Sáng kiến kinh nghiệm SKKN môn toán THPT sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "SỬ DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC" Phần 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Việc nâng cao phƣơng pháp dạy học cần thiết thƣờng xuyên giáo viên tất môn Trong môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực tích cực trau dồi, bồi dƣỡng kiến thức phƣơng pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, thời điểm nay, với cấu trúc thi đại học ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo, tìm phƣơng pháp để học sinh giải toán đề thi học sinh giỏi, thi đại học cao đẳng Và toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng môn toán THPT ngoại lệ Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức, giáo viên thƣờng củng cố nêu kiến thức phƣơng pháp kinh điển, phƣơng pháp có sẵn để giải toán Nội dung sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức mà tác giả tìm tòi, học hỏi trang bị cho học sinh Qua học sinh có thêm công cụ giải tập, có hƣớng tìm sử dụng phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải tập chứng minh bất đẳng thức (nhất đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng giáo dục đào tạo) nhiệm vụ khó khăn Nhu cầu học sinh trƣớc giải tập dạng có cách nhìn khái quát, định hƣớng phƣơng pháp giải Nội dung sáng kiến kinh nghiệm nêu rõ phƣơng pháp cách áp dụng chứng minh bất đẳng thức Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến là: “ Sử dụng phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức” 2 Mục đích nghiên cứu : Khi kết thúc chƣơng trình lớp 12, gặp toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng đƣợc toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng theo phƣơng pháp Sự kết hợp phần kiến thức khác đại số, hình học, giải tích cho ta phƣơng pháp chứng minh thích hợp Vận dụng tính chất tiếp tuyến đƣờng cong, ứng dụng với tính chất bất đẳng thức cho ta phƣơng pháp chứng minh mới, phù hợp mục đích sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ phƣơng pháp nghiên cứu: Kết lớn sáng kiến tìm thêm phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức, việc tổng hợp 10 phƣơng pháp làm tập chứng minh bất đẳng thức Từ phân biệt phƣơng pháp giải toán bất đẳng thức, liên quan đến bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, ) đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi cấp Khi giáo viên rút kinh nghiệm giảng sáng tạo toán Phƣơng pháp nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm phân tích, tổng hợp hiệu phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức thông thƣờng Từ sáng tạo phƣơng pháp mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu phƣơng pháp Phạm vi đối tƣợng nghiên cứu: Về ngƣời thầy cô giáo giảng dạy môn toán THPT em học sinh học trƣờng THPT Trong phần toán học, đối tƣợng nghiên cứu phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức mà học sinh đƣợc học chƣơng trình phổ thông Điểm sáng kiến kinh nghiệm: Là nêu phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp kiến thức tính chất bất đẳng thức, ứng dụng đạo hàm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm bao gồm: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức) 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức 2) Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức 3) Hƣớng dẫn học sinh tìm nhiều phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức 4) Phát hiện, khắc phục sửa chữa sai lầm chứng minh bất đẳng thức Chƣơng 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức thƣờng gặp Chƣơng 3: (Giải pháp mới) Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức Chƣơng 4: Kết thực nghiệm trường công tác Phần 2: NỘI DUNG Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN Bất đẳng thức dạng toán khó bậc trung học phổ thông đại trà học sinh Điều đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức nội dung không đơn giản Nhiều giáo viên xác định không cần dành nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho học sinh phần kiến thức này, chấp nhận từ bỏ toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Chƣa hẳn điều đúng, nghiêm túc phân bậc đối tƣợng học sinh cần bồi dƣỡng lực giải tập bất đẳng thức tùy theo mức độ nhóm học sinh khác 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức: Điều quan trọng, vào số lƣợng biến, phức tạp đối tƣợng, vào mức độ tƣờng minh, phối hợp hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cô-si lấy hệ thống toán phân bậc nhƣ sau Ta lấy ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: (1) 1 (a  )(b  )  , với a, b  a b (2) a  b2  c  ab  bc  ca với a, b, c  (3) a  b2  c  d  e2  a(b  c  d  e) với a, b, c, d , e  (4) Cho x, y, z  0, xyz  chứng minh rằng:  x2  y  y2  z2  z  x2   3 xy yz zx (5) Cho x, y, z  0, 1    chứng minh rằng: x y z 1   1 2x  y  z y  z  x 2z  x  y Trong hệ thống tập mức độ vận dụng toán khó dần: (1) cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số (2) phải ghép đôi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số (3) phải biết tách a  a2 a2 a2 a2 ghép đôi    4 4 (4) vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số căn, vừa áp dụng cho ba số hạng vế trái (5) câu khó đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối A năm 2002 Đòi a b hỏi vận dụng sáng tạo: Từ (a  b)(  )  với a, b  đến 1 1 Từ đó: (  ) a b ab 1 1  (   ) tƣơng tự cho hai hạng tử lại x  y  z 16 x y z 2) Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức: Bất đẳng thức ứng dụng thuận lợi để rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh: phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Học sinh cần phải có đƣợc cách giải toán, đồng thời cách suy nghĩ để giải toán, giải vấn đề Ví dụ: Giáo viên nêu dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Côsi (đây hoạt động phân tích, so sánh) nhƣ: số tham gia bất đẳng thức dƣơng; Có bậc 2, bậc 3; Vì phải sáng tạo, đặc biệt hoá dấu xảy để làm gì?; Áp dụng bất đẳng thức (1) cho bất đẳng thức (2) hay ngƣợc lại cách linh hoạt (1) Cho a, b, c  a  b  c  CMR: (2) Cho a, b, c  abc  CMR: 3 a  3b  b  3c  c  3a  a  3b  b  3c  c  3a  3) Hƣớng dẫn học sinh tìm nhiều phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Một toán có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức ngoại lệ cách nhìn khác nhau, từ nhiều phƣơng diện khác Ta tìm hiểu qua ví dụ sau đây: a) Ví dụ 1: Cho  x, y  Chứng minh rằng: x y  y x  Cách 1: Dựa vào điều kiện  x, y  ta có: VT  xy ( x  y )  y (1  y ) xy ( x  y )  Lúc lại áp dụng bất đẳng thức Côsi: y (1  y )  Cách 2: Đặc biệt hoá dấu xảy x = 4y Vậy biến đổi ta phải để ý điều VT  x y ( x  y )  x ( y  ( x  y) x x )   4 Cách 3: Đặt t  y  t x  x.t   Vế trái tam thức bậc t, có  t  x  x  nên ta đƣợc ĐPCM b) Ví dụ 2: Cho 36 x2  16 y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: T = y – 2x + x2 y2   Đặt x  cos , y  sin  Cách 1: Ta có: 36 x  16 y   / / 16 2 Ta có: T  y  x   (3sin   4cos  )   sin(   )  , 5 (với cos  ,sin   ) Khi 15 25 T  4 Ta đƣợc GTLN T 25 15 sin(   )  1, GTNN sin(   )  1 4 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki 1 1 25 ( y  x)  ( y  x)  (  )(16 y  36 y )  16 Khi đó: 5 15 25   y  2x    T  4 4 Cách 3: Từ giả thiết ta có tập giá trị T để hệ phƣơng trình có nghiệm Thế y  T  x  vào 36 x2  16 y   100 x2  64(T  5) x  16(T  5)2   Phƣơng trình có nghiệm   => 15 25 T  4 4) Phát hiện, khắc phục sửa chữa sai lầm cho học sinh: a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a  b2  c2  d  e2  a(b  c  d  e) với số thực a, b, c, d , e Lời giải: Theo Cô-si ta có: a  b2  ab, 2 a  c  ac, a  d  ad , a  e2  ae Cộng bất đẳng thức ta đƣợc điều phải chứng minh Đánh giá: Ở học sinh nhầm ví dụ với ví dụ phần I.1, vận dụng bất đẳng thức Cô-si sai, số âm Tuy nhiên, bất đẳng thức a nhƣng theo Cô-si, mà (  b)  0, b) Ví dụ 2: Cho a, b, c, d cạnh tứ giác lồi Chứng minh diện tích tứ giác không lớn ( ab  cd ) Lời giải: Giả sử bốn cạnh tứ giác AB = a, BC = b, CD = c, DA = d 2 Lúc ta có: S  S ABC  SCDA  (ab sin B  cd sin D )  (ab  cd ) => ĐPCM Đánh giá: Lời giải thiếu trƣờng hợp hai cạnh có độ dài a, b đối diện c) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức M  x(2a  x)(2b  x) với a, b dƣơng, phân biệt < x < 2a, < x < 2b Lời giải: Vì M  x(2a  x)(2b  x) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số 2x, 2a - x, 2b - x nên M lớn chúng nhau, nhƣng điều không xảy nên M giá trị lớn Đánh giá: Điều sai logic số có giá trị lớn nhất, không chƣa kết luận đƣợc d) Ví dụ 4: Cho  a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + Lời giải: Sai lầm thƣờng gặp: S  2a  1  a  a   3 a.a   minS = a a a Nguyên nhân sai lầm: S =  a  a  a2 1  mâu thuẫn với giả thiết  a  2 a Phân tích tìm tòi lời giải: Xét bảng sau để dự đoán Min S a 10 2.a 2 1 a2 100 81 64 49 36 25 16 S 100 81 64 49 36 25 16 Nhìn bảng ta thấy a tăng S nhỏ từ dẫn đến dự đoán a  S nhận giá trị nhỏ Theo phân tích ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho số a, a, : a2 Cách 1: Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số a, a, Sơ đồ điểm rơi 1: => 2a + a2 1   a  a    8  1 a       a2 a3 7.4  =  a  a     3 a.a     Với a = 8a  a a 8a giá trị nhỏ S Cách 2: 10 ta có:  a2 Nội dung phƣơng pháp tìm cách đƣa toán nhiều biến phức tạp, thành toán ẩn số cách hợp lý Ví dụ: Cho a  b2  c2  , ab  bc  ca  1, chứng minh   a  Giải: Từ giả thiết ta có (a  b  c)2   b  c    a (b  c)2 (2  a)2 3a  4a  a b c a  a   2 2 2 4  3a  4a  Vậy   a  3 Tất nhiên thời lƣợng phân phối môn đủ thời gian để giáo viên trang bị cho học sinh tất phƣơng pháp nêu Nhƣng giáo viên gợi mở, tăng sáng tạo học sinh Cụ thể tiếp cận với đề thi hoàn toàn giáo viên cần trang bị cho học sinh khả tái kiến thức phƣơng pháp sáng tạo tìm cách giải toán Ta xét câu hỏi bất đẳng thức đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 năm 2012 - Thứ nhất: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2009, câu V: Chứng minh với x, y, z  thoả mãn x( x  y  z)  yz ta có: ( x  y)3  ( x  z )3  3( x  y )( x  z )( y  z )  5( y  z )3 Phƣơng pháp làm bài: Đặt Cho a, b, c  thoả mãn: a  x  y, b  x  z , c  y  z c  a  b2  ab toán trở thành: chứng minh rằng: a3  b3  3abc  5c3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ giúp đƣa toán toán đỡ phức tạp hơn, gần gũi Tuy nhiên câu đề thi khối A nên độ khó ta biết 18 Các thầy cô tìm hiểu lời giải đáp án đề thi đại học khối a năm 2009 giáo dục đào tạo - Thứ hai: Đề thi tuyển sinh cao đẳng môn toán năm 2009, câu V : Cho a, b thoả mãn:  a  b  , chứng minh rằng: a ln b  b2 ln a  ln a  ln b Phƣơng pháp làm bài: BĐT cần chứng minh tƣơng đƣơng với: Xét hàm số f (t )  ln t , t  (0;1) t2 1 Ta chứng minh đƣợc f '(t )  ln a ln b  (2) a 1 b 1 hàm f (t ) đồng biến khoảng (0;1) Suy ĐPCM Bài toán có lẽ không cách khác việc sử dụng phƣơng pháp hàm số Tuy nhiên học sinh cần đƣợc luyện tập nhiều phát đƣợc tƣơng đồng vế BĐT (2) - Thứ ba: Đề thi tuyển sinh đại học khối D môn toán năm 2009, câu V Cho x, y  thoả mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: S  (4 x  y)(4 y  3x)  25 xy Phƣơng pháp làm bài: Ta thấy đối xứng x, y biểu thức S điều kiện toán.Dẫn đến hình thành tƣ liên hệ tổng tích x y Trong x  y 1 lúc gợi ý đặt xy=t Cần sử dụng đến BĐT  xy  ( x  y)2  4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đó: 0t  Bài toán trở thành:  1 S  f (t )  16t  2t  12, t  0;   4 không khó học sinh.tuy nhiên sau tìm xong 19 Bài tập thực 25 191 max f (t )  f ( )  ; f (t )  f ( )   1 0;  16 16 0;   4  4 1 t  (t  ) 16 công việc tìm xem có x, y thoả mãn hay không? Từ kết luận đƣợc kết toán Trên câu hỏi đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 Với phƣơng pháp nêu trang bị cho học sinh Tôi tin học sinh thực tốt câu hỏi - Thứ tƣ: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2012, câu “Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  yz  z x  6(x  y  z ) ” Trƣớc toán này, câu hỏi đặt giải theo hƣớng nào? Các phƣơng pháp kể có giải đƣợc toán hay không? Chƣơng 3: GIẢI PHÁP MỚI Xuất phát yêu cầu kiến thức giai đoạn khác nhau, giáo viên bổ sung cho học sinh phƣơng pháp, cách giải phù hợp Dạy học chứng minh bất đẳng thức Ngƣời giáo viên tìm tòi, bổ sung phƣơng pháp chứng minh cho học sinh phƣơng pháp hiệu điều cần thiết Ngoài phƣơng pháp thƣờng làm kể trên, học phần kiến thức Đạo hàm ứng dụng Ngay chƣơng trình lớp 11, có khái niệm đạo hàm có ý nghĩa hình học quan trọng đạo hàm “Nếu tồn tại, M0 (x ;f (x )) f '(x ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) điểm Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm y  y0  f '(x ).(x  x ) ” 20 M Ta có nhận xét sau: Nếu đƣờng thẳng (d): y  ax  b tiếp tuyến đồ thị (C): y  f (x) điểm M0 (x ;f (x )) ( không điểm uốn), tồn khoảng D chứa điểm x0 cho đồ thị (C) nằm phía dƣới đồ thị (d) nằm phía đồ thị (d) Tức f (x)  ax  bx  D f (x)  ax  bx  D Và đẳng thức xảy x  x Hơn ta phân tích đƣợc f (x)  (ax  b)  (x  x ) k g(x) với k  N, k  Khi ta xét dấu g(x) để so sánh f (x) (ax  b) Từ việc phân tích ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức hay nhiều biến ta biến đổi bất đẳng thức dạng chẳng hạn nhƣ f (a1 )  f (a )   f (a n )  E Khi điểm rơi a1  a   a n  x Khi ta viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) x  x sử dụng nhận xét kể Ta xét số ví dụ để làm rõ điều này: Bài 1: Cho số dƣơng a,b,c,d thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 6(a  b3  c3  d3 )  a  b  c2  d  Nhận xét Dấu xảy a  b  c  d  Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với (6a  a )  (6b3  b )  (6c3  c2 )  (6d3  d )  1  f (a)  f (b)  f (c)  f (d)  8 Trong f (x)  6x3  x Phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) x  1 5x  y  f '( ).(x  )  f ( )  x  Ta cần so sánh f (x) x  (0;1) 4 8 21 Lời giải Ta có 6a  a  5a   48a  8a  5a    (4a  1) (3a  1)  a  (0;1) (Dấu xảy a  ) Vai trò a, b, c, d bình đẳng nên ta có (6a  a )  (6b3  b )  (6c  c )  (6d  d )  5(a  b  c  d)  =>ĐPCM  8 (Dấu xảy a  b  c  d  ) Bài 2: Cho a, b,c   ;a  b  c  Chứng minh a b c    a  b  c  10 Nhận xét Dấu xảy a  b  c  , f (a)  f (b)  f (c)  f (x)  x với hàm số 10 x liên tục   ;   Phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) x 1   36x  y  Từ gợi ý cho ta dẫn đến lời giải toán 50 Lời giải 36a  a (3a  1) (4a  3) 36a  a Ta có    0a     2 50 a 1 50(a  1) 50 a 1 Suy a b c 36(a  b  c)  9      ĐPCM a 1 b 1 c 1 50 10 (Dấu xảy a  b  c  ) Qua tập ta nhận thấy phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng lối sở để dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh Điều quan trọng biến đổi để có 22 đƣợc hàm số điểm rơi cần thiết Qua cho thấy hạn chế phƣơng pháp Tuy nhiên công cụ giúp ta giải tập chứng minh bất đẳng thức cách tự nhiên Ngƣời đọc giải thích đƣợc câu hỏi nhƣ: Tại lai có bất đẳng thức đó? Nó xảy nào? Cách để tìm Thực tế giải tập, không thiết phải trình bày chi tiết cách tìm bất đẳng thức sở, từ suy điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét số toán thuộc dạng Bài Cho số dƣơng a, b,c biết a  b  c  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca (1) Nhận xét (1)  a  b2  c2  2( a  b  c)  (a  b  c)  Do ta xét hàm số f (x)  x  x viết phƣơng trình tiếp tuyến (PTTT) đồ thị hàm số điểm có hoành độ Và làm tƣơng tự nhƣ làm tập tập Lời giải Ta có: a  a  3a  ( a  1)2 (a  a )   a  a  3a Tƣơng tự ta có b2  b  3b;c2  c  3c Cộng bất đẳng thức ta đƣợc ĐPCM (Dấu xảy a  b  c  ) Bài Cho a, b,c  Chứng minh a b c    2 (b  c) (c  a) (a  b) 4(a  b  c) Lời giải Không tính tổng quát với số a, b, c ta đặt a  b  c  ta cần chứng minh a b c x    Xét hàm số f (x)  (0;1) 2 (1  a) (1  b) (1  c) (1  x) 23 Ta viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  y  x điểm có hoành độ x  (1  x) 18x  18x  (3x  1)2 (3  2x) Lại có f (x)    0x  (0;1) 4 4(1  x)  f (x)  18x  18(a  b  c)  9  f (a)  f (b)  f (c)    ĐPCM 4 a t b t c t Nếu a  b  c  t      , ta chứng minh tƣơng tự nhƣ cho số a b c a '  ;b'  ;c'  Từ ta có điều cần chứng minh t t t Trên ta đề cập đến số tập có sử dụng phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dự vào phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng cong Phƣơng pháp không tối ƣu trƣờng hợp nhƣng qua giúp ta giải đƣợc nhiều toán chứng minh bất đẳng thức cách khó khăn theo cách giải khác Một số toán thực theo cách giải tự nhiên hơn, mang đến nhìn đơn giản Qua phần đáp ứng đƣợc việc làm đơn giản hóa toán chứng minh bất đẳng thức trƣớc học sinh Ta xét toán tổng hợp Câu đề thi đại học khối A năm 2012, tập tƣơng đối khó “Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  yz  z x  6(x  y  z ) ” Ta tìm hiểu đáp án chi tiết Bộ Giáo dục Đào tạo: “ Ta chứng minh 3t  t  t  (*) Xét hàm số f (t)  3t  t   f '(t)  3t ln3 1  0t  0;f (0)   (*) Áp dụng (*) ta có x  y  yz  z  x   x  y  y  z  z  x 24 Áp dụng bất đẳng thức a  b  a  b ta có ( x  y  y  z  z  x )2  x  y  y  z  z  x  x  y ( y  z  z  x )  2  y  z ( x  y  z  x )  z  x ( x  y  y  z )  2( x  y  y  z  z  x ) 2 Do x  y  y  z  z  x  2( x  y  y  z  z  x )  6(x  y  z )  2(x  y  z) 2 2  x  y  y  z  z  x  6(x  y  z )  P  Khi x  y  z  dấu xảy Vậy giá trị nhỏ (P) 3.” (Theo đáp án môn toán khối A, đề thi tuyển sinh đại học năm 2012) Theo đáp án đây, việc tìm giá trị nhỏ toán phụ thuộc nhiều vào việc tìm bất đẳng thức (*) sử dụng Theo đáp án lời giải không thấy tự nhiên Nhƣng xét theo phƣơng pháp giải sử dụng phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng y  e t điểm có hoành độ y'  e t  y'(0)   PTTT : y  y'(0).(t  0)  y(0)  t  e Lại có ( ) t  1t   3t  e t , việc chứng minh e t  t  1t  có tập chƣơng trình phổ thông Bên cạnh cúng cần phải nhớ x  y  0, y  z  0, z  x  Rõ ràng thực theo phƣơng pháp giải kể lý giải việc dẫn đến bất đẳng thức (*) toán đơn giản nhiều Đây toán điển hình thể điểm thuận lợi sử dụng phƣơng pháp chứng minh so với phƣơng pháp thƣờng dùng trƣớc Tất nhiên để giải 25 toán cần phối hợp nhiều phƣơng pháp khác nhau, kĩ thuật khác nhau, yêu cầu toán phân hóa học sinh giỏi xuất sắc đề thi đại học khối A Ngoài toán kể trên, sử dụng phƣơng pháp chứng minh giải đƣợc tập sau nhanh chóng thuận tiện: Bài Cho a, b,c  a  b  c  Chứng minh b2  c2 c2  a a  b2   2 a b c (*)  a  b2  c2 1 x2    Ta viết PTTT đồ thị hàm só y  HD (*)  a b c x điểm có hoành độ x  sử dụng phƣơng pháp 11 Bài Cho tam giác có độ dài cạnh a, b,c Chứng minh 1 1     4(   ) a b c a bc a b bc ca (**) HD Do vai trò a, b, c bình đẳng nhất, ta đặt a  b  c  (trong trƣờng hợp có tổng t > ta giải nhƣ tập chƣơng 3) Khi ta xét hàm số f (x)  viết PTTT đồ thị hàm số y  f (x) điểm có  1 x x hoành độ x   vận dụng phƣơng pháp 11 Bài Cho số dƣơng a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 abc    2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a HD Dấu xảy a  b  c 26 Xét hàm số f (x)  x3 x  2bx  3b x viết phƣơng trình tiếp tuyến  f '(x)  x  bx  b (x  bx  b ) y  f (x) x = b Từ chứng minh a3 2a  b  2 a  ab  b Tƣơng tự với biểu thức lại ta có đpcm Chương 4: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM I THỰC NGHIỆM 1: Bài kiểm tra chƣơng giải tích 12 Tôi dõi tổng hợp kết học sinh lớp trực tiếp giảng dạy lớp đối chứng Tuy việc phân hóa lớp tƣơng đối tƣơng đồng nhƣng hiệu làm rõ ràng với hƣớng làm mới, em vận dụng theo phƣơng pháp 11 kết tốt nhiều Ta thống kê số liệu học sinh làm tôt câu phần tự luận ĐỀ KIỂM TRA TIẾT MÔN TOÁN LỚP 12 (CHƢƠNG 1) Ma trận đề: Chủ đề Tính đơn điệu Nhận biết Thông hiểu Vận dụng TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL 1,5 0,5 Cực GTLN,GTNN Tiệm cận Tổng trị, 1,5 0,5 1,0 0,5 Khảo sát hàm số 27 3,0 3,0 Các toán liên quan 3,0 Tổng 4,0 3,0 3,0 3,0 10,0 Nội dung: A Phần trắc nghiệm: (4 điểm) Câu 1: Hàm số y  x3  3x  đồng biến khoảng: C (  ; 2) D (0; +∞) B (  ; 0) (2;  ) A (0; 2) Câu 2: Hàm số y   x  x  đồng biến khoảng: A (–∞; 0) Câu 3: Hàm số B (–∞; –1) y 1 x x2 A (–∞; +∞) C (1; +∞) D (0; +∞) nghịch biến khoảng: B (–∞; 2) C (2; +∞) D (–2; +∞) Câu 4: Hàm số y  x3  3x  đạt cực tiểu điểm: A x = B x = C x = D Câu 5: Hàm số y   x  x  đạt cực đại điểm: A x = –1 Câu 6: Hàm số B x = y x 1 2 x A Câu 7: Đồ thị hàm số A Câu 8: Đồ thị hàm số A C x = D x = có điểm cực trị: B y C x 1 x  3x có tiệm cận: B y C x 3 x  x2 B D D có tiệm cận đứng: C 28 D B Phần tự luận: (6 điểm) Bài Cho hàm số : y  x3  3x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phƣơng trình: x3  3x  m Bài Cho số dƣơng x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy 1  x y Kết quả: Thống kê số học sinh làm đƣợc tự luận thứ Việc thống kê cho ta biết học sinh giải phần tự luận theo phƣơng pháp chứng minh 11.Qua giáo viên điều chỉnh, rút kinh nghiệm cho học sinh: + Năm học 2010 – 2011: Lớp Thực Tên Sĩ số Hoàn thành Hoàn 100% 50% 12A1 51 35 Đối chứng 12A2 56 Đối chứng 12A3 51 thành Ghi nghiệm + Năm học 2011 – 2012: Lớp Tên Sĩ số Hoàn thành Hoàn 100% 50% 29 thành Ghi Thực 12A1 49 32 13 Đối chứng 12A2 48 10 15 Đối chứng 12A3 50 nghiệm + Năm học 2012 – 2013: Lớp Thực Tên Sĩ số Hoàn thành Hoàn 100% 50% 12A1 48 34 Đối chứng 12A2 44 16 11 Thực 12A3 49 12A4 43 thành Ghi nghiệm nghiệm Đối chứng Các kết phản ánh phần học sinh đƣợc trang bi tốt kiến thức phƣơng pháp giải tôt yêu cầu toán Ở ta nói đến tập số phần tự luận Học sinh chƣa biết thêm phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức học sinh cách vận dụng tốt bất đẳng thức cosi với điểm rơi phù hợp, học sinh có kết không cao Qua ta thấy ƣu điểm phƣơng pháp toán cụ thể II THỰC NGHIỆM 2: 30 Cuối năm học 2011 – 2012, đề thi sát hạch khối 10 11, nội dung đề thi bám sát yêu cầu đề thi đại học cao đẳng Bộ giáo dục đàò tạo Mục kiểm tra đánh giá kết học tập em giáo viên năm học, đồng thời sở phân luồng học sinh Chúng lựa chọn tập bất đẳng thức ứng dụng đề mục tiêu kể trên, kiểm tra xem học sinh lớp 11 đƣợc trang bị phƣơng pháp kết em thay đổi nhƣ Kết thi khối đặc biệt khối 11 đáp ứng phần kì vọng Kết thi sát hạch cuối năm Năm học 2011 - 2012 khối 10: Điểm thi Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu, Số luợng 19 60 123 208 Làm tốt BĐT 23 18 0 Kết thi sát hạch cuối năm Năm học 2011 - 2012 khối 11: Điểm thi Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu, Số luợng 45 78 172 101 Làm tốt BĐT 38 25 04 Qua số liệu ta thấy số học sinh làm tốt câu bất đẳng thức tăng lên đáng kể có thêm phƣơng pháp làm Tất nhiên phụ thuộc vào nội dung đề Ta phải công nhận nhiều tập bất đẳng thức ứng dụng có hƣớng giải đặc biệt, khó áp dụng phƣơng pháp giải khác Do phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng cong hƣớng giải mà ngƣời giáo viên nên trang bị cho học sinh 31 Phần 3: KẾT LUẬN Qua sáng kiến kinh nghiệm nghĩ rằng: Để học sinh làm tốt toán chứng minh bất đẳng thức, việc giáo viên truyền đạt cho học sinh kiến thức bản, giáo viên nên trang bị cho em kiến thức, phƣơng pháp làm chứng minh bất đẳng thức Thƣờng xuyên đƣợc nhắc lại phần kiến thức khác nhau, rút học sau dạy Khi kết thúc chƣơng trình THPT học sinh có nhìn toàn diện toàn phƣơng pháp làm chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Đồng thời tổ chuyên môn thƣờng xuyên tổ chức buổi sinh hoạt chuyên môn phƣơng pháp dạy học bất đẳng thức để tìm đƣờng hƣớng dẫn học sinh không lo sợ trƣớc dạng toán Ngoài phƣơng pháp chứng minh thông thƣờng, giáo viên nên tìm tòi, sáng tạo tìm phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp với nhận thức học sinh giai đoạn Rất mong có đóng góp ý kiến thầy cô 32 [...]... Ngoài các phƣơng pháp thƣờng làm kể trên, khi học phần kiến thức Đạo hàm và các ứng dụng Ngay trong chƣơng trình lớp 11, khi có khái niệm đạo hàm chúng ta có ý nghĩa hình học quan trọng về đạo hàm “Nếu tồn tại, M0 (x 0 ;f (x 0 )) f '(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x) tại điểm Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm y  y0  f '(x 0 ).(x  x 0 ) ” 20 M 0 là... t  0     1 , ta chứng minh tƣơng tự nhƣ trên cho bộ số a b c a '  ;b'  ;c'  Từ đó ta có điều cần chứng minh t t t Trên đây ta đã đề cập đến một số bài tập có sử dụng phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dự vào phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong Phƣơng pháp này không tối ƣu trong mọi trƣờng hợp nhƣng qua đó giúp ta giải quyết đƣợc nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức một cách khó khăn... LUẬN Qua sáng kiến kinh nghiệm tôi nghĩ rằng: Để học sinh làm tốt bài toán chứng minh bất đẳng thức, ngoài việc giáo viên truyền đạt cho học sinh các kiến thức cơ bản, thì giáo viên cũng nên trang bị cho các em kiến thức, các phƣơng pháp làm bài chứng minh bất đẳng thức Thƣờng xuyên đƣợc nhắc lại trong các phần kiến thức khác nhau, rút ra bài học sau mỗi bài dạy Khi kết thúc chƣơng trình THPT học sinh... làm bài chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng Đồng thời các tổ chuyên môn thƣờng xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn về phƣơng pháp dạy học bất đẳng thức để tìm ra con đƣờng hƣớng dẫn học sinh không còn quá lo sợ trƣớc dạng toán này Ngoài các phƣơng pháp chứng minh thông thƣờng, giáo viên cũng nên tìm tòi, sáng tạo tìm ra các phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp với nhận thức của học... khi ac  bd 2 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Các bất đẳng thức cơ bản ở đây gồm bất đẳng thức Cô-si (cho 2 số, cho 3 số) , bất đẳng thức trị tuyệt đối, … Một số bất đẳng thức Cơ bản ở đây: (1) Với mọi a, b thì: (a  b)2  0  a2  b2  2ab a,b  R (2) Với a, b, c dƣơng thì ab  ab ; 2 abc 3  abc (BĐT Cô-si) 3 (3) Với mọi a, b thì: a  b  a  b  a  b Ta lấy một số ví dụ: a 4 b4... học sinh phƣơng pháp giải bài tập chứng minh bất đẳng thức Việc thực hiện đầy đủ các phần trên đây theo ý kiến của tôi là cách hợp lý nhất để giải quyết dạng toán này Khi chứng minh bất đẳng thức theo quan điểm của tôi có 10 phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức thƣờng đƣợc sử dụng Việc phân chia ra phƣơng pháp này hay phƣơng pháp khác chỉ tƣơng đối, tuỳ theo quan niệm của mỗi ngƣời Trong phƣơng pháp... thiết phải trình bày chi tiết cách tìm ra bất đẳng thức cơ sở, từ đó suy ra điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét một số bài toán thuộc dạng này Bài 3 Cho 3 số dƣơng a, b,c biết a  b  c  3 Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca (1) Nhận xét (1)  a 2  b2  c2  2( a  b  c)  (a  b  c) 2  9 Do vậy ta xét hàm số f (x)  x 2  2 x và viết phƣơng trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số tại điểm... xét dấu của g(x) để so sánh giữa f (x) và (ax  b) Từ việc phân tích ở trên ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức 2 hay nhiều biến nếu ta biến đổi một bất đẳng thức về dạng chẳng hạn nhƣ f (a1 )  f (a 2 )   f (a n )  E Khi đó điểm rơi là a1  a 2   a n  x 0 Khi đó ta sẽ viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x) tại x  x 0 và sử dụng nhận xét kể trên Ta sẽ xét một số ví dụ... tốt các kiến thức và phƣơng pháp sẽ giải quyết rất tôt yêu cầu của bài toán Ở đây ta nói đến bài tập số 2 phần tự luận Học sinh khi chƣa biết thêm phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức thì học sinh chỉ còn cách vận dụng tốt bất đẳng thức cosi với điểm rơi phù hợp, vì vậy các học sinh đó có kết quả không cao Qua đó ta thấy ƣu điểm của phƣơng pháp này trong bài toán cụ thể... 25 04 0 Qua số liệu đó ta thấy số học sinh làm tốt câu bất đẳng thức đã tăng lên đáng kể khi có thêm một phƣơng pháp làm bài mới Tất nhiên phụ thuộc vào nội dung đề bài Ta cũng phải công nhận rằng nhiều bài tập về bất đẳng thức và ứng dụng chỉ có một hƣớng giải đặc biệt, khó có thể áp dụng phƣơng pháp giải khác Do đó phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong ... dung sáng kiến kinh nghiệm nêu rõ phƣơng pháp cách áp dụng chứng minh bất đẳng thức Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến là: “ Sử dụng phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng. .. ĐPCM Dấu xảy ac  bd Phương pháp sử dụng bất đẳng thức bản: Các bất đẳng thức gồm bất đẳng thức Cô-si (cho số, cho số) , bất đẳng thức trị tuyệt đối, … Một số bất đẳng thức Cơ đây: (1) Với a,... pháp chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp kiến thức tính chất bất đẳng thức, ứng dụng đạo hàm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm bao gồm: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh