50 bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked

3 tiếp tuyến Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 3 cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích x y x... Tìm các giá trị thực của tham số k để tồn tại hai tiếp tuyến phân

50 BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 3+4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO Câu 1: Cho hai hàm số   1 và Gọi lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số

Câu 2: Cho hàm số y f x x36x29x3( ).C Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ

số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại

A và B sao cho OA = 2017.OB Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị (H) của hàm số

tại hai điểm A, B phân biệt sao cho đạt giá trị nhỏ nhất (với là hệ số góc

tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B Tính diện tích tam giác OAB

A.SOAB1 B SOAB 4 C SOAB 2 D SOAB  2 3

Câu 5: Cho đồ thị hàm số  C y x:  44x22017 và đường thẳng : 1 1 Có bao nhiêu tiếp tuyến

4

d y x

của (C) vuông góc với đường thẳng d?

C Không có tiếp tuyến nào D 3 tiếp tuyến

Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 3 cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích

x y x

Câu 8: Cho hàm số f(x) có đồ thị là đường con (C), biết đồ thị của f’(x) như hình vẽ Tiếp tuyến của (C) tại

điểm có hoành độ bằng 1 cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt có hoành dộ lần lượt là a, b Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A 2 B -1 C -2 D 1

Câu 14: Cho hàm số 2 có đồ thị (C) và điểm A(a;1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a

1

x y x

12

Câu 15: Cho hàm số 1 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số Khoảng

x y x

A Có một tiếp tuyến B Không có tiếp tuyến nào

C Có hai tiếp tuyến D Có vô số tiếp tuyến.

Câu 18: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y 2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số

A 4 điểm B 2 điểm C 3 điểm D 1 điểm

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị là (C) Tìm m sao cho đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm

x y







đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau Khẳng định nào sau đây là SAI?

A Hai điểm M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ

B Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN

C Hai điểm M và N đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận

D Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Câu 27: Cho hàm số 1, gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m – 2 Biết

2

x y x







đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A x y 1 1;  và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số tại điểm B x y 2 2;  Gọi S là tập hợp các số m sao cho x2y1 5 Tính tổng bình phương các phần tử của S

Câu 28: Cho hàm số y x 33x29x3 có đồ thị (C) Tìm các giá trị thực của tham số k để tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với (C) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2018OA

A 6054 B 6024 C 6012 D 6042

Câu 29: Cho hàm số y 2x3bx2 cx d có đồ thị như hình dưới Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 30: Cho hàm số f x  xác định trên R và hàm số y f x' 

có đồ thị như hình bên dưới:

Xét các khẳng định sau:

(I) Hàm số y f x  có ba cực trị

(II) Phương trình f x  m 2018 có nhiều nhất ba nghiệm

(III) Hàm số y f x 1 nghịch biến trên khoảng (0;1)

9.4

25.4

Câu 33: Cho hàm số y  x3 mx2mx1 có đồ thị (C) Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C) đi qua gốc tọa độ O?

Câu 34: Cho hàm số y x 44x23 có đồ thị (C) Có bao nhiêu điểm trên trục tung từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

Câu 41: Cho hàm số y x 3x23x1 có đồ thị (C) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

từ điểm M(0;m) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn [1;3]?

Câu 42: Cho đồ thị  : 1 và là hai tiếp tuyến của (C) song song với nhau Khoảng cách lớn

Câu 43: Họ parabol  P m :y mx 22m3x m 2m0 luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi

m thay đổi Đường thẳng d đó đi qua điểm nào dưới đây?

Câu 44: Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số y  x3 3x2 x 4 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

Câu 45: Gọi A và B là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị 2 1 Khi đó khoảng

2

x y x

43

Câu 49: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

sao cho tiếp tuyến này vuông góc với nhau?

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

22

M M

Cách giải:

Ta có y' 3 x212x9; '' 6y  x12   x 2 Điểm uốn của đồ thị hàm số là U(-2;1)

Xét đường thẳng d đi qua U(-2;1) có phương trình y k x d 2+ 1 hay y k x d 2k d1

d cắt Ox, Oy lần lượt tại 2 d 1;0 , 0;2 d 1 

+ Tìm điều kiện để đường thẳng d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt

+ Tìm điều kiện để d đi qua giao điểm I của 2 đường tiệp cận của (H)

Lưu ý: Biểu thức P k 12018k22018 đạt GTNN khi đường thẳng AB đi qua tâm đối xứng của đồ thị (H) hay

d đi qua I là giao điểm hai đường tiệm cận

- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x  tại điểm M x f x 0;  0 :y f x' 0 x x 0   f x0

- Tìm tọa độ hai giao điểm A, B của tiếp tuyến với các trục tọa độ Ox, Oy

- Diện tích tam giác OAB là: 1

  

2 2

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của hàm số y f x  có hệ số góc k f x' 0

Hai đường thẳng  d y kx a d:   ; ' :y k x b '  vuông góc với nhau thì k k   ' 1

+ Viết phương trình tiếp tuyến

+ Tính diện tích tam giác cần tìm

Cách giải:

Chọn M (-1;7) thuộc đồ thị hàm số

Tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có hệ số góc  k y ' 1 4

Vậy m thỏa mãn đề bài là m  1

Số cặp điểm thuộc đồ thị (C) có tiếp tuyến song song nhau  số cặp nghiệm phương trình 3x26x 2 m

với m R thỏa mãn phương trình 3x26x 2 mcó hai nghiệm phân biệt

Có vô số giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên có vô số cặp điểm

- Chứng minh d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt

- Xét phương trình hoành độ giao điểm và nêu định lý Vi-et

- Tính y ' các hệ số góc của tiếp tuyến

- Biểu diễn P qua hoành độ các giao điểm, từ đó áp dụng Vi-et và tìm Pmin.

3 22

Vậy Pmin 98 khi m = -2.

+) TH1: d vuông góc với đường phân giác y x thì ta được:

Với x0  1;y0 0 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: y x (loại)

Với x0  2;y00 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: y  x 2

+) TH2: d vuông góc với đường phân giác y x thì ta được:

2 0 2

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt M, N, P thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

21

( )11

x

x x

 2 0 00

0

21

( )11

x

x x

1

11

x

a x

x x

Để chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình (*) có 1 nghiệm

TH1: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất ' 0 9 2 3  0 3 2 0 3

khi và chỉ khi IA = IB.

Khi đó, tam giác IAB vuông cân tại I, M trùng H

Ta tìm M bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng IM với đồ thị (C)



*) Viết phương trình đường thẳng IM:

Ta có: Hàm số nghịch biến trên các khoảng

*) Khoảng cách từ I đến đường tiếp tuyến của (C) tại M :

Với x   0 1 Phương trình tiếp tuyến là y m  2 Để có duy nhất 1 đường tiếp tuyến của đồ thị hàm

số song song với trục Ox thì một trong hai đường tiếp tuyến trên phải trùng với trục Ox

4

t

 

3 4

4

.416

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0:y f x' 0 x x 0  y x0 ( )d

Lấy điểm A(a;9a – 14) thuộc đường thẳng y9x14, cho A d  pt(1)

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Tìm điều kiện của a để phương trình có 2 nghiệm phân biệt Có bao nhiêu giá trị của a thì có bấy nhiêu điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

TH1: x 0 2 là nghiệm của phương trình (2) ta có: 2.226a 8 6a   8 0 a 2

Khi đó phương trình (2) có dạng 02 0 0 phương trình (1) có 2 nghiệm phân

TH2: x 0 2 không là nghiệm của phương trình (2), khi đó để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) có nghiệm kép khác 2

32

Có  ' m122m m 2  1 0, m suy ra (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi A x y 1 1;  và B x y 2 2;  là hai giao điểm của hai đồ thị x x1 2, là nghiệm của (*)

+) Gọi điểm M a a ;2 23a25 thuộc đồ thị (C)

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M: y y a x a '    2a33a25

+) Cho tiếp tuyến đi qua A, giải phương trình ẩn a, phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua A

Cách giải:

Ta có: y' 6 x26x

PTTT của (C) tại điểm M a a ;2 33a25 là: y6a26a x a    2a33a25

Do tiếp tuyến đi qua điểm 19;4 nên

3 2

18

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0:y y x ' 0 x x 0y0

+) Thay tọa độ điểm B vào phương trình tiếp tuyến, suy ra phương trình có dạng b f x 0 , tìm điều kiện của b để phương trình đó có nghiệm duy nhất

+) Phương trình b f x 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số

tại một điểm duy nhất Lập BBT của đồ thị hàm số và kết luận





 



Với b  10;10          b  9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y f a   f a x a'    

Vì   song song với  

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau  y x' M y x' N x M x N

Gọi I là trung điểm của MN ta có: I(1;1)

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCN là y = 1 và tiệm cận đứng x 1 I(1;1) là giao điểm của hai đường tiệm cận đúng

+) Xác định các giao điểm của d và các đường tiệm cận x y2 1;

+) Thay vào phương trình giải tìm các giá trị của m

m x

Đồ thị hàm số đi qua điểm  0;4  d 4

Đồ thị hàm số đi qua điểm 1; 1            2 b c 4 1 b c 3

Đồ thị hàm số đi qua điểm  2;0  2.8 4 b2c  4 0 2b c 6

Từ đó ta suy ra 9 1

12

b

b c d c

Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai

Với x 0;1   x 1  1;2  f x'   1 0 Hàm số y f x 1 nghịch biến trên khoảng (0;1)  III

Cách giải:

Gọi phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M, có hệ số góc k là d y k x m:    4

Vì (C) tiếp xúc với d nên ta có hệ

m m m

21

11

x

x x

21

11

x

x x

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc k y ' tìm x để y’ đạt GTLN

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ vừa tìm được, cho đường thẳng tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ, tìm m

Gọi M0;mOy Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng  d y kx m:  

3 +

Dựa vào bảng biến thiên, để m f x  có 3 nghiệm phân biệt m3

Vậy có duy nhất 1 điểm M Oy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Phương trình tiếp tuyến của (C3) tại P là y2.1 ' 5f  x 1   f 5 8 x  1 7 8x1

'

22

x x

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M: y y x ' M x x My M

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến đó và đồ thị (C)

- Đánh giá giá trị nhỏ nhất của P

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị (C) của nó đối xứng qua Oy Do đó từ điểm A trên trục Oy nếu

kẻ được một tiếp tuyến d đến (C) thì ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy cũng là một tiếp tuyến của (C)

Vậy để qua điểm A trên trục Oy có thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần là có một tiếp tuyến của (C) qua A mà tiếp tuyến này vuông góc với Oy, tức là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0

x k

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là:  2    3 2  

a

a a

Sử dụng điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc (phương trình bậc hai có nghiệm kép) đưa về biện luận phương trình bậc nhất có vô số nghiệm

Cách giải:

Giả sử y ax b  là đường thẳng cố định mà  P m luôn đi qua

có nghiệm kép với mọi

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến, áp dụng điều kiện để hai tiếp tuyến song song và theo hệ thức Viet để tìm tọa

độ trung điểm cố định mà MN luôn đi qua

Cách giải:

Gọi tọa độ điểm M, N lần lượt là M x y 1 1;  ,N x y2 2; 

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại M và N lần lượt là   2

Cách giải:

Vì A, B thuộc hai nhánh của đồ thị 2 1 nên với

2

x y x

Hàm số đồng biến trên 0;  Phương trình (2) có nhiều nhất 1 nghiệm Mà f   0 f 21  0 Tồn tại

là nghiệm duy nhất của (2)

Kết hợp nghiệm của hai hệ phương trình ta thấy nghiệm chung duy nhất là x  1 1; 5  là điểm tiếp xúc.

Câu 48: Chọn B.

Phương pháp:

+) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x y g x ,    và các đường thẳng

được tính bởi công thức

,

b a

S f x g x dx

Cách giải:

Ta có: y' 2 x6

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;7) là: y y ' 1 x   1 7 4x11

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B(-1;19) là: y y ' 1  x 1 19  8x 11

Câu 50: Chọn C.

Phương pháp:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x x 0

+) Thay tọa độ điểm A vào phương trình, tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm x0