiện các mục tiêu về các phương diện khác Để đạt đượcmục tiêu quan trọng này, môn toán cần trang bị cho học sinh một hệ thống vữngchắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn

Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là sửdụng các hằng đẳng thức đã học nhằm đơn giản biểu thức có chứa các căn thức bậchai

II.1.2 Cơ sở thực tiễn

Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1,đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòihỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụngcác hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để biến đổi vàrút gọn

Việc “sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc

hai” trong chương trình Toán lớp 9 giúp rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải

toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9.

II.2 CHƯƠNG II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

II.2.1 Thực trạng

Qua những năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng các em họcsinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên,trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này Mà ở các kỳ thi đó,nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương cănthức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính căn Phần lớncác em không làm được bài hoặc làm không trọn vẹn bài tập của phần này

Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1,đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòihỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụngcác hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để biến đổi vàrút gọn

Muốn giải được các bài tập đó đòi hỏi học sinh phải có hợp nhiều kĩ năngnhư: sử dụng hằng đẳng thức A2 A; đưa thừa số ra ngoài dấu căn; đưa thừa sốvào trong dấu căn; cộng trừ các biểu thức chứa căn đồng dạng; cộng, trừ, nhân, chiacác phân thức, Qua đó cho ta thấy học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản củacác lớp dưới, đặc biệt là đại số 8

Qua kh o sát đầu năm học cho thấy kiến thức đã học trong chương trình lớpu n m h c cho th y ki n th c ã h c trong chăm học cho thấy kiến thức đã học trong chương trình lớp ọc cho thấy kiến thức đã học trong chương trình lớp ấy kiến thức đã học trong chương trình lớp ến thức đã học trong chương trình lớp ức đã học trong chương trình lớp đ ọc cho thấy kiến thức đã học trong chương trình lớp ương trình lớpng trình l pớp

8 m đ c bi t l ệt là đối với kiến thức về hằng đẳng thức, vận dụng hằng đằng đối với kiến thức về hằng đẳng thức, vận dụng hằng đằng ớpi v i ki n th c v h ng ến thức đã học trong chương trình lớp ức đã học trong chương trình lớp ề hằng đẳng thức, vận dụng hằng đằng ằng đẳng thức, vận dụng hằng đằng đẳng thức, vận dụng hằng đằngng th c, v n d ng h ng ức đã học trong chương trình lớp ận dụng hằng đằng ụng hằng đằng ằng đẳng thức, vận dụng hằng đằng đằng đẳng thức, vận dụng hằng đằngng

th c ức đã học trong chương trình lớp để giải các bài tập còn hạn chế gi i các b i t p còn h n chận dụng hằng đằng ạn chế ến thức đã học trong chương trình lớp

Tổng số học

sinh

Sử dụng HĐT để giải bài tập

Từ những thực trạng nêu trên tôi mạnh dạn đi sâu nghiên cứu để tìm ra mộtgiải pháp sao cho thực sự có hiệu quả để rèn luyện kỹ năng “ sử dụng hằng đẳngthức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai”.

Trong năm học này, tôi đã vận dụng các phương pháp dạy học đã nêu trong

đề tài và bước đầu đã có được những thành công nhất định so với năm học trước,học sinh đã nắm được các phương pháp giải, biết trình bày một bài toán

Trên cơ sở đó tôi phân lớp thành nhiều nhóm gọi là nhóm '' Tương đồng về kiến thức” Rồi tìm hiểu nguyên nhân và lập kế hoạch khắc phục.

II.2.3.2 Tìm hiểu và phân loại các nguyên nhân dẫn đến việc mắc sai lầm khi rút gọn các biểu thức chứa căn.

- Kỹ năng thực hiện các phép tính trên số nguyên, quy đồng mẫu các phân

số còn yếu

- Nội dung bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thứcchứa chữ, không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dướidạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp

8 Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên khônglàm được bài tập rút gọn

- Kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số họcsinh còn yếu

II.2.3.3 Lập kế hoạch thực hiện (Xác định thời gian nội dung chương trình )

- Chia nhỏ các đơn vị kiến thức cần củng cố

- Lập thời gian ôn từng chủ đề

- Có kế hoạch kiểm tra sau mỗi chủ đề

II.2.4 Các giải pháp cụ thể:

Để khắc phục vấn đề đã nêu, tôi đã biên soạn theo các chủ đề kèm theo cáckiến thức cần thiết để hỗ trợ tốt cho tiếp thu và thực hành giải toán sau:

II.2.4 1 Lý thuyết:

Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

1) Bình phương một tổng : ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2) Bình phương một hiệu : ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3) Hiệu hai bình phương : a 2 – b 2 = ( a + b ).( a – b )

4) Lập phương một tổng : ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5) Lập phương một hiệu : ( a - b ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6) Tổng hai lập phương : a 3 + b 3 = ( a + b).( a 2 - ab + b 2 )

7) Hiệu hai lập phương : a 3 - b 3 = ( a - b).( a 2 + ab + b 2 )

Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự )viết dưới dạng có dấu căn :

33

33

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức sau khi rút gọn

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc bào giá trị của biến

Dạng 5: Một số trường hợp đặc biệt

Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểuthức chứa căn thức bậc hai Sau đây là một số bài tập tôi đã lựa chọn giảng dạy chohọc sinh:

Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau :

a)

2

11

a a

22

b) Tìm giá trị của a để Q dương

Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa

b) Khi A có nghĩa Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a

Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :

Biểu thức A không phụ thuộc vào a

Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :

   

2 2

2 2

1

2

2

2

Nhận xét : bài toán cho có hằng đẳng thức :

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa

b) Trong điều kiện đó , hãy rút gọn P

Nhận xét : Bài toán cho có hđt : a a  a( a 1) Áp dụng vào bài toán ta có :

c) Tính giá trị của M khi x = -5

Nhận xét : Bài toán cho có các hđt sau :

b) Tính giá trị của M khi a = 9

Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 1 ; 2 ; 3 lớp 8 Áp dụng hđt , ta có lời giải

Bài 5 :Cho biểu thức

b) Tìm các giá trị của x sao cho P < 1

c) Tính giá trị của P nếu x 2002 2 2001 

Nhận xét : Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ có hđt dạng số 2 lớp 9 :

b) Tính giá trị của A khi a = 1/4

Nhận xét : Sau khi quy đồng ta có hđt sau :

1  a 1  a   1 a Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :

Giải

Ví dụ 1 : Rút gọn : a) 4 2 3  4 2 3

Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức: 4 2 3  dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn Để làm được điều này

ta làm các bước sau :

Bước 1 : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2

Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 -> hai số đó là : 3 và 1

Bước 3 : Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2 , rồi viết chúng dưới dạng

bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn )

+ Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau :

" Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai : X 2 – SX + P = 0 " Điều kiện tồn tại hai số a & b là : S2  4P 0 Có thể cho học sinh giải nhẩm hoặc gặp trường hợp khó thì dùng máy tính casio fx-500 để giải phương trình bậc hai tìm hai số a & b cho nhanh

+ khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương ( số bị trừ lớn hơn số trừ ) để khi khai phương , khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt đối

Áp dụng các bước trên vào ví dụ 1 , ta có lời giải sau :

Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số đều khác

2 ( 4 5 & 8 7 ), vì vậy ta phải biến đổi chúng như sau ( dùng phương pháp đưa thừa số vào trong dấu căn ):

b) Tìm hai số biết tổng bằng 23 , tích bằng 112 - > hai số đó là : 16 và 7

Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình

phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn )

Giải

2 2

Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số là 1( 3

) vì vậy ta phải biến đổichúng như sau : Nhân cả tử và mẫu cho 2

Bước 1 :

Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 , tích bằng 3 -> hai số đó là 3 và 1

Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình

phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn )

Ba ví dụ lấy phía trên là ba trường hợp mà chúng ta thường gặp Tùy theo từng loại bài ,

ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau , nhưng cơ bản là biết vận theo ba bước ở trên

là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạng như vậy Sau đây là một số bài tập trong sách giáo khoa và một số bài trong các kì thi tuyển vào lớp 10 mà tôi chỉ giải dựa vào ba bước đã phân tích ở trên để giải , không phải làm chi tiết theo từng mục như ở trên

Bài 21/6 sbt : Rút gọn biểu thức

Suy ra : S = A + B + C = 1+ 1 + 3 = 5 là số tự nhiên đpcm

DÙNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI RÚT GỌN NÂNG CAO

Bài 101 / 19 sbt : Tìm điều kiện và rút gọn

Sau khi đưa được hệ số của căn nhỏ là 2 , ta còn lại hai thừa số đó là 2 và x  4 Vậy

2 và x  4 là hai số a & b của hđt : ( a + b ) 2 hoặc ( a - b ) 2 Vì số còn lại là x và trong dấu căn nhỏ là x – 4 , nên ta bớt đi 4 để có x – 4 =  x  42 ta được a 2 và thêm vào 4

để có 2 2 ta được b 2 thế là ta có một hđt dạng : ( a + b ) 2 hoặc ( a - b ) 2

II.3.3 Kết quả thực nghiệm

Kết quả áp dụng đề tài này này đã góp phần nâng cao chất lượng học tậpcủa bộ môn đối với học sinh, cụ thể:

II.3.3.1 Chưa áp dụng giải pháp

Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học 2013- 2014

( Ki m tra 45')ể giải các bài tập còn hạn chế

sinh Giỏi Khá TB Yếu Kém

II.3.3.2 Áp dụng giải pháp

Kiểm tra 1 tiết( năm học 2013 -2014)

II.3.4 Bài học kinh nghiệm

Qua việc nghiên cứu và áp dụng đề tài này tại trường THCS Tiên Lãng tôinhận thấy

 Đối với học sinh yếu kém:- GV phải hết sức kiên trì, nhẫn nại, hướng dẫn HS

từng điểm nhỏ, cụ thể, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắmđược phương pháp vận dụng tốt các phương pháp, từ đó cho học sinh thực hànhtheo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp,không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK

 Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc

các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từngphương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi

sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnhkiến thức

 Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta