40 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked

40 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ LOGARIT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Câu Cho ba số thức a;b;c khác Đồ thị hàm số y  log a x, y  log b x, y  log c x cho hình vẽ A b  c  a B c  a  b C a  b  c D c  b  a Câu Cho n số nguyên dương, tìm n cho: l log a 2019  22 log a A 2019 2019   n log n a 2019  10102  20192 log a 2019 B 2018 Câu Cho a, b số thực f  x   a ln 2017   C 2017  D 2016   x   x  bx sin 2018 x  Biết f 5logc  6, tính giá trị  biểu thức P  f 6logc với  c  A P  2 B P  C P  D P  Câu Đặt a  log12 6, b  log12 Hãy biểu diễn log theo a b A b a 1 B b 1 a C a b 1 D a b 1 Câu Cho ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời với số thực dương a  a  1 log a x, log biểu thức P  1959 x 2019 y 60 z   y z x 2019 B 60 A Câu Cho f  x   A 1008 a y, log a z theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính giá trị C 2019 2018 x   Giá trị S  f   x 2018  2018  2017  B 2016 C 2017 D 4038   f     2017   2016  f   2017  D 1006 Câu Cho số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn x  y  z  Giá trị nhỏ biểu thức P   xy  yz  zx   A P  5  x  y  z  xy  yz  B P  Câu Cho  x  y  Đặt m  A m  C P  D P  3  y x   ln  ln  Mệnh đề sau đúng? y  x  1 y 1 x  B m  C m  D m  Câu Cho số a, b  thỏa mãn log a  log b  Giá trị lớn biểu thức P  log a  log b A log  log B log  log C  log  log3  D log  log Câu 10 Cho a b số thực dương khác Biết đường thẳng song song với trục tung mà cắt đồ thị y  log a x, y  log b x trục hoành A, B H ta có 3HA = 4HB (hình vẽ bên) Khẳng định sau đúng? A a 3b  C a 4b3  B 3a  4b Câu 11 Cho log ab b   a  0, b  0, ab  1 Tính log A B – ab D a  b3  a  2 b  C – 10 D – 16 Câu 12 Cho a, b, c  Biết biểu thức P  log a  bc   log b  ac   log c  ab  đạt giá trị nhỏ m log b c  n Tính giá trị m  n A m  n  12 B m  n  25 C m  n  14 D m  n  10  4a  2b   Câu 13 Cho a,b hai số thực dương thỏa mãn log    a  3b  Tìm giá trị nhỏ  ab  biểu thức T  a  b A B C D Câu 14 Cho đồ thị hàm số y  e  x hình vẽ, ABCD hình chữ nhật thay đổi cho B C thuộc đồ thị hàm số cho, AD nằm trục hoành Giá trị lớn diện tích hình chữ nhật ABCD là: A e B e C e D e Câu 15 Cho hàm số y  log  ln x  Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x  e B Tập xác định hàm số 1;   C Hàm số nghịch biến khoảng 1; e  D Hàm số đồng biến  e;      Câu 16 Cho biểu thức A  log 2017  log 2016  log 2015  log   log   log      Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây? A  log 2017;log 2018  B  log 2019;log 2020  C  log 2018;log 2019  D  log 2020;log 2021 Câu 17 Cho hàm số f  x   32 x  2.3x có đồ thị hình vẽ sau Có mệnh đề mệnh đề sau? A (1) Đường thẳng y  cắt đồ thị hàm số (C) có hồnh độ x  log (2) Bất phương trình f  x   1 có nghiệm (3) Bất phương trình f  x   có tập nghiệm  ;log  (4) Đường thẳng y  cắt đồ thị hàm số (C) điểm phân biệt B C D 3  1 Câu 18 Tích 2017! 1    1 cặp sau?   1  1   1      2017  2017 viết dạng a b ,  a; b  cặp A (2018;2017) B (2019;2018) Câu 19 Cho f  x   4x   Tính tổng S  f   x 2  2019  A S  3032 B S  3023 C (2015;2014) C P  4a  b3  log  4a  b3  A log B   f     2019  3026 Câu 20 Cho a,b số thực dương thỏa mãn D (2016;2015) D  2018  f   f 1  2019  3029 log a  log Hỏi giá trị nhỏ biểu thức b 4  log C 1  log 3 ln ln D – Câu 21 Số 6303268125 có ước số nguyên? A 420 B 630 C 240 D 720 Câu 22 Xét số thực x; y thỏa mãn x  y  log x2  y  x  y   Giá trị lớn Pmax biểu thức P  x  y A  10 B 19  11 C  65 Câu 23 Xét số thực dương x; y thỏa mãn log Pmax biểu thức P  A x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị x  y  xy  2 C Câu 24 Xét số thực dương x; y thỏa mãn log A 11  10 3x  y  x y6 B Pmax biểu thức P  D D 3 x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị x  y  xy  2 3x  y  x y6 B C D Câu 25 Cho số thực a,b thỏa mãn điều kiện  b  a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log a A  3b  1  8log 2b a  a B 3 C  D  Câu 26 Cho hàm số f  x    a  1 ln 2017 x  x   bx sin 2018 x  với a,b số thực f  log5   Tính f  5log  A B – C D   Câu 27 Cho hàm số f  x   ln 1   Biết f    f  3   f  2018   ln a  ln b  ln c  ln d với a,b,c,d  x  số nguyên dương a,c,d số nguyên tố a  b  c  d Tính P  a  b  c  d A 1986 B 1698 C 1689 D 1968 Câu 28 Cho a ; b độ dài hai cạnh góc vng, c độ dài cạnh huyền tam giác vng Trong  c  b    c  b   Kết luận sau đúng? A log c b a  log c b a   log c b a  log c b a  B log c b a  log c b a   log c b a  log c b a  C log c b a  log c b a  2  log c b a  log c b a  D log c b a  log c b a    log c b a  log c b a  Câu 29 Cho log 12  x;log12 24  y, log 54 168  axy  a,b,c số nguyên Tính giá trị bxy  cx biểu thức S  a  2b  3c A B 19 Câu 30 Giả sử f  x   ln C 10 D 15 1 x  ab  Tập giá trị a, b thỏa mãn đẳng thức f  a   f  b   f   1 x   ab  A 1  a  1; 1  b  B 1  a  0; 1  b  C a  b  D  a  1;0  b  Câu 31 Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn log a b  ;log c d  Nếu a  c  b  d nhận giá trị A 85 B 71 C 76 Câu 32 Cho x, y số thực thỏa mãn D 93  x  3   y  1 2  Giá trị nhỏ biểu thức y  xy  x  y  P x  y 1 A B C 114 11 D Câu 33 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b  ab Đẳng thức sau đúng? A log ab  log a  log b B log  a  b   log a  log b C log ab  log a  log b D log ab  log a  log b Câu 34 Ông An đầu tư vào thị trường nông sản số tiền xn , lợi nhuận ông xác định hàm số y   2e  x  log x Gọi x0 số tiền ông cần đầu tư để lợi nhuận thu lớn Tính giá trị biểu thức P  log A P  ln e.x0  log  e  1 x0  B P  3ln C P  Câu 35 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log trị Pmax biểu thức P  A 3ln 3 D P  ln x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá x  y  xy  2 5x  y  x y3 B C D Câu 36 Trong tất cặp  x; y  thỏa mãn log x2  y   x  y    Tìm m để tồn cặp  x; y  cho x  y  x  y   m  A 13  13  C  13   B 13  D   13   13   Câu 37 Số 2017201820162017 có chữ số: A 147278481 B 147278480   Câu 38 Cho hàm số y     2018  khoảng (1;2) C 147347190 D 147347191 e  m 1 e 1 3x x Tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến A 3e   m  3e3  B m  3e  C m  3e  D 3e3   m  3e    Câu 39 Cho f  x   a.ln x x  x   b.x 2017  2018 với a, b   Biết f  log  log e    2019 Tính giá trị f  log  ln10   A 2017 B 2020 Câu 40 Cho  x; y  thỏa mãn C 2018 D 2019 20181 x x  2019  Gọi M, m GTLN, GTNN 2018 y y  y  2020 biểu thức P   x  y  y  x   25 xy, M + m bao nhiêu? A 391 16 B 383 16 C 136 D 25 HƯỚNG DẪN GIẢI 1-B 2-A 3-A 4-B 5-D 6-A 7-D 8-A 9-A 10 - C 11 – D 12 – A 13 – B 14 - A 15 – D 16 - D 17 – B 18 - A 19 – D 20 – C 21 – D 22 – C 23 – C 24 – C 25 – D 26 – B 27 – C 28 – A 29 – D 30 – A 31 – D 32 – D 33 - A 34 – B 35 - D 36 – D 37 - A 38 – B 39 - A 40 – A Câu Chọn B Phương pháp: Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu hàm số suy tính chất so sánh a, b, c Cách giải: Ta thấy đồ thị hàm số y  log c x xuống   c  Đồ thị hàm số y  log a x, y  log b x lên hay hàm số đồng biến  a  1; b  Đồ thị hàm số y  log a x nằm đồ thị hàm số y  log b x  a  b Câu Chọn A Phương pháp: Biến đổi VT để xuất log a 2019 n  n  1 Sử dụng công thức     n  3 3 Cách giải: Ta có: VT  12 log a 2019  22 log a 2019   n log a 2019  13.log a 2019  23 log a 2019   n3 log a 2019  13  23   n3  log a 2019 VP  10102.20192.log a 2019 Có VT = VP  13  23   n3  log a 2019  10102.20192.log a 2019 n  n  1   10102.20192   n  n    2020.2019   n  2019   0;    n  n  2020.2019 n  n  0n     n  2020   0;   Câu Chọn A Phương pháp: + Chứng minh 5logc  6logc + Biến đổi f  x  theo f   x  tính P Cách giải: Đặt t  5logc  ln t  log c 6.ln  Ta có: P  f  t   a ln 2017  a ln 2017 t 1  t  ln 5.ln  log c 5.ln  t  6logc ln c  t   t  bt sin 2018  t    bt sin 2018 t  a ln 2017   t   t  bt sin 2018 t     f  t    6   2 Câu Chọn B Phương pháp: Biểu diễn số theo hai giá trị giả thiết qua công thức thường sử dụng Cách giải: Ta có: log12  log12 Vậy log  12   log 12  a  log 12   a log12 b  log12  a Câu Chọn D Phương pháp: Bước Gọi q công bội cấp số nhân d công sai cấp số cộng Sử dụng giả thiết để thiết lập hệ phương trình mối liên hệ x,y,z q hệ log a x, log a y, log a z d Sử dụng kết để chứng minh q = Bước Khi q = x = y = z Thay vào biểu thức để nhận giá trị cần tính Cách giải: Bước 1: Gọi q công bội cấp số nhân d công sai cấp số cộng Khi theo giải thiết ta có  y  qx hệ cho cấp số nhân  1 , hệ cho cấp số cộng z  qy  q x  log Từ (2) ta có:  log a a log  log a y  log a x  d a z  log a y  d  2 y  log a x  d 2 log a y  log a x  d (3)  z  log a y  d 3log a z  log a y  d  log a x  2d Thay (1) vào (3) ta có: 2 log a  qx   log a x  d d  log a q  log a x   2 log a x  log a q  log a x  d      3log a z  log a y  d  log a x  2d 3log a  q x   log a x  2d 6 log a q  log a x  2d   Thay (4) vào (5) ta nhận log a q   q  Bước Thay q = vào (1) ta nhận x = y = z Do P  1959 x 2019 y 60 z    1959  2019  60  4038 y z x Câu Chọn A Phương pháp: Tính f(x) f(1 – x) tìm mối liên hệ f(x) f(1 – x) Cách giải: f  x   2018 x 2018 x  2018 2018 20181 x 2018 2018 2018 x f 1  x      x 2018 20181 x  2018 2018  2018 x  2018 2018  2018.2018 x 2018 2018 x 2018  1 x 2018  2018 2018  2018 x f  x   f 1  x     Ta có: S  f    2017    f     2017   2006  f   2017     f     2017   2016      f    f    2017     2017    1008   2015   f      f    2017     2017     f     2017       f 1     f    2017     2017     f      f  2017     1009   f   2017    1008  1    2017   1008   f 1    2017       (có 1008 số 1) = 1.1008 = 1008 Câu Chọn D Phương pháp: Biến đổi điều kiện cho trước biểu thức P đặt ẩn phụ tìm giá trị nhỏ hàm thu Cách giải: Từ gt ta có: x  y  z    x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z    xy  yz  zx 2 Thay vào biểu thức P ta có: P   xy  yz  zx     xy  yz  zx    x  y  z   xy  yz  zx    xy  yz   xy  yz  zx  xy  yz   xy  yz  zx   Ta có:  x  y  z    x  y  z   xy  yz  xz      xy  yz  zx     xy  yz  zx    Dấu “=” xảy  x  y  z  x  y  z  Lại có xz  x z  1 1 x  z   1  y      xz   2 2 Hay giá trị nhỏ xz   x   z (vì tích âm nên hai số trái dấu)  y  x  y  z  y   1    2 Vậy  xy  yz  zx      1 xảy   x  y  z    x   z   x  2 x  z 2 x      z     y    x     z   Đặt t  xy  yz  xz  t  1 tìm giá trị nhỏ P  t   t  1 t 3 Xét f  t   t   f   t   2t   t  1 t 3  t  3 2t  t  3  8   t  3  2t  12t  18t   t  3 2  t  1  t     t  3 Thấy f   t   0t  1 nên giá trị nhỏ f  t   1;   f  1    3 Vậy minP = 3   y  y    1    x   x  2     1 z   z  2   Câu Chọn A Phương pháp: Biến đổi biểu thức cho theo m sau xét hàm đặc trưng đánh giá trường hợp xảy theo m Cách giải: Ta có: m   y x   ln  ln  * với  x  y  y  x  1 y 1 x  1  t  t  0t   0;1 Xét hàm số f  t   ln   t  1  f   t   t  1 t t 1  t  1 t  f  t  hàm đồng biến (0;1) nên với y  x f  y   f  x  10  ln y x  y x   ln 0  ln  ln 0m0 1 y 1 x y  x  1 y 1 x  Ta có: *  ln y x x y  ln  my  mx  mx  ln  my  ln 1 1 y 1 x 1 x 1 y Xét hàm đặc trưng g  u   mu  ln g u   m  u ;0  u  1 u h u  mu  mu    u 1  u  u 1  u  u 1  u  Vì m  nên h  u  tam thức bậc hai  u  nên u 1  u    dấu g   u  dấu h  u   h u    h  u    g   u   Nếu hay g u  hàm nghịch biến (0;1) nên g  x   g  y   x  y (mâu thuẫn gt x  y ) nên (1) xảy h  u  có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1) Xét h  u    mu  mu    mu 1  u    m    có hai nghiệm phân biệt thuộc u 1  u  (0;1) Xét   u   2u  1 ,  u  có    u     u   tm  u 1  u  u  u  BBT   u  trên(0;1) u  u    u   +  Từ BBT để (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1) m > Câu Chọn A Phương pháp: Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:  ax  by    a  b  x  y  Cách giải: Với a, b  1;log a  log b  P2   log a  log b   log 2.log a  log 3.log b    log  log 3 log a  log b    log  log  Vậy P  log  log Câu 10 Chọn C Cách giải: 11 Giả sử H  x0 ;0  , x0  1, x0  Khi tọa độ điểm A  x0 ;log a x0  , B  x0 ;log b x0  3HA  HB  log a x0  log b x0  3log a x0  4 log b x0 (vì A B nằm khác phía so với Ox)  log a x0 4    log a b    3log a b  4  log a b3  4  b3  a 4  a 4b3  log b x0 3 Câu 11 Chọn D Phương pháp: Sử dụng công thức hàm logarit: log a b  b ;log a  bc   log a b  log a c;log a    log a b  log a c;log a b n  n log a b log b a c Cách giải: Ta có: log ab b   log b  ab     log b a  log b b    3log b a    log b a    log a b    log  ab  a    log b  ab a  log ab b  log ab a  log ab b 2    12   12  16 log a ab  log a b 1 Câu 12 Chọn A Phương pháp: Đặt log a c  x;log b c  y;log a b  z  x, y, z  a, b, c  1  x  yz để tìm GTNN P  m  n Cách giải: Đặt log a c  x;log b c  y;log a b  z  x, y, z  a, b, c  1  x  yz P  log a  bc   log b  ac   log c  ab   log a b  log a c   1   log b c     log a b  log a c log b c  4  1  4   Cosi  z  x   y     z     x     y       10 z x y  z  x  y 12 Pmin z  m  10   10   x   log b c  y     m  n  12 n   y   Câu 13 Chọn B Phương pháp: Biến đổi giả thiết để sử dụng hàm đặc trưng Xét tính chất hàm đặc trưng từ tìm mối liên hệ a,b Biến đổi biểu thức T đánh giá T theo đẳng thức Cách giải:  4a  2b   Ta có: log    a  3b   log  4a  2b    log  a  b   a  3b   ab   log  4a  2b     4a  2b    log  a  b   5a  5b   log  4a  2b     4a  2b    log  5a  5b    5a  5b  Xét hàm f  x   log x  x, x   f   x     0x   f  x  hàm đồng biến tập xác x ln định Khi đó: f  4a  2b    f  5a  5b   4a  2b   5a  5b  a  3b  15  5  Xét T  a  b   3a  b   b  10b  30b  25   10b     10  2  Vậy Tmin  a     b   Câu 14 Chọn A Phương pháp: +) Biểu diễn tọa độ đỉnh A,B,C,D theo ẩn x +) Tính diện tích hình chữ nhật theo x sau tìm giá trị lớn diện tích cách dùng hàm số  Cách giải: Gọi D  x;0   C  x; e  x  ; A   x;0  ; B  x; e  x Khi AB  e  x ; AD  x  S ABCD  x.e  x  với x  Xét hàm số y  x.e  x , x   y  2.e  x  x.e  x  2.e  x 1  x    x  2 2 2 BBT y  x.e  x , x  x y +   13 y   Từ BBT suy max y  y  x   e  2 Câu 15 Chọn D Phương pháp: A xác định A  0, log a b xác định  a  1; b  +) Tìm TXĐ hàm số +) Sử dụng điều kiện tính đồng biến nghịch biến hàm số Cách giải: x  x     x  e nên TXD D   e;   Ta có: y  log  ln x  có đk ln x  x  e  log ln x    2 log  ln x    y  2 log  ln x   x.ln x.ln log  ln x   0x  e nên hàm số đồng biến  e;   Câu 16 Chọn D Phương pháp: Dựa vào đánh giá bất đẳng thức log x  xx  1, với hàm số logarit    Cách giải: Ta có: A  log 2017  log 2016  log 2015  log   log   log     log  2017  log 2016   log  2017  3  log 2020  A  log 2020 Áp dụng bất đẳng thức log x  xx  1, ta có   2015  log 2014  log   log   log    2015  2014  log   log   log    2015  2014  2013      2017.2014  2017.2014   Khi log 2016  log 2015  log   log   log    log  2016  4    Vậy A  log  2017    log 2021   A   log 2020;log 2021 Câu 17 Chọn B Phương pháp: - Giải phương trình f  x   - Quanh sát đồ thị hàm số, đánh giá đồng biến, nghịch biến số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = Cách giải: 32 x  2.3x   3x  3x     3x   x  log 3 x  0x   Mệnh đề (1) 14 Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: +) Bất phương trình f  x   1 vơ số nghiệm  Mệnh đề (2) sai +) Bất phương trình f  x   có tập nghiệm  log 2;    Mệnh đề (3) sai +) Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số (C) điểm  log 2;0   Mệnh đề (4) sai Vây có tất mệnh đề Câu 18 Chọn A Phương pháp: Quy đồng, tính phân số để đưa tính số hạn Cách giải:  1 Ta có: 2017! 1    1   1  1   1      2017  2017 3  2017!.2   2    2018         2017  2017 1 1 20182017  2017!  20182017  a b   a; b    2018; 2017  2016 2017 Câu 19 Chọn D Phương pháp: Chú ý quan trọng tốn giá trị ngoặc có tổng 1, từ xác định tổng hai giá trị có giá trị khơng đổi để tính tổng Cách giải: Ta có: f  x    f  x   f 1  x     Khi f    2019  4x 41 x  f  x    4x  41 x  4x 41 x 4x 4x      1 x 1 x x x x    2.4  4  2  4x  2018  f   1;  2019    Vậy S  f    2019    f   2019    f     2019   2017  f   …và f 1   2019  2018 3029  2018  f     f 1   2019  Câu 20 Chọn C Phương pháp: Tìm mối liên hệ biến giả thiết, đưa khảo sát hàm số với điều kiện ẩn Cách giải: Ta có: 2 log a  log  log a  log  a   a  2 b b b b Đặt t  4a  b3  b3  256 b3 b3 256    3 b6 2 b Khi P  f  t   t  log t  f   t     3 b3 b3 256  12  t  12;   2 b6  0t  t.ln  f  t  hàm đồng biến 12;    f  t   f 12  Vậy giá trị nhỏ P Pmin  12  log 12  12  4.log  3.22   1  log 3 Câu 21 Chọn D 15 Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính ước nguyên số Giả sử A  a m b n A có số ước ngun  m  1 n  1 Cách giải: Ta có 6303268125  54.35.73.112 Suy 63032681252 có   1  1  1  1  720 ước số nguyên Câu 22 Chọn C Phương pháp: Dựa vào giả thiết, đánh giá đưa tổng bình phương, từ biểu thức P đưa hạng tử tổng bình phương áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn Cách giải: Vì x  y   y  log x2  y f  x  hàm số đồng biến tập xác định Khi đó: log x2  y  x  y   log x2  y  x  y   x  y  x  y 2  13  13    x  x  y  y    x  x  1   y  y      x  1   y    4 2   2 7 Xét biểu thức P ta có: P  x  y   x  1  y     x  1  y   P  2 2 2  3   65   2 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:   x  1  y        x  1   y     2        65 Pmin    65  65  65    P    P   2 2   P   65  max 2 Câu 23 Chọn C Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, từ đánh giá giá trị lớn biểu thức Cách giải: log x y  x  x  3  y  y  3  xy 1 x  y  xy  2 x  y  xy    x  x  y  y  xy  log  x  y   log  log  x  y   3x  y  log  log  x  y    3x  y  log  log  3x  y   3x  y  log x 3 x Đặt f  t   log t , t   f   t      f  3x  y    y  xy    x  y  xy x 2  y  xy    x  y  xy   y  xy    x  y  xy      0t   f  t  đồng biến  0;   t ln f  x  y  xy    x  y  x  y  xy   x  y  xy  12 x  12t   16   x  y    x  y    3  y  1    x  y  Khi P  2 x  y   3x  y  2x  y   1   x y6 x y6 x  y   2 x  y   x  Vậy Pmax =    y 1  y 1 Câu 24 Chọn C Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, từ đánh giá giá trị lớn biểu thức Cách giải: log x y  x  x  3  y  y  3  xy 1 x  y  xy  2 x  y  xy    x  x  y  y  xy  log  x  y   log  log  x  y   3x  y  log  log  x  y    3x  y  log  log  3x  y   3x  y  log x 3 x Đặt f  t   log t , t   f   t      f  3x  y    y  xy    x  y  xy x 2  y  xy    x  y  xy   y  xy    x  y  xy      0t   f  t  đồng biến  0;   t ln f  x  y  xy    x  y  x  y  xy   x  y  xy  12 x  12t     x  y    x  y    3  y  1    x  y  Khi P  2 x  y   3x  y  2x  y   1   x y6 x y6 x  y   2 x  y   x  Vậy Pmax =    y 1  y 1 Câu 25 Chọn D Phương pháp: Chứng minh  3b  1  b2 Biến đổi đặt t  log a b, đưa hàm số f  t  tìm GTNN hàm số Cách giải:  3b     9b  12b     3b  1  9b   log a  3b  1  b2  3b  1  log a b  log a b 17 8log 2b  a log 2a b a   log a b  1 Đặt t  log a b, ta có P  2t   t  1 1  f t  TXD: D   \ 1 Ta có: f   t    f  3  2.3  16    t  1   t  3  t  1 1   f t    P  22 Câu 26 Chọn B Phương pháp: Biến đổi f   x  theo f  x  Cách giải:   f  x    a  1 ln 2017 x  x   bx sin 2018 x     f  x     a  1 ln 2017 x  x   bx sin 2018 x  f   x     a  1 ln 2017  x   x  x    bx sin    bx sin 2018   x    a  1 ln 2017  x  x   bx sin 2018 x   a  1 ln 2017     a  1 ln 2017 x  2018 x  x 1  bx sin 2018 x x    f  x   2   f  x    f   x    f  x    f  5log    f  5log     f  log5    6   2 Câu 27 Chọn C b Phương pháp: Phân tích, sử dụng công thức log a  bc   log a b  log a c; log a    log a b  log a c c   a  1; b, c   Cách giải: Xét hàm số f  x  [2;2018] ta có:  x2 1    f  x   ln 1    ln    ln  x  1  ln  x   ln  x  1  ln x  ln  x  1  x   x   f    f  3   f  2018   ln1  2ln  ln  ln  2ln  ln   ln 2017  2ln 2018  ln 2019  ln1  ln  ln 2018  ln 2019   ln  ln  ln 2019  ln  ln 673  ln  ln  ln 6733  ln1009 18 a  b     tm   P  a  b  c  d  1689 c  673  d  1009 Câu 28 Chọn A Phương log a pháp: Sử dụng công log a b  thức   a, b  1 , log b a a  b2  c2 , f  x  log a f  x   log   a  1, f  x  , g  x    g  x Cách giải: log b  c a  log c b a  log a  c  b   log a  c  b  1   log a  c  b  log a  c  b  log a  c  b  log a  c  b  a2 Có a  c  b   c  b  c  b    c  b   cb 2  log a  c  b   log a  c  b   log a  c  b   log a  log c b a  log c b a  a2  log a  c  b    log a  c  b   c2  b2  log c b a.log c b a log a  c  b  log a  c  b  Câu 29 Chọn D Phương pháp: Sử log a b  log a c  log a dụng công thức log a b.log b c  log a c, log a b  log a c  log a  bc  , b (giả sử biểu thức cho có nghĩa) c Cách giải: xy  log 12.log12 24  log 24 log  7.24a  a.log 24  log 24a  log 7 log 54 168     log 24b.12c  7.24a  b c b c   b.log 24  c.log 12 log 24  log 12 log  24 12  a  a  7.24a  168 a     b c   3b b c c  3b  2c   b  5  tm  2 3  2.3 24 12  54 b  c  c     S  a  2b  3c    5   3.8  15 Câu 30 Chọn A Phương pháp: +) Tìm TXĐ hàm số +) Sử dụng cơng thức log a x  log a y  log a xy  x, y  0;0  a  1 Cách giải: Đk: 1 x   1  x  1 x 19 f  a   f  b   ln 1  a 1  b   ln   a  b   ab 1 a 1 b  ln  ln 1 a 1 b   a  b   ab 1  a 1  b  ab 1 a  b    ab  ln  ab   a  b  f   ln ab  ab   a  b    ab  1  ab  ab   f  a   f b  f   a, b   1;1   ab  Câu 31 Chọn D Phương pháp: log a b  x  a x  b 5 Cách giải: log a b   b  a ;log c d   d  c 4 Do b, d số nguyên  đặt a  x , c  y  x, y      a  c   x  y  x  y    x  y  x   x  b   125      b  d  93     x  y   y  d   32 y  Câu 32 Chọn D Phương pháp: Từ phương trình  x  3   y  1  x  y  x  y  vào P 2 Phân tích tử theo mẫu rút gọn Đặt ẩn phụ Sử dụng bất đẳng thức Buniacopxki để tìm điều kiện ẩn phụ sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá GTNN P Cách giải: Từ giả thiết: x  x   y  y    x  y  x  y  P y  xy  x  y  y  xy  x  y  x  y   x  y 1 x  y 1 P x  y  xy  x  y  x  x  y  1  y  x  y  1  4   x  2y  x  y 1 x  y 1 x  y 1 Đặt y  x  y  P  t  t 1 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có  x  3   y  1   12  22   x  3   y  1   25    5   x  3   y  1   5  x  y     t  10 Áp dụng BĐT Cauchy ta có t   4   P  Dấu “=” xảy  t    t 1 t 1 t 1 20  x    y   x  y   Khi     x  17 2   x  3   y  1  5     y    Câu 33 Chọn A Cách giải: a  b  ab  a  2ab  b  9ab   a  b   9ab  log  a  b   log 9ab  log 2  log a  b  log a  log b ab  log a  log b  a, b   Câu 34 Chọn B Phương pháp: Khảo sát hàm số khoảng  0;   tìm x0 để hàm số đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thức P  log e.x0  log  e  1 x0  Cách giải: y   2e  x  log x,  x    y   log x  2e  x 2e  x  x log x ln10  x ln10 x ln10 + Tìm nghiệm phương trình y  y   2e  x  x log x ln10   2e  x  x log x ln10   2e  x  x ln x  x ln10  x  x ln x  2e  * Xét f  x   x  x ln x  2e, x   f   x   ln x, f   x    x  Dễ dàng kiếm tra x  không nghiệm (*) + Trên khoảng 1;   hàm số f  x  đồng biến  f  x   có nhiều nghiệm Mà f  e   0, e  1;    x  e nghiệm (*) khoảng 1;   + Trên khoảng (0;1), hàm sô f  x  nghịc biến Mà lim f  x   lim  2e  x  x ln x   2e  0, f 1   2e   f  x   0x   0;1 x 0 x 0 Vậy (*) có nghiệm x  e BBT hàm số y   2e  x  log x,  x   x y || y  e +  e log e 21 Hàm số đạt GTLN x  x0  e GT biểu thức P  log e.x0 e.e 2  log  e  1  log  log  e  1  log e  x0  e 1 3ln Câu 35 Chọn D Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số Cách giải: log x y  x  x  3  y  y  3  xy 1 x  y  xy  2 x  y  xy    x  x  y  y  xy  log  x  y   log  log  x  y   3x  y  log  log  x  y    3x  y  log  log  3x  y   3x  y  log x 3 x Đặt f  t   log t , t   f   t      f  3x  y    y  xy    x  y  xy x 2  y  xy    x  y  xy   y  xy    x  y  xy      0t   f  t  đồng biến  0;   t ln f  x  y  xy    x  y  x  y  xy   x  y  xy  12 x  12t     x  y    x  y    3  y  1    x  y  Khi P  2 x  y   5x  y  2x  y   3   x y3 x y3 x  y   2 x  y   x  Vậy Pmax =    y 1  y 1 Câu 36 Chọn D Phương pháp: Từ bất phương trình log x2  y   x  y    tìm tập hợp điểm biểu diễn điểm  x; y  Từ phương trình x  y  x  y   m  tìm tập hợp điểm biểu diễn điểm  x; y  Tìm điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc Cách giải: Ta có: x  y    1x, y  log x2  y   x  y     x  y   x  y   x  y  x  y     x  1   y    1 2 22 Giả sử M  x; y  thỏa mãn phương trình (1), tập hợp điểm M hình tròn (C1) tâm I 1; 2  bán kính R1  x  y  x  y   m    x  1   y  1  m   2 Với m  (2) phương trình đường tròn tâm J  1;1 bán kính R2  m Để tồn cặp (x;y) thỏa mãn (C1) (C2) tiếp xúc với m   13  m   IJ  R1  R2      13  m   JI  R1  R2  m      13  3 13  2 Câu 37 Chọn A Phương pháp: Số n có k chữ số  10k 1  n  10k Cách giải: Đặt n  2017201820162017 Ta có: log n  log 2017201820162017  20162017 log 20172018  n  1020162017 log 20172018  101472788480,5  Có 147278481 chữ số Câu 38 Chọn B Phương pháp: Để hàm đồng biến (1;2)  y  0x  1;  Cách giải: TXĐ: D     Ta có: y   3e   m  1 e     2018  3x e3 x  m 1 e x 1 x   ln  0  2018  Để hàm đồng biến (1;2)  y  0x  1;    Ta có:    2018  e3 x  m 1 e x 1    0;ln     y  0x  1;   2018   3e3 x   m  1 e x  0x  1;   e x  3e x  m  1  0x  1;   3e x  m   0x  1;   3e x   mx  1;   m  max  3e x  1 1;2 Xét hàm số f  x   3e x   f   x   6e x  0x  1;   max f  x   f    3e  1;2 Vậy m  3e  Câu 39 Chọn A   Phương pháp: Đặt g  x   f  x   2018  a ln x  x   bx 2017 Chứng minh g  x  hàm lẻ   Cách giải: Đặt g  x   f  x   2018  a ln x  x   bx 2017 23    g   x   a ln  x  x   bx 2017     2017  a ln x  x   bx 2017   g  x   a.ln    bx  x  x 1   f   x   2018    f  x   2018   f   x    f  x   2036    log10     Ta có: f  log  ln10    f  log     f  log     f   log  log e    log e    log e       f  log  log e    4036  2019  4036  2017 Câu 40 Chọn A Cách giải: 20181 x x  2019 20181 x x  2019 20181 y x  2019      2 2018 y y  y  2020 2018 y 2018 x  y  1  2019  y  1  2019    2018 x  x  2019   20181 y 1  y   2019 1 Xét hàm số y  f  t   2018t  t  2019  , t   0;1 y  f   t   2018t ln 2018  t  2019   2t.2018t  2018t  t ln 2018  2t  2019 ln 2018   0t   0;1  Hàm đồng biến đoạn [0;1] Phương trình (1) trở thành: f  x   f 1  y   x   y  x  y  Ta có: P   x  y  y  x   25 xy  16 x y  12 x3  12 y  xy  25 xy    16 x y  12  x  y   xy  x  y   34 xy  16 x y  12  36 xy  34 xy  16 x y x  xy  12  1 Với x, y   0;1 ; x  y  1:  xy  Đặt xy  z , z  0;  , ta có:  4 P  g  z   16 z  z  12, g   z   32 z    z  16 25 191 391   191   25 ;g    M  ,m   M m Mà g    12; g    16 16  16  16   24 ... m  A 13  13  C  13   B 13  D   13   13   Câu 37 Số 2017201820162017 có chữ số: A 147 27 848 1 B 147 27 848 0   Câu 38 Cho hàm số y     2018  khoảng (1;2) C 14 7 34 7190 D 14 7 34 7191... – D 32 – D 33 - A 34 – B 35 - D 36 – D 37 - A 38 – B 39 - A 40 – A Câu Chọn B Phương pháp: Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu hàm số suy tính chất so sánh a, b, c Cách giải: ... Cách giải: Ta thấy đồ thị hàm số y  log c x xuống   c  Đồ thị hàm số y  log a x, y  log b x lên hay hàm số đồng biến  a  1; b  Đồ thị hàm số y  log a x nằm đồ thị hàm số y  log b x 