SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tìm hiểu bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN SỞTIỂU GIÁO HỌC, DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HỒNG YÊN TRƯỜNG THCS VÀ THPT ĐỨC Đơn vị: Trường Tiểu học, THCS THPT Hồng Đức *************** Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tìm hiểu tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số Người thực hiện: Phạm Thị Huyền Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: TỐN  - Lĩnh vực khác:  HƯNG YÊN - 2017 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Phạm Thị Huyền Ngày tháng năm sinh: 30/7/1988 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Lỗ Xá - Nhân Hòa - Mỹ Hào - Hưng Yên Điện thoại: 0983 880 730 Fax: Chức vụ: Tổ phó Tổ Tốn - Lý Đơn vị công tác: Trường Tiểu học, THCS THPT Hồng Đức I TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Cử nhân Toán II KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy mơn tốn THPT - Năm vào ngành: 2010 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: khơng có MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài .3 Mục đích PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN I Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng II Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm cho trước .8 PHẦN II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ .11 PHẦN III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 12 I Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị 12 II Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc .14 III Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm cho trước .17 IV Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc 18 V Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị 19 VI Tìm điểm đường thẳng mà từ vẽ 1, 2, tiếp tuyến với đồ thị .21 VII Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị tiếp tuyến vng góc với .23 VIII Các toán khác tiếp tuyến 24 MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .27 PHẦN IV HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 32 I Khảo sát thực tế .32 II Kết sau thực SKKN 32 KẾT LUẬN 33 PHỤ LỤC 35 Đề số 35 Đề số 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO .43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chủ đề hàm số nội dung chương trình tốn THPT Một tốn chủ đề hàm số khơng đơn tìm tập xác định, xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số mà đề cập đến vấn đề khác như: Viết phương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số … Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số nội dung quan trọng nhiều khả gặp kỳ thi tốt THPT Quốc Gia tới, nhiều học sinh mơ hồ lúng túng khơng biết giải tốn Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm viết phương trình tiếp tuyến điểm; dạng viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến, chứng minh tính chất tiếp tuyến…đối với học sinh lại khó Học sinh khơng có phương pháp làm tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số em biết sơ qua chương trình lớp 11 lại luyện tập Hơn em khơng biết phân loại tập để có cách giải hữu hiệu, trình làm tập nhiều giải học sinh bỏ sót trường hợp ví dụ chưa tìm hết tiếp điểm; hiểu sai đề bài… Mục đích Như nêu, chương trình sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 học sinh tiếp cận hiểu biết tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số mức độ định; chưa hiểu sâu lí thuyết; chưa rèn luyện nhiều kĩ Chính vậy, tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu toán rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải tốn thành thạo hơn, lí tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Tìm hiểu toán tiếp tuyến đồ thị hàm số” PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN I Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong ( C ) Giả sử ( C ) đồ thị hàm số y = f ( x ) M ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) Kí hiệu M ( x; f ( x ) ) điểm di chuyển ( C ) Đường thẳng M M cát tuyến ( C ) y (C) M f(x) T f(x0) O M0 x0 x x Hình Nhận xét x →x0 M ( x; f ( x ) ) di chuyển ( C ) tới điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) ngược lại Giả sử cát tuyến M M có vị trí giới hạn, kí hiệu M 0T M 0T gọi tiếp tuyến ( C ) M Điểm M gọi tiếp điểm Tại vị trí M ( C ) ta ln có kM = f ( xM ) − f ( x0 ) xM − x0 Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song trùng với Oy Nhắc lại ý nghĩa hình học đạo hàm: “Đạo hàm hàm số y = f ( x ) x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) ” ĐỊNH LÍ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm , ĐỊNH LÍ Cho hàm số có đồ thị đường thẳng Đường thẳng tiếp xúc với hệ sau có nghiệm Khi đó, nghiệm x hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm II Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị a Bài toán Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) Ví dụ Cho hàm số y = x − x + x có đồ thị ( C ) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 2; ) thuộc đồ thị ( C ) Giải Ta có y ' = x − 12 x + nên y ' ( ) = −3 Với x0 = y0 = Phương trình tiếp tuyến cuả đồ thị ( C ) điểm A ( 2; ) y = −3( x − 2) + hay y = −3 x + Ví dụ Cho hàm số y = x+2 có đồ thị ( C ) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ 2x + thị ( C ) giao điểm đồ thị với trục Oy Giải Ta có y ' = −  2 Oy  0; ÷ Giao điểm đồ thị với (2 x + 3)  3 Hệ số góc y ' ( ) = −   2 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm  0; ÷ y = − x +  b Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hồnh độ x = x0 (hoặc tung độ y = y0 ) Ví dụ Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ x0 = −2 Giải Ta có y ' = x − x nên y ' ( −2 ) = −24 Ngoài y ( −2 ) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm ( −2;8 ) y = −24 ( x + ) + hay y = −24 x − 40 Ví dụ Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( C ) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y0 = Giải Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có y ' = 3x −  x0 = Theo y0 = ⇔ x0 − 3x0 + = ⇔ x0 − x0 = ⇔  x0 = −   x0 = 3 • Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm ( 0;5 ) Ta có y ' ( ) = −3 Do phương trình tiếp tuyến y − = −3( x − 0) hay y = −3 x + • Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm (− 3;5) Ta có y ' ( − ) = 3(− ) − = Do phương trình tiếp tuyến y − = 6( x + ) hay y = 6x + + • Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = 6x − + ( C ) điểm ( 3;5) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc Bài tốn Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) số k ∈ ¡ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) có hệ số góc k x −1 ( C ) có hệ số góc x +1 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Giải Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm x0 ≠ −1 y ' ( x0 ) = ( x0 + 1) x =0 = ⇔ x + x + = ⇔ x0 + x0 = ⇔  0  x0 = −2 Có hai toạ độ tiếp điểm (0; −1), ( −2;3) Hai phương trình tiếp tuyến y = x − y = 2( x + 2) + ⇔ y = x + Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y = −x + biết tiếp tuyến song song với 2x +1 d : y = −7 x − Giải Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −7 x − nên hệ số góc tiếp tuyến −7 ( x0 + 1) = −7 ⇔ ( x0 + 1) x =0 = ⇔   x0 = −1 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến y = −7 x + 3; y = −7 x − 11 Ví dụ Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ : 3x − y − = Giải Cách Đường thẳng ∆ có hệ số góc k∆ = Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc với 5 đường thẳng ∆ nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm kd = − Hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình 46   x0 = y0 =   5 27 ⇔ y ' ( x0 ) = − ⇔ x0 − x0 = − ⇔ x0 − 18 x0 + = ⇔  3 x =  y = − 46   27 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) cần tìm y = − x + Cách Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = − x + c (*) 61 29 y = − x + 27    x − x + = − x + c c = ⇔ d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm  c = 3 x − x = −   61 27 29 27 61 29 y = − x + 27 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) cần tìm y = − x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài toán Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( xA ; y A ) Ví dụ Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ  23  thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A  ; −2 ÷     Giải Đường thẳng d qua điểm A có phương trình y = k  x − 23  ÷− (*)  Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị ( C ) hệ sau có nghiệm  23   23    2  x − 3x + = k  x − ÷−  x − 3x + = (3 x − x)  x − ÷−   ⇔    3 x − x = k 3 x − x = k    x = k =     x = ⇔ k = − ⇔  3    x =   k = 3 x − x = k Thay k vào (*), ta phương trình tiếp tuyến d1 : y = −2 61 d2 : y = − x + d3 : y = x − 25 27 Ví dụ Cho hàm số y = ( C ) qua điểm x − 3x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến 2 A(0; )  3 (d ) Giải Phương trình đường thẳng qua A  0; ÷ có dạng y = kx +  2 Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị ( C ) hệ sau 3 1  x − x + = kx + 2 có nghiệm 2 2 x − x = k  x =  Suy x − x = ⇔  x = x = −  • Với x = k = Phương trình tiếp tuyến y = • Với x = k = −2 Phương trình tiếp tuyến y = −2 x + • Với x = − k = 2 Phương trình tiếp tuyến y = 2 x + Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ A(0; ) đến đồ thị y = 2x + ( C ) y= 3 ; y = −2 x + 2 Ví dụ Cho hàm số y = x ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ x +1 thị hàm số Chứng minh khơng có tiếp tuyến đồ thị ( C ) qua I Giải Ta có tiệm cận đứng x = −1 Tiệm cận ngang y = Do đó, toạ độ giao điểm hai đường tiệm cận I ( −1;1) Phương trình đường thẳng qua I ( −1;1) có dạng y = k ( x + 1) + ( d ) Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị ( C ) hệ sau có nghiệm  x  x + = k ( x + 1) + x x ⇒ = ( x + 1) + ⇔ = +1⇒ x = x +  x + x + x + ( x + )  =k  ( x + 1) Phương trình vơ nghiệm nên khơng có tiếp tuyến qua I - giao điểm hai đường tiệm cận Ví dụ Cho hàm số y = x2 − x −1 ( C ) Tìm điểm trục tung mà từ kẻ x +1 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Giải Gọi B(0; b) ∈ Oy Phương trình đường thẳng qua B có dạng y = kx + b ( d ) Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị ( C ) hệ sau có nghiệm  x2 − x −1 = kx + b  x2 − x −1 x2 + 2x  x +1 ⇔ = x + b ⇔ ( + b ) x + ( b + 1) x + b + = ( *) (I)  x + x x +1 ( x + 1)  =k  ( x + 1) u cầu tốn thoả mãn phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = − b− > b < −1 ⇔ ⇔ 2 + b ≠ b ≠ −2 Vậy điểm trục tung có tung độ bé −1 khác −2 từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) 10 A B C D x + 3x + Câu 29 Cho ( C ) đồ thị hàm số y = Tìm điểm ( C ) mà tiếp x −1 tuyến với ( C ) vng góc với đường thẳng d : y = x + C (1 + 3;5 + 3) A ( 2;12 ) B ( 0;0 ) D ( −2;0 ) (1 − 3;5 − 3) Câu 30 Cho hàm số y = x − 3x có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến với ( C ) song song đường thẳng d : y = x + 10 A B C D Câu 31 ( C ) đồ thị hàm số y = 2x −1 Gọi I giao hai đường tiệm cận ( C ) x −1 Tìm M thuộc ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) M vuông góc với đường thẳng IM D Khơng có A M1 (2;3), M (0;1) B M ( 2;3) C M ( 0;1) x2 + x −1 Câu 32 ( C ) đồ thị hàm số y = Tìm điểm ( C ) mà tiếp tuyến x −1 điểm với ( C ) vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị ( C ) A M ( 1;3) B (1 − 6 ;3 − )   6 6 ;3 + ;3 − C M 1 + ÷ M 1 − ÷ D Khơng có 6     Câu 33 Tìm hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến song song với trục hoành đồ thị hàm số y = x3 − 3x + A −1 B C A B D Đáp số khác Câu 34 Tìm hệ số góc nhỏ tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y = x3 − 3x + A −3 C −4 B D Câu 35 Cho hàm số y = x − 3x + ( C ) Đường thẳng sau tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất? A y = −3x + B y = −3x − C y = −5 x + 10 D y = Câu 36 Tìm hệ số góc lớn tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = − x3 − x − 3x + k = A B k = C k = D k = x + x +1 Câu 37 Cho hàm số y = có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) x +1 qua điểm A(−1;0) 3 C y = 3( x + 1) D y = 3x + A y = x B y = ( x + 1) 4 30 Câu 38 Số đường thẳng qua điểm A ( 0;3) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x4 − x2 + A B C D Câu 39 Số tiếp tuyến qua điểm A ( 1; −6 ) đồ thị hàm số y = x − 3x + A B C D Câu 40 Qua điểm A(0; 2) kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 − x2 + ? A B C D Câu 41 Cho đường cong (C ) : y = x − x + điểm A(0; a ) Nếu qua A kẻ tiếp tuyến với (C ) Tìm điều kiện a 10 10 a < A a < B < a <  3 D a > C 10 a >  Câu 42 Cho hàm số y = 2x + m y= 2x − m x − Tìm để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng B m ≠ D ∀m ∈ ¡ C m = ±2 A m = Câu 43 Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + m + tiếp xúc với trục hoành A m = B m = ±1 C m = −1 D m ≠ 2 Câu 44 Tìm m để hai đồ thị hàm số y = x − x + y = mx − tiếp xúc A m = B m = −2 D m = C m = ± x +1 đường thẳng d : y = x + m Khi d cắt (C ) x−2 điểm phân biệt tiếp tuyến với (C ) hai điểm song song với Tìm m A m = B m = C m = −1 D m = −2 Câu 46 Cho hai đường cong (C ) : y = ( x − 9) (C ') : y = ( x − x − 9) tiếp xúc với Câu 45 Cho đồ thị (C ) : y = Viết phương trình tiếp tuyến điểm chung có hồnh độ dương D A, C A y = 15( x − 3) B y = 15( x + 3) C y = −15( x + 3) Câu 47 Tìm m để đường thẳng d : y = x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x + A m = B m = C m = D m = / Câu 48 Với giá trị m đường cong (Cm ) : y = x − 3mx + 6(m − 1) x − 2(m − 1) tiếp xúc với Ox A m ∈ { 0,1, 2} B m ∈ { 1, 2,3} C m ∈ { −1, 0,1} D m ∈ { −1,1, 2} x + 2mx − m Câu 49 Định m để đường cong ( H m ) : y = tiếp xúc với đường thẳng x +1 d : y =2 A m = B m = C m = −1 D A, C Câu 50 Đường thẳng y = 3x + m tiếp tuyến đường cong y = x + Tìm m A −1 B C −2 D −3 31 PHẦN IV HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Khảo sát thực tế Trước thực SKKN, năm học 2017 - 2018 khảo sát chất lượng học sinh lớp 12A thông qua kiểm tra viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số toán liên quan (Đề số phụ lục trang 26 ) Kết sau: Khơng có học sinh đạt điểm giỏi; có 06 học sinh đạt điểm khá, điểm yếu 20 % đặc biệt gần 20% học sinh bị điểm Lớp TS Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A 41 0 06 14,6% 18 43,9% 10 24,4% 07 17,1% Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải toán yếu II Kết sau thực SKKN Sau thực đề tài lớp 12A trường Tiểu học, THCS THPT Hồng Đức năm học 2017 - 2018, khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số toán liên quan (Đề số phụ lục trang 30) Kết có 50% số học sinh đạt điểm trở lên, giỏi Điểm yếu giảm đặc biệt khơng điểm Cụ thể sau: Lớp TS Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A 41 02 4,9% 20 48,8% 14 34,1% 05 12,2% 0% Như vậy, chất lượng kiểm tra tăng lên rõ rệt Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung giảng liên quan đến SKKN có tham góp đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy thu số kết định sau: Học sinh yếu hiểu biết vận dụng tốt phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Học sinh trung bình trở lên nắm vững phương pháp, biết vận dụng thành thạo linh hoạt Chất lượng giải kĩ giải toán tốt so với năm trước 32 KẾT LUẬN Trong giai đoạn giáo dục nay, đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội nguồn nhân lực thực thụ Bản thân mong muốn làm để nâng cao chất lượng học tập học sinh nên tơi ln cố gắng tìm tòi ứng dụng đổi vào việc giảng dạy sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp Loại toán viết phương trình tiếp tuyến tài liệu tham khảo thường đề cập cách sơ sài nhỏ lẻ, nên cố gắng tập hợp, giải tốn phương trình tiếp tuyến cách đơn giản để học sinh dễ hiểu Qua ứng dụng SKKN giảng dạy cho học sinh nhận thấy tốn viết phương trình tiếp tuyến học sinh thông hiểu nhiều Như vậy, với SKKN dù hay nhiều giúp ích cho cho cơng việc giảng dạy tơi, góp phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ vận dụng tốt vào giải tốn, nâng cao chất lượng học mơn tốn trước Đối với thân tôi, giáo viên đứng lớp, viết SKKN giúp ích nhiều việc tự học trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ Mặc dù SKKN tơi viết tập trung vào vấn đề nhỏ chương trình tốn lớp 12 việc áp dụng vào giảng dạy có tác dụng tốt, thời gian tới tơi phát triển thêm SKKN áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi với tốn nâng cao Từ q trình áp dụng SKKN thấy học kinh nghiệm rút giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách nhẹ nhàng tự nhiên, khơng nên gò ép, áp đặt, phải đưa phương pháp giải loại tốn có học sinh hứng thú học tập u thích mơn tốn Những ý kiến đề xuất Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng mà đề cập chương trình THPT, hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm, viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước Để giúp học sinh nắm vững kiến thức phương trình tiếp tuyến đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác tơi xin nêu số giải pháp đề nghị sau: Đối với tổ chuyên môn chuyên môn nhà trường cho phép chia sẻ cho thành viên tổ áp dụng SKKN cho tất lớp khối 12 ( tùy thuộc vào mức độ tiếp thu học sinh lớp) 33 Tổ chuyên môn thường xun đóng góp ý kiến cho SKKN tơi q trình tơi thực SKKN Trong q trình thực SKKN, tơi nhận góp ý quý báu đồng nghiệp tổ Toán - Lý trường Tiểu học, THCS THPT Hồng Đức, mong nhận thêm đóng góp quý báu khác từ đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn 34 PHỤ LỤC Đề số ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Mơn Đại số - Giải tích lớp 12 (TNKQ: 60% - TL: 40%) Phần trắc nghiệm Chủ đề mạch kiến NB thức, kĩ Viết phương trình tiếp tuyến Số câu: điểm Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài toán khác tiếp tuyến Tổng 2,0 Mức độ nhận thức TH VD thấp Số câu: Tổng điểm 3,0 Số câu: 1,5 VD cao 1,0 Số câu: 2,5 1,0 Số câu: 0,5 0,5 6,0 VD cao Tổng điểm Phần tự luận Chủ đề mạch kiến thức, kĩ Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ cho trước Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hệ số góc cho trước Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Tổng Mức độ nhận thức TH VD thấp NB 1,0 Bài 1a 1,0 Bài 1b 1,5 Bài 1,0 2,5 Đề Phần trắc nghiệm 35 Bài 0,5 0,5 4,0 Câu Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3 điểm ( −1; −1) A y = 3x + B y = −3x + C y = −3x − Câu Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = A y = −4 x − B y = −4 x + C y = x D y = 3x − điểm x 1   ;2 ÷ 2  D y = x − Câu Viết phương trình tiếp tuyến parabol y = x − x + điểm ( 1;1) A y = x + B y = x − C y = −2 x − Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = D y = −2 x + x x3 x − + − điểm A ( 0; −1) A x = −1 B x = −1 C y = −1 Câu Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A −2 B C D y = x−1 giao điểm với trục tung x+ D −1 Câu Cho hàm số y = − x + x − có đồ thị ( C ) Số tiếp tuyến ( C ) vng góc với đường thẳng y = x + 2017 A B C D Câu Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x biết hệ số góc tiếp tuyến A y = 3x + y = −3x + B y = −3x + y = −3x + C y = 3x − y = 3x + D y = 3x − y = −3x + Câu Số tiếp tuyến qua điểm A ( 1; −6 ) đồ thị hàm số y = x − 3x + A B C D Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = x − 3x − biết tiếp tuyến qua điểm M ( 1; −4 ) A y = 24 x − 28 y = −3 x − B y = 24 x + 28 y = −3 x − C y = 24 x − 28 y = −3 x + D y = 24 x + 28 y = −3 x + Câu 10 Tiếp tuyến parabol y = − x điểm ( 1;3) tạo với trục tọa độ tam giác vng Tính diện tích tam giác vng 36 A B C 25 Câu 11 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( H ) : y = trục hoành A y = 3x B y = 3( x − 1) x0 = −1 A −2 Phần tự luận B x −1 giao điểm ( H ) x+2 C y = x − Câu 12 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 25 D D y = ( x − 1) x4 x2 + − điểm có hồnh độ C D −3 Câu (2,0điểm) Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị ( C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A(2;3) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ −1 Câu (1,5điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x+ biết hệ số góc x−1 tiếp tuyến − Câu (0,5điểm) Cho hàm số f ( x ) = 3x − x3 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A(1;3) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ Câu Nội dung a) y ' = 3x − y '(2) = 3.(2) − = 0,25 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A(2;3) y = 9( x − 2) + Hay y = x − 15 b) Hoành độ tiếp điểm x0 = −1 nên tung độ tiếp Thang điểm 0,25 điểm y0 = (−1)3 − 3(−1) + = y '(−1) = 3.( −1)2 − = 0,25 0,25 0,25 0,25 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ −1 y = 0( x − 0) + hay y = 37 0,25 0,25 Ta có y ' = −2 ( x − 1) 0,25 Do hệ số góc tiếp tuyến − nên 0,25 −2 x = = − ⇔ x − x − 15 = ⇔  ⇔ ( x − 1)  x = −3 Với x = y = Phương trình tiếp tuyến ( C ) x = 17 y = − ( x − 5) + ⇔ y = − x + 8 Với x = −3 y = Phương trình tiếp tuyến 0,25 0,25 0,25 ( C ) x = −3 1 1 y = − ( x + 3) + ⇔ y = − x + 8 17 Vậy có tiếp tuyến ( C ) y = − x + 8 0,25 1 y =− x+ 8 f ( x ) = x − x3 Ta có f '( x ) = − 12 x Gọi phương trình đường thẳng qua A(1;3) có hệ số góc k có dạng y = k ( x − 1) + Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ sau phải có 3 x − x3 = k ( x − 1) + (1)  (2) 3 − 12 x = k nghiệm Thay ( ) vào ( 1) ta có x − x3 = (3 − 12 x )( x − 1) + x = ⇔ x =  38 0,25 Với x = thay vào ( ) k = Phương trình tiếp tuyến y = 3( x − 1) + hay y = 3x Với x = thay vào ( ) k = −24 Phương trình tiếp tuyến y = −24( x − 1) + hay y = −24 x + 27 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến qua A ( 1;3) y = 3x y = −24 x + 27 39 0,25 Đề số ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Môn đại số - Giải tích lớp 12 (TNKQ: 60% - TL: 40%) Phần trắc nghiệm Chủ đề mạch kiến NB thức, kĩ Viết phương trình tiếp tuyến Số câu: điểm Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài toán khác tiếp tuyến Tổng 2,0 Mức độ nhận thức TH VD thấp Số câu: Tổng điểm 3,0 Số câu: 1,5 VD cao 1,0 Số câu: 2,5 1,0 Số câu: 0,5 0,5 6,0 VD cao Tổng điểm Phần tự luận Chủ đề mạch kiến thức, kĩ Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài toán khác tiếp tuyến Tổng Mức độ nhận thức TH VD thấp NB 1,0 Bài 1a 1,0 Bài 1b Bài 1,0 1,0 Bài 2,0 Đề Phần trắc nghiệm Câu Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3 − x + điểm ( 2;5 ) 40 1,5 0,5 4,0 A y = 10 x − 15 B y = 10 x + 25 C y = −10 x − 15 Câu Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = A y = x − B y = −2 x − D y = 10 x − 25 1+ x điểm ( 0; −1) x −1 C y = −2 x D y = x − Câu Viết phương trình tiếp tuyến parabol y = − x + 3x − điểm ( 2;0 ) A y = x + B y = x − C y = − x − D y = − x + Câu Phương trình tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y= x − x + 3x − A Song song với đường thẳng x = B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương D Có hệ số góc −1 Câu Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C ) : y = x + x − x + , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = x + 2017 D A, B A y = x − B y = x + 28 C y = x + 2008 Câu Cho hàm số y = − x + 3x − có đồ thị ( C ) Số tiếp tuyến ( C ) vng góc với đường thẳng y = x − 2017 A B C D x +1 có hệ số góc −2 x −1 C x + y = D −2 x − y + = Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A x + y − = B x + y + = Câu Cho hàm số y = qua điểm A(−1;0) A y = x x2 + x + có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) x +1 B y = ( x + 1) C y = 3( x + 1) D y = 3x + Câu Số tiếp tuyến qua điểm A ( 2;0 ) đồ thị hàm số y = x − 3x + A B C D Câu 10 Cho hàm số y = 2x + m A m = y= 2x − m x − Tìm để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng B m ≠ C m = ±2 D ∀m ∈ ¡ x+2 điểm A ∈ ( H ) có tung độ y = Hãy lập x −1 phương trình tiếp tuyến ( H ) điểm A D A, B, C sai A y = x − B y = −3 x + 10 C y = −3 x − 11 Câu 12 Cho hàm số y = x + x + x + có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến Câu 11 Cho đường cong ( H ) : y = ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung A y = x + B y = x + C y = −8 x + 41 D y = 3x − Phần tự luận Câu (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = x − x − có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 1; −4 ) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x+ biết tiếp tuyến song x−1 song với đường thẳng y = −2x + Câu (1,5điểm) Cho hàm số y = −4 x3 + x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( 0;3) Câu (0,5điểm) Tiếp tuyến parabol y = − x điểm ( 1;3) tạo với trục tọa độ tam giác vng Tính diện tích tam giác vng HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ Câu Nội dung a) y ' = x − x y '(1) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 1; −4 ) y = 0( x − 1) − Hay y = −4 b) Ta có y ' = 0,25 0,25 −2 ( x − 1) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −2x + nên tiếp tuyến có hệ số góc −2 −2 x = = − ⇔ ⇔ x − x = x = ( x − 1)2  Với x = y = −1 ⇔ Thang điểm 0,25 0,25 Phương trình tiếp tuyến (C) y = −2 ( x − ) − 0,25 0,25 0,25 ⇔ y = −2 x − Với x = y = Phương trình tiếp tuyến (C) y = −2( x − 2) + hay y = −2 x + 0,25 Vậy có tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = −2x + y = −2 x − y = −2 x + 42 f ( x ) = −4 x + 3x + Ta có: f '( x ) = − 12 x 0,25 Gọi đường thẳng qua A(0;3) có hệ số góc k có dạng 0,25 y = kx + Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ sau  −4 x3 + 3x + = kx + (1) phải có nghiệm  (2) 3 − 12 x = k Thay ( ) vào ( 1) ta có −4 x3 + x + = (3 − 12 x ) x + ⇔x= Với x = thay vào ( ) k = Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) qua điểm A ( 0;3) y = Gọi đường thẳng 0,25 0,25 0,25 0,25 ( d ) qua điểm ( 1;3) có dạng y = k ( x − 1) + Đường thẳng ( d ) tiếp tuyến ( C ) hệ sau 0,25  x =1  − x = k ( x − 1) + ⇔  −2 x = k  k = −2 có nghiệm  Phương trình tiếp tuyến ( d ) y = −2 x + 5  Giao điểm ( d ) với trục hồnh M  ;0 ÷ 2  Giao điểm ( d ) với trục tung N ( 0;5 ) Khi đó, diện tích tam giác vng OMN S = OM ON 0,25 25 ⇔ S = = (đvdt) 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, (2004), Phương pháp giải toán tiếp tuyến, NXBGD [ 2] Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, (2008), Giải tích 12, NXBGD [ 3] Nguyễn Bá Kim, (2004), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXBĐHSP 43 [ 4] Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo, (2002), phân loại phương pháp giải tốn giải tích 12, NXB Trẻ [ 5] Trần Phương, (2006), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn, NXBHN [ 6] Trang web " giaoan.violet.vn " 44 ... PHẦN IV HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 32 I Khảo sát thực tế .32 II Kết sau thực SKKN 32 KẾT LUẬN 33 PHỤ LỤC 35 Đề số 35 Đề