HƯỚNG dẫn học SINH một số PHƯƠNG PHÁP tìm NHANH đáp án bài TOÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN TIẾP TUYẾN của đồ THỊ hàm số

Một số phương pháp tìm đáp án bài toán trắc nghiệm về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đưa ra lựa chọn đúng 2.4.. Phương trình tiếp tuyến và các bài toán liên quan đến tiếp t

Trang 1

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài

1.2. Mục đích nghiên cứu

1.3. Đối tượng nghiên cứu

1.4. Phương pháp nghiên cứu

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3. Một số phương pháp tìm đáp án bài toán trắc nghiệm về phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đưa ra lựa chọn đúng

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

II KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận

3.2. Kiến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 2 2 3 3

3 5 5 14

14 15 16

Trang 2

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Cách thức thi THPT QG trong năm nay đã có một bước ngoặt mới đó là thi TRẮC NGHIỆM toàn phần Chia sẻ với báo Thanh niên GS Vũ Hà Văn (ĐH Yale, Mỹ) cho biết: “thi trắc nghiệm đòi hỏi ở thí sinh một số kỹ năng mới, trong đó kỹ năng loại bỏ những lời giải trông quá vô lý cũng quan trọng, vì khi bài toán quá khó, thí sinh phải đoán thì ít nhất cũng tăng được khả năng đoán trúng một cách đáng kể Các kỹ năng này trong cuộc sống quan trọng không kém kỹ năng giải được bài toán một cách trọn vẹn Thi trắc nghiệm rất thông dụng ở Mỹ, chẳng những trong những cuộc thi đại trà như SAT, mà cả trong rất nhiều cuộc thi cho học sinh năng khiếu” Còn GS Hà Huy Khoái (nguyên Viện trưởng Viện Toán học, Viện Hàn lâm khoa học và công nghệ VN), chia sẻ:

“Trắc nghiệm có cái lý của nó Ra đời, người ta thường cần khả năng quyết định nhanh, và gần đúng, hơn là tính rất đúng nhưng quá muộn Tức là cần khả năng

“chọn phương án nhanh” theo kiểu trắc nghiệm”[3]

Một cái hay của thi trắc nghiệm đó là chúng ta đã có các phương án và chỉ cần chỉ ra được phương án đúng Tuy nhiên thời lượng tìm ra phương án lựa chọn cho một bài toán lại rất ngắn Do đó, học sinh cần phải được cung cấp nhiều hơn các kĩ năng tìm được đáp án đúng trong thời gian ngắn nhất

Phương trình tiếp tuyến và các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng, thường xuyên có mặt trong các

kì thi toán THPT Các dạng bài toán về tiếp tuyến rất đa dạng và phong phú, đầy

đủ cấp độ nhận thức nên đây là một thách thức, khó khăn đối với học sinh Vì vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhiều phương pháp giải hơn để tìm đáp

án đúng của các dạng bài toán này một cách nhanh nhất có thể

Với những lí do đó, bản thân tôi qua thực tiễn giảng dạy môn toán, dự giờ các đồng nghiệp, tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu, tích lũy đã rút ra được kinh

nghiệm: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm nhanh đáp án bài toán trắc nghiệm phần tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu trong SKKN này là rèn năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho học THPT theo định hướng thi trắc nghiệm thông qua nhiều phương án giải quyết các bài toán cụ thể để lựa chọn ra đáp án đúng nhanh nhất

Góp phần nghiên cứu một cách có hệ thống, làm rõ hơn các bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Giúp học sinh có thêm cách giải khác cho nhiều bài tập về tiếp tuyến của

đồ thị hàm số, từ đó lựa chọn cách làm phù hợp với nhận thức của mình

Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho công tác giảng dạy, ôn luyện

Trang 3

THPT QG.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số dạng bài toán về tiếp tuyến thường gặp và cách giải của nó

Các phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm của bài toán tiếp tuyến:

- Lời giải tự luận

- Lựa chọn đáp án trắc nghiệm bằng phép thử

- Lời giải tự luận kết hợp máy tính Casio fx 570 – ES

- Lựa chọn đáp án bằng phép đánh giá

Sự khác biệt cơ bản giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm

Tính hiệu quả về mặt thời gian của các phương pháp được áp dụng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết:

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, lý luận dạy học môn toán

- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài

 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua các tiết giảng dạy và kết quả các bài khảo sát, kiểm tra đánh giá năng lực học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Kiến thức cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số [1]

Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm

Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2.1.2 Các bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải tự luận Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó hãy:

 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại một điểm ?

Phương pháp giải tự luận:

 Tính

 Tính hệ số góc của tiếp tuyến

Trang 4

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là:

Phương pháp tìm đáp án kết hợp máy tính Casio fx 570 – ES [5].

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:

- Tìm A: Nhập

- Tìm B: Nhập và bấm CALC với ta được B

 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc cho trước?

Phương pháp giải tự luận 1:

 Tính f ('x)

 Gọi tại đó tiếp tuyến có hệ số góc

 là nghiệm phương trình Thay vào hàm số 

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:

Đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Khi đó, nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm [2]

 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm

cho trước?

 Gọi là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc và đi qua Gọi

tại đó tiếp tuyến có hệ số góc  có phương trình:

 Hoành độ tiếp điểm x o và hệ số góc của tiếp tuyến là nghiệm của hệ

phương trình:

 Giải hệ phương trình tìm , thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến

 Giả sử có tiếp tuyến đi qua , tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm

Trang 5

 Vì (2)

 Giải phương trình (2) tìm

 Viết phương trình tiếp tuyến dạng:

2.1.3 Một số dạng toán điển hình liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 Tìm hoành độ (hoặc tung độ hoặc tọa độ) tiếp điểm của tiếp tuyến

 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến

 Lập phương tình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

 Lập phương tình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

 Lập phương tình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

 Tìm điểm kẻ được tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khảo sát thực tế cho thấy đa số học sinh rất lúng túng trong quá trình giải các bài toán tiếp tuyến vì các dạng bài toán này là đa dạng và phong phú về cách hỏi, học sinh chưa biết phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức một cách thích hợp

 Các em còn chưa vững về kiến thức tiếp tuyến, sự phân biệt giữa tiếp tuyến tại một điểm hay đi qua một điểm đôi khi còn nhầm lẫn, hay các cách hỏi khác nhau của cùng bản chất một bài toán cũng đã làm các em bối rối

Thời lượng mà phân phối chương trình dành cho tiếp tuyến là rất ít, các bài toán trong SGK thì thường đơn hơn nhiều so với sự đa dạng của các bài toán trong đề thi thực tế; học sinh còn mất nhiều thời lượng để tìm ra đáp án đúng cho một bài toán, không đủ thời gian để hoàn thành bài thi

2.3 Một số phương pháp tìm đáp án bài toán trắc nghiệm về phương trình

tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đưa ra lựa chọn đúng

tuyến với (C) tại điểm

Đáp án trắc nghiệm C.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là:

Do đó, đáp án cần lựa chọn là C

Trang 6

 Lựa chọn đáp án bằng đánh giá kết hợp sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES

 Với đường thẳng trong đáp án A, ta thấy đường thẳng không đi qua , nên đáp án A bị loại

 Với đường thẳng trong đáp án B, ta thấy đường thẳng đi qua , nhưng sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES kiểm tra phương trình hoành độ giao

nên đáp án B bị loại

 Với đường thẳng trong đáp án C, ta thấy đường thẳng đi qua , và

sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm

có nghiệm bội

 Nhận xét:

 Trong giải tự luận chúng ta không nên sử dụng phương pháp nghiệm bội cho tiếp tuyến vì gây tranh cãi trong trường hợp tiếp tuyến tại điểm uốn và một

số hàm đặc biệt khác, tuy nhiên trong thi trắc nghiệm, việc kiểm tra đáp án bằng phương pháp nghiệm bội cũng rất hiệu quả

 Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn lại và làm tương tự như trên

Bài 2.Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ

Đáp án trắc nghiệm D.

 Lời giải tự luận: Ta có:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là:

Do đó, đáp án cần lựa chọn là D

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng là:

+ Tìm A: Nhập

+ Tìm B:

Trang 7

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là:

 Nhận xét: Việc sử dụng máy tính Casio fx 570 – ES còn rất hiệu quả trong

những bài mà hàm số phức tạp

Chẳng hạn: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hàng độ

Vậy nên phương tình tiếp tuyến là:

Bài 3.Cho hàm số: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có

tung độ bằng ? [1]

Đáp án trắc nghiệm B.

 Lời giải tự luận

Ta có Gọi là hoành độ tiếp điểm  ta có

Với

 Phương trình tiếp tuyến tại là:

 Lời giải tự luận kết hợp phép thử

 Với đường thẳng trong đáp án A, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm bội nên đáp án A bị loại

 Với đường thẳng trong đáp án B, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm bội Mặt khác khi đó ta được điểm thỏa mãn cả phương trình hàm

số và đường thẳng

Qua ví dụ trên cho thấy, một số dạng bài toán làm tự luận thuần túy cũng tương đối nhanh gọn Tuy nhiên, nếu học sinh nắm vững được kiến thức về tiếp tuyến và các tính chất của tiếp điểm thì có thể kiểm tra bằng phép thử cũng sẽ là một giải pháp tốt

Trang 8

Bài 4. Cho hàm số có đồ thị là (C) Tiếp tuyến của (C) có hệ số

góc bằng 2 có phương trình là:

Ta có Gọi tọa độ tiếp điểm là

Khi đó:

 Phương trình tiếp tuyến là:

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử

 Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 nên đáp án B và C bị loại

 Với đường thẳng trong A xét phương trình hoành độ giao điểm:

, không có nghiệm kép không phải là phương trình tiếp tuyến  Đáp án A bị loại

Trong một số bài toán, để tăng mức độ kiến thức người ta thường phát

biểu dưới dạng “Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước hoặc có hệ số góc thỏa mãn điều kiên

K nào đó (ví dụ hợp với chiều dương của trục hoành một góc )”

Cụ thể, nếu hai đường thẳng , có hệ số góc lần lượt là và Khi đó:



 cắt

 hợp với một góc thì

đường thẳng tiếp xúc với tại hai điểm Phương trình đường thẳng là gì? [4]

Trang 9

Ta có Giả sử là tiếp điểm, khi đó:

Khi đó, phương trình đường thẳng được cho bởi:

 Lời giải tự luận kết hợp phép thử

Ta nhận thấy chỉ có phương trình trong C là thỏa mãn tọa độ hai điểm

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá

Nhận xét, đường thẳng phải đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số

Suy ra tọa độ điểm uốn là

Nhận thấy, tọa độ chỉ thỏa mãn phương trình trong C.

 Nhận xét: Như vậy đối với dạng bài toán này chúng ta có tới 3 phương án

tìm đáp án đúng

 Ta đi tìm tọa độ các tiếp điểm và lập phương trình đường thẳng đi hai điểm đó

 Ta đi tìm tọa độ các tiếp điểm và kết hợp với phép thử để tìm ra đáp án đúng

 Ta dùng tính chất của hàm đa thức bậc ba “ Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng” Khi đó giả sử các tiếp điểm là thì điểm là trung điểm của đoạn nên chúng ta chỉ cần tìm ra tọa độ và dùng phép thử

B

Trang 10

Bài 6. Cho hàm số Hai tiếp tuyến của song song với đường thẳng tiếp xúc với tại hai điểm Tọa độ trung điểm của

là gì? [4]

và Tọa độ trung điểm

Do tiếp tuyến tại hai điểm là song song với nhau nên hai điểm phải đối xứng qua tâm đối xứng của đồ thị hàm số Vậy trung điểm của là

 Nhận xét: Việc nắm được tính chất của đồ thị hàm số là rất quan trọng (đồ

thị của hàm bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng ), cho

phép ta đưa ra lựa chọn đáp án đúng một cách hết sức nhanh chóng

Bài 7.Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với đồ thị hàm

Đáp án trắc nghiệm A.

 Lời giải tự luận 1

Đường thẳng đi qua có phương trình Do tiếp xúc với đồ thị hàm số nên hệ phương trình sau có nghiệm:

vô nghiệm

Trang 11

Vậy qua không kẻ được đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số.

Ta có Gọi tọa độ tiếp điểm là Khi đó:

Để đi qua thì điều kiện cần là: , vô

nghiệm

Vậy nên qua không kẻ được đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số

Do đó, đáp án cần lựa chọn là A

Vì điểm nằm trong Parabol (vì xét dấu ) nên qua không kẻ được tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số

Do đó, đáp án cần lựa chọn là A

 Nhận xét: Với Parabol thì:

 Nếu điểm nằm trong sẽ không kẻ được tiếp tuyến tới

 Nếu điểm nằm trên sẽ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới

 Nếu điểm nằm ngoài sẽ kẻ được hai tiếp tuyến tới

Bài 8 Cho đồ thị (C): , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm

Hệ số góc của tiếp tuyến là

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là :

qua nên ta có:

Trang 12

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:

Đường thẳng đi qua có phương trình

Do tiếp xúc với đồ thị hàm số nên hệ sau có nghiệm:

Với , ta được tiếp tuyến có phương trình

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử

 Trong đáp án A, đường thẳng không đi qua nên đáp

án A bị loại

 Trong đáp án B, hai đường thẳng là song song nên không thể cùng đi qua một điểm nên đáp án B bị loại

 Trong đáp án C, cả hai đường thẳng cùng đi qua điểm

Tuy nhiên xét phương trình hoành độ giao điểm:

, không có nghiệm bội không phải là phương trình tiếp tuyến nên đáp án C bị loại

Bài 9 Cho đồ thị Hai tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm

tiếp xúc với tại hai điểm Phương trình đường thẳng là gì? [4]

Đáp án trắc nghiệm B.

 Lời giải tự luận 1: Ta có: Gọi là tiếp điểm

Hệ số góc của tiếp tuyến là

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là :

qua nên ta có:

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	740 KB