SKKN phương pháp giải một số bài toán cực trị đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

Qua việc nghiên cứu và thực tế giảng dạy toán THCS, tôi nhận thấy kháiniệm cực trị chưa được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉhình thành từng bước cho học sinh qua

PHẦN I: LÍ LỊCH

Họ và tên: PHẠM XUÂN HÀ Chức vụ : Phó hiệu trưởng

Đơn vị công tác : Trường THCS Đình Cao

Sáng kiến kinh nghiệm :

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Ở LỚP 8 VÀ LỚP 9 THCS

N¨m häc 2014-2015

PHẦN II: NỘI DUNG

tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó cho cuộc sống sau này.

Qua việc nghiên cứu và thực tế giảng dạy toán THCS, tôi nhận thấy kháiniệm cực trị chưa được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉhình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập đơn giản trong SGK Nhưngcác bài toán cực trị rất hay gặp trong các kỳ thi, các bài kiểm tra định kỳ hàng nămcủa học sinh lớp 8, lớp 9

Thực tế hiện nay, học sinh nắm khái niệm cực trị và phương pháp cơ bản đểgiải các dạng toán cực trị thường gặp trong chương trình học của các em là rất yếu.Ngay cả đối với những học sinh giỏi, khi làm bài tập về cực trị cũng gặp không ítnhững khó khăn và mắc những sai lầm đáng tiếc trong lập luận hoặc vận dụng cácphép biến đổi thiếu chính xác do không nắm vững khái niệm cực trị, phương pháp,điều kiện của phép biến đổi khi vận dụng

Về phía giáo viện giảng dạy bộ môn toán, thực tế có không ít những giáoviên còn hạn chế trong việc dạy học sinh giải toán cực trị Một trong những nguyênnhân dẫn đến tình trạng đó là do giáo viên nghiên cứu những tài liệu có liên quanđến cực trị nhưng chưa tìm cách phân loại, chỉ ra phương pháp cơ bản cho từngdạng bài cụ thể, chưa tuyển chọn và sắp xếp các dạng toán cực trị theo một trật tựphù hợp với đối tượng học sinh

Chính vì những lí do trên đây, tôi đã chọn sáng kiến Phương pháp giải một

số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS nhằm tháo gỡ một phần khó

khăn cho học sinh khi làm các bài toán cực trị, đồng thời đây là một tài liệu giúpích cho giáo viên khi dạy học dạng toán này cho học sinh lớp 8, lớp 9.

2) Ý nghĩa, tác dụng của đề tài:

Đề tài này nhằm giúp cho học sinh lớp 8, lớp 9 một số phương pháp giảibài toán cực trị và giúp các em giảm bớt khó khăn về đường lối, phương phápsuy luận hạn chế chững sai lầm đáng tiếc khi học toán nói chung và việc giảicác bài toán cự trị nói riêng Qua đó phần nào gây được hứng thú học tập môntoán cũng như việc giải các bài toán cực trị có trong chương trình học tập củacác em

Đề tài này cũng cho giáo viên dạy học một tài liệu ôn tập, ôn thi HSG hữu ích, là một sáng kiến nên được áp dụng rộng rãi cho học sinh lớp 8 và lớp 9; Sángkiến cũng nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục hiện nay

3) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài:

Đối tượng khảo sát và thực nghiệm là học sinh lớp 8 và 9 THCS Đình CaoPhạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán cực trị thường gặp trong đại số cótrong chương trình toán 8; 9 THCS

II) Phương pháp tiến hành

1) Cơ sở lý luận và thực tiễn:

a) Cơ sở lý luận:

Trong chương trình toán THCS thì khái niệm cực trị không được xây dựngthành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bước cho học sinhqua một số bài tập trong sách giáo khoa Nhưng các bái toán cực trị lại là một vấn

đề thường gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm Do đó việc hình thànhkhái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các bài toánnày của học sinh còn gặp nhiều trở ngại

Vận dụng phương pháp giải một số dạng bài toán cực trị vào giải toán ngoàiviệc học sinh được rèn luyện các kỹ năng toán học thì học sinh còn được nâng cao

về mặt tư duy toán học như các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, kháiquát hoá, đặc biệt hoá… Các thao tác này được thường xuyên rèn luyện

Thông qua việc giải các bài toán cực trị ta có thể ôn lại cho học sinh các kiếnthức về phân tích đa thức thành nhân tử , biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệtđối, biểu thức chứa căn thức bấc hai, cách áp dụng một số bất đẳng thức như BĐTCauchy, BĐT Bunhia-côp-xki … , cách lập bảng xét dấu các tam thức bậc hai…

b) Cơ sở thực tiễn

Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, xuất phát từ những kinhnghiệm có được của bản thân qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khả năng vậndụng phương pháp giải các dạng bài toán cực trị vào việc giải các bài toán cực trị

cụ thể của học sinh gặp rất nhiều khó khăn Việc vận dụng các kỹ năng biến đổiđại số cũng như hình học còn lúng túng hay mắc sai lầm Khả năng vận dụng bàitoán này cho các bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi bài toán, khai thác bài toántheo hướng đắc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao Học sinh chưa có thói quen tổnghợp và ghi nhớ những tri thức phương pháp qua từng bài toán, dạng toán

Trên đây cũng là những lí do nữa mà tôi muốn làm sáng kiến này để góp phầngiải quyết các vấn đề khó khăn đã nêu

2) Các biện pháp tiến hành: Giáo viên cần:

- Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị

- Tuyển chọn, phân loại được các bài tập cơ bản và nêu lên được các phươngpháp chính giải từng dạng bài tập cự trị cụ thể

- Dự đoán được các sai sót của học sinh, nêu được những điểm cần chú ý khigiải các bài toán cực trị

* Thời gian tạo ra giải pháp: 10/2014 – 2/2015

B – NỘI DUNG

I) Mục tiêu: Giúp học sinh:

- Hiểu được khái niệm cực trị và nắm vững các bước giải của bài toán cực trị

- Nhận dạng được từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phươngpháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó đẻ làm được bài Dần thấyđược những điểm mà bản thân mình hay sai khi giải toán cực trị và từ đó có ý thứckhắc phục những sai lầm đó

- Bước đầu thấy được những tình huống dẫn đến bài toán cực trị, cách xây dựng một bài toán cực trị Trên cơ sở đó có ý thức vận dụng kiến thức về toáncực trị vào các môn học khác như vật lý, hoá học , … và thấy được tính ứng dụngcủa toán cực trị vào đời sống hàng ngày.

II) Nội dung:

II.1: PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ:

Do tính chất sư phạm, để nhằm mục đích học sinh hiểu được khái niệm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị), giáo viên khi dạy nên đưa khái niệm thật đơngiản tránh lý thuyết kinh viện Chính vì thế ta có thể cho học sinh tìm hiểu kháiniệm cực trị thông qua cực trị của hàm một biến như dưới đây

1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền (D)

a) M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau

đồng thời được thoả mãn:

2)

(D) x víi M f(x) 1)

0 0

Kí hiệu: M = max f(x), x  (D)

b) m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau

đồng thời được thoả mãn:

2)

(D) x víi f(x)

1)

0 0

b) a/ x  0

b/ x + y x + y ; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu

c/ x - y x- y ; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu

c) Bất đẳng thức Côsi (Cauchy)(cho 2 số) có các dạng sau:

a) (a + b)2  4ab, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

 với a.b > 0; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

c) ab2 ab, (a  0; b  0), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

d) BĐT Bunhia-cop-xki ( cho 2 bộ số(a,b) và (x,y)): Với mọi a,b,x,y ta có :

( ax + by )2 ≤ ( a2 + b2 )( x2 + y2 )Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b ( , , ,a b x y 0)

3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ THƯỜNG DÙNG TRONG ĐẠI SỐ.

a) Phương pháp tam thức bậc hai:

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 2

2

1 x

1 x x D

2

1 x

1 1

x

1 1 1

x

1 1 x 1 x 1

x

1 x x D

3 2

1 t

1 1 x

1 0

2

1 t 4

3 D

* Lưu ý : Trong ví dụ trên ta có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức:

x + y x + y

c) Phương pháp miền giá trị của hàm số:

Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị (D) Gọi y0 làmột giá trị nào đó của f(x) với x  (D) Điều này có nghĩa là phương trìnhf(x) = y0 ( với x  (D) ) phải có nghiệm

Sau khi giải phương trình, điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng thức:

m  y0  M

Từ đó suy ra: min f(x) = m với x  (D); max f(x) = M với x  (D)

Cũng có trường hợp ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớnnhất, hoặc ngược lại

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số:a) y = 7x2 - 4x + 1 b)y = - 6x2 + 5x - 2

Vậy min y =

7

3 , đạt được khi và chỉ khi x =

7

2 (nghiệm kép vì lúc đó ' = 0)

b) Làm tương tự câu a) ta có max y =

Ví dụ 2: Cho  

1x

1xx2

A 22







 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A

Lời giải: Vì x2 + 1 > 0 với x nên A xác định với x

Phương trình: A(x2 + 1) = 2(x2 + x + 1) (A - 2)x2 - 2x + (A - 2) = 0 (*)

Phương trình có nghiệm khi ' = 1 - (A - 2)2  0  1  A  3

1) Khi A = 1, từ (*) suy ra - x2 - 2x - 1 = 0 (x + 1)2 = 0  x = - 1

2) Khi A = 3, từ (*) suy ra x2 - 2x + 1 = 0  (x - 1)2 = 0  x = 1

Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1; max A = 3 khi và chỉ khi x = 1

Chú ý: Ở ví dụ 2 trên ta có thể giải bài toán theo cách khác.

1)         1

1x

1x11

x

12xx

1x1

x

1xx

2

2 2

2 2

1x

2

2





 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1

Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1

1

13

1

121

31

x

1xx

2

2 2

2 2

x x x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Vậy max A = 3 khi và chỉ khi x = 1

215x

Vì mẫu luôn luôn dương nên phân thức đã cho luôn có nghĩa, tử là hằng sốdương nên phân thức sẽ lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do đó:

65

3x

6155x

3x

215x

Ta có: x2 + 3  3  2

3

63x

6

Vậy max D = 5 + 2 = 7 khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của :a) E  x  8  x b) F = x - 3 + x - 5

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức x + y  x + y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 3)(5 - x)  0  3  x  5

Vậy min F = 2 khi và chỉ khi 3  x  5

Ví dụ 3: Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức:a)

2 x

16 x M

N    với x > 0; a, b là các hằng số dương

Lời giải:

2 x

16 2

x 2 x

16 x

16

 là hai số dương có tích không đổi: (x - 2)

2 x

16

 = 16Nên tổng (x - 2) +

2 x

16

 sẽ nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau:

x - 2 =

2 x

 + 2 = 10 khi và chỉ khi x = 6

Chú ý: Ta cũng có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi với hai số dương x - 2 và

16

2 x

16 2 x

ab x b a x x

b x a

ab x.

1a

1cba

c1b

cc

b1a

bb

a1c

1b

1a

1cbaP

Áp dụng hằng đẳng thức 2

a

bb

a



 (với a, b > 0) ta được:

P  3 + 2 + 2 + 2 = 9 Vậy min P = 9 khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 5: Tìm giá trị lơn nhất của biểu thức:

G = x + 2y + 3z biết rằng ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1

Lời giải:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski, ta có:

(x + 2y + 3z)2  (12 + 22 + 33)(x2 + y2 + z2) = 14

 x + 2y + 3z  14 , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

3

z2

y1

x



  y = 2x, z = 3x

Vậy max G = 14 khi và chỉ khi y = 2x, z = 3x

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x5  3 x

Lời giải:

* Điều kiện xác định: - 5  x  3

Ta có thể giải bài toán trên theo những cách vận dụng bất đẳng thức như sau:

Vậy max A = 4 khi và chỉ khi x = - 1.

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:

2

16.2

12

4x32

45x.2

1x).4(3

5).4(x

45x4

a) Chú ý 1: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ta có thể đổi

biến Chẳng hạn ta xét ví dụ sau đây:

b) Chú ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức

này đạt cực trị bởi biểu thức khác đạt cực trị (xét biểu thức phụ)

1xB

1x

12xx

1

1xB

1

4

2 4

2 4

4

2 2

2x1

Ta có: (x2 - 1)2  0, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 = 1  x =  1

 x4 + 1  2x2 Vì x4 + 1 > 0, chia hai vế cho x4 + 1 ta được 1

1x

  min B = 2 khi và chỉ khi x =  1

II.2 CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

DẠNG 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán dạng này gồm:

* Chia khoảng, xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đố).i So sánh các giá trị trong tất cả các trường hợp để tìm ra giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

* Sử dụng các bất đẳng thức phụ:

+ A + B  A + B Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A.B  0

+ A - B  A - B Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi B.(A - B)  0

+ A + 1 2 ( 0)

A  A Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A =  1

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = x - 5 + x + 2

Lời giải:

Cách 1: Ta xét các trường hợp sau

* Nếu x < - 2, ta có M = - x + 5 - x - 2 = - 2x + 3 > 4 + 3 = 7

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (5 - x)(x + 2)  0  - 2  x  5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7 đạt được khi và chỉ khi - 2  x  5

5 x 0 2 x

0 x 5

- Theo cách 2 và cách 3 lời giải của bài toán rất gọn ngay cả khi đề bài có chứanhiều dấu giá trị tuyệt đối Nhưng để làm theo cách 2 hoặc cách 3 thì ta cần phải cóthao tác đổi dấu của biểu thức nằm ở một trong hai dấu giá trị tuyệt đối của Mtrước khi vận dụng bất đẳng thức phụ Làm như vậy thì sau khi áp dụng bất đẳngthức phụ để đánh giá sẽ được một hằng số Chính điều này khi dạy, giáo viên cầnchỉ ra cho học sinh tại sao phải làm như vậy, làm như vậy nhằm mục đích gì?.Thực tế học sinh rất dễ sai ở thao tác này khi làm bài

- Nếu đối tượng là học sinh lớp 9, giáo viên nên chỉ ra biểu thức M ở trên có thểthay thế bởi M x2 10x 25 x2 4x 4

 , chính điểm này giúp cho học sinh lớp

9 có thể giải được không ít các bài tập cực trị có chứa căn thức có trong chương trình

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = x2 + 2x + 3 + x2 + 2x - 15

Lời giải: Ta có: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 > 0 x

Lời bình:

- Từ ví dụ 1 và ví dụ 2, giáo viên khi dạy có thể cho học sinh nhận xét về đặcđiểm của biểu thức M và N (số dấu giá trị tuyệt đối, cách làm …) qua đó thấy được

ưu thế của phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ A + B  A + B

- Đến đây giáo viên có thể khái quát bài toán qua ví dụ 1 và ví dụ 2 đó là:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) + a + f(x) + b.

Nhưng để đi đến bài toán tổng quát, giáo viên cần tiếp tục đưa thêm những ví

dụ và đặt ra những câu hỏi trọng tâm để học sinh phát hiện ra vấn đề

x

27x12x48x16x

- Sử dụng phương pháp đưa dần các biến vào hằng đẳng thức.

- Phương pháp miền giá trị, biến đổi đưa về tam thức bậc hai, …

152

1x4

154

1xx4xxA :cã

Ta a)

2 2

2

1.Vậy min A =

4

15 đạt được khi x = -

2

1

x8

398

394

1x28

3916

12

xx2B

4

1.Vậy min B =

8

39 đạt được khi x =

4

1

4a

4acb

4a

4acb

2a

bxa4a

bc4a

bxa

bxaC

2 2

CminVËy

252

3x4

254

9xx4xx M:cã

Ta

a)

2 2

2

3.Vậy min M =

4

25 đạt được khi x = -

2

3

x3

23

23

1-x-3 N

4acb

2a

bxa4a

bc4a

bxa

bxaP

2 2

2

2 2

x 

4a

4acb

Lời bình: Ví dụ 1, ví dụ 2 là các đa thức bậc hai, phương pháp thường dùng để tìm

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng này là đưa các biến vào hằng đẳng thức và sử dụng bất đẳng thức A2m  0 m  N* Đối với biểu thức dạng này, nếu

là đối tượng học sinh lớp 9 cuối học kỳ II , giáo viên có thể giới thiệu phương phápmiền giá trị để các em là quen

Từ kết quả ví dụ 1c và ví dụ 2c ta rút ra được kết luận sau:

A = 2006 khi và chỉ khi x2 + 5x = 0  x = 0 hoặc x = - 5

Vậy min A = 2006 khi x = 0 hoặc x = - 5

b) Ta có B = [(x - 1)(x - 8)][(x - 4)(x - 5)] + 2006

= (x2 - 9x + 8)(x2 - 9x + 20) + 2006

= [(x2 - 9x + 14) - 6].[(x2 - 9x + 14) + 6] + 2006

= (x2 - 9x + 14)2 - 62 + 2006

= (x2 - 9x + 14)2 + 1970  1970 vì (x2 - 9x + 14)2  0 x

B = 1970  x2 - 9x + 14 = 0  x = 2 hoặc x = 7

Vậy min B = 1970 khi x = 2 hoặc x = 7

Lời bình:Bài toán ở ví dụ 3 trên có bài toán tổng quát là:

Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + e với a, b, c, d, e là cáchằng số và a + b = c + d

Đối với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phương pháp đổibiến (đặt ẩn phụ) để đưa về tam thức bậc hai rồi vận dụng cách làm như ví dụ 1, 2.Khi hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ cần lưu ý: có nhiều cách đặt ẩn phụ đốivới dạng toán này, nhưng thường cách đặt sau đây đem lại hiệu quả và giúp ta có

lời giải gọn hơn:Biểu thức dạng: [f(x) + a].[f(x) + b] ta đặt ẩn phụ t = f(x) +

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi y = 0  x + 3 = 0  x = - 3

Vậy min A = 32 khi x = - 3

b) Đặt y = x + 2 ta có:B = (y - 5)4 + (y + 5)4

= y4 - 20y3 + 150y2 - 500y + 625 + y4 + 20y3 + 150y2 + 500y + 625

= 2y4 + 300y2 + 1250  1250 y

B = 1250 khi và chỉ khi y = 0  x + 2 = 0  x = - 2.Vậy min B = 32 khi x = - 2

Lời bình: Ví dụ 4 a, b có bài toán tổng quát là:

Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x + a) 4 + (x + b) 4 (a, b là hằng số).

Với bài toán này ta thường chọn cách đặt ẩn phụ là y = x +

2

b

a 