kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HÓA NĂM 2013 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong kì thi Tốt nghiệp Đại học (ĐH), Cao đẳng (CĐ) khối A, B, D mơn Tốn đóng vai trị quan trọng Trang bị kiến thức, phương pháp, kĩ phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh mục tiêu hàng đầu mục tiêu dạy học mơn Tốn nói chung chương trình lớp 11, 12 phần phương trình tiếp tuyến nói riêng Phương trình tiếp tuyến (Pttt) đồ thị hàm số y = f(x) phần quan trọng chương trình tốn THPT phát triển khả tư Tốn học cho học sinh, áp dụng nhiều kì thi Tốt nghiệp ĐH-CĐ, thời lượng nội dung ít, học sinh cịn lúng túng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, lựa chọn phân dạng cho tốn phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho đối tượng học sinh khơng bị thụ động đa dạng tốn, liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào hoạt động học tập khảo thí Từ đó, tơi lựa chọn đề tài "kinh nghiệm giảng dạy số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" mong muốn giúp học sinh yêu thích mơn Tốn, học sinh học lớp 12, ơn thi Tốt nghiệp ĐH-CĐ làm tài liệu tham khảo đển ôn luyện kiểm tra kiến thức mình, vững vàng, tự tin, thành cơng học tập khảo thí Tơi xin giới thiệu số tốn "phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" tốn tơi tham khảo, tổng hợp, tích lũy kì thi q trình giảng dạy lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp, Đại học - Cao đẳng II PHẠM VI ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phạm vi đề tài - Tập trung vào đối tượng học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp THPT Đại học Cao đẳng - Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải số tốn phương trình (pt) tiếp tuyến đồ thị hàm số số tập có liên quan Phương pháp nghiên cứu - Kinh nghiệm giảng dạy - Tổng hợp, tích lũy B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Ở trường THPT, dạy toán dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Khi thực hành giải tập cần chuẩn bị phương pháp thích hợp, cơng cụ giải toán làm cho lời giải rõ ràng, mạch lạc, súc tích, ngắn gọn, có lơgic, dễ hiểu hiệu việc giải toán tốt hơn, tiết kiệm thời gian, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh Rồi từ lựa chọn phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh, với dạng toán cụ thể giúp em định hướng phương pháp giải nhanh có hiệu II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 2, Tơi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ thực hành, phương pháp tư duy, số học sinh toán tiếp tuyến đồ thị hàm số yếu, số nguyên nhân sau: - Học sinh học kém, nắm kiến thức không vững, chưa chủ động học tập cách tích cực, ngại phát giải vấn đề dựa tảng kiến thức cũ, - Thời lượng dành cho nội dung - Tài liệu tham khảo cịn chung chung Dựa tình hình thực tế tơi nghiên cứu, tìm tịi, tích lũy đưa phương pháp chia thành bốn tốn phương trình tiếp tuyến để đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực học tập Sau số toán "phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" phương pháp giải mà tơi tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy sử dụng để dẫn dắt học sinh thực thời gian qua Cơ sở lí thuyết - Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng dạng y = kx + b, k hệ số góc - Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị y = f(x) tiếp điểm k = f ' ( x0 ) x0: hoành độ tiếp điểm - Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tiếp điểm M (x0; f (x0)) là: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + f(x0) Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm 2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) a Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) Cách giải: + Tính f ' ( x ) , f ' ( x0 ) ; + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta pt tiếp tuyến cần tìm x2 Ví dụ Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x −1 a) Tại điểm O(0; 0); b) Tại điểm M(2; 4) x − 2x Giải Ta có y ' = ; ( x − 1) a) Tại O(0; 0) ⇒ y'(0) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 0; b) Tại M(2; 4) ⇒ y'(2) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M(-1; -2) ĐS: y = 9x + Ví dụ Cho hàm số y = x4 - 8x2 + 10 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M(-1; 3) ĐS: y = 12x + 15 b) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M thỏa mãn tính chất P cho trước Cách giải: + Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0 + Tính f ' ( x ) , f ' ( x0 ) + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta pt tiếp tuyến cần tìm Ví dụ Cho hàm số y = x −1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x +1 giao điểm đồ thị với trục tung Giải Gọi M giao điểm đồ thị(C) với trục tung; x −1 y = −1 y = x +1 ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: x = x = ⇒ M(0; -1) Ta có f ' ( x ) = ⇒ f ' (0) = Pt tiếp tuyến y = 2x - ( x + 1) Ví dụ Cho hàm số y = (1 - x)2(4 - x) (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) giao điểm (C) với trục hoành Giải Hàm số (C) viết lại là: y = -x3 + 6x2 - 9x + Tọa độ giao điểm (C) với trục hoành nghiệm hệ phương trình: x = y = −x3 + 6x − 9x + M (1;0) ⇔ x = ⇒ , y'(1) = 0; y'(4) = - M ( 4;0 ) y = y = Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = y = -9x +36 Ví dụ Cho hàm số y = x−3 2− x (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm đồ thị hàm số (C) đường thẳng d: x + 2y + = Giải Tọa độ giao điểm (C) với đường thẳng d nghiệm hệ phương x−3 y = 2− x trình: Có hai tiếp tuyến cần tìm y = − x − , y = - x - x + y + = Ví dụ Cho hàm số y = x − x + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm uốn chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2004) Giải * Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (C) điểm uốn 2 Điểm uốn (C) I 2; , y'(2) = - Pt tiếp tuyến y = − x + 3 * Chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Gọi k1 hệ số góc tiếp tuyến d ⇒ k1 = -1 Gọi k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số x ⇒ k2 = y'(x) = x2 - 4x + Xét hiệu k1 - k2 = - - (x2 - 4x + 3) = - (x - 2)2 ≤ 0, ∀x ⇒ k1 ≤ k2, ∀x Dấu " = " xảy ⇔ x = (là hoành độ tiếp điểm) ⇒ k1 bé Vậy tiếp tuyến (C) điểm uốn có hệ số góc nhỏ Ví dụ Cho hàm số y = - x3 + 3x2 + (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thi hàm số (C) điểm uốn b) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn Đáp số (ĐS) * Phương trình tiếp tuyến d (C) điểm uốn y = 3x + * Tương tự ví dụ ⇒ k1 = k2 = y'(x) = -3x2 + 6x ; k1 - k2 = 3(x - 1)2 ≥ 0, ∀x ⇒ k1 ≥ k2 ∀x ⇒ k1 lớn Vậy tiếp tuyến (C) điểm uốn có hệ số góc lớn Chú ý: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) * Nếu a > tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc bé * Nếu a < tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn 2.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) điểm có hồnh độ x0 Cách giải: + Tính f ' ( x ) ⇒ f ' ( x0 ) + Thay x0 vào (C) tìm y0 + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 kết luận Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x + (C) Hãy viết phương trình đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ x0 = Giải Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + f(x0) +) Ta có f ' ( x ) = 3x2 - ⇒ f ' (1) = +) Thay x0 = vào (C), ta y0 = f(1) = +) Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 0(x - 1) + ⇔ y = Ví dụ Cho hàm số y = 3x + , ta có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến 2x + đồ thị (C) điểm có hồnh độ ĐS: y = - x+ 4 x3 Ví dụ Cho hàm số y = + 2x2 - 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0, biết f ' ' ( x0 ) = Giải Ta có f ' ( x ) = - x2 + 4x - 3; f ' ' ( x ) = - 2x + ⇒ f ' ' ( x0 ) = -2x0 + Từ giả thiết, ta có f ' ' ( x0 ) = ⇒ - 2x0 + = ⇔ - 2x0 = ⇔ x0 = - ⇒ y0 = 16 , f ' ( − 1) = - Vậy phương trình tiếp tuyến y = - 8x - 3 2.3 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có tung độ y0 Cách giải: + Thay y0 vào (C) tìm x0 + Tính y' = f ' ( x ) , f ' ( x0 ) + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta kết Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = 2x − x +1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ Giải Từ giả thiết, ta có y0 = ⇒ ⇒ f ' ( 4) = x0 − = ⇔ x0 = f ' ( x ) = ( x + 1) x0 + 1 1 Phương trình tiếp tuyến y = (x - 4) + ⇔ y = x + 5 5 Một số tập liên quan đến toán Bài Cho hàm số y = 2x − (C) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến x−2 (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giải Ta có y ' = −1 ( x − 2) x0 − ∈ (C), x0 ≠ Giả sử M x0 ; x0 − Phương trình tiếp tuyến d (C) M y = 2x − −1 ( x − x0 ) + x0 − ( x − 2) x0 − Gọi A, B giao điểm d với hai tiệm cận, nên A 2; x − ; B (2 x − 2;2) Ta có: x A + x B = + x0 − = 2.x0 = 2.x M 2x − 2x − y A + yB = + = = y M x0 − x0 − ⇒ M trung điểm AB Giao điểm hai tiệm cận I(2; 2) Tam giác IAB vuông I, nên IM bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB Diện tích đường trịn ngoại x0 − tiếp tam giác IAB là: S = π IM = π ( x − 2) + x − − 2 ; 1 2 S = π ( x − ) + ≥ 2π Dấu " = " xảy ( x0 − ) = ( x0 − ) ( x0 − 2) x0 = ⇔ Vậy có hai điểm M cần tìm M1(1; 1) M2(3; 3) x0 = Bài Cho hàm số y = x−3 (C) x −1 a) M điểm có hồnh độ x0 thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Chứng minh rằng: * M trung điểm đoạn thẳng AB * Diện tích tam giác AIB không đổi, I giao điểm hai tiệm cận (C) * Tìm tọa độ điểm M cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến điểm vừa tìm b) Chứng minh khơng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua giao điểm hai tiệm cận c) Chứng minh đồ thị (C) có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến hai điểm song song với nhau, đồng thời đường nối cặp điểm đồng quy Giải Ta có: y ' = x0 − ; x0 ≠ Vì M ∈ (C) ⇒ M x ; x0 − ( x − 1) a) Tiệm cận đứng (C) ∆1 : x = 1, tiệm cận ngang (C) ∆ : y = Phương trình tiếp tuyến d M y = x −3 ( x − x0 ) + x0 − ( x0 − 1) Gọi { A} = d ∩ ∆1 ⇒ Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình x A = x −3 y = ( x A − x0 ) + A x0 − ( x0 − 1) − x0 ⇒ A1; 1− x Gọi { B} = d ∩ ∆ ⇒ Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: yB = yB = ⇒ B(2x0 - 1; 1) x0 − , x0 ≠ ⇔ 1 = ( x B − x0 ) + x B = x0 − ( x − 1) x0 − * Ta có: xA + xB = + 2x0 - = 2x0 = xM − x0 x0 − yA + yB = + = = yM − x0 x0 − ⇒ M trung điểm AB * Vì ∆1 ⊥ ∆ I ⇒ tam giác IAB vng I, nên ta có: S ∆IAB = IA = IA.IB , 4 x0 − = ⇒ S ∆IAB không đổi , IB = x0 − ⇒ S ∆IAB = x0 − x0 − * Gọi C chu vi tam giác IAB, ta có: C = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB ≥ IA.IB + 2.IA.IB = x0 − ⇒ C ≥ ( + ) IA.IB Dấu ''='' xảy ⇔ IA = IB ⇔ x0 − ( ) ( ) ) Ta có: y ' (1 ± ) = Giải ta x = ± ⇒ M 1 − ;1 + ; M + ;1 − cần tìm ( Khi đó: C = + ) ( IA = + Phương trình tiếp tuyến M1; M2 y = x ± 2 b) Phương trình qua giao điểm I(1; 1) hai tiệm cận d1: y = k(x - 1) + 10 b) Gọi M điểm thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Chứng minh rằng: * M trung điểm đoạn thẳng AB * Diện tích tam giác AIB không đổi, I giao điểm hai tiệm cận (C) * Tìm tọa độ điểm M cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ c) Chứng minh khơng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua giao điểm hai tiệm cận x0 x − 2x , x0 ≠ Giải a) Ta có: f ' ( x ) = Gọi M(x0; y0) ∈ (C) ⇒ M x ; x −1 ( x − 1) Đồ thị (C) có tâm đối xứng giao điểm I(1; 2) hai tiệm cận (C), Điểm M' đối xứng với M qua I ⇒ M' ∈ (C) x M ' = x I − x M = − x0 ( − x0 ) Ta có ( − x0 ) ⇒ M ' − x0 ; − x yM ' = yI − yM = − x0 ; ( − x ) − 2( − x ) = x − x f ' ( x) f '( − x) = = Tiếp tuyến M M' song ( − x − 1) (1 − x ) song với nhau.Vậy đồ thị (C) có vô số cặp điểm đối xứng qua giao điểm I hai tiệm cận tiếp tuyến cặp điểm song song với x − 2x b) Ta có: y ' = ( x − 1) 2 x x0 ; ; x0 ≠ M ∈ (C) ⇒ M x0 −1 Tiệm cận đứng (C) ∆1 : x = 1; tiệm cận xiên (C) ∆ : y = x + Phương trình tiếp tuyến d M y = x0 − x0 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + 2 x0 x0 − x0 Gọi { A} = d ∩ ∆1 ⇒ A1; x − Gọi { B} = d ∩ ∆ ⇒ B(2x0 - 1; 2x0) * Ta có: xA + xB = + 2x0 - = 2x0 = xM 2 x0 x0 yA + yB = + 2x0 = = yM x0 − x0 − ⇒ M trung điểm AB 12 * Vì ∆1 ∩ ∆ I ⇒ I(1; 2) Ta có: S ∆AIB = ∧ ∧ IA.IB sin AIB Mà IA = x0 − ( ) IB = 2 x − Ta có: sin AIB = sin n1 , n2 khơng đổi, với n1 = (1;0 ) ; n = (1;−1) véc tơ pháp tuyến ∆ ; ∆ IA.IB = 2 x0 − = số không đổi ⇒ S ∆IAB không đổi x0 − *) Gọi C chu vi ∆IAB Ta có: C = IA + IB + AB Mà: ∧ AB2 = IA2 + IB2 - 2.IA.IB.cos AIB = IA2 + IB2 - IA.IB (định lí hsố cosin) ⇒ C = IA + IB + IA + IB − 2.IA.IB ≥ IA.IB + 2.IA.IB − IA.IB , ( ⇒C ≥ + − ⇔ x0 = ± ) IA.IB Dấu "=" xảy ⇔ IA = IB ⇔ = 2 x0 − x0 − 1 24 − − + 24 + M 1 + ⇒ M 1 − ; ; 42 4 2 2 Khi đó: C = 44 + 2( − 1) c) Giao điểm I hai đường tiệm cận (C) I(1; 2), Đường thẳng d' qua I(1; 2) có hệ số góc k có phương trình: y = k ( x − 1) + x2 x − = k ( x − 1) + d' tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: x − 2x = k ( x − 1) Giải hệ ta x = x - (vô lí) ⇒ phương trình vơ nghiệm Vậy khơng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua giao điểm hai tiệm x+2 x2 − x −1 Câu hỏi tương tự 1, 2, cho hàm số sau: y = ,y= 2x − x−2 13 Một số điểm cần lưu ý: Tếp tuyến đồ thị hàm số y = ax + b ,(ac ≠ 0) cx + d ax + bx + c y= , (ad ≠ 0), có chung số tính chất sau: dx + e Trên đồ thị có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến hai điểm song song với nhau, đồng thời đường nối cặp điểm đồng quy giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến đồ thị điểm M thuộc đồ thị hàm số đều: + Cắt hai tiệm cận hai điểm A, B M trung điểm đoạn AB + Tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi + Tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ IA = IB, I giao điểm hai đường tiệm cận, A B giao điểm tiếp tuyến với hai đường tiệm cận) + Không qua giao điểm hai tiệm cận Bài tốn 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ số góc tiếp tuyến 3.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ số góc tiếp tuyến k Cách giải: * Cách 1: Tìm hồnh độ tiếp điểm x0 + Tính y' = f ' ( x ) Giải phương trình f ' ( x ) = k tìm x = x0 + Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0 + Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta tiếp tuyến cần tìm * Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc + Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = kx + b (1) + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) = kx + b (Nghiệm x phương trình hồnh độ tiếp điểm) ' f ( x) = k 14 + Giải phương trình f ' ( x) = k tìm x vào phương trình f ( x) = kx + b tìm b + Thế b vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ Cho hàm số y = - x4 - x2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc tiếp tuyến - Giải * Cách Ta có y' = - 4x3 - 2x Giải phương trình - 4x3 - 2x = - ⇔ x = 1, Thay x = vào (C),được y(1) = Phương trình tiếp tuyến y = - 6(x - 1) + ⇔ y = - 6x + * Cách Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = kx + b + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: − x − x + = −6 x + b Giải hệ phương trình tìm x = 1, b = − x − x = −6 + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = - 6x + Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = x − 3x + , x −1 biết hệ số góc tiếp tuyến -1 x − x0 − x − 2x − ⇒ y ' ( x0 ) = Giải * Cách Ta có y ' = = -1 ( x − 1) ( x0 − 1) ⇔ x0 − x0 − ( x − 1) x0 = ⇒ y = −4 Tiếp tuyến y = -x - 4, y = -x + = −1 ⇒ x0 = ⇒ y = * Cách Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = - x + b + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: x − 3x + = −x + b x −1 x Giải hệ phương trình tìm được: = 0; b = - x = 2; b = x − x − = −1 ( x − 1) + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = - x - y = - x + 3.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ số góc k thỏa mãn điều kiện P cho trước 15 Cách giải: + Tính y' = f ' ( x ) + Lập hệ thức k thỏa mãn điều kiện P, tìm k + Áp dụng dạng tìm phương trình tiếp tuyến (C) Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = x−2 , biết tiếp x +1 tuyến: a) Song song với đường thẳng d: 3x - y + =0; b) Vng góc với đường thẳng d': x + 27y - = Giải Ta có: y ' = ( x + 1) a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 3; * Cách 1: Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: ( x + 1) = k , x ≠ −1 x = −2 ⇒ y = ⇔ Phương trình tiếp tuyến y = 3x + 10 y = 3x - x = ⇒ y = −2 * Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = 3x + b (1) + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: x − x + = 3x + b x , ( x ≠ −1 ) Giải hệ phương trình tìm được: = 0; b = - 2, x = - 2; b = 10, =3 ( x + 1) + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 3x + 10 y = 3x - b) Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d', nên có hệ số góc k = 27 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình = 27 , x ≠ −1 ( x + 1) 2 x = − ⇒ y = −8 Phương trình tiếp tuyến y = 27x + 10, y = 27x + 46 ⇔ x = − ⇒ y = 10 * Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = 27x + b (1) + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: 16 x − 2 = 27 x + b x = − ; b = 10, x +1 ,( x ≠ −1 ) Giải hệ phương trình ta x = − ; b = 46, = 27 ( x + 1) + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 27x + 10 y = 27x + 46 Ví dụ Cho hàm số: y = x + x + 2x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bé Giải Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k Khi đó: k = y' = x2 + 2x + = (x + 1)2 + ≥ 1,∀ x x = −1 Dấu xảy ⇔ ⇒ kmin = ⇔ y=− x = −1 Tiếp tuyến y = x − y = − Chú ý: Tiếp tuyến (T) ⊥ đường thẳng d ⇔ kT.kd = - 1; Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d ⇔ kT = kd Ví dụ Cho hàm số y = x + 3x − 2x2 + (C) Chứng minh giao điểm (C) với trục hồnh tiếp tuyến với (C) vng góc với − x + 16 x + Giải Ta có: y ' = Giao điểm (C) với trục hoành A(-2; 0) 4( x + 1) 1 1 1 B ;0 , f ' ( x A ) = f ' (−2) = − , f ' ( x B ) = f ' ( ) = ⇒ f ' ( −2) f ' = −1 2 2 2 Vậy tiếp tuyến A, B vng góc với Ví dụ Chứng minh đồ thị hàm số sau khơng có hai điểm mà tiếp tuyến hai điểm vng góc với nhau: a) y = x3 + 2x2 + 3x + 7; b) y = - x3 + 3x2 - 5x - Giải a) TXĐ: D = R Ta có: y' = 3x2 + 4x + > 0, ∀x ∈ R ⇒ Mọi tiếp tuyến đồ thị có hệ số góc k = y' > 0, ∀x ∈ R 17 ⇒ Trên đồ thị hàm số khơng thể có hai điểm mà hai tiếp tuyến có tích hai hệ số góc - ⇒ Khơng thể có hai tiếp tuyến (1) vng góc với b) Tương tự Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = - x4 - x2 + 6, biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: y = x − ĐS: y = - 6x + 10 (Trích đề thi ĐH-CĐ khối D năm 2010) Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = 4x − , biết 3x − tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = −7 x + 2013 ĐS: y = - 7x + 6; y = −7 x + 46 (Câu I,2 đề ôn thi TN năm 2013) x2 + x −1 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = , biết x+2 tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên (C) ĐS: y = − x ± 2 − (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2006) Bài tốn 3: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp tuyến qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A (x1; y1) Cách giải: * Cách 1: Tìm tiếp điểm + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến d là: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 (1); + Tiếp tuyến d qua A ⇔ Tọa độ điểm A nghiệm phương trình (1) ⇔ y1 = f ' ( x0 ) (x1 - x0) + y0 (2); + Giải phương trình (2) tìm x0, tính y0 f ' ( x0 ) ; + Thay kết tìm vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm * Cách 2: Tìm hệ số góc + Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm; 18 + Lập phương trình đường thẳng d qua A(x1; y1) có hệ số góc k phương trình dạng: y = k(x - x1) + y1 (1) + Điều kiện để đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương f ( x ) = k ( x − x1 ) + y trình sau có nghiệm: ' f ( x) = k + Giải hệ phương trình tìm x, thay vào tìm k; + Thay giá trị k vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) kẻ từ điểm A(0; 2); b) Tìm đường thẳng y = điểm để từ kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc với Giải a) * Cách 1: Ta có y' = 3x2 - 6x + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến d y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ⇒ y = (3x − x )( x − x ) + x0 − x0 + (1) + Tiếp tuyến d qua A ⇔ Tọa độ điểm A nghiệm phương trình (1) ⇔ = (3 x0 − x0 )(0 − x0 ) + x0 − 3x + ⇔ − x0 + 3x0 = x0 = ⇒ y = 2; f ' ( x0 ) = f ' (0) = ⇔ ; x0 = ⇒ y = − 11 ; f ' ( x0 ) = f ' ( ) = − + Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là: y = y = − x + * Cách 2: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm; + Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 2) có hệ số góc k : y = kx + + Điều kiện để đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ sau có x − 3x + = kx + f ( x ) = kx + ⇔ nghiệm: ' Giải hệ ta được: f ( x) = k 3 x − x = k 19 x = ⇒ k = Vậy có hai tiếp tuyến là: y = y = − x + x = ⇒ k = − b) Gọi A(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2; Đường thẳng d qua A(a; 2), có hệ số góc k có phương trình: y = k(x - a) + 2; Để có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) hệ phương trình sau phải có hai nghiệm: x − 3x + = k ( x − a) + ⇒ x[-2x2 + 3x(a + 1) - 6a] = 3 x − x = k x = ⇒ (*) − x + 3x(a + 1) − 6a = Để kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị (C) hai tiếp tuyến vng góc với phương trình (*) có hai ngiệm phân biệt x1, x2 khác y'(x1).y'(x2) = -1 ∆ > , áp dụng Viét: x + x = 3(a + 1) , x1.x2 = 3a ⇒ 6a ≠ 2 y ' ( x ) y ' ( x ) = −1 Giải ta được: 27a = - ⇔ a = − Ví dụ Cho hàm số y = Vậy điểm cần tìm là: A − ;2 27 27 x − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến 2 3 đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến qua điểm B 0; 2 ĐS: Có ba tiếp tuyến là: y = Ví dụ Cho hàm số y = 3 ; y = 2x + ; 2 y = −2 x + 2x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị x −1 hàm số (C), biết tiếp tuyến qua điểm M(1; 8) Giải * Cách 1: Ta có: y ' = −3 , M(x0; y0) ∈ (C), x0 ≠ ( x − 1) 20 + Pt tiếp tuyến d: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ⇒ y = 2x + −3 ( x − x0 ) + , (1) x0 − ( x0 − 1) + Tiếp tuyến d qua M ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm phương trình (1) ⇔ 8= 2x + −3 (1 − x0 ) + , x0 ≠ ⇔ x0 = ⇒ y = 5; y ' ( 2) = −3 x0 − ( x0 − 1) + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -3x + 11 * Cách 2: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm; + Lập phương trình d qua M(1; 8) có hệ số góc k là: y = k ( x − 1) + f ( x ) = k ( x − 1) + + d tiếp tuyến (C) ⇔ Hệ sau có nghiệm: ' f ( x) = k Giải hệ, ta được: x = 2; k = - Vậy tiếp tuyến cần tìm y = - 3x + 11 Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x2 - (C) Chứng minh rằng: a) Qua điểm uốn đồ thị kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) b) Qua điểm thuộc đồ thị (C), điểm uốn kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải a) Ta có y' = 3x2 + 6x; y'' = 6x + Đồ thị (C) có điểm uốn I(- 1; 0) Phương trình tiếp tuyến qua điểm uốn có dạng: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y ⇒ y = f ' ( − 1)( x + 1) + ⇒ y = −3 x − Do qua điểm uốn đồ thị (C) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị Thật vậy, từ phương trình y = −3 x − , ta có x3 + 3x2 - = - 3x - ⇔ (x + 1)2 = có nghiệm x = - Vậy qua điểm uốn đồ thị (C) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị b) Gọi M ∈ (C) ⇒ M ( x0 ; x0 + x0 − 2) , x0 ≠ −1 (vì hồnh độ điểm uốn x = - 1) Phương trình d qua M có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − x0 ) + x0 + x0 − d tiếp tuyến (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: x + x − = k ( x − x0 ) + x0 + x0 − Nghiệm x hệ hoành độ tiếp điểm k = 3x + x ⇔ x + x = ( 3x + x ) ( x − x0 ) + x0 + x0 có hai nghiệm x = x0, x = + x0 , −2 21 x0 ≠ -1 Đối với hàm bậc ba, ứng với tiếp điểm có tiếp tuyến Vậy số nghiệm x hệ số tiếp tuyến kẻ từ M đến đồ thị (C) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt Qua M thuộc (C), khơng phải điểm uốn kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị Ví dụ Cho hàm số y = x4 - x2 + (C) Tìm điểm Oy cho từ điểm kẻ ba tiếp tuyến với (C) Giải Gọi M điểm thuộc Oy ⇒ M(0; b) Đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng: y = kx + b x − x + = kx + b Từ M kẻ ba tiếp tuyến ⇔ Hệ phương trình có ba k = 4x3 − 2x nghiệm phân biệt Giải ta đ ược b = ⇒ M(0; 1) Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x2 - (C) Chứng minh qua điểm thuộc đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải Gọi M điểm thuộc đường thẳng x = ⇒ M(1; b) Phương trình d qua M với hệ số góc k có dạng: y = k(x - 1) + b x − 3x − = k ( x − 1) + b d tiếp tuyến (C) ⇔ Hệ sau có nghiệm: k = 3x − x ⇔ - 2x3 + 6x2 - 6x + = b có nghiệm ⇔ đường thẳng y = b cắt đồ thị g(x) = - 2x3 + 6x2 - 6x + Ta có: g ' ( x) = −6 x + 12 x − = −6( x − 1) ≤ 0, ∀x Hàm g(x) hàm nghịch biến ⇒ đường thẳng y = b cắt đồ thị g(x) điểm ⇒ Hệ có nghiệm Vậy qua M(1; b) kẻ tiếp tuyến với (C) Chú ý: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ (C) *) Có tiếp tuyến (C) qua điểm uốn *) Qua điểm thuộc đồ thị (C), điểm uốn kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài tập 22 Bài Cho hàm số y = x − x + (C) Viết phươngtrình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1; -9) (Trích đề thi ĐH-CĐ khối B-2008) Bài Cho hàm số y = x3 - 3x2 + Tìm đường thẳng d: y = - 2, điểm mà từ ta vẽ đến (C): a) Ba tiếp tuyến b) Ba tiếp tuyến mà có hai tiếp tuyến vng góc Bài tốn : Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp tuyến thỏa mãn tính chất P cho trước Cách giải: + Phương trình tiếp tuyến d điểm M(x0; y0) có dạng: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 , + Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0; f ' ( x0 ) ; + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ1 Cho hàm số y = x+2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm 2x + số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ Giải Ta có: y ' = (Trích đề thi ĐH-CĐkhối A-2009) −1 Gọi M(x0; y0) ∈ (1), x ≠ − ( x0 + 3) Phương trình tiếp tuyến d M có dạng: y = f ' ( x )( x − x0 ) + y (*) d ∩ Ox = { A} d ∩ Oy = { B} ⇒ Tiếp tuyến d song song với đường phân Từ giả thiết, ta có: ∆OAB cân O giác góc phần tư thứ thứ hai có phương trình y = x; y = - x, ⇒ k = ±1 = f ' ( x0 ) Ta có: −1 x = −2 ⇒ y = = ±1 ⇔ ( x0 + 3) x = −1 ⇒ y = * Với x0 = - 1; y0 = 1, phương trình y = - x (loại) * Với x0 = - 2; y0 = 0, phương trình tiếp tuyến y = - x - Vậy có tiếp tuyến cần tìm y = - x - 23 Ví dụ Cho hàm số y = x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), x biết tiếp tuyến cắt trục Ox x = α , cắt trục Oy y = β cho α β = Giải Ta có y ' = − Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) x2 Phương trình tiếp tuyến x0 y = 1 − x + (1) Theo đề ra, ta có: x x0 2x A( α ;0) B( 0; β ) thay vào (1) ta giải được: α = − ; β = x0 x0 − Từ giả thiết α β = ⇒ − x0 −4 =8⇔ = ⇔ x0 = ± 2 x0 − x0 x0 − Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = − x ± 2 Ví dụ Cho hàm số y = 2x x−2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung A, B tam giác OAB thỏa mãn AB = OA Giải Ta có: y ' = −4 Gọi M(x0; y0) ∈ (1) , x ≠ ( x − 2) Phương trình tiếp tuyến d M có dạng: y = 2x −4 ( x − x0 ) + x0 − ( x0 − 2) d ∩ Ox = { A} * Cách 1: Theo giả thiết: d ∩ Oy = { B} ⇒ ∆OAB vuông cân O ∆OAB : AB = OA d ⊥ y = x Do đó: d ⊥ y = − x + Nếu d ⊥ d1 : y = x k d k d1 = −1 ⇔ −4 = −1 ⇔ ( x0 − 2) = ( x0 − 2) Giải ta được: x0 = ⇒ phương trình d: y = - x (loại) 24 x0 = ⇒ phương trình d: y = - x + + Nếu d ⊥ d : y = − x k d k d = −1 ⇔ −4 ( − 1) = −1 (vơ lí) ( x0 − 2) Vậy có tiếp tuyến d cần tìm y = - x + ∧ * Cách 2: Vì tam giác OAB vuông O nên sin ABO = OA π = = sin AB 2 x0 ⇒ Tam giác OAB vuông cân O; d ∩ Ox = { A} ⇒ A ;0 ; d ∩ Oy = { B} x0 0; ⇒ B ( x0 − 2) x2 x0 Giả thiết OA = OB ⇒ = ⇒ x0 = 0, x0 = ( x0 − 2) Tương tự ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm y = - x + Ví dụ Cho hàm số y = x−2 x +1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác OAB lớn Giải Ta có: y ' = Gọi M(x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) ( x + 1) Phương trình tiếp tuyến d M có dạng: y = x −2 ( x − x0 ) + , x0 ≠ −1 x0 + ( x0 + 1) 2 x0 − x0 − x0 − x0 − ;0 ; Ta có: OA = * d ∩ Ox = { A} ⇒ A − 3 2 x0 − x0 − x0 − x0 − Ta có: OB = d ∩ Oy = { B} ⇒ B 0; ( x0 + 1) ( x0 + 1) S ∆OAB = OA + OB + AB OA.OB = p.r , ( với p = , r bán kính đường trịn nội 2 tiếp tam giác OAB) ⇒ r = OA.OB ⇒ OA + OB + AB 25 r= OA.OB OA + OB + OA + OB Do đó: rMax = ≤ OA.OB OA.OB OA + OB = ≤ OA.OB + 2.OA.OB + 4+2 OA + OB Dấu " = " xảy ⇔ OA = OB 4+2 2 x0 = − x0 − x0 − x0 − x − ⇔ = ⇔ ( x0 + 1) x0 = − − Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = x + − 2 ; y = x + + 2 x2 Ví dụ Cho hàm số y = x −1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn x − x0 x2 x2 x ; là: y = ( x − x0 ) + , x ≠ Giải Tiếp tuyến d M x0 − x −1 ( x0 − 1) x0 x0 Tiếp tuyến d cắt Ox, Oy A B nên: A − x ;0 , B 0; x − S ∆OAB = OA.OB OA + OB ( rmax ⇔ p ) ≤ OA.OB = p.r ⇒ r = OA + OB + AB + 2 Tương tự ta có tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + ± 2 Lưu ý: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ax + b ax + bx + c ≠ 0) y = ,(ac ,(ad ≠ 0) cx + d dx + e điểm M thuộc đồ thị hàm số có chung số tính chất sau: + Tạo với hai trục tọa độ tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn OA = OB, (O gốc tọa độ, A B giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ) + Tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi nhỏ OA = OB, (O gốc tọa độ, A B giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ) 26 ... f(x0) Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm 2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0 ) a Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x). .. Phương trình tiếp tuyến y = 3x + 10 y = 3x - x = ⇒ y = −2 * Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = 3x + b (1) + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm: ... phương trình tiếp tuyến y = - x - V? ?y có tiếp tuyến cần tìm y = - x - 23 Ví dụ Cho hàm số y = x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), x biết tiếp tuyến cắt trục Ox x = α , cắt trục Oy y =