Phân tích những sai lầm của học sinh khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hướng khắc phục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - HƯỚNG KHẮC PHỤC Người thực hiện: Tào Thị Thúy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2017 Mục lục Trang Mở đầu 02 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiên kinh nghiệm 2.3 Biện pháp thực nghiên cứu thực tế đề tài 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 03 03 03 04 04 04 05 06 19 20 20 21 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng Là công cụ quan trọng để giải hầu hết toán đề thi tốt nghiệp tốt trung học phổ thông quốc gia Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến khảo sát hàm số Trong trình giảng dạy nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn giải toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục hướng dẫn người thầy Chẳng hạn, với tập Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau đạt cực đại x = f ( x) = x − mx + ( m − m + 1) x + Đa số em giải thường mắc sai lầm sau: +) Tập xác định: D = R 2 +) Ta có: f ′ ( x ) = x − 2mx + m − m + f ′′ ( x ) = x − 2m +)Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là:  f ′ ( 1) = ⇔   f ′′ ( 1) < m − 3m + = ⇒m=2   − 2m < +) Vậy để hàm số đạt cực đại x = m =  f ′ ( 1) = Sai lầm :  f ′′ < hàm số đạt cực đại x = Điều  ( ) ngược lại nói chung không Vì kết luận chưa hẳn xác Đây sai lầm số nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải học chương ứng dụng đạo để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, việc khắc phục sai lầm kỳ ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia hàng năm diễn nhiều thời gian Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số mà không mắc phải sai lầm đáng tiếc, chọn đề tài "PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HƯỚNG KHẮC PHỤC" với hy vọng giúp em học sinh học tập tốt giáo viên dạy môn toán có kinh nghiệm bổ ích 1.2 Mục đích nghiên cứu - Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề tự khắc phục sai sót trình vân dụng kiến thức đạo hàm đẻ giải toán liên quan đến kiến thức đạo hàm - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận đề tài Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 – Ban bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số: - Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K với x 1, x2 thuộc K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) - Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K với x 1, x2 thuộc K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 2.1.2 Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến: - Nếu f(x) g(x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f(x) + g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung không với hiệu f(x) - g(x) - Nếu f(x) g(x) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f(x)g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung không với tích f(x)g(x) f(x) g(x) hai hàm số không dương D 2.1.3 Công thức tính đạo hàm: Hàm số hợp y = uα có đạo hàm y ' = α.uα−1.u' (*) - Công thức (*) với số mũ α số - Nếu α không nguyên công thức (*) u nhận giá trị dương 2.1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số dựa định lí sau: - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a Nếu f '(x) > với ∀x∈ K hàm số f(x) đồng biến K b Nếu f '(x) < với ∀x∈ K hàm số f(x) nghịch biến K c Nếu f '(x) = với ∀x∈ K hàm số f(x) không đổi K  Quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ điều kiện cần 2.1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí sau: - Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \ { x0} , với h > a Nếu f '(x) > khoảng (x0 − h; x0) f '(x) < khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b Nếu f '(x) < khoảng (x0 − h; x0) f '(x) > khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) - Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng (x0 − h;x0 + h) , với h > Khi đó: a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < x0 điểm cực đại  Quy tắc để tìm điểm cực trị hàm số điều kiện đủ điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung không 2.1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D: f(x) ≥ m , ∀x∈ D  f(x) ≤ M , ∀x∈ D M = max f(x) ⇔  , D ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = M m= f(x) ⇔  D  Nếu f(x) ≥ m , ∀x∈ D (hay f(x) ≤ M , ∀x∈ D ) không ∃x0 ∈ D : f(x0) = m (hay ∃x0 ∈ D : f(x0) = M ) dấu "=" không xảy Khi đó, không tồn giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D  Khi tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) cần chuyển đổi điều kiện để toán tương đương 2.1.7 Về phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x): - Tiếp tuyến điểm M 0(x0;y0) ∈ (C) có phương trình: y = f '(x 0).(x - x0) + y0 - Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, qua điểm M 1(x1;y1) có phương trình:  f(x) = k(x− x1) + y1 y = k.(x - x1) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ:   f '(x) = k (*,*)  Nếu điểm M1(x1;y1) nói thuộc (C) hệ số góc k thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến nhiều tiếp tuyến 2.2 Thực trạng đề tài 2.2.1 Thực trạng Trong thực tế, học sinh học chương I “Ứng dụng để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, không hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho 2.2.2 Kết thực trạng Khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm sau: - Sai lầm toán xét tính đơn điệu hàm số, không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số hay không ý tới điểm tới hạn hàm số, điểm làm cho hàm số không xác định - Sai lầm toán chứng minh bất đẳng thức, không nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến - Sai lầm việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực - Sai lầm việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (a;b) - Sai lầm việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi toán không tương đương - Sai lầm việc giải toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số Từ nội dung trên, để khắc phục sai lầm mà học sinh hay mắc phải, mạnh dạn cải tiến nội dung ,phương pháp phù hợp 2.3 Biện pháp thực nghiên cứu thực tế đề tài 2.3.1 Biện pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: -Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt + Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí + Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí + So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng + Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải - Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp + Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, + Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề + Phương pháp: phương pháp giải toán - Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) + Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế + Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh + Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng - Đổi việc kiểm tra, đánh giá + Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá + Giáo viên đánh giá học sinh + Học sinh đánh giá học sinh - Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai làm thường mắc phải giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập - Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng1 đồ thị hàm số - toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập 2.3.2 Nghiên cứu thực tế * Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số  Các em thường mắc phải sai lầm không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu hàm số f ( x ) = x −1 x +1 Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: +) Ta có: f ′ ( x ) = x + > 0, ∀x ∈ D ( ) +) Bảng biến thiên: +) Hàm số đồng biến ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) Phân tích: Lời giải rồi, ta không ý đến kết luận toán Chú ý rằng: hàm số y = f ( x ) đồng biến tập D với x1 , x2 ∈ D ta có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Trong kết luận toán, ta lấy x1 = −2 ∈ D x2 = ∈ D x1 < x2 f ( x1 ) = f ( x2 ) = Lời giải đúng: Qua phân tích ta thấy để có lời giải ta phải kết luận: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ )  Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Xét tính đơn điệu hàm số f ( x ) = x − + − x Ví dụ minh họa 2: Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: D = [ −2; 2] +) Ta có: f ′ ( x ) = − x − x2 Cho f ′ ( x ) = ⇔ − x 4− x = ⇔ − x2 = x ⇔ − x2 = x2 ⇒ x = ± +) Bảng biến thiên +) Hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng (- 2; - 2) ( 2; 2) Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý giá trị hàm số giảm từ -3 xuống - ??? Thực - điểm tới hạn hàm số Mặt khác , đạo hàm không xác định x = ±2 Lời giải là: +) Tập xác định: D = [ −2; 2] +) Ta có: f ′ ( x ) = − x − x2 Đạo hàm không xác định x = ±2 Cho f ′ ( x ) = ⇔ −  x≥0 = ⇔ − x2 = x ⇔  ⇒x= 2 − x2 4 − x = x x +) Bảng biến thiên +) Hàm số đồng biến nửa khoảng  −2; ) nghịch biến nửa khoảng ( 2;  Bài tập tương tự Xét tính đơn điệu hàm số sau * Sai lầm chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm không nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban π   bản) Chứng minh rằng: tan x > x , với x ∈  0; ÷  2 Một số học sinh trình bày sau: π   +) Xét hàm số f ( x ) = tan x − x , với x ∈  0; ÷  2 +) Ta có: f ′ ( x ) = π  π − = tan x > 0, ∀x ∈  0; ÷, suy hàm số f ( x ) đồng biến cos x  2   khoảng  0; ÷    π +) Từ x > ⇒ f ( x ) > f ( ) hay tan x − x > ⇔ tan x > x, ∀x ∈  0; ÷  2 Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi (?!) Sau  π kết luận f ( x ) đồng biến khoảng  0; ÷ từ x > ⇒ f ( x ) > f ( ) ?    π Sai lầm ∉  0; ÷  2 Nhớ rằng: f ( x ) đồng biến đoạn [ a; b ] (tức f ( x ) liên tục [ a; b ] f ′ ( x ) >, ∀x ∈ ( a; b ) ) ∀x1 , x2 ∈ [ a; b ] : x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Lời giải là: π   +) Xét hàm số f ( x ) = tan x − x , với x ∈ 0; ÷  2 +) Ta có: f ′ ( x ) =  π − = tan x ≥ 0, ∀x ∈ 0; ÷ , dấu “=” sảy x = cos x  2  π suy hàm số f ( x ) đồng biến khoảng 0; ÷    π +) Khi ∀x ∈  0; ÷ x > ⇒ f ( x ) > f ( ) hay tan x − x > ⇔ tan x > x  2  Các em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Ví dụ minh họa 4: Chứng minh với ∀x ∈ ¡ , x > −1 x.e x > − e Một số học sinh trình bày sau: x Xét hàm số f ( x ) = x g ( x ) = e hàm đồng biến Suy hàm số h ( x ) = xe x tích hai hàm đồng biến nên đồng biến x > −1 ⇒ h ( x ) > h ( −1) hay xe x > − e Vì , từ Phân tích: Lời giải sai lầm chỗ: tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương (!) Lời giải là: x +) Xét hàm số f ( x ) = xe [ −1; +∞ ) 10 x x x +) Ta có f ′ ( x ) = e + xe = ( + x ) e ≥ 0, ∀x ∈ [ −1; +∞ ) , dấu "=" xảy x = −1 Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng [ −1; +∞ ) +) Từ x > −1 ⇒ f ( x ) > f ( −1) hay x.e x > − e Bài tập tương tự Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a với b với với c với d e Bài Chứng minh với a với b với c với d với * Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng công thức tính đạo hàm Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) x Ví dụ minh họa 5: Một số học sinh trình bày sau: Ta có f ′ ( x ) = x ( x + 1) x −1 ( x + 1) ′ = x ( x + 1) x −1 Phân tích: Lời giải vận dụng công thức ( uα ) ′ = α uα −1u ′ Vận dụng sai, công thức áp dụng cho số mũ α số Lời giải là:  x > − f ( x ) > +) Điều kiện:   x ≠ +) Ta có f ( x ) = ( x + 1) ⇔ ln f ( x ) = x ln ( x + 1) x 11 f ′( x) 2x ′ ′ +) Do ln f ( x )  =  x ln ( x + 1)  ⇔ f x = ln ( x + 1) + x + ( ) ⇔ f ′ ( x ) = ( x + 1) ln ( x + 1) + x ( x + 1) x x −1  Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức ( uα ) ′ = α uα −1u ′ , , quên α không nguyên công thức u nhận giá trị dương Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số y = f ( x ) = x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hoành độ x = −1 Một số học sinh trình bày sau: +) Với x = −1 y = f ( −1) = ( −1) = 2 +) Ta có f ( x ) = x = x ⇒ f ′ ( x ) = x − 2 +) Hệ số góc tiếp tuyến k = f ′ ( −1) = ( −1) − = ( −1)  = 3 − 3 +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − = ( x + 1) hay y = x + Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên số phải dương Vì vậy, viết f ( x ) = x = x ( −1) − không Lời giải là: +) Với x = −1 y = f ( −1) = ( −1) = 2 +) Ta có f ( x ) = x ⇔  f ( x )  = x ⇔  f ( x )  f ′ ( x ) = x ⇔ f ′ ( x ) = 2x 3 x4 = 33 x 2 =− 3 −1 2 +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − = − ( x + 1) hay y = − x + 3 +) Hệ số góc tiếp tuyến k = f ′ ( −1) = Bài tập tương tự Tính đạo hàm hàm số sau tập xác định 12 * Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( a; b )  f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số nghịch biến khoảng ( a; b ) Điều ngược lại nói chung không Ví dụ minh họa 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số f ( x ) = x3 − mx + x − đồng biến R Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: D=R +) Ta có : f ′ ( x ) = 3x − 2mx + +) Hàm số đồng biến Phân tích: Chẳng hạn, hàm số hay f ( x ) = x3 đồng biến , , dấu "=" xảy x = Nhớ rằng: hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) , f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng ( a; b ) hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) Lời giải là: +) Tập xác định: +) Ta có : f ′ ( x ) = 3x − 2mx + +) Hàm số đồng biến  3>0 hay m − ≤  ⇒− 3≤m≤  Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  f ′ ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực tiểu   ′′  f ( x0 ) > 13  f ′ ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực đại   ′′  f ( x0 ) < Điều ngược lại nói chung không (!) Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f ( x ) = mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx f ′′ ( x ) = 12mx  f ′ ( ) =  4m.0 = +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là:  f ′′ < ⇔ 12m.0 < hệ vô  ( )  nghiệm +) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Phân tích: Chẳng hạn, với m = −1 , hàm số có dạng y = f ( x ) = − x Ta có: y′ = f ′ ( x ) = −4 x = ⇔ x = Bảng biến thiên: Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy lời giải sai đâu ?  f ′ ( x0 ) = Nhớ rằng, x0 thỏa mãn  f ′′ x < ⇒ x0 điểm cực đại hàm số,  ( ) điều ngược lại chưa (!) Vì x0 điểm cực đại f ′′ ( x0 ) = Lí điều kiện f ′′ ( x0 ) < điều kiện đủ để hàm số g ( x ) = f ′ ( x ) nghịch biến lân cận ( x0 − h; x0 + h ) , h > , đó:   f ′ ( x ) > f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 − h; x0 ) ⇒ x0 điểm cực đại hàm số  ′ ′ f x < f x = 0, ∀ x ∈ x ; x + h ( ) ( ) ( )  0  Lời giải là: +) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx +) Nếu m = f ′ ( x ) = Khi hàm số cho hàm y = f ( x ) = nên không cực trị 14 +) Nếu m ≠ f ′ ( x ) = 4mx = ⇔ x =  Với m > ta có bảng biến thiên:  Với m < ta có bảng biến thiên: +) Vậy với m < hàm số đạt cực đại x = Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f ( x ) = x + mx + Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: 2 +) Ta có: f ′ ( x ) = x + 3mx f ′ ( x ) = 12 x + 6mx   4.03 + 3m.02 =  f ′ ( 0) = +) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là:  f ′′ > ⇔  hệ  ( ) 12.0 + 6m.0 >  vô nghiệm m +) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Phân tích: Chẳng hạn , với m = , hàm số có dạng y = f ( x ) = x + Ta có f ′ ( x ) = x = ⇔ x = Bảng biến thiên: 15 Suy hàm số đạt cực tiểu x = Lời giải là: +) Tập xác định: 2 +) Ta có: f ′ ( x ) = x + 3mx = x ( x + 3m )  x=0 ′ +) Cho f ( x ) = ⇔ x ( x + 3m ) = ⇔  3m x = nghiệm bội bậc x=−  chẵn  Nếu m = x = trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến thiên:  Với m < < − 3m nên ta có bảng biến thiên:  Với m > > − 3m nên ta có bảng biến thiên: 16 +) Vậy với m = hàm số đạt cực tiểu x = Bài tập tương tự đồng biến Bài Tìm m để hàm số: Bài Tìm m để hàm số: nghịch biến Bài Cho hàm số: y=x4+mx Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x=0 Bài Cho hàm số: y=x 3-3mx2+3(m2-1)x-(m2-1) Tìm m để hàm số đạt cực đại x=1 Bài Tìm m để đạt cực tiểu x=2 Bài Tìm m để cực trị * Sai lầm giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = cos x + 1   +  cos x + ÷− cos x cos x   Một số học sinh trình bày sau: +) Đặt cos x + 1 = t ⇒ cos x + = t2 − cos x cos x +) Ta hàm số: = −1 +) Vậy g ( t ) = −4 t = −1 hay f ( x ) = −4 cos x + cos x Phân tích: Sai lầm chuyển toán không tương đương Giá trị nhỏ hàm f ( x ) không trùng với giá trị nhỏ hàm = −1 Có thể thấy t = −1 không tồn giá trị x để cos x +  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D cos x  f ( x) ⇔  Nhớ rằng, số m = D  ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m Lời giải là: 17 +) Đặt cos x + π  = t với x ∈ D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  cos x 2  +) Ta có t = cos x + cos x + 1 = = cos x + ≥ cos x cos x cos x Dấu "=" xảy cos x =  +) Mặt khác  cos x +   2 = t2 − ÷ = t ⇒ cos x + cos x  cos x +) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số g ( t ) = t + 2t − với t ≥ +) Ta có g ′ ( t ) = 2t + = ⇔ t = −1 +) Bảng biến thiên: +) Vậy g ( t ) = −3 t = −2 hay f ( x ) = −3 cos x + = −2 cos x Bài tập tương tự Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: * Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f ( x ) = − x + 3x , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A ( −1; ) Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: f ′ ( x ) = −3x + x +) Vì điểm A ( −1; ) ∈ ( C ) nên suy phương 18 trình tiếp tuyến là: y − = f ′ ( −1) ( x + 1) hay y = −9 x − Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y = −9 x − tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: +) Phương trình đường thẳng ( d ) qua điểm A ( −1; ) có hệ số góc k là: y = k ( x + 1) + +) Điều kiện để đường thẳng ( d ) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: − x + x = k ( x + 1) +  −3 x + x = k  x =  x = −1  k = k = −9 +) Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = y = −9 x − +) Giải hệ phương pháp ta :  Bài tập tương tự Bài Cho hàm số y = ( x + 1) ( − x ) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M ( 2;0 ) Bài Cho hàm số , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A(3;0) Bài Có tiếp tuyến qua A(-2;5) đến đồ thị (C): 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Đề tài nghiên cứu từ nhiều năm trước dạy thí điểm lớp12A5, 12A7 năm học 4.1 Các tập khảo sát: Câu 1:Hàm số y=x4-2x2+1 đồng biến khoảng nào: A (-1;0) B (-1;0) (1; ) C (1; ) D ( ) (0;1) Câu Các khoảng nghịch biến hám số A Câu Hàm số B C là: D đồng biến khoảng nào? 19 B A C D Câu Hàm số là: A m=1 nghịch biến R điều kiện m B C Câu Phương trình D (m tham số) có nghiệm khi: A B C D Câu Cho hàm số y=x +4x -3x+7đạt cực tiểu xCT Kết luận sau đúng? B A C D Câu Cho hàm số sau A đạt cực đại xCĐ Kết luận B C D Câu Giá trị lớn hàm số y = x + − x bằng: A B C - D Câu Cho hàm số (C) Số phương trình tiếp tuyến (C) qua A(-1;-4) là: A B C D Câu 10 Đạo hàm hàm số là: A B C D 4.2 Kết khảo sát : Tổng số học Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 50 10 20% 31 62% 8% 4% 47 10 21% 18 38% 18 38% 4% 7,9% 11 21% 31 58% 13,1% sinh Thực nghiệm 12A5 Thực nghiệm 12A7 Đối 53 20 chứng 12A6 Qua bảng ta thấy kết lớp dạy thực nghiệm cao nhiều so với lớp không áp dụng cách dạy theo nghiên cứu Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đạt trình thực nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải toán cho riêng ; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm toán Từ thấy lôgic toán học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ quan trọng để giải nhiều toán ; nữa, toán giải công cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp Ở cấp độ trường trung học phổ thông, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy học; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước toán đặt không mắc phải sai lầm thường gặp 3.2 Kiến nghị ,đề xuất : Trong khuôn khổ viết này, tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh không tránh khỏi sai sót mà chưa phát Vì vậy, mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô, đồng nghiệp bạn bè Đề nghị tổ nhà trường tạo điều kiện để sang năm phát triển đề tài qui mô rộng đầy đủ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thạch Thành, ngày 20 tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác 21 Tào Thị Thúy Tài liệu tham khảo: Giải tích 12 (sách giáo khoa) – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) – NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2014 Giải tích 12 nâng cao – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) – NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 Sai lầm phổ biến giải toán – Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Quang – NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2008 Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán chuyên đề hàm số - Trần Phương – NXB Hà Nội, năm 2005 22 ... hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số mà không mắc phải sai lầm đáng tiếc, chọn đề tài "PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ... phải học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề tự khắc phục sai sót trình vân dụng kiến thức đạo hàm đẻ giải toán liên quan đến kiến thức đạo hàm. .. học chương ứng dụng đạo để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, việc khắc phục sai lầm kỳ ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia hàng năm diễn nhiều thời gian Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức đạo