SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)

SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)

Mục Lục

Mục lục ……… 1

Phần 1: Mở đầu……… 2

1 Lý do chọn đề tài………2

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu……… 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 2

4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

5 Tính mới của đề tài……… 3

Phần 2: Nội dung……… 4

1 Cơ sở lý luận ……… 4

2 Thực trạng vấn đề……… 4

3 Các giải pháp thực hiện……… 4

3.1 Cơ sở lý thuyết……….4

3.2 Bài toán 1……… 5

3.2.1 Dạng 1……… 5

3.2.2 Dạng 2……… 7

3.2.3 Dạng 3……… 8

3.3 Bài toán 2……… 8

3.3.1 Dạng 1……… 9

3.3.2 Dạng 2……… 10

3.4 Bài toán 3……… 12

3.5 Bài toán 4……… 14

4 Thực nghiệm và kết quả thực hiện……… 17

Phần 3: Kết luận và kiến nghị……… 18

1 Kết luận………18

2 Kiến nghị……… 18

Phần 4: Tài liệu tham khảo ……… 18

Phần 1: Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong các kì thi Tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng môn Toán đóng một vai trò rất quan trọng Trang bị những kiến thức, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong dạy học môn Toán Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  là một phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông Được áp dụng nhiều trong các kì thi Tốt nghiệp, tuyển sinh nhưng thời lượng nội dung này trong phân phối chương trình toán 11 rất ít Học sinh còn lúng túng khi lựa chọn một phương pháp phù hợp để giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém,… tôi đã lựa chọn và phân dạng một số bài toán về phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho các đối tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán, giúp các em giải quyết tốt các bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Do đó, tôi đã lựa chọn thực hiện đề tài "Phương pháp giải một số bài toán

về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x " mong muốn giúp học

sinh yêu thích môn Toán, và đạt kết quả thật tốt trong học tập cũng như trong các

kì thi quan trọng sắp tới

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nhằm hệ thống lại một số dạng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và đưa ra phương pháp giải phù hợp cho từng dạng

Chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài tập có liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Học sinh lớp 11a16 năm học 2013 – 2014

Học sinh lớp 11A4, 11A8 Trường trung học phổ thông Trần Văn Bảy

4 Phương pháp nghiên cứu

Để tiến hành làm đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: Tổng hợp, tích lũy

Phương pháp nghiên cứu tài liệu bổ trợ

Áp dụng kinh nghiệm, phương pháp mới trên lớp học

Thao giảng, dự giờ, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp trong quá trình dạy

5 Tính mới của đề tài

Đề tài chủ yếu tập trung phân loại một số dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp ở lớp 11, 12 Đối với mỗi dạng có hướng dẫn cách xác định các dữ kiện còn thiếu để có thể viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số một cách nhanh chóng

Trong mỗi dạng được đưa ra đều có ví dụ minh họa dễ hiểu, có bài tập để các em học sinh áp dụng Đề tài không chọn những bài toán quá phức tạp nên việc tiếp cận của học sinh đối với kiến thức phương trình tiếp tuyến cũng dễ dàng hơn Đây là đề tài rất gần với chương trình toán 11, có thể cung cấp cho các em thêm những kiến thức thật vững để giải quyết các bài toán khó hơn ở lớp 12 cũng như tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia

Phần 2: Nội Dung

1 Cơ sở lý luận

Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Khi giải bài tập cần chuẩn bị phương pháp thích hợp làm cho lời giải rõ ràng, có lôgic, chính xác, dễ hiểu … và hiệu quả của việc giải toán tốt nhất, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh đối với môn học

Từ đó lựa chọn phương pháp phù hợp với mọi đối tượng học sinh, với những dạng toán cụ thể giúp các em định hướng được phương pháp giải nhanh nhất và có hiệu quả nhất

2 Thực trạng vấn đề

* Thuận lợi

+ Được sự giúp đỡ nhiệt tình từ các đồng nghiệp và nhà trường

+ Tài liệu tham khảo đa dạng

+ Các em học sinh có tính hợp tác cao trong hoạt động dạy và học

* Khó khăn

+ Thời lượng dành cho nội dung này rất ít

+ Học sinh nắm kiến thức cơ bản chưa vững, một số em chưa chủ động trong học tập, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ,…

Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập

Sau đây là “Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x ” mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy

3 Các giải pháp thực hiện

3.1 Cơ sở lý thuyết

Đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0x f x0 ;  0 

Hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0x f x0 ;  0  có phương trình là

   

yy  f x xx (1)

Trong đó y0  f x 0

3.2 Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y f x  tại một điểm cho trước

3.2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y f x 

tại điểm M x y 0 ; 0

* Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y f x  tại điểm M x y 0 ; 0

Cách giải:

+ Tính f ' x , f ' x0

+ Thay x y f0 , 0 , ' x0 vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ: Cho hàm số 2

2 1

y x  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A0; 1  

Giải

Ta có y  2x  2 y 0   2

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A0; 1   là:

 1 2. 0

y    x hay y   2x 1

Bài tập áp dụng:

1 Cho hàm số 3 2

3 2

yx  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M1; 1  

2 Cho hàm số 4 2

8 1

yx  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M  1; 6

* Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y f x  tại điểm M thỏa mãn tính chất P cho trước

Cách giải:

+ Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x y0; 0

+ Tính f ' x , f ' x 0

+ Thay x y f0 , 0 , ' x0 vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

Giải

Gọi M x y 0 ; 0 với x0   1 là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 0 0 0  

0

0 0

0; 1

0 1

1 0

x

x

y x

M



Ta có  

 2

5 '

1

f x

x



  f '(0)  5 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0; 1   là:

 1 5. 0

y   x hay y 5x 1

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2

6 9 4

y  x x  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

Giải

Gọi M x y 0 ; 0 là giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành

Tọa độ giao điểm M của (C) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:

 

 

0

1

0

0

1

1;0

6 9 4

4

0

x

M

x

y







Ta có 2    

y   x  x y  y  

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y 0 và y   9x 36

Bài tập áp dụng:

1 Cho hàm số 3

2

x y x





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các

giao điểm của đồ thị hàm số (C) đường thẳng d x:   y 1 0

2 Cho hàm số y x 2x 3x

3





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến d tại

điểm cực đại của đồ thị (C)

3.2.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y f x  tại điểm

có hoành độ x0

Cách giải:

+ Tính f ' x  f ' x 0

+ Thay x0 vào (C) tìm y0

+ Thay x y f0 , 0 , ' x0 vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ : Cho hàm số 2 1

2

x y x





 (C) Hãy viết phương trình của đồ thị hàm số

(C) tại điểm có hoành độ x0  3

Giải

Ta có

 2

3 2

y

x

  



Với x0  3ta được : y 3   3 ; y0  5

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N 3;5 là:

 

y   x hay y   3x 14

Bài tập áp dụng:

1 Cho hàm số 3 2

3 1

y x  x  , ta có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

2 Cho hàm số

3 2

3

x

y   x  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0thỏa f '' x0  2

3.2.3 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y f x 

tại điểm có tung độ y0

Cách giải:

+ Thay y0 vào (C) tìm x0

+ Tính f x  f x0

+ Thay x y f0 , 0 , ' x0 vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ : Cho hàm số 3

1

x y x





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C) tại điểm có tung độ bằng 2

Giải

Theo đề bài ta có: 0

0

3

1

x

x





Ta có

5 4 1

x

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm P 5;2 là:

1

4

y  x hay 1 13

y x

Bài tập áp dụng:

1 Cho hàm số 2 3

2

x y x





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3

2 Cho hàm số 3 2

yx  x  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng  1

3.3 Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y f x 

biết hệ số góc của tiếp tuyến

3.3.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y f x 

biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k

Cách giải:

* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x0

+ Tính f ' x Giải phương trình f ' x0 k, tìm x0

+ Thay x0 vào phương trình y f x  tìm y0

+ Thay x y f0 , 0 , ' x0 vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

* Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và đường cong (C)

+ Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là ykx b (2)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có

nghiệm:

 

 

f x kx b

f x k



 



 (Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)

+ Giải phương trình f x ( ) k tìm x thế vào phương trình f(x) kxb tìm b + Thay b vào (2) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1 : Cho hàm số y f x x2  2x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 6

Giải

Cách 1:

Ta có y  f x  2x 2

Theo đề bài ta có f x0  6 2x0  2 6 x0 4

Với x0   4 y0  9

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M(4;9) là:

 

y  x hay y 6x 15

Cách 2:

Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là ykx b

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:

2

15

4

b

x x

 





Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 6x 15

Bài tập áp dụng:

1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): 2 1

4 1

x y x





 , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1

2

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C :y 3x3  6x2  2x 1, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1

3.3.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C :y f x  biết hệ số góc k thỏa mãn điều kiện P cho trước

Cách giải:

+ Tính f ' x

+ Lập hệ thức k thỏa mãn điều kiện P, tìm k

+ Áp dụng dạng 1 tìm phương trình tiếp tuyến của (C)

Chú ý: Hai đường thẳng 1:yk x1 m1; 2:yk x2 m2

1 / / 2 k1 k2 ; 1 2 k k1 2 1

Ví dụ 1 :   2

2 1

y f x x  x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến

của  C biết tiếp tuyến :

a Song song với đường thẳng d y:  4x 2015

b Vuông góc với đường thẳng  : 2x y   3 0

Giải

Ta có y  f x  2x 2

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y:  4x 2015

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d y:  4x 2015

nên f x0   4 x0  3

Với x0   3 y0  4

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M(3;4) là:

 

y  x hay y 4x 8

b Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 2x y   3 0

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 2x y   3 0

nên  0 0

f x   x 

Với 0 3 0 1

x  y 

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm N 3 1;

4 16

  là:

16 2 4

y   x 

  hay

1 7

2 16

y  x

Ví dụ 2: Cho hàm số: y x x 2x

3

1 3  2 

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bé nhất

Giải

Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc là k

Khi đó: k = y' = x2

+ 2x + 2 = (x + 1)2 + 1  1, x

Dấu ''  '' xảy ra  14

3

1

min

k x

y

 





Vậy tiếp tuyến cần tìm là

3

1



 x y

Bài tập áp dụng:

1 Cho hàm số

2 2

2 3 2

2

2









x

x x

y (C) Chứng minh rằng tại các giao điểm của (C) với trục hoành các tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

2 Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số     3 2

C y f x x  x  x không

có hai điểm bất kì mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

3.4 Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C :y f x 

biết tiếp tuyến đi qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A x y A; A

Cách giải:

* Cách 1

+ Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k

d: yk x( x A) y A (3) + Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

'( )

A A

f x k x x y

f x k



(Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A) + Giải hệ (I) tìm k, thay k tìm được vào (3) để viết phương trình tiếp tuyến

* Cách 2

+ Gọi M0x y0 ; 0 là hoành độ tiếp điểm

+ Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M0 là: y f  x0 x x0y0 (4)

+ Tiếp tuyến d qua A x y A; A  Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (4)

y A  f x0 x Ax0 y0 (5) + Giải phương trình (5) tìm x y f0 , 0 ,  x0

+ Thay x y f0 , 0 ,  x0 vào (4) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2

3 2

y x x  (C).Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) xuất phát từ điểm A 0;2

Giải

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;

Lập phương trình đường thẳng d qua A 0;2 có hệ số góc k là ykx 2 

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ phương trình

sau có nghiệm:

 

 

3 6

  



Vậy có hai tiếp tuyến là: y 2 và 9 2

4

y  x

Ví dụ 2 : Cho đồ thị (C): 3

3 1

yx  x , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 2; 1   )

Giải

Ta có: 2

' 3 3

y  x 

0 ; 0 3 0 1

x x  x  là tiếp điểm Hệ số góc của tiếp tuyến là 2

0 0

'( ) 3 3

y x  x  Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là :  3  2

0 3 0 1 (3 0 3)( 0 )

y x  x   x  xx

 qua A( 2; 1   ) nên ta có:  3  2

1 x 3x 1 (3x 3)( 2 x )

0 3 0 4 0

2

( 1)( 4 4) 0





Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 1:y   1; 2:y 9x 17

Bài tập áp dụng:

1 Cho hàm số

1

1 2







x

x

y (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 8)

2 Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi

qua điểmN 1;3

3.5 Bài toán 4 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) :C y f x 

biết tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện P cho trước

Cách giải :

Đây là dạng toán khó về phương trình tiếp tuyến, đòi hỏi ta phải đọc và hiểu đề bài, tìm hiểu điều kiện P liên quan đến đồ thị như thế nào rồi thực hiện các bước giải sau :

+ Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M(x0; y0) có dạng: y = f ' x 0 (x - x0) + y0 ,

+ Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0; f ' x 0 ;

+ Thay x0; y0; f ' x 0 vào y = f ' x 0 (x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1 : Cho hàm số

2

2





x

x

y (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B và tam giác OAB thỏa mãn ABOA 2

Giải

Ta có:

2

4 '







x

y Gọi M(x0; y0)  (C) , x0 2

Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng:

2 2

4

0

0 0

2





x

x x

x x

Theo giả thiết:

2

d Ox A

d Oy B

AB OA







OAB



 vuông cân tại O

Do đó: d d1:yx hoặc d d2:y x + Nếu d d1: y  x thì 1

1 

d

d k k

 2 .1 1

4

2 0











x  x0 22 4 Giải phương trình ta được: