Trong sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ tập trung vào bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà không khai thác các dạng tiếp tuyến của các đờng côníc.. Sáng kiến này cũng không đi sâu vào vi
Trang 1A Đặt vấn đề:
I Lời mở đầu:
Giáo dục và đào tạo Viợ̀t Nam trong những năm qua đã kịp tiờ́p cọ̃n với xu thờ́ chung của thời đại Nghị quyờ́t Trung ương II đã chỉ rõ: "Đụ̉i mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lụ́i truyờ̀n thụ mụ̣t chiờ̀u, rèn thành nờ́p tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiờn tiờ́n và phương tiợ̀n hiợ̀n đại vào quá trình dạy học, đảm bảo thời gian tự học cho học sinh , sinh viờn "
Dạy học toán thụng qua kiờ́n thức là phải dạy học sinh khả năng tư duy: phõn tích, tụ̉ng hợp , trừu tượng hoá , cụ thờ̉ hoá, khái quát hoá , Trong đó phõn tích tụ̉ng hợp có vai trò trung tõm Phải dạy học sinh khả năng tự tìm tòi, tự phát hiợ̀n và phát biờ̉u vṍn đờ̀, dự đoán được các kờ́t quả, tìm được hướng giải quyờ́t mụ̣t bài toán, hướng hướng chứng minh mụ̣t sụ́ định lí Đặc biợ̀t là trong dạy toán vờ̀ hàm sụ́ và các bài toán liờn quan đờ́n hàm sụ́ trong đó có chủ đờ̀ vờ̀ tiờ́p tuyờ́n của đồ thị hàm sụ́ Trong sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ tập trung vào bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm
số mà không khai thác các dạng tiếp tuyến của các đờng côníc Sáng kiến này cũng không đi sâu vào việc chỉ ra các cách khác nhau để giải bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà chỉ tập trung vào các cách làm đơn giản để học sinh có thể thành thạo trong giải toán
II Thực trạng của vấn đề:
Bài toán về tiếp tuyến của hàm số có nhiều dạng khác nhau Học sinh khi học phần này thờng không nắm vững phơng pháp giải toán trong khi đó loại toán dạng này th-ờng có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào các trth-ờng Đại học, Cao
đẳng trong những năm gần đây Do đó cần rèn luyện để học sinh thành thạo với bài toán và khắc phục đợc những sai lầm khi làm bài tập loại này Một sai lầm chủ yếu khi học sinh viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số Vì vậy hệ thống một cách đầy đủ và có phân loại là yêu câu cần thiết đối với chủ đề này
Hiện nay bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã đợc đa xuống chơng trình lớp
11 Vì vậy đây là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá trình giảng dạy và là tài liệu có hệ thống đầy đủ để học sinh học tập Trải qua quá trình tìm tòi và nghiên cứu cũng nh trong việc giảng dạy đồng thời nhằm góp phần giảng dạy hiệu quả chủ đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến:
“ Hớng dẫn học sinh phân loại bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.
B Giải quyết Vấn đề.
I Các giải pháp thực hiện:
Để giúp học sinh hiểu và nắm rõ các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số ngời giáo viên cần phải:
Trang 2Làm rõ đợc phơng pháp giải toán đối với bài toán viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở ba dạng cơ bản: tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số, tiếp tuyến với hệ số góc cho trớc và tiếp tuyến đi qua một điểm
“Học đi đôi với hành” do đó “ vừa giảng, vừa luyện” là một trong những cách để
giảng dạy bộ môn toán hiệu quả Dạy toán khụng chỉ đơn thuõ̀n là dạy cho học sinh nắm được những định nghĩa, định lí, khái niợ̀m, quy tắc mà điờ̀u quan trọng hơn cả là dạy cho học sinh có năng lực trí tuợ̀, có kỹ năng thực hành, có khả năng vọ̃n dụng kiờ́n thức đờ̉ giải toán và đưa toán học vào ứng dụng thực tờ́
Năng lực trí tuợ̀ sẽ được hình thành và phát triờ̉n trong quá trình hoạt đụ̣ng nhọ̃n thức Năng lực toán học sẽ được phát triờ̉n khi học sinh được tham gia vào viợ̀c suy nghĩ tìm tòi cách chứng minh định lí, giải bài tọ̃p toán, làm các bài thực hành Bởi vọ̃y đờ̉ có hiợ̀u quả người thõ̀y phải tụ̉ chức tụ́t giờ dạy, tạo điờ̀u kiợ̀n đờ̉ học sinh được làm viợ̀c nhiờ̀u, phát huy tính tích cực, chủ đụ̣ng trong quá trình lĩnh hụ̣i kiờ́n thức Vì vậy cần hệ thống kiến thức cho học sinh từ dễ đến khó để học sinh tham gia vào các hoạt động một cách chủ động, có hứng thú trong học tập Điều quan trọng là trong quá trình giảng dạy là giáo viên phải tìm ra các biện pháp hớng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu, nghiên cứu để nắm rõ đợc bản chất của vấn đề
II Các biện pháp tổ chức thực hiện:
II.1-Biện pháp chung:
Giáo viên cần nghiên cứu sách giáo khoa môn toán của lớp 11 và 12; đề thi tốt
nghiệp trung học phổ thông và bổ túc trung học phổ thông qua các năm; các tài liệu về
đề thi tuyển sinh môn toán, khai thác tài liệu trên mạng Từ đó tập hợp và hệ thống các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, phân loại thành các dạng khác nhau từ
dễ đến khó để phù hợp với đối tợng học sinh
Trong mỗi dạng có phơng pháp chung, các ví dụ mẫu cụ thể và hệ thống bài tập hợp
lí nhằm dẫn dắt học sinh trong quá trình học tập, tạo ra tinh thần học tập hứng thú cho học sinh
II.2 Phần nội dung cụ thể:
Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài toán 1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm M0(x0;y0) (C) Viết phờng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0;y0)
2.Ph ơng pháp:
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0;y0)có dạng : y y0 f' (x0)(x x0)
2 O
y
0
x x
0
M
0
Trang 3Ví dụ : Cho hàm số yx 3x 5 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết : a) Tại điểm A ( -1; 7)
b) Tại điểm có hoành độ x = 2
c) Tại điểm có tung độ y =5
Giải:
a) Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0;y0)có dạng : y y0 f' (x0)(x x0)
Ta có: ' 3 2 3
x
y y' ( 1 ) 0
Do đó phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y 7 0 hay y = 7
b) Từ x 2 y 7
y’(2) = 9 Do đó phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y 7 9 (x 2 ) y 7 9x 18 y 9x 11
c) Ta có:
3 3
0 0
3 5
5 3
x x
x x
x x
x y
+) Phơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5)
y’(0) = -3
Do đó phơng trình tiếp tuyến là: y 5 3 (x 0 )hay y = -3x +5
+) Phơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3 ; 5 )
6 3 ) 3 ( 3 ) 3 (
y
Do đó phơng trình tiếp tuyến là: y 5 6 (x 3 ) hay y 6x 6 3 5
+) Tơng tự phơng trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3 ; 5 ) là : y 6x 6 3 5
Bài tập 1: ( ĐH An Ninh A- 2000)
Cho hàm số 3 2 1
x mx m
y (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm
cố định Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi
Giải:
Gọi (x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đó ta có:
2 1 0 1 0
1 0 1
0 1
) 1 (
1
0 0 0 0 0
3 2
0 3
2
2 3
0
y x y x y
x x
m y
x m x
m m
mx x
y
Ta có: y’ = 3x2 + 2mx
y’(1) = 3 + 2m Do đó phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là:
y 0 ( 2m 3 )(x 1 ) hay y ( 2m 3 )x ( 2m 3 ) (1)
Tơng tự phơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là:
m x
m
y ( 3 2 ) 1 2 (2)
Trang 4* Tìm quĩ tích giao điểm của hai tiếp tuyến khi m thay đổi:
Khử m từ phơng trình (1) và phơng trình (2) ta đợc:
x
x x
2
là quỹ tích cần tìm (Đó là một Hypebol)
Bài tập 2: ( HVBCVT A - 1998)
Cho hàm số: ( )
1
1
C x
x y
a) CMR: Mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi
b) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất
Giải:
1
1
; (
0
0 0
x
x x
0 0
) 1 (
2 )
( '
x x
y
Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M0 có dạng:
1
1 )
(
)
1
(
2
0
0 0 2
x
x x x x
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1
Toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là A(1; 1)
Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:
1 1 2 1
1
1 ) (
)
1
(
2
0 0
0 0 2
0
y x x y
x
x x x
x
y Gọi C(2x0 1;1)
Tơng tự, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: )
1
3
; 1 (
0
0
x
x
Ta có : AB =
1
4 1
1
3
0 0
0
x x
x
AC = 2x0 1
Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:
4 1 2 1
4 2
1
2
1
0 0
x AC
AB
b) Ta có chu vi của tam giác ABC là:
2 4 4 8 ) 2 2 ( 2
2
2
p
AB AC AC
AB AC
AB AC
AB BC AC AB
p
Dấu “ =” khi và chỉ khi AB = AC 2 1
1
4
0 0
2 1
2 1 2
) 1 (
0
0 2
0
x
x
Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn x 1 2 thì tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
Bài tập 3: (HVBCVT A- 1999)
Cho hàm số: 3 3 2 2
x x
y (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến đến (C)
Giải:
4
Trang 5Gọi ( ; 3 2 2 ) ( )
0
3 0 0
Phơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M0 có dạng:
0
3 0
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M0 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
k x
x
x x x x k x
x
6
3
2 3 )
( 2 3
2
2 3 0 2
3
Suy ra
2
3 0
) 3 3
2 )(
2
0 1 0
2 0 0
2
x
x x x
x xx x x x x
Điểm M0 thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:
2
3
0
0 0
2
Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M0( 1; 0) mà qua đó kẻ đợc đúng một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C)
Bài tập 4: (HVBCVT A - 2001).
Cho hàm số: y = x3 - 3x (1)
a) CMR: khi m thay đổi đờng thẳng cho bởi phơng trình : y = m(x + 1) + 2 (d) luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định
b) Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau
Giải:
a) Phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và đờng thẳng (d) là:
(*) 0
2
0 1
0 ) 2
)(
1 (
) 1 (
) 2 )(
1 (
) 1 (
2 3
2 ) 1 (
3
2
2 2 3
3
m x
x
x
m x
x x
x m x
x x
x m x
x
x m x
x
Ta có x + 1 = 0 x = -1 y = 2 Do đó điểm cố định là A( -1; 2)
b) Đồ thị (1) cắt đờng thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi phơng
trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1
0 9 0
0
)
2
(
4
0
2
)
1
(
1
(
0
2
m
m
m
m
m
Gọi B(x1; y1), C(x2; y2) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1)
Ta có: y’ = 3x2 - 3
3 3 ) ( ' , 3 3 )
(
2 2
2 1
x
y Tiếp tuyến tại B và tại C vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
y’(x1).y’(x2) = -1 9 ( ) 9 ( ) 2 18 1 2 10 0
2 1
2 2
x
Mà
m x
x
x
x
2 1
2
1
2
1
(theo định lí viet)
Do đó:
3
2 2 3 0
1 18 9
0 1 ) 2 ( 18 ) 2
(
Trang 6Kết luận: Vậy
3
2 2
3
m thì yêu cầu bài toán đợc thoả mãn
Bài tập 5: Cho hàm số:
1
2 4
x
x
y (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3
Giải:
Ta có:
2
5 1 3
2 3
* 4
' ( 61)2 '(3)83
x y
Pttt của (C) tại điểm )
2
5
; 3 ( là:
2
5 ) 3 ( 8
3
y
Diện tích hình phẳng cần tính là:
dx x
x dx
x x
1
6 2
3 ) 3 ( 8
3 ( )
1
6 4 ( 2
5 ) 3
(
8
0 3
= ( ( 3 ) 3
16
3
2
3
x ) =
16
99 2 ln
12 (đvdt)
Bài tập 6: (ĐH Huế A - 2000).
Cho hàm số:
1
1
x x
y (C) Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau
Giải:
Ta có : ( 1 ) 2
1 1 '
x y
Gọi M1(x1;y1),M2(x2;y2) (C) Với x 1 x2 Theo giả thiết ta có:
) (
'
)
(
' x1 y x2
) (
2 )
1 (
1 1
) 1 (
1 1
2 1
2 1 2
2 2
x x x
x
Vậy M1, M2 đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm
số thì tiếp tuyến tại đó song song với nhau
Bài toán 2: Viết phơng trình tiếp tuyến qua một điểm cho trớc.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b) Viết phờng trình tiếp tuyến của
(C) đi qua điểm A
6
0 3
y
x O
y = f(x) A(a; b)
Trang 72 Ph ơng pháp : Viết phơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k dới dạng: y
= k(x - a) + b (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
k x
f
b a x k x
f
) (
'
) (
) (
có nghiệm
Giải phơng trình f(x) f' (x)(x a) b xx0;x1; ;x n tính ki = f’(xi) với i 0 ;n, thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến
Ví dụ: Cho hàm số: y x3 3x
(C) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(-1; 2) tới đồ thị (C)
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(-1; 2) có dạng: y = k(x +1) + 2 (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
) 2 ( 3
3
) 1 ( 2 ) 1 ( 3
2
3
k
x
x k
x
x
có nghiệm
Thế k từ (2) vào (1) ta đợc: 2 3 3 2 1 0
x x
( 1 ) 2 ( 2 1 ) 0
2 1
1
x
x
+) Với x = -1 suy ra k = 0 Pttt là: y = 2
+) Với x =
4
9 2
k Pttt là:
4
1 4
9
Bài tập 1:
Cho hàm số y 3x 4x3 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3)
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(1; 3) có dạng: y = k( x -1) +3 (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
k x
x k x
x
2
3
12
3
3 ) 1 ( 4
3
2 3
0 0
12
8
3 12
12 3 3 4
3
3 ) 1 )(
12 3 ( 4
3
2 3
2 3
3
2 3
x
x x
x
x x
x x
x
x x x
x
+) x 0 k 3 Pttt là: y = 3(x- 1) + 3 hay y = 3x
2
3 ( 12 3 2
x Pttt là: y = -24(x - 1) + 3 hay y = -24x + 27
Kết luận: vậy có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 3) là:
y = 3x và y = -24x + 27
Bài tập 2: (ĐH Cần Thơ D - 1998).
Cho hàm số yx3 3x2 2 (C) Viết pttt của (C) đi qua A(-1; -2)
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(-1; -2) có dạng : y = k(x + 1) - 2 (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
k x
x
x k x
x
6
3
2 ) 1 ( 2 3
2
2
3
có nghiệm
Trang 8
2
1 0
) 2 ( ) 1 ( 0 2
3
x
x x
x x
x
+) Với x = -1 k 9 Pttt là: y = 9x + 7
+) Với x = 2 k 0 Pttt là: y = -2
Bài tập 3: (ĐH Dợc A- 1999).
Cho hàm số: ( ).
1
1
2
C x
x x y
CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) và vuông góc với nhau
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng:
y = k(x -1) (d)
Ta có:
1
1
2
x
x x
y
1
1 1
x
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
) 2 ( )
1 (
1 1
) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 )
(
2 k x
x k x
x
Từ (2) ( 1 ) ( 3 )
1
1
x x
Lấy (1) – (3) ta đợc: k
x1 1
Do đó
k x
k x
I
2
) 1 ( 1 1 1 1 )
( Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi
) 2 ) 2 0 0
1
2 2
2
m t k m t k k
k
k
Vì k1k2 = -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau
Bài tập 4: Cho hàm số: 2 2
) 2 ( x
y (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4)
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A( 0 ; 4 )có dạng: y kx 4 (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
k x
x
kx x
x
8
4
4 4
4
3
2
4
có nghiệm
Suy ra x4 4x2 4 4x3 8xx 4
3 2 3 2 0 0
) 4 3 ( 2 2
x x
x x
x
+) Với x = 0 k 0 Pttt là : y = 4
+) Với
9
3 16 3
9
3 16
+) Với
9
3 16 3
2
9
3 16
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến qua A(0; 4) đến đồ thị (C)
8
Trang 9Bài tập 5:
Cho hàm số:
1
2
x
x
y (C) và điểm A(0; a) Xác định a để từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến
đến (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía so với trục Ox
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
k x
a kx
x
x
2
)
1
(
3
1
2
có nghiệm
(*) 0 2 )
2 ( 2 ) 1 ( )
1 (
3 1
x
x
x
( x = 1 không là nghiệm)
Qua A kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
(**) 2 1 0
)
2
(
3
1
0
'
0
1
a
a
a
a
a
Gọi x1; x2 là các tiếp điểm Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên y(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 là các nghiệm của phơng trình (*))
1 ) (
4 ) (
2 0
1
2
1
2
2 1 2 1
2 1 2 1 2
2
1
1
x x x x
x x x x x
x
x
x
Theo định lí viet ta có:
t a
a x x
t a
a x
x
1 2
2 1 ) 2 ( 2
2 1
2 1
5
4
1 0
1
4 5 0 1
2
4
4
t
t t
t t
t
t
t
1
3 1 1
2
a a
a
3
2 0 ) 1 ( 5
6 9 5
4 1
2 5
4
a
a a
a
Vậy,
1 3
2
1
a
a
thì yêu cầu bài toán đợc thoả mãn
Bài tập 6:
2
3 3 2
C x
x
y Viết pttt của (C) đi qua ).
2
3
; 0 (
A
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua )
2
3
; 0 (
2
3
d kx
y
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
k x
x
kx x
x
6
2
2
3 2
3 3
2
1
3
2
4
có nghiệm
Suy ra
2 2
0 0
6
x x
x x
x
+) Với x = 0 k 0 Pttt là: .
2
3
y
+) Với x 2 k 2 2 Pttt là: .
2
3 2
y
Trang 10+) Với x= - 2 k 2 2 Pttt là: y =
2
3 2
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ )
2
3
; 0 (
A đến đến thị (C)
* Lời bình: Đối với bài toán này học sinh thờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua
và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C) Vì vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau rõ rệt.
Bài tập 7: (ĐH Ngoại thơng A - 2000).
Cho hàm số 3 6 2 9 1
y (C) Từ một điểm bất kì trên đờng thẳng x = 2 có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Giải
Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đờng thẳng x = 2.Phơng trình đờng thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) +b (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
k x
x
b x
k x
x
x
9 12
3
) 2 ( 1 9 6
2
2
3
(*) 17 24 12
2
) 2 )(
9 12 3
( 1 9 6
2 3
2 2
3
x x
x
b
b x
x x x
x
x
Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của phơng trình (*)
Xét hàm số 2 3 12 2 24 17
y
Tập xác định: D = R
R x x
x x
y' 6 2 24 24 6 ( 2 ) 2 0 Do đó hàm số đồng biến
Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đờng thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :
17 24 12
2 3 2
y tại duy nhất một điểm hay phơng trình (*) có duy nhất một nghiệm
Vậy, từ một điểm nằm trên đờng thẳng x = 2 kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến đến
đồ thị (C)
Bài tập 8: (ĐH Nông nghiệp I A- 1999).
Cho hàm số
1
x
x
y (C) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm
số CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I
Giải:
Ta có tiệm cận đứng x = -1
Tiệm cận ngang y = 1 Do đó toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là: I(-1; 1) Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2 1 1 1 1 )1 ( (
1
1
)1
(
1
1
)1
(
1
2 2
x x x x x x
x
x
k
x
x
x
x
(vô nghiệm) (điều phải chứng minh)
Bài tập 9:
Cho hàm số
1
1
2
x
x x
y (C) Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Giải:
10