SKKN phương pháp giải một số bài toán cực trị đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS PHN I: L LCH H v tờn: PHM XUN H Chc v : Phú hiu trng n v cụng tỏc : Trng THCS ỡnh Cao Sỏng kin kinh nghim : PHNG PHP GII MT S BI TON CC TR I S LP V LP THCS Năm học 2014-2015 Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS PHN II: NI DUNG A - M U I t : 1) Thc trng ca Cỏc bi toỏn vi yờu cu tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht, din tớch ln nht, din tớch nh nht, di on thng ngn nht gi chung l cỏc bi toỏn cc tr Cỏc bi toỏn cc tr rt phong phỳ v a dng mang mt ni dung vụ cựng sõu sc vic giỏo dc t tng qua mụn toỏn: i tỡm cỏi tt nht, r nht, ngn nht, di nht, v.v mt bi toỏn, dn dn hỡnh thnh cho hc sinh mt thúi quen i tỡm mt gii phỏp ti u cho mt cụng vic no ú cho cuc sng sau ny Qua vic nghiờn cu v thc t ging dy toỏn THCS, tụi nhn thy khỏi nim cc tr cha c xõy dng thnh mt h thng lý thuyt hon chnh m ch hỡnh thnh tng bc cho hc sinh qua mt s bi n gin SGK Nhng cỏc bi toỏn cc tr rt hay gp cỏc k thi, cỏc bi kim tra nh k hng nm ca hc sinh lp 8, lp Thc t hin nay, hc sinh nm khỏi nim cc tr v phng phỏp c bn gii cỏc dng toỏn cc tr thng gp chng trỡnh hc ca cỏc em l rt yu Ngay c i vi nhng hc sinh gii, lm bi v cc tr cng gp khụng ớt nhng khú khn v mc nhng sai lm ỏng tic lp lun hoc dng cỏc phộp bin i thiu chớnh xỏc khụng nm vng khỏi nim cc tr, phng phỏp, iu kin ca phộp bin i dng V phớa giỏo vin ging dy b mụn toỏn, thc t cú khụng ớt nhng giỏo viờn cũn hn ch vic dy hc sinh gii toỏn cc tr Mt nhng nguyờn nhõn dn n tỡnh trng ú l giỏo viờn nghiờn cu nhng ti liu cú liờn quan n cc tr nhng cha tỡm cỏch phõn loi, ch phng phỏp c bn cho tng dng bi c th, cha tuyn chn v sp xp cỏc dng toỏn cc tr theo mt trt t phự hp vi i tng hc sinh Chớnh vỡ nhng lớ trờn õy, tụi ó chn sỏng kin Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS nhm thỏo g mt phn khú Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS khn cho hc sinh lm cỏc bi toỏn cc tr, ng thi õy l mt ti liu giỳp ớch cho giỏo viờn dy hc dng toỏn ny cho hc sinh lp 8, lp 2) í ngha, tỏc dng ca ti: ti ny nhm giỳp cho hc sinh lp 8, lp mt s phng phỏp gii bi toỏn cc tr v giỳp cỏc em gim bt khú khn v ng li, phng phỏp suy lun hn ch chng sai lm ỏng tic hc toỏn núi chung v vic gii cỏc bi toỏn c tr núi riờng Qua ú phn no gõy c hng thỳ hc mụn toỏn cng nh vic gii cỏc bi toỏn cc tr cú chng trỡnh hc ca cỏc em ti ny cng cho giỏo viờn dy hc mt ti liu ụn tp, ụn thi HSG hu ớch , l mt sỏng kin nờn c ỏp dng rng rói cho hc sinh lp v lp 9; Sỏng kin cng nhm gúp phn nõng cao cht lng giỏo dc hin 3) i tng v phm vi nghiờn cu ca ti: i tng kho sỏt v thc nghim l hc sinh lp v THCS ỡnh Cao Phm vi nghiờn cu: Mt s dng toỏn cc tr thng gp i s cú chng trỡnh toỏn 8; THCS II) Phng phỏp tin hnh 1) C s lý lun v thc tin: a) C s lý lun: Trong chng trỡnh toỏn THCS thỡ khỏi nim cc tr khụng c xõy dng thnh mt h thng lý thuyt hon chnh m ch hỡnh thnh tng bc cho hc sinh qua mt s bi sỏch giỏo khoa Nhng cỏc bỏi toỏn cc tr li l mt thng gp cỏc k thi, cỏc t kim tra hng nm Do ú vic hỡnh thnh khỏi nim cc tr mt cỏch h thng cho hc sinh v vic gii quyt cỏc bi toỏn ny ca hc sinh cũn gp nhiu tr ngi Vn dng phng phỏp gii mt s dng bi toỏn cc tr vo gii toỏn ngoi vic hc sinh c rốn luyn cỏc k nng toỏn hc thỡ hc sinh cũn c nõng cao v mt t toỏn hc nh cỏc thao tỏc t duy: phõn tớch, tng hp, so sỏnh, khỏi quỏt hoỏ, c bit hoỏ Cỏc thao tỏc ny c thng xuyờn rốn luyn Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Thụng qua vic gii cỏc bi toỏn cc tr ta cú th ụn li cho hc sinh cỏc kin thc v phõn tớch a thc thnh nhõn t , bin i biu thc cha du giỏ tr tuyt i, biu thc cha cn thc bc hai, cỏch ỏp dng mt s bt ng thc nh BT Cauchy, BT Bunhia-cụp-xki , cỏch lp bng xột du cỏc tam thc bc hai b) C s thc tin Sau nhiu nm dy toỏn hc bc trung hc c s, xut phỏt t nhng kinh nghim cú c ca bn thõn qua thc t ging dy, tụi nhn thy kh nng dng phng phỏp gii cỏc dng bi toỏn cc tr vo vic gii cỏc bi toỏn cc tr c th ca hc sinh gp rt nhiu khú khn Vic dng cỏc k nng bin i i s cng nh hỡnh hc cũn lỳng tỳng hay mc sai lm Kh nng dng bi toỏn ny cho cỏc bi toỏn khỏc, k nng chuyn i bi toỏn, khai thỏc bi toỏn theo hng c bit hoỏ, khỏi quỏt hoỏ cha cao Hc sinh cha cú thúi quen tng hp v ghi nh nhng tri thc phng phỏp qua tng bi toỏn, dng toỏn Trờn õy cng l nhng lớ na m tụi mun lm sỏng kin ny gúp phn gii quyt cỏc khú khn ó nờu 2) Cỏc bin phỏp tin hnh: Giỏo viờn cn: - Xõy dng c c s lý thuyt gii cỏc bi toỏn cc tr - Tuyn chn, phõn loi c cỏc bi c bn v nờu lờn c cỏc phng phỏp chớnh gii tng dng bi c tr c th - D oỏn c cỏc sai sút ca hc sinh, nờu c nhng im cn chỳ ý gii cỏc bi toỏn cc tr * Thi gian to gii phỏp: 10/2014 2/2015 B NI DUNG I) Mc tiờu: Giỳp hc sinh: - Hiu c khỏi nim cc tr v nm vng cỏc bc gii ca bi toỏn cc tr - Nhn dng c tng loi bi toỏn cc tr, dng sỏng to cỏc phng phỏp gii toỏn cc tr vo tng bi c th, t d n khú lm c bi Dn thy c nhng im m bn thõn mỡnh hay sai gii toỏn cc tr v t ú cú ý thc khc phc nhng sai lm ú Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS - Bc u thy c nhng tỡnh dn n bi toỏn cc tr, cỏch xõy dng mt bi toỏn cc tr Trờn c s ú cú ý thc dng kin thc v toỏn cc tr vo cỏc mụn hc khỏc nh vt lý, hoỏ hc , v thy c tớnh ng dng ca toỏn cc tr vo i sng hng ngy II) Ni dung: II.1: PHNG PHP CHUNG GII CC BI TON CC TR I S: Do tớnh cht s phm, nhm mc ớch hc sinh hiu c khỏi nim giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht (cc tr), giỏo viờn dy nờn a khỏi nim tht n gin trỏnh lý thuyt kinh vin Chớnh vỡ th ta cú th cho hc sinh tỡm hiu khỏi nim cc tr thụng qua cc tr ca hm mt bin nh di õy GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn (D) a) M c gi l giỏ tr ln nht ca f(x) trờn (D) nu nh hai iu kin sau 1) f(x) M với x (D) 2) x0 (D) chof(x0) = M ng thi c tho món: Kớ hiu: M = max f(x), x (D) b) m c gi l giỏ tr nh nht ca f(x) trờn (D) nu nh hai iu kin sau 1) f(x) m với x (D) 2) x0 (D) chof(x0 ) = m ng thi c tho món: Kớ hiu: m = f(x), x (D) Nh vy, theo trờn gii mt bi toỏn cc tr i s thụng thng ta tin hnh theo hai bc sau: Bc 1: Ch rừ f(x) m (hoc f(x) M), x (D) (vi m, M l hng s) Bc 2: Ch c x0 (D) cho f(x) = m (hoc f(x) = M) CC BT NG THC ( BT) THNG DNG LM BI TON CC TR: a) x2 0, tng quỏt [f(x)]2k vi x; k Z T ú suy ra: [f(x)]2k + m m hoc M - [f(x)]2k M Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS a/ x b) b/ x + y x+ y ; du "=" xy v ch x, y cựng du c/ x - y x- y ; du "=" xy v ch x, y cựng du c) Bt ng thc Cụsi (Cauchy)(cho s) cú cỏc dng sau: a) (a + b)2 4ab, b) du "=" xy v ch a = b a b + 2, vi a.b > 0; du "=" xy v ch a = b b a c) a + b ab , (a 0; b 0), du "=" xy v ch a = b d) BT Bunhia-cop-xki ( cho b s(a,b) v (x,y)): Vi mi a,b,x,y ta cú : ( ax + by )2 ( a2 + b2 )( x2 + y2 ) a b = (a, b, x, y 0) x y Du "=" xy v ch MT S PHNG PHP GII TON CC TR THNG DNG TRONG I S a) Phng phỏp tam thc bc hai: Vớ d: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: D = Li gii:Ta cú: D = x + x +1 ( x + 1) x2 + x + ( x + 1) 2 ( x + 1) ( x + 1) + 1 = = + x + ( x + 1) ( x + 1) 2 1 3 = t , ú D cú dng:D = t2 - t + 1= t + t x +1 4 vi mi t 1 D = t = = x = x +1 Vy giỏ tr nh nht ca D bng , t c x = b) Phng phỏp xột khong: Vớ d: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:M = | x - 5| + | x + 2| Li gii: * Nu x < - 2, ta cú:M = - x + - x - = - 2x + > + = * Nu - x 5, ta cú:M = - x + + x + = * Nu x > 5, ta cú:M = x - + x + = 2x - > 10 - = Vy mi trng hp ta cú minM = 7, t c - x Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS * Lu ý : Trong vớ d trờn ta cú th gii bng cỏch s dng bt ng thc: x + y x+ y c) Phng phỏp giỏ tr ca hm s: Gi s ta phi tỡm cc tr ca hm s f(x) cú giỏ tr (D) Gi y l mt giỏ tr no ú ca f(x) vi x (D) iu ny cú ngha l phng trỡnh f(x) = y ( vi x (D) ) phi cú nghim Sau gii phng trỡnh, iu kin cú nghim thng dn n bt ng thc: m y0 M T ú suy ra: f(x) = m vi x (D); max f(x) = M vi x (D) Cng cú trng hp ta ch tỡm c giỏ tr nh nht m khụng cú giỏ tr ln nht, hoc ngc li Vớ d 1: Tỡm cc tr ca cỏc hm s:a) y = 7x2 - 4x + b)y = - 6x2 + 5x - Li gii: a) Hm s xỏc nh vi x R Gi s y0 l mt giỏ tr no ú ca y suy ra: y = 7x2 - 4x + Do ú phng trỡnh (bin x): 7x2 - 4x + - y0 = phi cú nghim ' = - 7(1 - y0) = 7y0 - y0 Vy y = , t c v ch x = (nghim kộp vỡ lỳc ú ' = 0) 7 b) Lm tng t cõu a) ta cú max y = Vớ d 2: Cho A = 23 , t c v ch x = 24 12 2( x + x + 1) Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca A x2 +1 Li gii: Vỡ x2 + > vi x nờn A xỏc nh vi x Phng trỡnh: A(x2 + 1) = 2(x2 + x + 1) (A - 2)x2 - 2x + (A - 2) = (*) Phng trỡnh cú nghim ' = - (A - 2)2 A 1) Khi A = 1, t (*) suy - x2 - 2x - = (x + 1)2 = x = - 2) Khi A = 3, t (*) suy x2 - 2x + = (x - 1)2 = x = Vy A = v ch x = - 1; max A = v ch x = Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Chỳ ý: vớ d trờn ta cú th gii bi toỏn theo cỏch khỏc 1) A = ( x + 1) 2( x + x + 1) ( x + 1) + ( x + 2x + 1) = = + x +1 x +1 x +1 vỡ ( x + 1) Du "=" xy v ch x = - x +1 Vy A = v ch x = - ( x 1) 2( x + x + 1) 3( x + 1) ( x x + 1) = = 3 2) A = x +1 x +1 x +1 ( x 1) vỡ Du "=" xy v ch x = x +1 Vy max A = v ch x = d) Phng phỏp s dng cỏc bt ng thc ph: Ni dung ca phng phỏp ny l dng cỏc bt ng thc ó ch mc cỏc BT thng dựng ch giỏ tr ln nht hay giỏ tr nh nht ca biu thc Vớ d 1: Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau: a)A=3-(2x - 1) b) B = 4x - x + 2c) c) C = 2 5x + 21 d) D = x 4x + x +3 Li gii: a) (2x - 1)2 vi x, du "=" xy v ch x= - (2x - 1)2 - (2x - 1)2 Vy max A = v ch x = b) B = 4x - x2 + = - (x2 - 4x + 4) = - (x - 2)2 Vy max B = x = c) x2 - 4x + = (x - 2)2 + 5, du bng xy v ch x = Vỡ mu luụn luụn dng nờn phõn thc ó cho luụn cú ngha, t l hng s dng nờn phõn thc s ln nht mu nh nht, ú: max C = v ch x = 5x + 21 5x + 15 + 6 d) D = = =5+ 2 x +3 x +3 x +3 Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Ta cú: x2 + 6 = x +3 Vy max D = + = v ch x = Vớ d 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca :a) E = x + x b) F = | x - 3| + | x - 5| Li gii: p dng bt ng thc | x| + | y| | x + y| a) E = x + x x + x = , v ch x(8 - x) Lp bng xột du: x x 8-x + x(8 - x) Vy E = v ch x 8 + + + + - 0 b) Ta cú: F = | x - 3| + | x - 5| = | x - 3| + | - x| | x - + - x| = Du "=" xy v ch (x - 3)(5 - x) x Vy F = v ch x Vớ d 3: Tỡm giỏ tri nh nht ca biu thc:a) M = x + b) N = ( x + a )( x + b ) x 16 vi x > x2 vi x > 0; a, b l cỏc hng s dng Li gii: a) M = x + 16 16 = ( x 2) + +2 x2 x2 Vỡ x > x - v Nờn tng (x - 2) + x-2 = 16 16 l hai s dng cú tớch khụng i: (x - 2) = 16 x2 x2 16 s nh nht hai s ú bng nhau: x2 16 (x - 2)2 = 16 x2 - 4x - 12 = x2 Phng trỡnh ny cú hai nghim x1 = 6, x2 = - nhng nghim x2 = - khụng phự hp vi iu kin x > Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Vy M = (6 - 2) + 16 + = 10 v ch x = 62 Chỳ ý: Ta cng cú th ỏp dng bt ng thc Cụsi vi hai s dng x - v 16 16 , ta cú (x - 2) + x2 x2 b) N = ( x ) 16 = 2.4 = x2 ( x + a )( x + b ) = x + ( a + b ) x + ab = x + ab + ( a + b ) x x x x+ ab ab x = ab , du "=" xy v ch khi: x x x= ab x2 = ab x = x ab , vỡ x > nờn x = Vy N = a + b + ab = ( a+ b ) ab v ch x = ab 1 Vớ d 4: Tỡm giỏ tr nh nht ca P = ( a + b + c ) + + , vi a, b, c > a b c 1 a b b c c a Li gii: P = ( a + b + c ) + + = + + + + + + + + a b c b a c b a c p dng hng ng thc a b + (vi a, b > 0) ta c: b a P + + + = Vy P = v ch a = b = c Vớ d 5: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: G = | x + 2y + 3z| bit rng ba s x, y, z tho iu kin x2 + y2 + z2 = Li gii:p dng bt ng thc Bunhiacụpski, ta cú: (x + 2y + 3z)2 (12 + 22 + 33)(x2 + y2 + z2) = 14 | x + 2y + 3z| 14 , du "=" xy v ch x y z = = y = 2x, z = 3x Vy max G = 14 v ch y = 2x, z = 3x Vớ d 6: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = x + + x Li gii: * iu kin xỏc nh: - x Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 10 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Li bỡnh:- Biu thc A v B vớ d trờn l phõn thc mt bin cú t l hng s v mu l tam thc bc hai biu thc dng ny tn ti giỏ tr nh nht hay ln nht trờn xỏc nh ca nú thỡ mu thc luụn phi nhn giỏ tr õm hoc dng vi mi giỏ tr ca bin - Vi biu thc dng ny, ta cng cú th lm theo cỏch nhn xột v du ca t v mu ca biu thc ó cho t ú chuyn bi toỏn v tỡm giỏ tr nh nht hoc giỏ tr ln nht ca mu i vi hc sinh cui lp 9, cỏc em ó hc v phng trỡnh bc hai mt n giỏo viờn cú th hng dn hc sinh gii theo phng phỏp giỏ tr 5x 26x + 41 Vớ d 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: D = , vi x ( x 2) Li gii: ( ) 5x 26x + 41 x 4x + 6( x 2) + 1 = = + Cỏch 1: Ta cú: D = 2 x2 ( x 2) ( x 2) ( x 2) 2 = + 4x + + = x x x D=4 = x = Vy D = x = x2 Cỏch 2: D = 5x 26x + 41 ( x 2) ( x - 5) vỡ ( x 2) = ( ) x 4x + + x 10x + 25 ( x 2) 0x , D = ( x - 5) ( x 2) 2 ( x - 5) =4+ ( x 2) =0 x =5 Vy D = x = Li bỡnh:- Biu thc vớ d trờn l loi phõn thc mt bin cú mu l bỡnh phng ca mt nh thc - Vi cỏch gii 1, hon ton ó th hin c phng phỏp chung lm vi nhng biu thc loi ny Vi cỏch bin i ny ta cng cú th i bin bng cỏch Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 21 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS t t = vớ d trờn ta s c D = 9t - 6t + 5, õy l biu thc quen x2 thuc ó c xột n - Vi cỏch 2, c s ca vic tỏch ú l khụng kh thi i vi cỏc biu thc cựng loi cú h s phc L d nhiờn cỏc biu thc loi ny cú th s dng phng phỏp giỏ tr lm Vớ d 3: Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc: A = 4x + x2 +1 Li gii:* Vỡ x2 + > x nờn A xỏc nh vi mi x Cỏch 1:Ta cú: A = A x vỡ ( ) ( ) ( 2x 1) 4x + x + 4x 4x + = = x +1 x +1 x +1 ( 2x 1) x +1 Vy max A = x = ( 0x A = 2x - = x = ) ( ) ( x + ) 1x 4x + - x + + x + 4x + Ta li cú: A = = = -1 + 2 x +1 x +1 x +1 A = - x + = x = - 2.Vy A = -1 x = - Cỏch 2:* Vỡ x2 + x, nờn A xỏc nh vi mi x Gi A0 l mt giỏ tr no ú ca biu thc A = A0 = 4x + , ú phng trỡnh: x2 +1 4x + A x 4x + A = (1) phi cú nghim x +1 +> Nu A0 = thỡ (1) - 4x - = x = +> Nu A0 thỡ (1) cú nghim ' > - A0(A0 - 3) (4 - A0)(A0 + 1) - A0 A0 = - v ch ' = x = Phm Xuõn H - = A0 THCS ỡnh Cao 22 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS A0 = v ch ' = x = Vy max A = x = = A0 , A = -1 x = - 2 Li bỡnh:Biu thc A vớ d trờn thuc loi phõn thc mt bin cú mu l mt tam thc bc hai khỏc vi mi giỏ tr ca bin, t l mt nh thc Cỏch gii l cỏch gii cú th gii thiu, hng dn cho c hc sinh lp v lp Nhng da trờn c s no mi bi cú dng nh trờn ta u cú th tỡm c cỏch tỏch nh vy Ta thy, theo cỏch thỡ ta cn tỏch t thc thnh tng ca mt a thc chia ht cho mu thc v mt a thc cú th vit c di dng bỡnh phng ca mt nh thc iu ny cú th hiu nh sau: ( ) ( 4x + a x + + ax + 4x + a Ta cú: A = = x +1 x +1 ) Ta cn tỡm a - ax2 + 4x + - a l mt bỡnh phng ca mt nh thc ta phi cú: ' = + a(3 - a) = a2 - 3a - = a = - hoc a = + Vi a = 4, ta cú cỏch tỏch tỡm max A nh trờn + Vi a = - 1, ta cú cỏch tỏch tỡm A nh trờn n õy ta thy, gii c bi toỏn dng ny hc sinh cn phi bit cỏch tỡm iu kin mt tam thc bc hai cú th vit c di dng bỡnh phng ca mt nh thc m cha c hc v phng trỡnh bc hai Vy trc dy n dng ny giỏo viờn nờn cho hc sinh tỡm iu kin ca a, b, c ax + bx + c cú th vit c thnh bỡnh phng ca mt nh thc (b2 - 4ac = 0) Cỏch gii 2, l ta ó s dng phng phỏp giỏ tr tỡm A, max A Tuy nhiờn cỏch gii ny ch cp c hc sinh lp ó hc v phng trỡnh bc hai Ngoi ra, bi toỏn trờn cú th gii theo phng phỏp tham bin, nhiờn hai phng phỏp ó ch qua hai cỏch gii trờn l phng phỏp thng dựng nht gii cỏc bi toỏn cc tr loi ny Bi dng: Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 23 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Bi 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) A = 11x 70 x + 112 ; b) B = (với x 3); 25x + 10x 12 x 6x + Bi 2: Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau: a) M = x + 10 x + 20 ; b) N = (với x 3) ; 4x x + 21 x + 6x + x + x 14 c) P = (với x 1) x 2x + Bi 3: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) D = 2x + 2x x + 2( x + x + 1) ; b) E = ; c) F = x2 + x + 2x + x2 +1 ; DNG 4: Biu thc cú cha cn thc Kin thc cn nh: 2n A có nghĩa A (với n N * ) ; 2n A = A = (với n N * ) Cỏc bt ng thc Cụsi, Bunhiacụpxki, Mincụpxki Vớ d 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) A = x 4x + b) B = x 2x + Li gii:a) * iu kin A cú ngha: x2 - 4x + x Ta cú: A = x 4x + = (x ) 4x + = ( x 2) x A = (x - 2)2 = x = hoc x = Vy A = x = hoc x = b) * Ta cú: x2 - 2x + = (x - 1)2 + > x, vy B cú ngha vi mi x Ta cú: B = x 2x + = (x ) 2x + + = ( x 1) + Du "=" xy v ch (x - 1)2 = x = 1.Vy B = 3x x = Li bỡnh:Biu thc A, B vớ d cú dng tng quỏt l M = ax + bx + c vi a > v a, b, c l cỏc s cho trc Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 24 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS b b 4ac Vi a > ta cú: M = ax + bx + c = a x + 2a 4a + Nu b2 - 4ac thỡ M = 0; + Nu b2 - 4ac < thỡ M = b 4ac ; 4a + M khụng cú giỏ tr ln nht Vớ d 2: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc sau: a) C = - x + x + b) D = - 3x + 2x + Li gii:a) * iu kin C cú ngha: - x2 + 2x + 2 x + 2 ( ) Ta cú: C = - x + 2x + = x 2x + + = ( x 1) + 8x C = (x - 1)2 = x = (TMK).Vy max C = x = b) * iu kin D cú ngha: - 3x2 + 2x + 1+ Ta cú: x 3 2 16 16 16 D = - 3x + 2x + = x x + + = x + 3 3 D= 1 16 x = x = (TMK),Vy max D = 3 16 t c x = 3 Li bỡnh:Biu thc tng quỏt ca biu thc C v D l: N = ax + bx + c vi a < v a, b, c l cỏc s cho trc b b 4ac Vi a < ta cú: N = ax + bx + c = a x + 2a 4a + Nu b2 - 4ac < thỡ N vụ ngha; + Nu b2 - 4ac = thỡ N = x = + b - 4ac > thỡ max N = b ; 2a b 4ac v N = 4a Vi nhng bi toỏn cha cn thc dy giỏo viờn cn chỳ ý yờu cu hc sinh Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 25 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS tỡm iu kin biu thc cú ngha trc s dng cỏc phộp bin i biu thc Vớ d 3: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) A = x + x b) B = x + x + c) C = x x + + Li gii:a) x cú ngha v ch x Do ú A = x + x - x A = - x = Vy A = - x = b) x - cú ngha v ch x - x Do ú ta cú: B = x + x + 2.5 + + = 13 B = 13 x = Vy B = 13 x = c) x + cú ngha v ch x + x - 2.Do ú ta cú: 11 11 11 C = x x + + = ( x + ) x + + + = x + + x 4 4 C= 11 11 1 x + = x + = x = Vy C = x = 4 4 Li bỡnh:Cỏc biu thc loi ny, ta cn lu ý t iu kin biu thc cú ngha trc bin i Vi iu kin biu thc cú ngha thng lm cho xỏc nh (D) ca biu thc b thu hp so vi R Chớnh vỡ iu ny m hc sinh rt d nhm ln thc hin bin i ch iu kin 1, iu kin ca bi toỏn, chng hn vớ d 3a) hc sinh thng sai nh sau: 1 9 A = x + x = x + x + = x + A = 4 4 Vớ d 4: Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc: a) A = ( x - 2)( x ) b) B = (1 - x )( x ) Li gii: a) iu kin A cú ngha: (x - 2)(6 - x) x (1) Vi iu kin (1) thỡ x - v - x p dng bt ng thc Cụsi : A = ( x - 2)( x ) x + x = 2 Du "=" xy v ch x - = - x x = (TMK (1)) max A = x = Ta li cú A vi mi x Phm Xuõn H THCS ỡnh Cao 26 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS A = x - = hoc - x = x = hoc x = A = x = hoc x = b) iu kin B cú ngha (1 - x)(x - 7) x (2) Vi iu kin (2) thỡ x - v - x p dng bt ng thc Cụsi cho s khụng õm ta c: B= (1 - x )( x ) = ( x 1)( x ) x + x = B = v ch x - = - x x = max B = x = B vi mi x B = x = hoc x = Li bỡnh:- Vi biu thc nh vớ d 3, tỡm giỏ tr ln nht ta hon ton cú th khai trin biu thc di du cn ri bin i theo cỏch lm nh vớ d - i vi hc sinh lp 9, giỏo viờn hng dn hc sinh lm theo cỏch s dng bt ng thc Cụsi cn lu ý iu kin ỏp dng bt ng thc Cụsi v iu kin du "=" xy Trong vớ d 3b) hc sinh rt d sai vi cỏch bin i nh sau: B= (1 - x )( x ) x + x = max B = - Nh vy hc sinh sai vỡ khụng chỳ ý n iu kin ca cỏc s hng dng bt ng thc Cụsi phi khụng õm, ú vi iu kin x thỡ - x v x - Do ú cn i du hai nhõn t di du cn ca B trc ỏp dng bt ng thc Cụsi Bi toỏn tng quỏt ca dng ny l: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = ( ax - b )( c dx ) vi a, b, c, d l cỏc s dng cho trc Vớ d 5: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = x + x + + x x + 2 3 Li gii:Vỡ x + x + = x + + x x2 x + = x + x 4 nờn A xỏc nh x ( )( ) Cỏch 1: Vỡ A > nờn ta cú: A = x + x + + x x + + x + x + x x + Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 27 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS = 2x + + (x + 1) x = 2x + + x + x + + = vỡ x2 v x4 xA x, A = x = 0.Vy A = x = Cỏch 2: p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ta cú A = x + x + + x x + 24 ( x + x + 1)( x x + 1) = 24 x + x + x2 = Dấu" = " xảy khivàchỉkhi x = Vy A = x = x + x + = x2 x + Cỏch 3:p dng bt ng thc Bunhia-cụp-xki ta cú: A = x2 + x +1 + x2 x +1 2 2 2 2 = x + ữ + + + ữ + x ữ + ữ ữ ữ ữ = x + ữ ữ + x ữ ữ ữ 2 2 2 1 3 31 x + + x ữ + + = + = x + = x ữ ữ ữ x = 2 ữ 2 2 Vy A = x = Li bỡnh:Vi cỏch giỏo viờn dy hon ton cú th hng dn cho hc sinh lp lm theo cỏch hay cỏch 3, trỡnh by giỏo viờn cn yờu cu hc sinh chng minh bt ng thc ph trc dng iu hn ch ca cỏch l hin hc sinh lp khụng c gii thiu v cn bc n, cỏc em ch c hc v cn bc hai v cn bc ba Do vy, dy cho hc sinh cỏch ny giỏo viờn cn gii thiu cho hc sinh v cn bc n trc Bi dng: Bi 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) A = x 2x + + x + 6x + b) B = x + x-1 + x + 15-8 x-1 Bi 2: Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau: a) M = x + - x b) N = x + + 14 - x Bi 3: Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau: a) D = x + - 2x b) c) F = x + - 2x d) Phm Xuõn H - E = x + - x H = 2x + 15 - 3x THCS ỡnh Cao 28 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Trờn õy, l mt s dng toỏn cc tr thng gp i s cú chng trỡnh toỏn THCS m tụi ó tỡm hiu nghiờn cu v cỏc phng phỏp gii ca chỳng Qua thc t dy hc, tụi nhn thy trc giỏo viờn cha dy hc sinh mt cỏch h thng v toỏn cc tr thỡ hc sinh gp rt nhiu khú khn v ng li phng phỏp gii cỏc bi toỏn cc tr m cỏc em gp chng trỡnh c bit, nu cỏc em ó nm vng cỏch gii cỏc bi toỏn cc tr thỡ s thun li rt nhiu vic hc cỏc mụn hc khỏc nh mụn vt lớ, hoỏ hc, vi nhng bi toỏn chn phng ỏn ti u III Kt qu Kt qu thc nghim trc ỏp dng sỏng kin Trc tin hnh dy 25 hc sinh lp 9A hc thc nghim, cú kt qu i chng tụi ó tin hnh kim tra tin trc nghim vi ni dung nh sau: bi (tg 45 phỳt) Cõu 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) A = 3x2 - 5x + 2; b) B = 4x2 + 18y2 - 12xy + 4x + 6y + 2011 Cõu 2: a) Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca: C = b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: D = 6x + ; x2 +1 x +3 + 7x Sau chm bi, thng kờ im v cỏc li m hc sinh mc phi lm bi nhn thy tỡnh trng nh sau: - a s hc sinh ch lm c cõu 1a) v ch c iu kin xỏc nh ca biu thc D cõu - Rt ớt hc sinh tỡm c cỏch bin i biu thc B, nu cú thỡ mang tớnh cht mũ mm, cha th hin c ng li c th - C 25 hc sinh (100%) khụng lm c trn cõu 2a) v cõu 2b) - Cú 12 hc sinh (48%) khụng ch iu kin xỏc nh ca biu thc D - Cú 14 hc sinh (56%) khụng ch A nhn giỏ tr nh nht vi giỏ tr no ca bin Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 29 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS Kt qu kim tra th hin trờn im s t c ca hc sinh nh sau: 0-4 S bi 25 S lng 5-6 % 12 S 7-8 % lng 36 S - 10 S % lng 11 lng 44 % Kt qu thc nghim sau tin hnh ỏp dng sỏng kin bi (tg 45 phỳt) Cõu 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) M = 5x2 - 2x + 7; b) N = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + Cõu 2: a) Tỡm giỏ tr nh nht ca y, bit rng: y = ( x + 2)( x + 8) x , vi x > b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: D = 2x + 3x Sau chm bi, thng kờ im v cỏc li m hc sinh mc phi lm bi nhn thy tỡnh trng nh sau: - Khụng ch iu kin xỏc nh ca D: hc sinh (28%); - Khụng tỡm c giỏ tr ca P: 10 hc sinh (40%); - Khụng ch c iu kin tỡm cc tr: hc sinh (36%) Kt qu kim tra th hin trờn im s t c ca hc sinh nh sau: 0-4 S bi 25 S lng 5-6 % S 7-8 % lng 32 S lng 12 - 10 % 48 S lng % 16 Nhn xột: Qua bng kt qu so sỏnh v cht lng trc v sau tin hnh thc nghim i vi nhúm hc sinh thc nghim cho thy: - Trc c ỏp dng sỏng kin, hc sinh hu nh khụng nm vng kin thc, phng phỏp gii k c nhng dng toỏn c bn, hay mc phi nhng sai lm trỡnh by bi lm T l hc sinh t im trung bỡnh tr lờn l 88%, s lng hc sinh cú im gii cha nhiu (2 HS chim 8%); Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 30 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS - Sau hc sinh c ỏp dng SK, dy hc mt cỏch cú h thng, bi bn, kt qu kim tra cho thy c bn a s hc sinh u nm c cỏch gii cho tng dng bi c th, nhng sai lm ớt mc hn, t l hc sinh khỏ, gii c nõng lờn: T l hc sinh khỏ tng t: 44% lờn 48% T l hc sinh gii tng t: 8% lờn 16% T l hc sinh cú im di TB c gim thiu C KT LUN 1) Nhn nh chung: Nh ó cp cỏc phn trc, cỏc bi toỏn cc tr vụ cựng phong phỳ, a dng c v th loi v phng phỏp gii Tuy nhiờn, khuụn kh thi gian ginh cho nghiờn cu cha nhiu nờn cũn cú nhng dng toỏn cc tr vi phng phỏp gii c thự cho tng bi, tng kiu bi c th, tụi khụng cp ht sỏng kin ny ca mỡnh m ch cp n cỏc kiu bi c bn m cỏc em hc sinh thng gp quỏ trỡnh hc v gii toỏn im hn ch na sỏng kin ny ch cp n cỏc bi toỏn cc tr i s cũn Cc tr hỡnh hc phng v cỏc bi toỏn cc tr cú iu kin dng buc ca bin, õy cng l nhng dng toỏn m cú nhiu chng trỡnh toỏn THCS thỡ cha c cp 2) Nhng trin vng, mong mun ỏp dng sỏng kin: Khi vit sỏng kin ny tụi mong mun: - Giỳp hc sinh ụn tp, cng c v o sõu cỏc kin thc v i s núi chung v gii toỏn Cc tr i s núi riờng, ng thi giỳp cho hc sinh hỡnh thnh thúi quen suy ngh nh hng tỡm tũi li gii trc mt bi toỏn T ú giỳp hc sinh cú thúi quen gii toỏn theo mt trỡnh t khoa hc; - Xõy dng c mt h thng phng phỏp v k nng Giỳp cho hc sinh v giỏo viờn cú mt t liu tham kho cho hot ng dy hc toỏn hc vi vic bi dng hc sinh khỏ, gii nh trng ph thụng hin nay; - Hỡnh thnh hc sinh thúi quen khai thỏc kin thc c bn chng trỡnh Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 31 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS theo chiu sõu Giỳp cho cỏc em cú c t sõu sc linh hot, c lp sỏng to quỏ trỡnh gii toỏn; - Giỳp cho hc sinh phõn loi c cỏc dng bi v phng phỏp, k nng gii cho tng loi, to iu kin cho cỏc em nhỡn nhn mt toỏn hc (phng trỡnh v h phng trỡnh) di mt hon thin hn v trỏnh nhng sai sút khụng ỏng cú; - Phỏt huy c c tớnh t hc, t tỡm tũi nghiờn cu ca GV, HS gúp phn tớch cc cho vic i mi phng phỏp ging dy v kim tra ỏnh giỏ giai on hin 3) Nhng xut v khuyn ngh a) i vi nh trng -Thng xuyờn t chc cỏc chuyờn cp trng, cp t liờn quan ti nhng khú ( nh ti ny); - Tng cng h thng sỏch tham kho ch bt ng thc, cc tr - Trin khai cỏc ti sỏng kin kinh nghim ó t gii cao, ỏp dng dy hc thc t vi hc sinh b i vi Phũng giỏo dc v o to -Thng xuyờn t chc cỏc chuyờn v vit SKKN, nghiờn cu khoa hc, nghip v s phm cho cỏc trng hc v trin khai - T chc cỏc cuc thi cho GV, HS cỏc trng thi ua, giao lu, hc hi, trao i kinh nghim hc tp, ging dy ti ny c hon thnh vi s giỳp quý bỏu ca cỏc thy v cỏc em hc sinh Lp 8;9 THCS ỡnh Cao v n lc ca bn thõn, nhiờn , tụi ó c gng tỡm tũi ,nghiờn cu nhng trỡnh cú hn chn chn ti cũn cú thiu sút ,hn ch , rt mong c s gúp ý ca Hi ng khoa hc cỏc cp v ca ng nghip ni dung ti c phong phỳ v y hn.Tụi xin chõn thnh cỏm n! Li cam oan: õy l sỏng kin kinh nghim ca bn thõn tụi vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 32 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS ỡnh Cao, ngy 24 thỏng nm 2015 Ngi vit sỏng kin PHM XUN H MC LC Ni dung Phn I: Lý lch Phn II : Ni dung A.M u I.t 1.Thc trng ca 2.í ngha ca gii phỏp 3.i tng v phm vi nghiờn cu II Phng phỏp tin hnh 1.C s lý lun v thc tin 2.Cỏc bin phỏp tin hnh B.Ni Dung I.Mc tiờu II.Ni dung II.1- Phng phỏp chung gii bi toỏn cc tr i s II.2- Cỏc dng toỏn thng gp v phng phỏp gii III.Kt qu C.Kt Lun 1.Nhn nh chung 2.Nhng trin vng ỏp dng sỏng kin 3.Khuyn ngh v xut Ti liu tham kho Phm Xuõn H - Trang 2 2 3 3 4 5 12 29 31 31 31 32 33 THCS ỡnh Cao 33 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS TI LIU THAM KHO 1) Phng Phỏp gii toỏn hỡnh Trn Vn Kỡ 2) Toỏn nõng cao cỏc chuyờn i s Nguyn Ngc m V Dng Thu 3) 255 Bi toỏn hỡnh hc chn lc Nguyn Ngc m V Dng Thu 4) Toỏn bi dng hc sinh gii 9-V Hu Bỡnh TụngThõn 5) 400 Bi toỏn i s chn lc V Dng Thu Trng Cụng Thnh 6) 23 Chuyờn gii 1001 bi toỏn s cp Nguyn Vn Vnh Nguyn c ng 7) 23 Chuyờn gii 1001 bi toỏn i s Nguyn Vn Vnh Nguyn c ng 8) Giỳp hc tt hỡnh hc Nguyn Bỏ Kim Nguyn Tin Quang 9) Cỏc bi toỏn bt ng thc hay v khú Nguyn V Hong Lõm Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 34 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS XC NHN CA HI NG KHOA HC TRNG THCS èNH CAO Tng im: Xp loi : TM Hi ng khoa hc Hiu Trng Nguyn Vn Hnh XC NHN CA HI NG KHOA HC PHềNG GIO DC V O TO HUYN PH C Tng im: Xp loi : TM Hi ng khoa hc Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 35 ... + | 98 x + 97 | + | 99 x + 98 | (x Bi 4: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: H = Phm Xuõn H - )( + 16 x + 48 x + 12 x + 27 ) x2 THCS ỡnh Cao 14 SKKN: Phng phỏp gii mt s bi toỏn cc tr i s lp v lp THCS. .. 2006 = [(x2 - 9x + 14) - 6].[(x2 - 9x + 14) + 6] + 2006 = (x2 - 9x + 14)2 - 62 + 2006 = (x2 - 9x + 14)2 + 197 0 197 0 vỡ (x2 - 9x + 14)2 x B = 197 0 x2 - 9x + 14 = x = hoc x = Vy B = 197 0 x = hoc... 66y +95 y +5 11 95 99 = x = x ữ+ ữ + ( y 6y +9 ) + 4 4 4 y +5 11 = x ữ + ( y ) 1x, y y+5 =0 x = x H = Vy H = - x = v y = y = y = Bi dng: Phm Xuõn H - THCS ỡnh Cao 19 SKKN: