Sáng kiến kinh nghiệm “ sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc vào giải một số bài toán”

A ĐẶT VẤN ĐỀ Để nắm vững vận dụng kiến thức học vào thực tiễn đời sống môn học đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực cố gắng học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn nại không nản lòng gặp khó khăn học tập sống sau Có em làm chủ tri thức khoa học công nghệ đại, có kỹ thực hành giỏi có tác phong công nghiệp, vận dụng kiến thức học vào thực tế cách linh hoạt, sáng tạo người công dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận đâu đúng, đâu sai có chân lý rõ ràng Trong trường phổ thông môn toán chiếm vị trí quan trọng giúp em tính toán nhanh, tư giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, hỗ trợ cho em học tốt môn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý …Như cố tổng bí thư Phạm Văn Đồng nói “Dù bạn có phục vụ ngành nào, công tác kiến thức phương pháp toán học cần cho bạn …” Môn toán môn học giúp cho học sinh phát triển tư tính trừu tượng, đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, môn học “thể thao trí tuệ” Để nắm kiến thức vận dụng kiến thức học đòi hỏi em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán … từ rèn luyện cho em trí thông minh sáng tạo Đối với chương trình Toán việc lĩnh hội kiến thức học sinh phải có kỹ vận dụng kiến thức lớp cách nhuần nhuyễn linh hoạt sáng tạo làm tốt tập theo yêu cầu Các đẳng thức đáng nhớ phần kiến thức quan trọng chương trình Đại số Nó theo suốt quãng đường học tập em Nhờ đẳng thức đáng nhớ mà em thực giải toán nhanh xác Để vận dụng cách nhuần nhuyễn đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ mà có tác dụng bồi dưỡng em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức Quá trình giảng dạy môn toán đẳng thức đáng nhớ, thấy việc áp dụng đẳng thức vào làm tập khó em tiếp xúc với đẳng thức đáng nhớ việc vân dụng vào làm dạng tập không đơn giản chút học sinh Thông qua trình giảng dạy hiểu biết ,để giúp học sinh có thêm công cụ để giải môt số toán, viết xin đưa sáng kiến kinh nghiệm “ Sử dụng đẳng thức quen thuộc vào giải số toán” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Trong chương trình đại số học sinh làm quen với bảy đẳng thức đáng nhớ việc vận dụng đẳng thưc vào giải toán, bên cạnh có hẳng đẳng thức nêu dạng tập sách giáo khoa phần lớn học sinh chưa nắm việc vận dụng đẳng thức vào giải toán hạn chế, kết chưa cao hai đẳng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2+c2 –ab – bc – ca) (1) a + b + c = (*) a = b = c suy a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔  (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) (2) Hai đẳng thức quen thuộc xuât sách giáo khoa toán tập phần lớn học sinh chưa năm vận dụng giải toán.Trong hai đẳng áp dụng vào toán a, b, c số, chữ, biểu thức bất kỳ, phần lớn việc sử dụng hai đẳng thức để giải toán đồi hỏi học sinh phải biến đổi toán dạng tổng dạng tích áp dụng đẳng thức Cơ sở thực tiễn Trong trình dạy học thấy phần lớn học sinh chưa nắm hai hằng đẳng thức đáng nhớ hai đăng thức đưa sách giáo khoa dạng tập chứng minh, số kiến thức liên quan tới hai đẳng thức chủ yêu đưa tập nâng cao sách tham khảo.Như em làm quen hai đẳng thức qua tập đơn giản sách giáo khoa việc ứng dung vào giải toán sách giáo khoa thi đa số học sinh, số học sinh giỏi chưa nắm hai đảng thức đặc biệt tồn dạng chữ số hỗn hợp Bên cạnh trình giảng dạy giáo viên chưa trọng cho học sinh hai đẳng thức nên việc áp dụng hai đẳng thức vào giải số toán dang toán quen thuộc nhiều hạn chế đặc biệt học sinh giỏi Vì xin manh dạn nêu số toán mà ta sử dụng hai đẳn thức để giải cách dễ dàng Biện pháp tiến hành giải vấn đề Trong trình giảng dạy vận dụng đẳng thức đưa giải pháp thực sau - Dạy lưu ý bảy hăng đẳng thức đáng nhớ hai đẳng thức để học sinh nắm dạng viết khác - Xây dựng phương pháp giải dạng toán có sử dụng đẳng thức Từ học sinh hiểu sâu đẳng thức từ vận dụng linh hoạt giải toán - Sửa chữa sai lầm học sinh thường gặp giải dạng toán Đi sâu vào tập để hiểu tầm quan trọng việc giải tập liên quan - Cũng có kỹ biến đổi toán để đưa lời giải hay, logic chặt chẽ - Tìm tòi sáng tạo để đưa lời giải hay, khai thác toán dạng khác Nội dung kiến thức Hai đẩng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2+c2 –ab – bc – ca) (1) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) (2) Chứng minh 3+ a b + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 + c3 – 3abc =[(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c) =(a + b + c)[(a + b)2 – c(a + b) + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2- ac – bc + c2- 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab - bc – ca) Từ đẳng thức ta suy kết sau a + b + c = (*) a = b = c a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔  Ta có (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 =[(a + b) + c]3 – a3 – b3 – c3 = (a+ b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)– a3 – b3 – c3 = a3+ b3 +3ab(a + b) + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)– a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(ab + ac + bc + c2) = 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Một số dạng toán liên quan Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 b) (x2 - y2)3 + (y2 + z2)3 - (z2 + x2)3 c) Cho (x + y + z = -6 Phân tích (x + 1)3 + (y + 2)3 + (z + 3)3 thành nhân tử Giải a Vì (x - y) + (y – z) + (z – x) = nên áp dung (*) ta có (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) b Ta có (x2 - y2)3 + (y2 + z2)3 - (z2 + x2)3 = (x2 - y2)3 + (y2 + z2)3 + (- z2 - x2)3 Đăt a = x2 - y2 ; b = y2 – z2; c = - z2 - x2 Thì a + b + c = x2 - y2 + y2 – z2 - z2 - x2 = nên áp dụng (*) ta có (x2 - y2)3 + (y2 – z2)3 - (z2 + x2)3 = 3(x2 - y2) (y2 – z2)(z2 + x2) = 3(x + y)(x – y)( y2 + z2) (z2 + x2) c Ta có (x + 1) + (y + 2) + (z + 3) = x+ y + z + = Nên áp dung (*) ta có (x + 1)3 + (y + 2)3 + (z + 3)3 = 3(x + 1)(y + 2)(z + 3) Dạng Tính giá trị biểu thức Bài Cho 1 yz zx xy + + = tính giá trị biểu thức A= + + x y z x y z Giải 1 1 1 Vì x + y + z = nên x3 + y + z = xyz A= 1 1 xyz yzx xyz + + = xyz  + + ÷ = xyz =3 x y z y z  xyz x Bài Cho x, y, z ba số thực khác cho x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2 Tính giá trị  x  y  z  biểu thức M = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ y  z  x   Giải Đặt a = xy; b= yz; c = zx a + b + c = a = b = c Từ x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2 suy a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔   c  a   b  (a + b)(b + c)(c + a ) Và M = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷=  b  c  a abc Trường hợp 1: a + b + c = Thì từ đẳng thức (1) (2) ta có a + b + c3 = 3abc  3 a + b + c = -3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Suy (a + b)(b + c)(c + a) = - abc M = (a + b)(b + c)(c + a ) = -1 abc Trường hợp 2: a = b= c suy x = y = z M = Bài Cho (xo;yo) nghiệm phương trình x3 + y3 +1 = 3xy y Tính giá trị biểu thức A= (1 + x0 )(1 + y )(1 + x ) 0 Giải x + y +1 = Ta có x3 + y3 +1 = 3xy x3 + y3 +13 = 3xy  x = y =  x0 + y0 + = Vì (xo;yo) nghiệm phương trình x3 + y3 +1 = 3xy nên ta có   x0 = y0 = TH1 x0 + y0 + = y y0 y +1 x + y −x 0 0 Ta có A= (1 + x0 )(1 + y )(1 + x ) = (1 + x0 )( y )( x ) =-y0 y x =1 0 0 0 TH2 x0= y0= Ta có A= (1 + x0 )(1 + y )(1 + x ) = 0 Dạng Giải phương trình Bài Giải phương trình sau a (x – 3)3 + (x + 1)3 = 8(x – 1)3 b x + + x + + x + = c 59x3 – 9x + =0 d x3 + 3y3 + 9z3 -9xyz =0 (với x, y, z ∈ Z) e 3x + + − x + x − − x − = Giải 3 a (x – 3) + (x + 1) = 8(x – 1)3 (x – 3)3 + (x + 1)3 +(2 – 2x)3 =0 nhận xét: (x – 3) + (x + 1) +(2 – 2x) = nên áp dụng (*) ta có (x – 3)3 + (x + 1)3 +(2 – 2x)3 =(x - 3)(x + 1)(2 - 2x) = x +1 =  x = −1  ⇔  x − = ⇔  x =  − x =  x = phương trình có nghiệm x=-1; x=1; x=3 b Vì x + + x + + x + = nên áp dụng (*) ta có (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) =3 ( x + 1)( x + 2)( x + 3) 3(x + 2) = 3 ( x + 1)( x + 2)( x + 3) (x + 2)[(x + 2)2 –(x +1)(x + 3)] = x + =0 x= -2 Vậy phương trình có nghiệm x = -2 c Ta có 59x3 – 9x + = x3 Đặt x3 - x + =0 54 x + = x3 – 3abx + a3 + b3 =0 54  3  a + b = 54 Như vây đồng hai vế ta có a, b phải thõa mãn hệ phương trình   a 3b3 =  183   X + =0 ⇔x− Suy a3, b3 nghiệm phương trình X2÷= 54   54 18 phương trình có nghiệm X1= X2 = 54 1 suy a = b= = 54 Khi ta có x + = x3 – 3abx + a3 + b3 =(x + a+ b)(x2 + a2 + b2 – ax – bx – ab) =0 54 x3 - (x + 2a)(x2 – 2ax +a2) = (x + 2a)(x – a) = thay a = b= 3 vào giải ta có hai nghiệm x1= −2 ; x2 = 2 3 d x + 3y + 9z3 -9xyz = x3 + ( 3 y ) + ( z ) = 3x 3 y z (**) 3 đặt a = x; b= 3y ; c = 9z a + b + c = a = b = c (**) a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔  x + 3 y + 9z = ⇔ x = y = z = Vì x, y, z ∈ Z Hay   x = y = z e 3x + + − x + x − − x − = 3x + + − x + x − = x − (*) đặt a = 3x + ; b = − x ; c = x − ta có a3 + b3 + c3 = 3x +1 + – x + 2x – = 4x – = ( x − )3 mặt khác theo đẳng thức (2) ta có a3 + b3 + c3 = (a +b +c)3 – 3(a + b)(b + c)(c + a) a + b = ⇔ b + c =  =>a3 + b3 + c3 = (a +b +c)3 c + a =   3x + + − x =  x = −3 3  ta có (*)  x − + − x = ⇔  x = 3   x + + x − = x =  Vậy phương trình có ba nghiệm x=-3; x= x= Bài Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy Hãy tìm tập hợp điểm M(x0;y0) cho x3 – y3 = 3xy + Giải 3 Ta có x – y = 3xy + x3 + (-y)3 +(- 1)3= 3xy Áp dụng (*) ta có  x − y −1 =  x = − y = −1 x3 – y3 – = 3xy  Vậy tập hợp điểm M(x0;y0) đường thăng x – y – =0 điểm M0(-1;1) Dạng Trục thức mẫu Bài Trục thức mẫu số biểu thức a A= 4 + − 16 b b B= a+3b+3c Giải a Áp dụng đẳng thức (1) ta coi mẫu số có dạng a + b + c Khi nhân tử mẫu với a2 + b2+c2 –ab – bc – ca ta có 16 16 + 4 + 256 + 16 − 64 − 32 2 272 − 60 15 − 68 = = A= = −3056 764 4 + − 16 4 + − 163 − 3.4 4.2 2.16 ( ) ( ) b tương tự câu a ta có B= = 3 = a+ b+3c ( a + b + c − ab − bc − ca a+3b+3c )( a + b + c − ab − bc − ca ) a + b + c − ab − bc − ca ( a + b + c) − 27 abc Dạng Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình sau x + y + z =  2 a)  x + y + z =  x3 + y + z =  x + y + z =  2 b)  x + y + z =  x3 + y + z =  giải  x + y + z = (1)  2 a  x + y + z = (2)  x + y + z = (3)  Từ phương trình (1) phương trình (3) hệ ta suy (x + y + z)3- (x3 - y3 – z3) = 3(x + y)(y + z)(z + x) = x + y = y + z = z + x = Với x + y = x = -y thay vào hệ ta có nghiệm là(0,0,1) Với y + z = y = - z thay vào hệ ta có nghiệm (1,0,0) Với x + z = x =- z thay vào hẹ ta có nghiệm (0,1,0) (1) x + y + z =  2 b  x + y + z = (2)  x + y + z = (3)  Từ phương trình (1) (3) hệ ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz = => xyz = mặt khác x2 + y2 + z2 =(x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = suy xy + yz + zx = - x + y + z =  Vậy  xy + yz + zx = −3 nên x, y, z ba nghiệm phương trình  xyz =  X3 – 0X2 + (-3)X – 2= X3 – 3X – =  X +1 =  X = −1 ⇔ X − = X = (X + 1)2(X – 2) = ⇔  Vậy phương trình có ba nghiệm X1=X2=-1; X2 = Suy hệ có nghiệm (-1;-1;2) hoán vị Bài Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình  x + y + 3z =  3 ( x − 1) + (2 y − 3) − (3 z − 2) = 18 Giải  x + y + 3z = ( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = ⇔ 3 ( x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 18 ( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 18 ( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = Áp dụng kết (*) ta có hệ  (I) ( x − 1)(2 y − 3)(3z − 2) = Ta có  3 Vì x, y, z nguyên nên x -1; 2y – 3; 3z – nguyên giá tri tuyệt đối số (x -1); (2y – 3); (3z – 2) ước nghĩa thuộc tập hợp { ±1; ±2; ±3; ±6} từ ta có để 3z – 3z – = 3z – = -2 ( x − 1) + (2 y − 3) = −1 ( x − 1)(2 y − 3) = Trường hợp 1: Với 3z – = 1thay vào hệ (I) ta có  theo hệ thức vi_et (x-1) (2y – 3) nghiệm phương trình X2 + X + =0 Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: Với 3z – =-2 thay vào hệ (I) ta có hệ ( x + 1) + (2 y − 3) =  ( x − 1)(2 y − 2) = −3 theo hệ thức vi_et (x-1) (2y – 3) nghiệm phương trình X2 – 2X – = giải phương trình ta có hai nghiệm X1 = -1; X2 = Vây ta có  x − = −1 x =   TH1 2 y − = ⇔  y = 3 z − = −2 z =   x −1 = x =   TH2 2 y − = −1 ⇔  y = 3 z − = −2 z =   hệ phương trình cho có hai nghiệm nguyên (x,y,z) (0,3,0) (4,1,0) Dạng Toán chứng minh  ax + by = c  Bài Giả sử hệ phương trình bx + cy = a (1) có nghiệm cx + ay = b  Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh a + b + c = a = b = c Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔  Ta có (x; y) nghiệm hệ (1) nên ta công theo vế ba phương trình hệ ta có (a + b + c)x + (a + b + c)y = a + b + c a + b + c =  x + y −1 = (a+b+ c)(x + y – 1)= ⇔  TH1 a+ b + c =0 (*) TH2 x + y – 1= => y = 1- x vào hệ (1) ta có ax + by = c ax + b(1 − x) = c   bx + cy = a ⇔ bx + c(1 − x ) = a ⇔ a = b = c (**) cx + ay = b cx + a (1 − x) = b   từ (*) (**) suy điều phải chưng minh Bài Cho x, y, z nguyên thỏa mãn điều kiện x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x) Chứng minh (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 chia hết cho 81 Chứng minh Vì (x – y) + (y – z) + (z – x) = Suy (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3= 3(x – y)(y – z)(z – x) Do ta xét ba số dư chia x, y, z cho Th1 Nếu ba số dư khác ( 1, 2, 3) x + y + z chia hết cho (x – y)(y – z)(z – x) không chia hết cho điều mâu thuẫn Th2 Nếu có hai số dư x + y + z không chia hết cho trong ba hiệu (x – y); (y – z); (z – x) chia hết cho điều trái với giả thiết Th3 Vậy trường hợp ba số x, y, z có số dư chia cho lúc (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3=3(x – y)(y – z)(z – x) M3.3.3.3 Hay (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3=3(x – y)(y – z)(z – x) M81 Vậy M M81 Bài 3: chưng minh x + y + z = 2(x5 + y5 + z5)=5xyz(x2 + y2 + z2) Chứng minh x + y + z = => x3 + y3 + z3 = 3xyz =>(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 3xyz(x2 + y2 + z2) x5 + y5 + z5 + x2y2(x + y) + y2z2(y + z)+ z2x2(z + x) = 3xyz(x2+y2+z2) x5 + y5 + z5 + xyz x2 + y + z = 3xyz(x2 + y2 + z2) 2(x5 + y5 + z5)=5xyz(x2 + y2 + z2) Một số tập tương tự yz zx xy Bài Cho xy + yz +zx = xyz ≠ tính giá trị biểu thức A = x + y + z 1 + + =0 x+ y y+z z+x ( y + z )( z + x ) ( x + y )( z + x) ( y + x)( z + y ) Tính giá trị biểu thức A= ( x + y )2 + ( y + z ) + ( z + x) Bài Cho Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3 + y3 + = 3xy Bài 4: Trục thưc mẫu biểu thức B= 1+ − 23 Bài Giải phương trình sau a (3x – 2)3 =(x - 3)3 + (2x + 1)3 b (x + 20 )3 + (x – 2007)3 = (2x – 2007 + )3 c 6x3 + 3x – = x + y + z =  2 Bài Cho hệ phương trình  x + y + z =  x3 + y + z =  tính giá trị biểu thức A = x2015 + y2015 + z2015 C KẾT LUẬN 10 Từ thực tế giảng dạy trường thấy để vận dụng đẳng thức nói chung hai đẳng thức nói riêng vào giải toán giáo viên cần mạnh dạn đưa hai dsawngr thức vào dạy cho học sinh đặc biệt học sinh giỏi dạy hai đẳng thức giáo viên cần làm bật việc vân dụng hẳng thức theo hai chiều việc vận dụng vào dạng toán cụ thể Giáo viên cần ý cho học sinh rèn luyện kỹ biến đổi, kỹ thực hành việc vận dụng kiến thức học vào giải toán, dạng toán cụ thể, rèn luyện cho học khả khả tự học, gợi sư say mê hứng thú học tập, để chiếm lĩnh tri thức D KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT Trên toán đa đưa giảng dạy cho học sinh trình dạy học trường bồi dưỡng học sinh giỏi, hạn chế nhận thấy giúp học sinh nhiều trình học tập, góp phần nâng cao kiến thức kết học tập cho em Tôi mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để công việc dạy học ngày đạt kết cao 11 ... để giải môt số toán, viết xin đưa sáng kiến kinh nghiệm “ Sử dụng đẳng thức quen thuộc vào giải số toán” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Trong chương trình đại số học sinh làm quen với bảy đẳng. .. Hai đẳng thức quen thuộc xuât sách giáo khoa toán tập phần lớn học sinh chưa năm vận dụng giải toán.Trong hai đẳng áp dụng vào toán a, b, c số, chữ, biểu thức bất kỳ, phần lớn việc sử dụng hai đẳng. .. dụng hai đẳng thức vào giải số toán dang toán quen thuộc nhiều hạn chế đặc biệt học sinh giỏi Vì xin manh dạn nêu số toán mà ta sử dụng hai đẳn thức để giải cách dễ dàng Biện pháp tiến hành giải