SKKN Kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán. THANH HÓA NĂM 2013 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học (ĐH), Cao đẳng (CĐ) các khối A, B, D môn Toán đóng một vai trò quan trọng. Trang bị những kiến thức, phương pháp, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chương trình lớp 11, 12 phần phương trình tiếp tuyến nói riêng. Phương trình tiếp tuyến (Pttt) của đồ thị hàm số y = f(x) là một phần quan trọng trong chương trình toán THPT có thể phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được áp dụng nhiều trong các kì thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ, nhưng thời lượng nội dung này rất ít, học sinh còn lúng túng khi lựa chọn một phương pháp phù hợp để giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài toán về phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho mọi đối tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán, là liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạt động học tập và khảo thí. Từ đó, tôi đã lựa chọn đề tài "kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" mong muốn giúp học sinh yêu thích môn Toán, học sinh đang học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ làm tài liệu tham khảo đển ôn luyện kiểm tra kiến thức của mình, vững vàng, tự tin, thành công trong học tập và khảo thí Tôi xin giới thiệu một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" là những bài toán tôi tham khảo, tổng hợp, tích lũy trong các kì thi và quá trình giảng dạy lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp, Đại học - Cao đẳng. II. PHẠM VI ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phạm vi đề tài - Tập trung vào đối tượng học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp THPT và Đại học - Cao đẳng. - Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về phương trình (pt) tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài tập có liên quan. 2. Phương pháp nghiên cứu - Kinh nghiệm giảng dạy. - Tổng hợp, tích lũy. 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Ở trường THPT, dạy toán là dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Khi thực hành giải bài tập cần chuẩn bị phương pháp thích hợp, là công cụ giải toán làm cho lời giải rõ ràng, mạch lạc, súc tích, ngắn gọn, có lôgic, dễ hiểu và hiệu quả của việc giải toán được tốt hơn, tiết kiệm được thời gian, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh. Rồi từ đó lựa chọn phương pháp phù hợp với mọi đối tượng học sinh, với những dạng toán cụ thể giúp các em định hướng được phương pháp giải nhanh nhất và có hiệu quả nhất. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2, Tôi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ năng thực hành, phương pháp tư duy, của một số học sinh về các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số còn yếu, do một số nguyên nhân sau: - Học sinh học kém, nắm kiến thức cơ bản không vững, chưa chủ động học tập một cách tích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ, - Thời lượng dành cho nội dung này rất ít. - Tài liệu tham khảo còn chung chung Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra phương pháp chia thành bốn bài toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy và đã sử dụng để dẫn dắt học sinh thực hiện trong thời gian qua. 1. Cơ sở lí thuyết - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng dạng y = kx + b, k là hệ số góc. - Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k = ( ) 0 ' xf x 0 : là hoành độ tiếp điểm - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là: y = ( ) 0 ' xf (x - x 0 ) + f(x 0 ) 2. Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại một điểm 2.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) a. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) Cách giải: + Tính ( ) xf ' , ( ) 0 ' xf ; + Thay x 0 ; y 0 ; ( ) 0 ' xf vào y = ( ) 0 ' xf (x - x 0 ) + y 0 ta được pt tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ 1. Cho hàm số 1 2 − = x x y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) 3 a) Tại điểm O(0; 0); b) Tại điểm M(2; 4). Giải. Ta có ( ) 2 2 1 2 ' − − = x xx y ; a) Tại O(0; 0) ⇒ y'(0) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 0; b) Tại M(2; 4) ⇒ y'(2) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 4. Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-1; -2). ĐS: y = 9x + 7 Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 4 - 8x 2 + 10 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-1; 3). ĐS: y = 12x + 15. b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M thỏa mãn tính chất P cho trước Cách giải: + Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x 0 ; y 0 + Tính ( ) xf ' , ( ) 0 ' xf + Thay x 0 ; y 0 ; ( ) 0 ' xf vào y = ( ) 0 ' xf (x - x 0 ) + y 0 ta được pt tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ 1. Cho hàm số 1 1 + − = x x y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung . Giải. Gọi M là giao điểm của đồ thị(C) với trục tung; Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:    = −= ⇔      = + − = 0 1 0 1 1 x y x x x y ⇒ M(0; -1). Ta có ( ) ( ) 2 1 2 ' + = x xf ⇒ 2)0(' =f . Pt tiếp tuyến là y = 2x - 1. Ví dụ 2. Cho hàm số y = (1 - x) 2 (4 - x) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. Giải. Hàm số (C) viết lại là: y = -x 3 + 6x 2 - 9x + 4 Tọa độ giao điểm của (C) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:      =    = = ⇔    = +−+−= 0 4 1 0 496 23 y x x y xxxy ( ) ( )    ⇒ 0;4 0;1 2 1 M M , y'(1) = 0; y'(4) = - 9. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 0 và y = -9x +36. Ví dụ 3. Cho hàm số x x y − − = 2 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C) đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0. Giải. Tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình:      =++ − − = 032 2 3 yx x x y . Có hai tiếp tuyến cần tìm là 2 3 4 1 −−= xy , y = - x - 1. 4 Ví dụ 4. Cho hàm số xxxy 32 3 1 23 +−= (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2004). Giải. * Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) tại điểm uốn Điểm uốn của (C) là       3 2 ;2I , y'(2) = - 1. Pt tiếp tuyến là 3 8 +−= xy . * Chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Gọi k 1 là hệ số góc của tiếp tuyến d ⇒ k 1 = -1. Gọi k 2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại mọi x ⇒ k 2 = y'(x) = x 2 - 4x + 3 Xét hiệu k 1 - k 2 = - 1 - (x 2 - 4x + 3) = - (x - 2) 2 ≤ 0, x∀ ⇒ k 1 ≤ k 2 , x∀ . Dấu "" = xảy ra ⇔ x = 2 (là hoành độ tiếp điểm) ⇒ k 1 là bé nhất. Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Ví dụ 5. Cho hàm số y = - x 3 + 3x 2 + 4 (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số (C) tại điểm uốn. b) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Đáp số (ĐS). * Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn là 33 += xy . * Tương tự ví dụ 4 ⇒ k 1 = 3 và k 2 = y'(x) = -3x 2 + 6x ; k 1 - k 2 = 3(x - 1) 2 ≥ 0, x∀ ⇒ k 1 ≥ k 2 x∀ ⇒ k 1 là lớn nhất. Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Chú ý: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( ) 0≠a * Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất. * Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. 2.2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm có hoành độ x 0 Cách giải: + Tính ( ) xf ' ⇒ ( ) 0 ' xf + Thay x 0 vào (C) tìm y 0 + Thay x 0 ; y 0 ; ( ) 0 ' xf vào y = ( ) 0 ' xf (x - x 0 ) + y 0 rồi kết luận. Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 - 3x + 5 (C). Hãy viết phương trình của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 1. Giải. Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = ( ) 0 ' xf (x - x 0 ) + f(x 0 ) +) Ta có ( ) xf ' = 3x 2 - 3 ⇒ ( ) 1'f = 0 +) Thay x 0 = 1 vào (C), ta được y 0 = f(1) = 3 +) Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 0(x - 1) + 3 ⇔ y = 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y = 22 53 + + x x , ta có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến 5 của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. ĐS: y = - 4 1 x + 4 9 . Ví dụ 3. Cho hàm số y = - 3 3 x + 2x 2 - 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 , biết rằng ( ) 0 '' xf = 6. Giải. Ta có ( ) xf ' = - x 2 + 4x - 3; ( ) xf '' = - 2x + 4 ⇒ ( ) 0 '' xf = -2x 0 + 4 Từ giả thiết, ta có ( ) 0 '' xf = 6 ⇒ - 2x 0 + 4 = 6 ⇔ - 2x 0 = 2 ⇔ x 0 = - 1 ⇒ y 0 = 3 16 , và ( ) 1' −f = - 8. Vậy phương trình tiếp tuyến là y = - 8x - 3 8 . 2.3. Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ y 0 Cách giải: + Thay y 0 vào (C) tìm x 0 . + Tính y' = ( ) xf ' , ( ) 0 ' xf + Thay x 0 ; y 0 ; ( ) 0 ' xf vào y = ( ) 0 ' xf (x - x 0 ) + y 0 ta được kết quả. Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) = 1 32 + − x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1. Giải. Từ giả thiết, ta có y 0 = 1 ⇒ 1 32 0 0 + − x x = 1 ⇔ x 0 = 4. ( ) xf ' = 2 )1( 5 +x ⇒ ( ) 4'f = 5 1 . Phương trình tiếp tuyến là y = 5 1 (x - 4) + 1 ⇔ y = 5 1 x + 5 1 Một số bài tập liên quan đến bài toán 1 Bài 1. Cho hàm số 2 32 − − = x x y (C). Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Giải. Ta có ( ) 2 2 1 ' − − = x y . Giả sử M         − − 2 32 ; 0 0 0 x x x ∈ (C), 2 0 ≠x . Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là 2 32 )( )2( 1 0 0 0 2 0 − − +− − − = x x xx x y . Gọi A, B là giao điểm của d với hai tiệm cận, nên         − − 2 22 ;2 0 0 x x A ; )2;22( 0 −xB . Ta có: MBA xxxxx .2.2222 00 ==−+=+ MBA y x x x x yy .2 2 32 .22 2 22 0 0 0 0 = − − =+ − − =+ Giao điểm của hai tiệm cận là I(2; 2). Tam giác IAB vuông tại I, nên IM là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB. Diện tích của đường tròn ngoại 6 ⇒ M là trung điểm của AB. tiếp tam giác IAB là: ( )                 − − − +−== 2 0 0 2 0 2 2 2 32 2. x x xIMS ππ ; ( ) ( ) ππ 2 2 1 2 2 0 2 0 ≥       − +−= x xS . Dấu " = " xảy ra khi ( ) ( ) 2 0 2 0 2 1 2 − =− x x ⇔    = = 3 1 0 0 x x . Vậy có hai điểm M cần tìm là M 1 (1; 1) và M 2 (3; 3). Bài 2. Cho hàm số 1 3 − − = x x y (C). a) M là điểm có hoành độ x 0 thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng: * M là trung điểm của đoạn thẳng AB. * Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C). * Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm vừa tìm được. b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. c) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy. Giải. Ta có: ( ) 2 1 2 ' − = x y . Vì M ∈ (C) ⇒         − − 1 3 ; 0 0 0 x x xM ; 1 0 ≠x a) Tiệm cận đứng của (C) là 1 ∆ : x = 1, tiệm cận ngang của (C) là 2 ∆ : y = 1. Phương trình tiếp tuyến d tại M là ( ) ( ) 1 3 1 2 0 0 0 2 0 − − +− − = x x xx x y . Gọi { } 1 ∆∩= dA ⇒ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( )      − − +− − = = 1 3 1 2 1 0 0 0 2 0 x x xx x y x AA A ⇒         − − 0 0 1 5 ;1 x x A . Gọi { } 2 ∆∩= dB ⇒ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( )      − − +− − = = 1 3 1 2 1 1 0 0 0 2 0 x x xx x y B B , 1 0 ≠x ⇔    −= = 12 1 0 xx y B B ⇒ B(2x 0 - 1; 1). * Ta có: x A + x B = 1 + 2x 0 - 1 = 2x 0 = 2 x M y A + y B = 0 0 1 5 x x − − + 1 = 2. 1 3 0 0 − − x x = 2 y M * Vì 21 ∆⊥∆ tại I ⇒ tam giác IAB vuông tại I, nên ta có: IBIAS IAB . 2 1 = ∆ , 7 ⇒ M là trung điểm của AB. 1 4 0 − = x IA , 12 0 −= xIB ⇒ 412. 1 4 . 2 1 0 0 =− − = ∆ x x S IAB ⇒ IAB S ∆ không đổi. * Gọi C là chu vi tam giác IAB, ta có: C 22 IBIAIBIAABIBIA +++=++= ≥ IBIAIBIA 2.2 + ⇒ C ( ) IBIA.22 +≥ . Dấu '' = '' xảy ra ⇔ IA = IB 12 1 4 0 0 −= − ⇔ x x . Giải ra ta được 21 0 ±=x ( ) ( ) 21;21;21;21 21 −++−⇒ MM cần tìm. Khi đó: C ( ) ( ) .21422 2 min +=+= IA Ta có: ( ) 121' =±y Phương trình tiếp tuyến tại M 1 ; M 2 là 22±= xy . b) Phương trình qua giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận là d 1 : y = k(x - 1) + 1. d 1 là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ        = − +−= − − k x xk x x 2 )1( 2 1)1( 1 3 có nghiệm. Thay (2) vào (1) ta được: ( ) ( ) 1311 1 2 1 3 2 +=−⇔+− − = − − xxx x x x ⇒ phương trình vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. c) Tâm đối xứng của (C) là giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận của (C). * Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị (C) có hoành độ là x M = x 0. Gọi M' đối xứng với M qua I ⇒ M' ∈ (C), Ta có x M' + x M = 2 x I = 2 ⇒ x M' = 2 - x 0 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là ( ) ( ) 2 0 / 1 1 2 0 − == x yk x ; Hệ số góc của tiếp tuyến tại M' là ( ) ( ) 2 0 / 22 12 2 0 −− == − x yk x ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 2 0 2 0 / 22 1 2 1 2 0 k xx yk x = − = − == − ⇒ Hai tiếp tuyến tại M và M' song song với nhau. Vậy trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm như vậy đối xứng nhau qua giao điểm I của hai tiệm cận, tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau và đường nối các cặp điểm trên đồng quy tại I. Lưu ý: Với hai số dương a, b thỏa mãn ab = S (không đổi) thì biểu thức C = a + b + 22 ba + nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. Vì C = a + b + 22 ba + Sababab )22()22(22 +=+=+≥ . Dấu (( = )) khi và chỉ khi a = b. Bài 3. Cho hàm số 1 2 − = x x y (C). a) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm 8 I O (C) (1) (2) đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy. b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng: * M là trung điểm của đoạn thẳng AB. * Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C). * Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. Giải. a) Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 2 ' − − = x xx xf . Gọi M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C) ⇒         −1 ; 0 2 0 0 x x xM , 1 0 ≠x . Đồ thị (C) có tâm đối xứng là giao điểm I(1; 2) của hai tiệm cận của (C), Điểm M' đối xứng với M qua I ⇒ M' ∈ (C). Ta có ( )      − − =−= −=−= 0 2 0 ' 0' 1 2 2 22 x x yyy xxxx MIM MIM ⇒ ( )         − − − 0 2 0 0 1 2 ;2' x x xM ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 12 222 2' x xx x xx xf − − = −− −−− =− = )(' xf . Tiếp tuyến tại M và M' song song với nhau.Vậy trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm như vậy đối xứng nhau qua giao điểm I của hai tiệm cận và tiếp tuyến tại cặp điểm đó song song với nhau. b) Ta có: ( ) 2 2 1 2 ' − − = x xx y . M ∈ (C) ⇒         −1 ; 0 2 0 0 x x xM ; 1 0 ≠x Tiệm cận đứng của (C) là 1 ∆ : x = 1; tiệm cận xiên của (C) là 2 ∆ : y = x + 1. Phương trình tiếp tuyến d tại M là ( ) ( ) 1 1 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 − +− − − = x x xx x xx y Gọi { } 1 ∆∩= dA ⇒         −1 2 ;1 0 0 x x A . Gọi { } 2 ∆∩= dB ⇒ B(2x 0 - 1; 2x 0 ). * Ta có: x A + x B = 1 + 2x 0 - 1 = 2x 0 = 2 x M y A + y B = 1 2 0 0 −x x + 2x 0 = 2. 1 0 2 0 −x x = 2 y M * Vì 21 ∆∩∆ tại I ⇒ I(1; 2). Ta có: ∧ ∆ = AIBIBIAS AIB sin 2 1 . Mà 1 2 0 − = x IA và 122 0 −= xIB . Ta có: ( ) 21 ,sinsin nnAIB = ∧ là không đổi, với ( ) 0;1 1 =n ; ( ) 1;1 2 −=n lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 1 ∆ ; 2 ∆ và 24 1 2 .122. 0 0 = − −= x xIBIA là số không đổi ⇒ IAB S ∆ không đổi. *) Gọi C là chu vi IAB∆ . Ta có: C ABIBIA ++= Mà: 9 ⇒ M là trung điểm của AB. AB 2 = IA 2 + IB 2 - 2.IA.IB.cos ∧ AIB = IA 2 + IB 2 - 2 .IA.IB (định lí hsố cosin) ⇒ C IBIAIBIAIBIA 2 22 −+++= IBIAIBIAIBIA .2 2.2 −+≥ , ⇒ C ( ) IBIA.222 −+≥ . Dấu " = " xảy ra IBIA =⇔ 122 1 2 0 0 −= − ⇔ x x 4 0 2 1 1±=⇔ x ⇒         −− − 4 4 4 1 2 1222 ; 2 1 1M và         ++ + 4 4 4 2 2 1222 ; 2 1 1M . Khi đó: C )12(2224 4 min −+= . c) Giao điểm I của hai đường tiệm cận của (C) là I(1; 2), Đường thẳng d' đi qua I(1; 2) có hệ số góc k có phương trình: ( ) 21 +−= xky d' là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( )        = − − +−= − k x xx xk x x 2 2 2 1 2 21 1 Giải hệ ta được x = x - 1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm hai tiệm. Câu hỏi tương tự như bài 1, 2, 3 cho các hàm số sau: 12 2 − + = x x y , 2 1 2 − −− = x xx y . Một số điểm cần lưu ý: Tếp tuyến của đồ thị hàm số dcx bax y + + = ,(ac ≠ 0) và edx cbxax y + ++ = 2 , (ad ≠ 0), đều có chung một số tính chất sau: 1. Trên đồ thị có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy tại giao điểm của hai tiệm cận của nó. 2. Tiếp tuyến của đồ thị tại mọi điểm M thuộc đồ thị hàm số đều: + Cắt hai tiệm cận tại hai điểm A, B thì M là trung điểm của đoạn AB. + Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. + Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi IA = IB, I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A và B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận). + Không đi qua giao điểm của hai tiệm cận. 3. Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ số góc của tiếp tuyến 3.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k Cách giải: * Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x 0 + Tính y' = ( ) xf ' . Giải phương trình ( ) xf ' = k tìm x = x 0 10 [...]... Cách 2 Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b + d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: − x 4 − x 2 + 2 = −6 x + b Giải hệ phương trình tìm được x = 1, b = 6  − 4 x 3 − 2 x = −6  + Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 6x + 6 x 2 − 3x + 4 Ví dụ 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = , x −1 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng... Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị x −1 hàm số (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 ĐS: y = - x + 1 và y = - x + 5 2x + 1 Ví dụ 10: Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị x +1 hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(- 4; - 2) 1 5 ĐS: Có ba phương trình tiếp tuyến là y = x + 1; y = x + 5; y = x + 4 4 Một số bài. .. 1) 2 a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3; * Cách 1: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 3 ( x + 1) 2 = k , x ≠ −1  x = −2 ⇒ y = 4 ⇔  Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 10 và y = 3x - 2  x = 0 ⇒ y = −2 * Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 3x + b (1) + d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: x... Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0 + Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm * Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc + Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b (1) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: + d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  f ( x ) = kx + b (Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)  ' f ( x) = k  + Giải phương trình f '... cx + d, a ≠ 0 (C) *) Có một và chỉ một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm uốn của nó *) Qua mỗi điểm thuộc đồ thị (C), không phải là điểm uốn kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) 16 Bài tập Bài 1 Cho hàm số y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 (C) Viết phươngtrình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9) (Trích đề thi ĐH-CĐ khối B-2008) 3 2 Bài 2 Cho hàm số y = x - 3x + 2 Tìm trên... Ví dụ 7 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = , biết x+2 tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C) ĐS: y = − x ± 2 2 − 5 (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2006) 4 Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A (x1; y1) Cách giải: * Cách 1: Tìm tiếp điểm + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm và tiếp tuyến d là: y... Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 27x + b (1) + d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: 2 x − 2 = 27 x + b x = − ; b = 10,  x +1  3 ,( x ≠ −1 ) Giải hệ phương trình ta được  3 4  x = − ; b = 46, = 27  ( x + 1) 2 3  + Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 27x + 10 và y = 27x + 46 Ví dụ 2 Cho hàm số: y = 1 3 x + x 2 + 2x 3 (C) Viết phương trình tiếp. .. điểm của hai đường tiệm x +1 cận của đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn cos ∧ 5 BAI = ĐS: Tiếp tuyến là y = 5x - 2; y = 5x + 2 26 Ví dụ 8: Cho hàm số y = 2x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết x+2 rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất ĐS: y = x và... (1) + Điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương  f ( x ) = k ( x − x1 ) + y 1 trình sau có nghiệm:  '  f ( x) = k + Giải hệ phương trình tìm x, rồi thay vào tìm k; + Thay giá trị k vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1 Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) kẻ từ điểm A(0; 2); b) Tìm trên... ( x) = k tìm x thế vào phương trình f ( x) = kx + b tìm b + Thế b vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1 Cho hàm số y = - x4 - x2 + 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 6 Giải * Cách 1 Ta có y' = - 4x3 - 2x Giải phương trình - 4x3 - 2x = - 6 ⇔ x = 1, Thay x = 1 vào (C),được y(1) = 0 Phương trình tiếp tuyến là y = - 6(x - 1) . yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về phương trình (pt) tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài tập có liên quan. 2. Phương pháp nghiên cứu - Kinh nghiệm giảng dạy. - Tổng hợp,. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán. . Phương trình tiếp tuyến là y = - 6(x - 1) + 0 ⇔ y = - 6x + 6. * Cách 2. Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b + d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình