MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA

BND SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT SÔNG CÔNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: " MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG " Người thực hiện: NGUYỄN THỊ THU THỦY Tổ : TỐN Sơng Cơng, năm 2010 A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế giảng dạy lớp 12 tốn viiết phương trình tiếp tuyến với đường cong toán bản, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học hàng năm Vì giáo viên dạy Tốn THPT nhiều năm dạy, ôn luyện học sinh lớp 12 tơi có lao động sáng tạo nhỏ hệ thống lại tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong, đưa phương pháp giải với dạng đồng thời số sai lầm mà học sinh hay mắc phải Vì mục đích kính mong đóng góp ý kiến đồng chí chun viên có trách nhiệm thẩm định đề tài đồng chí đồng nghiệp bổ khuyết B NỘI DUNG I PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) a) Phương pháp giải: - Tính f ' ( x) - Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( xo ) - Phương trình tiếp tuyến với độ (C) điểm M o ( xo ; yo ) là: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) = x + x − 15 x + 12 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm A(2; - 2)∈(C) Giải f ' ( x) = 3x + x − 15 ⇒ f ' (2) = Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: y + = 5( x − 2) ⇒ y = x − 12 ⇒ Trong trường hợp biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố cịn lại làm tương tự Ví dụ 2: (Bài tập trang 44 SGK GT12) Cho hàm số: y = x + x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ Giải Gọi xo hoành độ tiếp điểm ⇒ ta có = x0 + x0 + ⇔ xo = ±1 4 7  Với xo = ⇒ f ' (1) = ⇒ phương trình tiếp tuyến M  − 1;  là:  y− 4 = 2( x − 1) ⇔ y = x − 4 7  Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến M  − 1;  là:  y− 4 = −2( x + 1) ⇔ y = −2 x − 4 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) = x2 − 2x − có đồ thị (C) x +1 (C) cắt trục hoành A B Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) A B Giải - Tập xác định: D = R\{- 1} - Hoành độ giao điểm (C) trục hồnh nghiệm phương trình x2 − 2x − = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± x +1 ⇒ (C) cắt Ox điểm A (1 + 3; 0) B(1 − 3; 0) x + 2x y' = ⇒ y ' = (1 + 3) = (2 − ) ( x + 1) y ' = (1 − ) = −2 (2 + ) Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: y = (2 − ) ( x − − ) Phương trình tiếp tuyến với (C) B có dạng: y = −2 (2 + ) ( x − + ) * Nhận xét: Qua ví dụ cho thấy học sinh lúng túng không viết phương trình tiếp tuyến khơng tìm tọa độ A B Vì toán dạng lại chưa cho tọa độ (xo; yo) cần tìm (xo; yo) trước bắt đầu vào bước phần phương pháp giải Đồng thời toán dạng mở rộng để áp dụng vào xây dựng phương trình tiếp tuyến đường Cơnic SGK hình học 12 (trước phân ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip x2 y2 + = Ví dụ 4: Cho (E) có phương trình: 100 64 Hãy viết phương trình tiếp tuyến Elip điểm M (5; ) Giải Nhận xét điểm M (5; ) ∈ ( E ) y2 = 100 − x 4 x 64 ⇔ y = ± 100 − x ⇒ y ' = ± 100 5 100 − x ⇒ y ' (5) = ± M (5; ) ∈ phần (E) mà điểm có tung độ 4 dương nên y = 100 − x ⇒ y ' (5) = − Vậy phương trình tiếp tuyến M (5; ) là: y + x − 80 = Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước: a) Phương pháp giải: - Tính f ' ( x) - Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tiếp tuyến có hệ số góc k ⇒ xo nghiệm phương trình f ' ( xo ) = k - Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y − yo k ( x − xo ) Chú ý: Giả sử đường thẳng D1 có hệ số góc k1 đường thẳng D2 có hệ số góc k2 Thì D1 // D2 ⇔ k1 = k2 D1 ⊥ D2 ⇔ k1 k2 = - D1 cắt D2 ⇔ k1 ≠ k2 b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y = 2x + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị x−2 (C) hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến - (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009) Giải Gọi d tiếp tuyến (C) tiếp điểm ( xo ; yo ) −5 x = o ⇒ xo nghiệm phương trình y ' ( xo ) = −5 ⇔ ( x − 2) = −5 ⇔  x =  o o Với xo = ⇒ yo = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −5 x + Với xo = ⇒ yo = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −5 x + 22 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) = 3x − có đồ thị (C) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + 10 Giải −1 D = R \ {1}; y ' = ( x − 1) Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + 10 , có hệ số góc k: k = −1 ⇒ k = − 5  xo =  xo = −1  −1 ⇒ xo nghiệm phương trình ( x − 1) = ⇔  y = ⇔   o o y =  o  5  Tại M  − 1;  có tiếp tuyến y = − x +  2 4 17  7 Tại M  3;  có tiếp tuyến y = − x +  2 4 * Nhận xét: Qua ví dụ cho thấy nhiều toán viết phương trình tiếp tuyến dạng khơng trực tiếp hệ số góc mà phải thơng qua giả thiết khác Vì cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng việc nắm kiến thức cách liền manh, biết vận dụng, liên hệ phần với Dạng 3: a) Bài toán: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A ; y A ) cho trước b) Cách giải: * Cách 1: - Gọi d tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k qua A ⇒ d có phương trình: y = k ( x − x A ) + y A (1) - Hoành độ tiếp điểm xo hệ số góc k tiếp tuyến nghiệm hệ phương trình:  f ( x) = k ( x − x A ) + y A   f ' ( x) = k Giải hệ phương trình tìm k ⇒ thay vào (1) phương trình tiếp tuyến * Cách 2: - Giả sử có tiếp tuyến (d) qua A, tiếp xúc với (C) tiếp điểm M o ( xo ; yo ) ⇒ d có phương trình: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) - Vì A (xA; yA) ∈ d ⇒ y A − yo = f ' ( xo )( x − xo ) ⇒ y A − f ( xo ) = f ' ( xo )( x A − xo ) (2)  yo = f ( x0 )  f ' ( xo ) - Giải phương trình (2) tìm xo ⇒  - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − yo = f ' ( x0 )( x − xo ) c) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3x − (C ) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A (2; 0) Giải TXĐ: D = R \ {1} y' = −1 ( x − 1) Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k y = k ( x − 2) - Hồnh độ tiếp điểm xo hệ số góc k tiếp tuyến nghiệm hệ  x =  3x −   x − = k ( x − 2)   k = −1   f ( x) = k ( x − x A ) xy A  ⇔ ⇔  phương trình:  =k f x' = k  x =   ( x − 1)    k = −9  x ≠1    - Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số qua A(2; 0)  y = −x +   y = −9 x + 18 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f x − 3x + (C ) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến qua A(0; 3/2) Giải - Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(0; 3/2) có hệ số góc k y = kx + - Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến đồ thị hàm số (2) hệ phương trình: 3 1 x = 0x k =  x − x + = kx + ⇒ 2 Có nghiệm ⇔  2  x = ±2 k = ±2  2x3 − 6x = k  Vậy phương trình tiếp tuyến cần viết là: y= y = −2 x + y = 2x + 3 - Từ dạng mở rộng toán tiếp tuyến thành vài dạng: chẳng hạn ví dụ 3: Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x − 3x + (C ) x−2 CMR khơng có tiếp tuyến với (C) qua giao điểm tiệm cận Giải Có x=2 Là tiệm cận đứng y=x-x Là tiệm cận xiên Gọi I giao điểm tiệm cận ⇒ I (2; 1) Gọi xo hoành độ tiếp điểm ⇒ yo = Và y ' ( xo ) = xo − xo + xo − 2 xo − xo + ( xo − 2) Phương trình tiếp tuyến (xo; yo) dạng y− 2 xo − xo + xo − xo + = ( x − xo ) xo − ( xo − 2) Giả sử tiếp tuyến qua I(2; 1) pt: 2 xo − xo + xo − xo + 1− = ( − xo ) xo − ( xo − 2) (2) phải có nghiệm 2 ( x − 2) − ( xo − xo + 1)( xo − 2) = ( xo − xo + 5)(2 − xo ) ⇔ o (2) vô nghiệm xo ≠  Vậy khơng có tiếp tuyến đường cong cho qua I (2; 1) giao điểm đường tiệm cận PHẦN 2: KẾT LUẬN Những sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm lẫn dạng dạng nên trình giảng dạy cần phan biệt cho học sinh: - Tại điểm thuộc đường cong có tiếp tuyến với đường cong - Qua điểm có tiếp tuyến với đường cong (nếu có tiếp tuyến) Chẳng hạn ví dụ dạng hàm số y = x − 3x + (C ) mà phải  3 viết phương trình tiếp tuyến qua A  0;   2 - Lời giải đúng: (Đã trình bày) - Lời giải chưa xác sau:  3 Dễ dàng nhận thấy A  0;  ∈ (C ) ⇒ phương trình tiếp tuyến A:  y− 2 3 = 0( x − 0) ⇔ y 2 Lời giải không đầy đủ cụ thể thiếu hai phương trình tiếp tuyến 3 y = −2 x + ; y = 2 x + 2 Để học sinh làm toán tiếp tuyến với đường cong cần phân tích rõ yếu tố cần thiết - Tọa độ tiếp điểm (xo; yo) - Hệ số góc k = f'(xo) C KẾT QUẢ THỰC HIỆN Phương pháp tiến hành - Chọn đối tượng thực nghiệm đối tượng dùng để đối chứng sau so sánh kết quả: - Phân tích số liệu thực nghiệm rút kết luận Kết quả: - Đối tượng thực nghiệm: 12C7 - Đối tượng đối chứng: 12C6 Cùng làm viết phương trình tiếp tuyến với đường cong dạng (nhưng 12C7 dạy tổng kết dạng phương trình tiếp tuyến) Kết quả: 12C7: 81,2% TB 12C6: 62% TB Kết luận: - Việc tổng kết dạng toán bản, mở rộng, sai lầm hay gặp học sinh hoạt động phải làm thường xuyên giảng lớp D TÀI LIỆU THAM KHẢO - SGK giải tích, hình học 12 - Hướng dẫn ơn thi TN 2008 - 2009; 2009 - 2010 - Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng tòan quốc (từ 2002 2008) 10 11 12 ... yo = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −5 x + Với xo = ⇒ yo = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −5 x + 22 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) = 3x − có đồ thị (C) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến với... xo ) - Giải phương trình (2) tìm xo ⇒  - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − yo = f '' ( x0 )( x − xo ) c) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3x − (C ) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến với... a) Bài tốn: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A ; y A ) cho trước b) Cách giải: * Cách 1: - Gọi d tiếp tuyến với (C) có hệ số