Tổng hợp các bài toán vận dụng cao có lời giải chi tiết

www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO Câu 1. Nếu đồ thị hàm số  y  x4   cắt đường thẳng  (d) : x  y  m   tại hai đểm AB sao cho độ dài  x1 AB nhỏ nhất thì   A.  m=-1  B. m=1  C. m=-2  D. m=2  Đáp án chi tiết :  Phương trình hồnh độ giao điểm   x4  2 x  m ( x  1) x1    x  ( m  3)x  m     ( m  1)2  40  0, m  R    Suy ra (d) ln cắt dồ thị hàm số tại hai điểm A,B  m3 ; y A   x A  m; x A  xB  m  ; yB  2 xB  m x A xB     y B  y A  2( xB  x A ) AB  ( xB  x A )2  ( y B  y A )2  5( xB  xA )2  m   m     ( xB  xA )  x A xB               5 m  1  40      4 Vậy AB nhỏ nhất khi m=-1  Chọn A    Câu  Cho n là số ngun dương, tìm n sao cho  log a 2019  2 l o g a 2019  log a 2019   n2 log n a 2019  1008  2017 log a 2019    A. n=2017         B. n=2018           C. n=2019      D. n=2016  Đáp án chi tiết : Ta có Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word log a 2019  2 l o g a 2019  log a 2019   n2 log n a 2019  1008  2017 log a 2019  log a 2019  l o g a 2019  33 log a 2019   n3 log a 2019  1008  2017 log a 2019  (13   3   n3 ) log a 2019  1008  2017 log a 2019  n(n  1)   2016.2017           n  2017 Chọn A    Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC biết  AB  3, BC  4, CA    . Tính thể tích hình chóp SABC  biết các mặt bên của hình chóp đều tạo với đáy một góc 30 độ  200                     B                C   Đáp án chi tiết : A D   Dễ thấy  tam giác  ABC vng tại B  SABC     Gọi p là nữa chu vi   345     S  pr  r     p Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, từ giả thiết các mặt bên tạo với đáy một góc 30 độ  ta  suy ra I là chân đường cao của khối chóp  tan 300  S SI 3     SI  MI t an 30   MI 3    VS ABC  SABC SI  3 Do đó ta chọn A  C A I 30 r M Câu Cho   f ( x)dx   . Tính  I   f (1  x)dx   A. 5          B. 10          C.             B     D    Đáp án chi tiết : Đặt   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word t   x  dt  dx x0t 1 x  1 t     I    f (t )dt  Chọn A  x   t  Câu 5. Cho đường thẳng  (d) :  y   t   và mp (P) : x  y    . Tìm phương trình đường thẳng   z  2t  nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vng góc với (d).   x   2t  A  y   2t z   x   3t  B  y   3t z    x   2t  C  y   2t z   x   t  D  y   t   z   Đáp án chi tiết : Gọi I là giao điểm của (d) và (P)  I (1  t ;1  t ; 2t)    I  ( P)  t   I (1;1; 0)  (d) có vectơ chỉ phương   u  ( 1; 1; 2)     (P) có vectơ pháp tuyến  n  (1;1; 0)    Vecstơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là     u  u, v   =(-2 ;2 ;0)    x   2t  Phương trình mặt phẳng cần tìm là   y   2t    z   Câu 6. Biết số phức Z thỏa điều kiện  z  3i    . Tập hợp các  điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của  hình phẳng đó bằng  A.  16            B 4        C 9                      D 25   Đáp án chi tiết : Đặt z=x+yi  O z  3i   x   ( y  3)i  ( x  1)  ( y  3)    Do đó  Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word  z  3i     ( x  1)2  ( y  3)2  25    Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn   Tâm I (1 ;3) với bán kính bằng R=5 đồng thời nằm  ngồi đường tròn tâm I (1 ;3) với bán kính r=3  Diện tích của hình phẳng đó là  S     32  16    Câu 7. Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích tồn phần bé nhất thì có bán  kính đáy là  A.  R  V 4  V   .             B.  R                C.   R                D.  R    2 V V  Đáp án chi tiết : V   R h lh V  R2 STP  SXq  2Sd  2 Rl  2 R  Xét hàm số  f ( R)  2V  2 R2 R 2V  2 R  với R>0  R 2V  4 R f '( R)  R2    V f '( R)   R  2 Bảng biến thiên   R  0                          V               +                      2 f , ( R)               +               0             -                                                                              f ( R)                                                                     Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích tồn phần nhỏ nhất khi  R  V   2 Do đó chọn A  Câu 1. Tìm tham số thực m để bất phương trình:   x  x   x  x  m   1  có nghiệm thực  trong đoạn   2;    Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word     A.  m  1        B.  m  1    C.  m            D m      Lời giải Tập xác định:  D     Đặt  t  x  x    x  x  t    Khi đó:   1  t  t   m  m  t  t   g  t  ,  t  1;      Ta có:  g '  t   2t  1.  Cho  g '  t    t     Bảng biến thiên:      t  g ' t                                                                                                                                                                                              g t                                                                    1   Dựa vào bảng biến thiên,  m  1  thỏa u cầu bài tốn.     Câu 2: Tìm  m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt  thuộc đoạn    ;       4 sin x + cos x + cos2 4x = m   A.  m  47 49 ;  m              B.   m      64 64          C.  47  m       64 D 47  m       64 Lời giải Phương trình đã cho tương đương   cos x  cos2 x  m                                    4cos2 x  cos4 x  m   (1)  Đặt t = cos4x.  Phương trình trở thành:  4t  t  4m  , (2)     Với  x    ;   thì  t    1; 1    4    Phương trình  (1) có 4 nghiệm phân biệt  x    ;   khi và chỉ khi phương trình (2) có  2 nghiệm   4 phân biệt t[-1; 1), (3)  Xét hàm số g(t) =  4t  t  với  t  [1;1) , g’(t) = 8t+1.  Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word g’(t) = 0  t =      Lập bảng biến thiên    t g’(t) + g(t)   Dựa vào bảng biến thiên  suy ra (3) xảy ra     Vậy giá trị của m phải tìm là:   47  4m       m                                                          16 64 47  m    64 Câu : Cho  phương trình  3cos4 x  cos 3x  36 sin x  15 cos x  36  24 m  12 m2   . Tìm m để bất  phương trình sau đúng với mọi  x      Lời giải Đưa về bpt dạng  3cos4 x  20 cos x  36 cos2 x  12 m2  24m    Đặt  t =cosx ;  1  t   .  Khi đó bài tốn trở thành   Tìm m để bất phương trình  f (t )  3t  20t  36t  12m  24m  đúng với mọi  1  t    Lập BBT  D m      2 t   Khi  đó  trong  mạch  có  Câu 4: Đặt vào một đoạn mạch  hiệu  điện thế xoay chiều   u =  U sin T A.  m  1        B.  m  1      C.  m           2  dòng  diện  xoay  chiều    i  =  I0 sin  t      với   là  độ  lệch  pha  giữa  dòng  diện  và  hiệu  điện   T  thế.Hãy  Tính  cơng  của  dòng  diện  xoay  chiều  thực  hiện  trên  đoạn  mạnh  đó  trong  thời  gian  một chu kì.  A U0 I cos     B U0 I T sin      C U0 I UI Tcos(   )   D 0 Tcos   2 Lời giải Ta có:   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word T T  2  2            A =   uidt   U0 I sin  t    sin tdt   T  T  0 T 1  4                  U0 I0   cos  cos  t     dt   2  T  U0 I0 T   4                  t     dt      cos  cos   2  T  T U I  U I T  4                 0  tcos  sin  t      0 Tcos    4  T   2  Câu 5:  Một  dòng  điện  xoay  chiều  i  =  I0 sin  t      chạy  qua  một  mạch  điện  có  điện  trở  thuần   T  R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T.  RI 02 A T    RI 02 B T        RI 02 C T      RI 02 D T  Lời giải T T  2  Ta cã: Q =   Ri dt   RI 02 sin  t    dt    T  0  2   cos     T dt                   RI 02  T RI                 T  RI02 T  2  t  sin t    T      T    0 Câu 6: Một đồn tàu chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang với vận tốc khơng đổi  v0.Vào  thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực hãm và lực cản tổng hợp cả đồn tàu bằng 1/10 trọng lượng  P của nó. Hãy các định chuyển động của đồn tàu khi tắt máy và hãm.  g.t A x  v0 t    20   g.t B x  v0 t    10   g.t C x  v0 t    30 t2 D x  v0 t    20 Lời giải   - Khảo sát đồn tàu  như một chất điểm có khối lượng m, chịu     tác dụng của   P , N , Fc         - Phương trình động lực học là: ma  P  N  Fc     (1)  Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word   Chọn trục  Ox nằm ngang, chiều  (+) theo chiều chuyển động gốc thời gian lúc tắt máy. Do  vậy chiếu (1) lên trục Ox ta có:  p g ;  x"     10 10   max   Fc  hay viết:  mx"   F  hay  F    hay    ngun hàm hai vế (2') ta có:  V   hay    g g dx   t  C1  dx  t.dt  C1dx   dt 10 10   ngun hàm tiếp 2 vế ta được  x     Dựa vào điều kiện ban đầu để xác định các hằng số C1 và C2 như sau:    T¹i t0 = 0; v = v0; v0 = 0 Ta cã: C2 = 0 vµ C1 = v0 thay C1 vµ C2 vµo (3)      g g dv     dt   dt 10 10 x  v0 t            (2)    (2')    (3)  g t  C1   10 g t  C1 t  C   20 g.t   20 Câu 7: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng     o , một đầu  thanh tựa khơng ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi bng thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác  dụng của trọng lực.  Hãy biểu diễn góc    theo thời gian t (Tính  bằng cơng thức tính phân)   A.  t    o  C.  t    o d (sin  o  sin  ) 2a d 3g (sin  o  sin  ) a        B.  t    o d 3g (sin  o  sin  ) 2a        D.  t    o d 3g (sin  o  sin  ) 2a           Lời giải Do trượt khơng ma sát nên cơ năng của thanh được bảo tồn  mga sin  o  mga sin   Kq  Ktt   (1)  Do khối tâm chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính a nên:  Ktt  Động năng quay quanh khối tâm:  Kq  ma 2 2  ma  '   2 1 I  m(2a)2  '  ma2 '   2 12 Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word a '2  g(sin  o  sin  )    Thay vào (1) ta được:  ' 3g (sin  o  sin  )   2a  t   o d 3g (sin  o  sin  ) 2a   Câu 8: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng     o , một đầu  thanh tựa khơng ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi bng thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác  dụng của trọng lực. Tính góc  sin   khi thanh rời khỏi tường  A sin   sin  o     B sin   sin  o     C sin   sin  o   D.  sin   sin  o   Lời giải  Xét chuyển động khối tâm của thanh theo phương Ox:  N1  mx ''  . Tại thời điểm thanh rời tường thì  N1   x ''    Toạ độ khối tâm theo phương x là:  x  a cos    Đạo hàm cấp 1 hai vế:  x '   a sin   '       Đạo hàm cấp 2 hai vế:  x ''  a cos   '2  sin   ''  a cos   '2  sin   ''   Khi  x ''   cos   '   sin   ''   (2)  Từ (1) suy ra:  a '2  g sin   g sin  o   Lấy đạo hàm 2 vế:  a ''. ' g cos   '    Hay:   ''   3g cos    4a Thay vào (2) ta có phương trình:   cos  3g  3g  (sin  o  sin  )   sin    cos     2a  4a  sin   2(sin  o  sin  )   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word sin   sin  o Câu 1(GT Chương 1). Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng  hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và khơng nắp, có chiều cao  là  h  và có thể tích là   Hãy tính chiều cao   của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất?  B h  m   A m     C h  m    D h  m    Hướng dẫn giải Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp  Theo đề bài ta có  y  3x  và  V  hxy  h  V V     xy x Để tiết kiệm ngun vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích tồn phần của hồ  nước là nhỏ nhất.  Khi đó ta có:  Stp  xh  yh  xy  x Ta có  Stp  V V 8V  2.3 x  x.3 x   x2    3x 3x 3x Cauchy 8V 4V 4V 16V  3x2    3x  3  36    3x x 3x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  4V 4V V  3x  x    h      3x 3x Vậy chọn C  Câu 2(GT Chương 2). Phương trình   log  mx  x   log  14x 2   29 x    có 3 nghiệm thực  phân biệt khi:   39           D.    19  m  39   Hướng dẫn giải A.    m  19                B.    m  39                C.    19  m  x  14 x  29 x  2  f   x   12 x  14  x x log mx  x  log 14 x  29 x     x   f  1  19  log mx  x  log 14 x  29 x            39  mx  x  14 x  29 x  f   x   x   f    2 x  14 x  29 x   m    121 x x    f     3  3          f  x  Lập bảng biến thiên suy ra đáp án C.  Câu 3(GT Chương 3). Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm  đến 10 cm. Hãy tìm cơng sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm?  A. 1,95J    B. 1,59 J    C. 1000 J    D. 10000 J  Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 10 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Tam  giác  SOA   vng  tại  O  có  MN €SO   với  M , N   lần  lượt  nằm  trên  cạnh  SA,  OA.  Đặt  SO  h  khơng đổi. Khi quay  hình  vẽ quanh  SO  thì tạo thành một hình trụ  nội tiếp  hình  nón đỉnh  S  có đáy là hình tròn tâm O bán kính  R  OA  Tìm độ dài của MN để thể tích  khối trụ là lớn nhất.  h    h C.  MN     A.  MN  h    h D.  MN        Hướng dẫn giải  B.  MN        Ta thấy khi quay quanh trục SO sẽ tạo nên một khối trụ nằm trong khối chóp. Khi đó thiết  diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ. Ta có hình sau:    S B Q I P O M N A Ta có  SO  h ;  OA  R  Khi đó đặt  OI  MN  x    Theo định lí Thales ta có  V   IM IH   R2 IM SI OA.SI R  h  x   Thể tích khối trụ    IM   OA SO SO h x  h  x     h Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  2x  h  x   2x  h  x        4 R h h h Vậy  V   . Dấu  ''  ''  xảy ra khi  x   . Hay  MN      27 3 CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Câu 18 Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   gọi  d   đi  qua  điểm  A  1; 1;  ,  song  song  với   P  : 2x  y  z   , đồng thời tạo với đường thẳng   : x1 y 1 z    một góc lớn nhất.  2 Phương trình đường thẳng  d   là.  A x 1 y  z    5 B x 1 y 1 z    5 Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 55 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word C x 1 y  z    x 1 y  z    5 7 Hướng dẫn giải D    có vectơ chỉ phương  a   1; 2;     d  có vectơ chỉ phương  ad   a; b; c      P   có vectơ pháp tuyến  nP   2; 1; 1        Vì  d € P   nên  ad  nP  ad nP   a  b  c   c  2a  b    5a  4b  cos   , d    2 5a  4ab  2b 5a  4ab  2b   5a  4b  5t   a Đặt  t  , ta có:  cos   , d      5t  4t  b Xét hàm số  f  t    5t    1 , ta suy ra được:  max f  t   f        5t  4t   5 Do đó:  max cos   , d    a t     27 b    Chọn  a   b  5, c    Vậy phương trình đường thẳng  d  là  x 1 y 1 z        5 Câu 19 Trong  khơng  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz ,cho   P  : x  y  z     ,  Q  : x  y  z     Lập phương trình mặt phẳng     chứa giao tuyến của  P  ,  Q   và cắt các trục tọa độ tại  các điểm  A , B, C  sao cho hình chóp  O.ABC  là hình chóp đều.  A x  y  z     B x  y  z     C x  y  z     D.  x  y  z     Hướng dẫn giải Chọn  M  6; 0;  , N  2; 2;   thuộc giao tuyến của  P  ,  Q    Gọi  A  a; 0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c   lần lượt là giao điểm của     với các trục  Ox , Oy , Oz      : x y z    1 a, b, c     a b c  1  a    chứa  M , N   2      1  a b c Hình chóp  O.ABC  là hình chóp đều  OA  OB  OC  a  b  c   Vây phương trình x  y  z     Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 56 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word y  Oxyz   cho  điểm  M  1; 0;    và  Câu 20 Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    2x  y  z   N  0; 0; 1 ,  mặt  phẳng   P    qua  điểm  M , N   và  tạo  với  mặt  phẳng   Q  : x  y     một  góc bằng  45O  Phương trình mặt phẳng   P  là    y  y  A  B   2x  y  z    2x  y  2z    2x  y  2z   C   2x  y  2z    2x  2z   D   2x  2z   Hướng dẫn giải   Gọi  vectơ  pháp  tuyến  của  mp  P    và   Q    lần  lượt  là  nP  a; b; c    a2  b2  c  ,  nQ    P  qua M 1; 0;    P  : a  x  1  by  cz      P   qua  N  0; 0; 1    a  c     P   hợp với  Q   góc  45 O      cos nP , nQ  cos45O    ab 2a  b 2  a       a  2b Với  a   c   chọn  b   phương trình   P  : y     Với  a  2b  chọn  b  1  a   phương trình mặt phẳng   P  : x  y  z     Câu 21 Trong  khơng  gian  với  hệ  trục  toạ  độ  Oxyz,  cho  điểm  A  10; 2; 1   và  đường  thẳng  d: x1 y z 1    Gọi   P   là mặt phẳng  đi qua  điểm  A , song song với đường thẳng  d   sao  cho  khoảng  cách  giữa  d   và   P    lớn  nhất.  Khoảng  cách  từ  điểm  M  1; 2;    đến  mp  P   là  A 97    15 B 76 790    790 13    13 Hướng dẫn giải: C D 29    29  P   là mặt phẳng đi qua điểm  A  và song song với  đường  thẳng  d   nên   P    chứa  đường  thẳng  d đi  d H qua điểm  A  và song song với đường thẳng  d   Gọi  H  là hình chiếu của  A  trên  d ,  K  là hình chiếu  của  H  trên   P      K  Ta có  d d ,  P   HK   AH  ( AH   khơng đổi)    GTLN của  d(d , ( P))  là  AH    P d' A     d d ,  P   lớn nhất khi  AH  vng góc với   P    Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 57 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Khi đó, nếu gọi   Q   là mặt phẳng chứa  A  và  d  thì   P   vng góc với   Q        nP  ud , nQ    98;14;  70       97   P  :7 x  y  5z  77   d M ,  P   15 Câu Hàm số Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là    V  Để làm thùng hàng tốn ít ngun liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng  A x  V   B x  V       C x  V     D x  V   Hướng dẫn Gọi  a  là độ dài cạnh đáy,  x  là độ dài đường cao của thùng đựng đồ   a , x      Khi đó,  V  a x  a  V V  Stp  2a  4ax   Vx    x x Để làm thùng hàng tốn ít ngun liệu nhất thì Stp  nhỏ nhất   Cách 1 : Xét hàm số  f  x   V  Vx  nhỏ nhất.  x V  Vx  trên   0;      x 2V V ; f '  x   x V  V x  x  V   Ta có  f '  x    x x x +∞ V3 f'(x) + f(x) f (V )   Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít ngun liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng  V   V V  Vx   Vx  Vx  V   x x V Dấu  "  "  xảy ra tại   Vx  x  V  x  V    x Cách 2: ta có    Câu Mũ - Loga. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là  3.106 m3  Biết tốc độ sinh trưởng của các cây  trong khu rừng đó là  5%  mỗi năm. Sau 10 năm nữa, trữ lượng gỗ trong rừng là    C 4326671,91  m    A 4886683,88 m3                     D 4499251  m    B 4668883 m3   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 58 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Hướng dẫn   Gọi  A  là trữ lượng gỗ ban đầu của khu rừng m3 ;  r  là tốc độ sinh trưởng  hàng năm(%);  M n là trữ    lượng gỗ sau n năm m3   Năm đầu tiên,  M1  A  A.r  A(1  r )    Năm thứ hai,  M2  M1  M1 r  M1 (1  r )  A(1  r )2    Năm thứ ba,  M3  M2  M2 r  M2 (1  r )  A(1  r )3    Tương tự năm thứ n,  Mn  A(1  r )n   10   Áp dụng cơng thức ta có  M10  A(1  r )10  3.10   0,05   4886683,88 m   Câu Tích phân. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là    24,  m / s    và gia tốc trọng trường là  9, m / s2  . Qng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới  khi rơi xuống đất là (coi như viên đạn được bắn lên từ mặt đất)  A.  61, 25  m     B.  30,625  m      C.  29,4  m       D.  59,5  m     Hướng dẫn Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc thời gian  t    bắt đầu từ khi vật chuyển động.  Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian  t   là  v  t   v0  gt  24,  9, 8t  m / s   Khi vật ở vị trí cao nhất thì có vận tốc bằng 0 tương ứng tại thời điềm  t     Qng đường viên đạn đi được từ mặt đất đến vị trí cao nhất là   5 0 S  t    v  t  dt   24,  9, 8t dt  245    Vậy qng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là  Câu Số phức. Cho số phức  z    A.         245  61, 25  m    m1  m     Số các giá trị ngun của  m   để  z  i    là   m  2i  1 B.        C.        D. Vơ số  Hướng dẫn  Ta có  z  i   zi  m   i   mi  m  3m    m  1 i m1 i       m  i  1  m  2i  1  m  mi 3m    m  1 i  m  2mi  3m    m  1 i  m  2mi 1 2  3m    m  1 i   m  2mi   3m  1   m  1  1  m   m2    5m  m    1  m   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 59 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Vì  m     Khơng có giá trị của  m   thỏa mãn.  Câu Hình học khơng gian Cho hình lăng trụ đứng  ABC.A ' B ' C '  có đáy  ABC  là tam giác cân tại    nhọn. Góc giữa  AA '  và  BC '  là  300 , khoảng cách giữa   AA '  và  BC '  là  a  Góc giữa hai  A , góc  BAC mặt bên   AA ' B ' B   và   AA ' C ' C   là  600  . Thể tích lăng trụ  ABC.A ' B ' C '  là  2a 3 A     Hướng dẫn a3 B   a3 C       a3 D     60    Ta có góc giữa hai mặt bên   AA ' B ' B   và   AA ' C ' C   là BAC A' C'  ABC  đều.    Vì  AA '/ /CC '   AA '; BC '  CC '; BC '  BC ' C  300       B'  300 Kẻ  AI  BC  AI   BB ' C ' C       d  AA '; BC '   d AA ';  BB ' C ' C   AI  a  BC  2a , CC '   VABC A ' B'C ' BC  2a tan 300    A C 600 I a 2a 3  a .a  3 B Câu Tròn xoay. Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng   P    song song với đáy. Mặt phẳng   P    chia  hình nón làm hai phần   N1    và   N   Cho hình cầu nội tiếp   N     như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của  N1  N   Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vng góc với đáy  cắt   N   theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình  2 thang cân là   A.     B.    C.    D   N2 Hướng dẫn  Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ.   Gọi     là góc cần tìm.   Xét  AHD   vng tại  H   có  DH  h , AH  R  r     h  2r0  AH tan    R  r  tan  D  1    r C r0 h Thể tích khối cầu là  V1   r03     Thể tích của   N    là  V2   h R2  r  Rr    V     h  R  r  Rr      V2  h  α A Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày H O K B R 60 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Ta có  BC  R  r  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  Mà  h  BC   R  r   Rr  3    Từ    ,     R  r   Rr      Từ   1 ,   ,    h   R  r  tan    R  r  2 2  tan    tan   (vì    là góc nhọn)  Câu Hình học Oxyz. Trong khơng gian với hệ  tọa độ  Oxyz , cho điểm  A(2; 2; 0) , đường thẳng  x1 y z2    Biết mặt phẳng  ( P )  có phương trình  ax  by  cz  d   đi qua  A , song song với  1   và khoảng cách từ    tới mặt phẳng  ( P )  lớn nhất. Biết  a , b  là các số ngun dương có ước chung  : lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng  a  b  c  d  bằng bao nhiêu?  A.                               B.                                     C.                                      D.  1    Hướng dẫn giải  Gọi  H  là hình chiếu vng góc của  A  trên đường thẳng       Do  H    H ( 1  t ; 3t ;  t )  AH  (t  3; 3t  2; t  2)          Do  AH    AH u   với  u  ( 1; 3;1)                    1.( t  3)  3.(3t  2)  1.(t  2)   11t  11  t  1  H  0; 3;1                    Gọi  F  là hình chiếu vng góc của  H  trên  ( P ) , khi đó:  d(  ,( P ))  d( H ,( P ))  HF  HA   Suy ra  d(  ,( P ))max  HA  . Dấu “=” xảy ra khi  F  A  AH  ( P ) , hay bài tốn được phát biểu lại là :       “ Viết phương trình mặt phẳng  ( P )  đi qua  A  và vng góc với  AH ”    Ta có  AH   2; 1;1  (2;1; 1) , suy ra  n( P )  (2;1; 1)   Suy ra phương trình mặt phẳng  ( P )  là:  2( x  2)  y   z   x  y  z     a , b   * a  2, b    a  b  c  d    Do   ( a , b)  c  1, d  2 Câu Gọi  x , x2  x1  x2    là  hai  nghiệm  của  phương  trình  khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?    A.   x1 ,     1,1   1,1     HDG:      1   1 Nhận xét:         5.2 x x x1  x   5.2 x1   Trong  các      D.   x1 , x2    1,1   1,1   x x x   1  B.   x2 ,     1,1   1,1   C.   x1 , x2    1,0    1,0    x  x  1   1     1            x x  1  1   1 x             2       Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 61 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word x  1  0,  1  t    x1  log + Đặt  t      t   1 2, x2  log 1   Câu Cho hàm số  y  x  3mx  m3 có đồ thị    C m    và đường thẳng  d : y  m x  m3  Biết  rằng  m1 , m2  m1  m2  là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị  C m   tại 3 điểm phân biệt  có hồnh độ  x1 , x , x3  thỏa  x14  x2  x3  83  Phát biểu  nào sau  đây là đúng về quan  hệ giữa  hai giá trị  m1 , m2  ?    B.  m12  2m2    A.  m1  m2    C.  m2  m1    D m1  m2    x  m  HDG:  pthdgd : x  3mx  m x  3m    x   m  DK : m      x  3m 2 ycbt  x14  x2  x3  83  m4  m4  81m  83  m  1  m1  m2        Câu Thang  đo  Richter  được  Charles  Francis  Richter  đề  xuất  và  sử  dụng  lần  đầu  tiên  vào  năm  1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị là độ Richter. Cơng thức  tính độ chấn động như sau:  M L  lg A  lg Ao , với  M L  là độ chấn động, A là biên độ tối đa đo được  bằng địa chấn kế và  Ao  là một biên độ chuẩn. (nguồn: Trung tâm tư liệu khí tượng thủy văn). Hỏi  theo thang độ Richter, với cùng một biên độ chuẩn thì biên độ tối đa của một trận động  đất 7 độ  Richter sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của một trận động đất 5 độ Richter ?    A.2.  B. 20.  C.  10  .  D. 100.     HDG: Gọi  A1  và  A2  lần lượt là biên độ tối đa của hai trận động đất 7 độ Richter và 5 độ Richter 7  lg A1  lg Ao Theo cơng thức, ta có:  5  lg A2  lg Ao Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên, ta có :   lg A1  lg A2  lg A1 A   10  100   A2 A2 Câu Cho hình lập phương  ABCD.A ' B ' C ' D '  có khoảng cách giữa  A ' C  và  C ' D '  là 1 cm. Thể tích  khối lập phương  ABCD.A ' B ' C ' D ' là:    A.  cm   B.  2 cm3   C 3 cm   D 27 cm   HDG: Để tìm khoảng cách giữa A’C và C’D’, ta dựng một mặt phẳng chứa A’C và song song với  C’D’. Dễ thấy đó là mặt phẳng (CA’B’).  Gọi a là độ dài cạnh của khối lập phương, lúc này ta có:  d  C ' D ', A ' C   d C ' D ',  CA ' B '    d  D ', CA ' B '      Để tính khoảng cách từ điểm D’ đến mặt phẳng (CA’B’), ta xét khối tứ diện  D’CA’B’.  1 a2 a3 VD 'CA ' B'  CC '.SB ' A ' D '  a    cm3   3   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 62 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word 1 2 SCA' B '  CB' B'A'  a 2.a  a   cm2  (do tam giác CA’B’ vng tại B’)  2  Suy ra:  d  D ',  CA ' B '    3VD 'CA ' B' SCA ' B'  a3   a    cm   a  (cm).  2 a Do đó  V  a  2 cm3    Câu Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần gạch chéo như trên hình.  A. Số phức  M  x , y    B. Số phức  z  x  yi  x , y  R    C. Số phức  A  1,1   D. Số phức  1  i   Hướng dẫn giải Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp các điểm   z   i  biểu diễn số phức z trong phần  gạch  chéo  đều  thuộc  đường  tròn  tâm    MA    và  bán  kính  bằng  2  ngồi  ra  R1  2, R2     Vậy  M  a , b   là điểm biểu diễn của các số phức   P  S1  S2  2  R1  R2   2  có mơ đun  nhỏ hơn hoặc bằng 2 và có phần thực thuộc đoạn [-1;1]. Ta có đáp án A.  Câu Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng,  SAD  là tam giác đều và nằm trong  mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp  S.ABCD     A.  dm   là  4 dm2  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  SD  và  AC gần với giá trị nhất sau đây ?      B.  dm   C.  dm    D.  dm  .     Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 63 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word HDG:  Gọi  x  là  cạnh  của  hình  vng  ABCD   và  H     là  trung điểm cạnh  AD    x   Gọi  O  AC  BD   và  G là  trọng  tâm  SAD ,  đồng  thời  d1 , d2 Dễ dàng chứng minh  SH   ABCD  , SH  lần lượt là 2 trục đường tròn ngoại tiếp  ABCD , SAD      d1 qua O va / /SH , d2 qua G va / / AB     I  d1  d2   là  tâm  mặt  cầu  ngoại  tiếp  khối  chóp  S.ABCD    R  SI    2  x  x 21 S  4 R  R   SI  SG  GI    dm         x    2 2   Gọi  E  là điểm thỏa  ADEC  là hình bình hành  ED / / AC  d  AC ; SD   d AC ;  SDE          d  AC ; SD   d A;  SDE   2d H ;  SDE   HP  (phần chứng minh  HP   SDE   xin dành cho bạn  đọc)  SKH : 1 1 x 21      HP   dm  d  AC ; SD   dm   2 2 14 7 HP SH KH x 3 x 2         Câu Trong  mặt  phẳng  phức  Oxy ,  cho  số  phức  z   thỏa  lần  lượt  một  trong  bốn  điều  kiện   I  : z  z  ;   II  : z.z  ;   III  : z  2i  ,   IV  : i  z  4i     Hỏi  điều  kiện  nào  để  số  phức  Z  có  tập hợp biểu diễn là  đường thẳng.  A  II  ,  III  ,  IV    B.   I  ,  II    C.   I  ,  IV    D  I     Hướng dẫn giải Gọi  M  x , y   là điểm biểu diễn số phức  z  x  yi  x , y  R     I  : z  z   x   x  1 ;            (Đường thẳng)     II  : z.z   x  y         (Đường tròn)   16 ;           (Đường tròn)   9  (Đường tròn)   III  : z  2i   x   y      IV  : i  z  4i     iz   x   y   2 Vậy đáp án D.  x 2001 dx  có giá trị là  1002 (1  x ) Câu 8: Tích phân  I   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 64 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word   2002.21001 Hướng dẫn giải   A.  B.  x 2004 I  dx   1002 x (1  x ) 1   2001.21001 1002 C.    2001.21002 dx  Đặt  t    x3    x  D.    2002.21002  1    dt   dx   x x Câu 9: Cho một miếng tơn hình tròn có bán kính  50cm  . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện  tích tồn phần của hình nón bằng diện tích miếng tơn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là   A. 10 2cm      B.  20cm      C 50 2cm       D.  25cm    HDG S I J O A H     Đặt  a  50cm    Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là  x , y  x , y    Ta có  SA  SH  AH  x  y    Khi đó diện tích tồn phần của hình nón là  Stp   x   x x  y    Theo giả thiết ta có    x   x x  y   a  x x  y  x  a2    x x2  y  a2  x2  x x  y  a  x  2a x ,  DK : x  a      x2  a y  2a2 Khi đó thể tích khối  nón là     y a4    V   y   a4 2 y  2a y  2a2 V   đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ  khi  y  2a2 đạt giá trị nhỏ  nhất  y Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 65 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Ta có   y  a2 2a 2a y  y  2a   y y y Vậy  V   đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi  y  a 2a  , tức là y  a  x   25cm    y Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng biến thiên cũng được nhé Phần 1: Khảo sát hàm số x3  có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C).  x 1 Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất ?  Câu hỏi : Cho hàm số  y  A.  M1  ;    và  M  2 ;      B.  M1  ;  1  và  M  3 ;     1  7 C.  M1  ;    và  M  4 ;    3 3     1 5  11  D.  M1  ;    và  M   ;    3 2  3  m3 Hướng dẫn giải : Gọi  M  m ;  thuộc đồ thị, có I(–1 ; 1) m    IM   m  1  16  m  1  ,  IM   m  1  16  m  1  16  2   IM nhỏ nhất khi  IM  2  Khi đó (m + 1)2 = 4. Tìm được hai điểm  M1  ;  1  và  M  3 ;   Chọn B  Phần 2: Mũ – Logarit Câu hỏi : Phương trình   log x  log x  log x   có bao nhiêu nghiệm ngun ?    A. 0  B. 1  C. 2   D. 3   Hướng dẫn giải : Giải phương trình:   log x  log x  log x   Điều kiện xác định: x ≥ 1   log x  log x  log x      log x  log x  log x       log x   log x  1    log x  log x    log x  1    log x  log x       log x   vì:   log x  log x    x = 3.   Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3. Chọn đáp án B Phần 3: Ngun Hàm – Tích Phân - Ứng dụng Câu hỏi : Phần bơi đen trên hình vẽ là hình phẳng (D) giới hạn giữa parabol (P) và tiếp tuyến d của  (P) tại điểm A(1;1) và đường thẳng  x   Tính diện tích hình phẳng (D).     A.       B.     C.     D. Một đáp số khác   y   Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 66 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word       Hướng dẫn giải : Vì parabol (P) nhận gốc O làm đỉnh và đối xứng qua Oy nên phương trình parabol (P) có dạng  y  ax2 ( a  0)    Vì (P) đi qua A(1;1) nên  a  , suy ra phương trình (P) :  y  x   Đường thẳng d là tiếp tuyến của (P) tại A nên có phương trình :  y  x    2 1 Diện tích hình phẳng (D) là :  S    x  (2 x  1)dx   ( x  1) dx  ( x  1)3     Chọn A 3 1 2 Lưu ý : Bài này cần phải tìm phương trình của các đường dựa trên hình vẽ   Phần : Số Phức Câu hỏi : Gọi  z1 ; z2  là các nghiệm phức của phương trình:  z  z    . Tính :  ( z1  1)2017  ( z2  1)2017     A.  2017   B.  21007   C.  2009   D.  21009   Hướng dẫn giải : z   i Ta có:  '    1  i      z2   i Khi đó:   z1  1  (1  i)2  1008 2017   z2  1 2017 (1  i )  (1  i )2   1  i  1008 2016 (1  i)    i  1008 (1  i ) =  2i  2016 (1  i )   (1  i )   2i  1008 (1  i )    21008 (1  i)  21008 (1  i )  21009  Chọn đáp án D  Phần 5: Thể tích khối đa diện Câu hỏi : Người ta cắt miếng bìa tam giác đều như hình vẽ và gấp lại theo các đường kẻ, sau đó  dán các mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích  V  a  Tính độ dài cạnh của miếng bìa  12 theo  a  ?     Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 67 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word   A.  a   a C.    B. 2a  D.  3a   Hướng dẫn giải : Đặt  2x  là cạnh của miếng bìa. Khi đó cạnh của tứ diện đều là  x , suy ra thể tích tứ diện đều là :     V  x3 2  a3  Do đó  x  a , suy ra cạnh của miếng bìa là  2a  Chọn B  12 12 Lưu ý : Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích của nó là  V  a    12 Phần 6: Khối tròn xoay Câu hỏi : Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.  Tính diện tích của thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600.   a2 B.    a2 A.    a2 C.    a2 D.    Hướng dẫn giải : Gọi thiết diện qua trục là   SAB  vng cân tại S,  SA  SB  a     S Gọi O là tâm của đáy , SO =  a    Gọi thiết diện qua đỉnh, tạo với đáy góc 600 là   SAC.   a A Gọi M là trung điểm AC , góc giữa mặt phẳng (SAC) với mặt    = 600  đáy là  SMO 45 M B O C                  *   SM  SO a   (  SMO vng tại O).   sin 60        *  OM  a          *  AC  AM  OA2  OM = 2a    a2 1 a 2a       * SSAC =  SM.AC =   =    2 3 Chọn C   Phần 7: Hình giải tích Oxyz Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 68 www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Câu hỏi : Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình :  x 1 y 1 z  Gọi    là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương    1 trình đường thẳng   ?  x   t  A.   y   4t   z  2t  x   t  B.   y   4t    z   2t  x   t  C.   y   4t   z  2t    x   t  D.   y   4t   z  2t  Hướng dẫn giải :  x   2t  PTTS của d là   y  1  t     z  t  Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên d, đường thẳng    cần tìm là đường thẳng MH.    Vì H thuộc d nên  H   2t ; 1  t ; t  suy ra  MH  (2t  1; 2  t ; t )         4 2  Vì  MH  d  và d có 1 VTCP là  u  (2;1; 1) nên  MH.u     t   . Do đó  MH   ; ;     3 3  x   t  Vậy PTTS của    là :   y   4t  Đáp án A z  2t      Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày 69 ... hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chi u dài gấp ba lần chi u rộng và không nắp, có chi u cao là  h  và có thể tích là   Hãy tính chi u cao  của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất?  B h  m   A m     C h  m    D h  m    Hướng dẫn giải. .. Gọi x, y, h lần lượt là chi u rộng, chi u dài và chi u cao của hình hộp  Theo đề bài ta có y  3x  và  V  hxy  h  V V     xy x Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hồ ... thành hình trụ có chi u cao bằng a). Điều kiện là  x    thì  V     1    1 +) Cách 2: Cắt như trên. Nhưng phần có kích thước a-x và a cuộn ngang để làm thành thân (tạo  thành hình trụ có chi u cao là a-x). Điều kiện là