40 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked

Cho đồ thị hàm số y e x như hình vẽ, ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B và C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho, AD nằm trên trục hoành.. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhậ

40 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ LOGARIT

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Câu 1 Cho ba số thức a;b;c khác 1 Đồ thị các hàm số ylog ,a x ylog ,b x ylogc x được cho như hình vẽ dưới

Câu 2 Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho:

2log 2019 2 log 2019 a 2 a 2log 2019 1010n a 2 2019 log 20192 a

Câu 5 Cho ba số thực dương x y z, , theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi

số thực dương a a 1 thì log ,loga x a y,log a z theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính giá trị của biểu thức P 1959x 2019y 60z

Câu 7 Cho các số thực x,y,z thay đổi và thỏa mãn x2y2z2 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là

82

A minP 5 B minP5 C minP3 D minP 3

Câu 8 Cho 0  x y 1 Đặt 1 ln ln Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 10 Cho a và b là các số thực dương khác 1 Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục

tung mà cắt các đồ thị ylog ,a x ylogb x và trục hoành lần lượt là A, B và H ta đều có 3HA = 4HB (hình vẽ bên) Khẳng định nào sau đây đúng?

3.2

Câu 14 Cho đồ thị hàm số y e x như hình vẽ, ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B và C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho, AD nằm trên trục hoành Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD là:

A 2 B C D

e

2

e

2

e

2

e

Câu 15 Cho hàm số y log ln2 x Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x e B Tập xác định hàm số là 1;

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; e D Hàm số đồng biến trên e;

Câu 16 Cho biểu thức Alog 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2               Biểu thức A

có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A log 2017;log 2018  B log 2019;log 2020 

C log 2018;log 2019  D log 2020;log 2021

Câu 17 Cho hàm số f x 32x2.3x có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) Đường thẳng y0 cắt đồ thị hàm số (C) có hoành độ xlog 23

(2) Bất phương trình f x  1 có nghiệm duy nhất

(3) Bất phương trình f x 0 có tập nghiệm là ;log 23 

(4) Đường thẳng y0 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt

Câu 18 Tích được viết dưới dạng khi đó là cặp nào

A (2018;2017) B (2019;2018) C (2015;2014) D (2016;2015).

Câu 19 Cho   4 Tính tổng

x x

Câu 20 Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 1log2 log2 2 Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 28 Cho a ; b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông Trong

đó c b 1 và c b 1 Kết luận nào sau đây là đúng?

A logc b alogc b a2 log c b alogc b a

B logc b alogc b alogc b alogc b a

C logc b alogc b a 2 log c b alogc b a

D logc b alogc b a logc b alogc b a

Câu 29 Cho log 127 x;log 2412 y,log 16854 axy 1 trong đó a,b,c là các số nguyên Tính giá trị

Câu 33 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2b2 7 ab Đẳng thức nào sau đây đúng?

3

a b

   2log2a b log2alog2b

Câu 34 Ông An đầu tư vào thị trường nông sản số tiền là x n, lợi nhuận của ông được xác định bởi hàm số y2e x log x Gọi x0 là số tiền ông cần đầu tư để lợi nhuận thu được là lớn nhất Tính giá trị của biểu thức 3 0  

e m e y

  khoảng (1;2)

136.3

25.2

Ta thấy đồ thị hàm số ylogc x đi xuống   0 c 1.

Đồ thị hàm số ylog ,a x ylogb x đi lên hay hàm số này đồng biến a 1;b1

Đồ thị hàm số yloga x nằm trên đồ thị hàm số ylogb x a b

+ Chứng minh 5log 5c 6log 5c

+ Biến đổi f x  theo f  x và tính ra P

Cách giải:

Bước 2 Khi q = 1 thì x = y = z Thay vào biểu thức để nhận được giá trị cần tính.

Cách giải:

Bước 1: Gọi q là công bội của cấp số nhân và d là công sai của cấp số cộng Khi đó theo giải thiết ta có

hệ cho cấp số nhân y qx 2  1 , và hệ cho cấp số cộng

a a

Thay (4) vào (5) ta nhận được loga q  0 q 1

Bước 2 Thay q = 1 vào (1) ta nhận được x = y = z

Do đó P 1959x 2019y 60z 1959 2019 60 4038

Câu 6 Chọn A.

Phương pháp: Tính f(x) và f(1 – x) và tìm mối liên hệ giữa f(x) và f(1 – x)

Cách giải:   2018

2018 2018

x x

Vậy min 2  1 1 1 xảy ra hoặc

y x z

Giả sử H x 0;0 , x0 1,x0 0 Khi đó tọa độ các điểm A x 0;loga x0 ,B x0;logb x0

(vì A và B nằm khác phía so với Ox)

3HA4HB3 loga x 4 logb x 3loga x  4logb x

3 0

log ab a log ab a log ab b 2logab a 4logab b

loga logb 4logc

Phương pháp: Biến đổi giả thiết để sử dụng được hàm đặc trưng Xét tính chất của hàm đặc trưng từ

đó tìm được mối liên hệ của a,b

Biến đổi biểu thức T rồi đánh giá T theo hằng đẳng thức

2

a T

+) Biểu diễn tọa độ của các đỉnh A,B,C,D theo 1 ẩn x

+) Tính diện tích hình chữ nhật theo x sau đó tìm giá trị lớn nhất của diện tích bằng cách dùng hàm số

Cách giải: Gọi        2 với

Câu 15 Chọn D.

Phương pháp:

+) Tìm TXĐ của hàm số A xác định khi A0,loga b xác định khi 0 a 1;b0

+) Sử dụng điều kiện về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

x

x

x e x

Phương pháp: Dựa vào các đánh giá bất đẳng thức logx x x  1, với các hàm số logarit

Cách giải: Ta có: Alog 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2               

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+) Bất phương trình f x  1 vô số nghiệm  Mệnh đề (2) sai

+) Bất phương trình f x 0 có tập nghiệm là log 2;3  Mệnh đề (3) sai

+) Đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số (C) tại 1 điểm duy nhất là log 2;03  Mệnh đề (4) sai Vây có tất cả 1 mệnh đề đúng

Phương pháp: Chú ý quan trọng của bài toán là 2 giá trị trong ngoặc có tổng bằng 1, từ đó xác định

tổng hai giá trị có giá trị không đổi để tính tổng

Phương pháp: Sử dụng công thức tính ước nguyên của một số Giả sử A a b m n thì A có số ước nguyên là 2m1n1

Cách giải: Ta có 6303268125 5 3 7 114 5 3 2

Suy ra 63032681252 có 2 4 1 5 1 3 1 2 1         720 ước số nguyên

Câu 22 Chọn C.

Phương pháp: Dựa vào giả thiết, đánh giá đưa về tổng các bình phương, từ biểu thức P đưa về hạng

tử trong tổng bình phương và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn nhất

Cách giải: Vì 2 2   là hàm số đồng biến trên tập xác định

 

2

2 2

Ta có:  

3 3

 

3

4

1689673

1009

a

b

tm P a b c d c

Phương pháp: Sử dụng các công thức log loga b b clog ,loga c a bloga cloga bc ,

(giả sử các biểu thức đã cho là có nghĩa)

loga b loga c loga b

.log 24 log 12 log 24 log 12 log 24 12 b c

a a



    



Phân tích tử theo mẫu và rút gọn

Đặt ẩn phụ Sử dụng các bất đẳng thức Buniacopxki để tìm điều kiện của ẩn phụ và sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá GTNN của P

Cách giải: Từ giả thiết: x2 6x 9 y22y  1 5 6x2y x 2y25

Khi đó

  2 2

10

17

65

x y

Phương pháp: Khảo sát hàm số trên khoảng 0; tìm để hàm số đạt giá trị lớn nhất x0

Tính giá trị của biểu thức 3 0  

Dễ dàng kiếm tra x1 không là nghiệm của (*)

+ Trên khoảng 1; hàm số f x  đồng biến  f x 0 có nhiều nhất 1 nghiệm

Mà f e 0,e   1;  x e là nghiệm duy nhất của (*) trên khoảng 1;

+ Trên khoảng (0;1), hàm sô f x nghịc biến

Từ phương trình x2y22x2y  2 m 0 tìm tập hợp các điểm biểu diễn điểm  x y;

Tìm điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc nhau

Giả sử M x y ; thỏa mãn phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn (C1) tâm I1; 2  bán kính R13

  2 2  

x y  x y   m x  y m

Với m0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm J1;1 bán kính R2  m

Để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa mãn khi và chỉ khi (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau

  ln 2 1 2017

2017 2