Phân tích một số sai lầm học sinh thường gặp khi làm trắc nghiệm chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI LÀM TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MỤC LỤC Người thực hiện: Nguyễn Hữu Nam Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….1 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………………………2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………….2 2.3 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp làm trắc nghiệm Chương ứng dụng đạo hàm đề khảo sát vẽ đồ thị hàm số……………………….…….…… 2.3.1 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp học đồng biến, nghịch biến hàm số…………………………………………………………………….3 2.3.2 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp học cực trị hàm số 2.3.3 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp học đường tiệm cận đồ thị hàm số……………………………………………………………………… 10 2.3.4 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp học khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số toán tương giao đồ thị………………………13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………………………… ……… 17 Kết luận kiến nghị………………………………………………………18 3.1 Kết luận……………………………………………………………………18 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………… 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Giải tích 12 ban bản, Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng Là công cụ quan trọng để giải hầu hết toán liên quan đến đạo hàm đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến khảo sát hàm số Tuy nhiên trình giảng dạy Trường THCS THPT Như Xuân nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn giải toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục khơng có hướng dẫn giáo viên Tài liệu “Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp làm trắc nghiệm Chương ứng dụng đạo hàm đề khảo sát vẽ đồ thị hàm số” nhằm giúp cho học sinh lớp 12 rèn kỹ định hướng khắc phục khó khăn, sai lầm gặp tốn đồng biến, nghịch biến hàm số, cực trị cực hàm số, tiệm cận đồ thị hàm số, dạng toán đồ thị hàm số toán tương giao đồ thị Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số mà học sinh học, học sinh cảm thấy hứng thú học gặp dạng toán Tài liệu giúp học sinh học tập thuận tiện Đây tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên để luyện thi ôn tập thi tốt nghiệp trung học phổ thơng 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 Trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề phân tích số sai lầm học sinh thường gặp làm trắc nghiệm chương ứng dụng đạo hàm đề khảo sát vẽ đồ thị hàm số Qua nội dung đề tài mong muốn cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải học Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề tự khắc phục sai sót q trình giải tốn Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện sai lầm học sinh thường gặp làm trắc nghiệm chương ứng dụng đạo hàm đề khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các toán đồng biến, nghịch biến hàm số, cực trị cực hàm số, tiệm cận đồ thị hàm số, dạng toán đồ thị hàm số toán tương giao đồ thị Nội dung nằm Chương sách giáo khoa Giải tích 12 Xây dựng toán trắc nghiệm đồng biến, nghịch biến hàm số, cực trị cực hàm số, tiệm cận đồ thị hàm số, dạng toán đồ thị hàm số tốn tương giao đồ thị Phân tích sai lầm mà học sinh thường hay gặp, từ định hướng, giải sai lầm cho học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 12 năm học - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2020 – 2021 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp cho học sinh rèn kỹ định hướng khắc phục khó khăn, sai lầm gặp toán đồng biến, nghịch biến hàm số, cực trị cực hàm số, tiệm cận đồ thị hàm số, dạng toán đồ thị hàm số toán tương giao đồ thị 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong năm gần đây, kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số chiếm tỉ lệ 20% số câu hỏi đề thi Đối với Trường THCS THPT Như Xuân trường miền núi đặc biệt khó khăn, chất lượng đầu vào học sinh thấp nên gần học sinh nhiều thời gian việc định hướng cách làm trình làm thường mắc sai sót Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm 2.3 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp làm trắc nghiệm Chương ứng dụng đạo hàm đề khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.3.1 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp học đồng biến, nghịch biến hàm số m Bài tập Số giá trị nguyên tham số để hàm số y = ( 3m − 12 ) x + ( m − ) x − x + ¡ nghịch biến A B C D Lời giải Sai lầm thường gặp Học sinh thường giải sau: D=¡ Tập xác định: y ′ = ( 3m − 12 ) x + ( m − ) x − Ta có: y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ¡ Hàm số nghịch biến ⇔ ( 3m − 12 ) x + ( m − ) x − ≤ 0, ∀x ∈ ¡ 3m − 12 < −2 < m < ⇔ ⇔  2 m − + 3 m − 12 ≤ ( ) ( ) 18m ( m − ) ≤  −2 < m < ⇔ ⇔ ≤ m < 0 ≤ m ≤ m m ∈ { 0;1} Vì ngun nên Từ đó, học sinh chọn đáp án B Nguyên nhân sai lầm Học sinh chủ quan, nắm kiến thức chưa chắc, làm nhanh nên thường quên xét 3m − 12 = trường hợp Lời giải D=¡ Tập xác định: y ′ = ( 3m − 12 ) x + ( m − ) x − Ta có: y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ¡ Hàm số nghịch biến ⇔ ( 3m − 12 ) x + ( m − ) x − ≤ 0, ∀x ∈ ¡ 3m − 12 = ⇔ m = ±2 Trường hợp 1: m = 2, y ′ = −1 ≤ 0, ∀x ∈ ¡ m=2 ¡ Với , nên hàm số nghịch biến (1) m = −2, y ′ = −24 x − ≤ ⇔ x ≥ − m = −2 24 Với , nên loại 3m − 12 ≠ ⇔ m ≠ ±2 Trường hợp 2: 2 ( 3m − 12 ) x + ( m − ) x − ≤ 0, ∀x ∈ ¡ Khi 3m − 12 < −2 < m < ⇔ ⇔  2 18m ( m − ) ≤ 9 ( m − ) + ( 3m − 12 ) ≤ −2 < m < ⇔ ⇔ ≤ m < ≤ m ≤  Vì m nguyên nên m ∈ { 0;1} (2) Từ (1) (2) suy có giá trị nguyên m thỏa mãn đề Chọn đáp án C m Bài tập Có giá trị nguyên tham số cho hàm số f ( x) = m x + mx + x + 3 A ¡ đồng biến B Lời giải C D Sai lầm thường gặp Học sinh chọn B chọn C Nguyên nhân sai lầm Chọn B, học sinh sử dụng cơng thức tính nhanh: m a > m >  >0 ⇔ ⇔ ⇔ < m ≤  3 ≤ m ≤ b − ac ≤    m − 4m ≤  m m ∈ { 1; 2;3;4} Với số nguyên ta Chọn C, học sinh sử dụng cơng thức tính nhanh sai: m a >  >0 ⇔ ⇔0 ⇔ ( m + 1) − 4m > 13 ⇔ m − 2m + > ⇔ ( m − 1) > 0, ∀m ≠ Suy với m ≠ 0, m ≠ hàm số có cực trị (2) m ≠1 Từ (1) (2), suy hàm số có cực trị Chọn đáp án A 2.3.3 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp học đường tiệm cận đồ thị hàm số Bài tập 10 Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số − 4x y= 2x − ? 1 y=− y= y= y = −2 2 A B C D Lời giải Sai lầm thường gặp Học sinh thường áp dụng công thức tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị ax + b a d y= y= x=− cx + d c c hàm số tiệm cận ngang , tiệm cận đứng Nên hay chọn đáp án C Nguyên nhân sai lầm ax + b y= cx + d Học sinh không để ý viết lại công thức hàm số dạng chuẩn Lời giải 3 D=¡ \  2 Tập xác định: 1 −4 −4 − 4x − 4x x x lim y = lim = lim = −2 lim y = lim = lim = −2 x →−∞ x →−∞ x − x →−∞ x →+∞ x →+∞ x − x →+∞ 3 2− 2− x x y = −2 Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số đường thẳng Chọn đáp án A y= Bài tập 11 Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B C ( ) x + − sin x x2 − x D Lời giải 14 Sai lầm thường gặp Học sinh đếm số nghiệm mẫu hai nên kết luận đáp án B Nguyên nhân sai lầm x = x0 Học sinh quên kiểm tra định nghĩa đường tiệm cận đứng: đường thẳng y = f ( x) tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim+ y = +∞ lim+ y = −∞ lim− y = +∞ x → x0 bốn điều kiện sau thỏa mãn lim− y = −∞ x → x0 x → x0 x → x0 Lời giải D = [ −3; +∞ ) \ { 0;1} Tập xác định: lim ( x −x x →0 +) lim x →1 ) x + − sin x ( = lim x →0 ) x + − sin x x2 − x ( x − 1) sin x x + + ) x ( x − 1) ( = lim x →1  sin x  = lim  = ÷ x →0 3+2  x+3+2 x  ( ( x − 1) sin x x + + ) x ( x − 1) = lim x →1 ( sin x +) Vậy đồ thị hàm số cho tiệm cận đứng Chọn đáp án D x2 − x−2 y= Bài tập 12 Đồ thị hàm số đường tiệm cận đứng A B ) x+3+2 x = sin1 có tổng số đường tiệm cận ngang C D Lời giải Sai lầm thường gặp Học sinh thường chọn B D Nguyên nhân sai lầm Chọn D lim x →+∞ x2 − =1 x−2 Học sinh nghĩ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận y =1 ngang x=2 Khi (nghiệm mẫu lẻ), học sinh nhận thấy mẫu tử nên 15 x=2 nghĩ không thỏa mãn đường tiệm cận đứng Chọn B lim x →+∞ Khi x2 − =1 x−2 x=2 lim x →−∞ x2 − = −1 x−2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang (nghiệm mẫu lẻ), học sinh nhận thấy mẫu tử nên x=2 nghĩ không thỏa mãn đường tiệm cận đứng Lời giải D = ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) Tập xác định: lim x →+∞ x2 − =1 x−2 lim x →−∞ x2 − = −1 x−2 Ta có: nên đường thẳng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2 − lim = lim+ x → 2+ x→2 x−2 x+2 x−2 y = 1, y = −1 = +∞ x=2 Ta có: nên đường thẳng đườngtiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy tổng số đường tiệm cận đồ thị hàm số Chọn đáp án A Bài tập 13 Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2 − y= x+2 A B C D Lời giải Sai lầm thường gặp x = −2 x = −2 Ta có nghiệm mẫu số nên đường thẳng đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Mặt khác: 9 x 1− −x − − 1− 2 x −9 x = lim x = lim x = −1 lim y = lim = lim x →−∞ x →−∞ x + x →−∞ x →−∞ x →−∞ x+2 x+2 1+ x y = −1 Suy đường thẳng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số 16 lim y = lim x →+∞ x →+∞ x −9 = lim x →+∞ x+2 9 x 1− 1− 2 x = lim x = lim x =1 x →+∞ x →+∞ x+2 x+2 1+ x x 1− y =1 Suy đường thẳng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang suy chọn phương án D Nguyên nhân sai lầm x = −2 Học sinh nhìn thấy nghiệm mẫu số nên nghĩ lim + y = +∞ lim + y = −∞ x →( −2 ) x →( −2 ) x = −2 kết luận vội vàng tiệm cận đứng x = −2 đồ thị hàm số cho Thực tế không tiệm cận đứng y =1 y = −1 Hai đường tiệm cận ngang học sinh tìm x = −2 Phân tích: học sinh mắc sai lầm là tiệm cận đứng, lại y =1 tìm tiệm cận ngang lại thành có tiệm cận khoanh phương án C Lời giải D = ( −∞; −3] ∪ [ 3; +∞ ) Tập xác định: x = −2 x = −2 Ta thấy nghiệm mẫu số, biểu thức tử số lim + y x2 − lim − y x = −2 khơng có nghĩa nên khơng tồn , khơng phải đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Ta có: 9 x 1− −x − − 1− 2 x −9 x = lim x = lim x = −1 lim y = lim = lim x →−∞ x →−∞ x + x →−∞ x →−∞ x →−∞ x+2 x+2 1+ x Suy đường thẳng x → ( −2 ) y = −1 x →( −2 ) đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số 17 lim y = lim x →+∞ x →+∞ x −9 = lim x →+∞ x+2 9 x 1− 1− 2 x = lim x = lim x =1 x →+∞ x →+∞ x+2 x+2 1+ x x 1− y =1 Suy đường thẳng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận ngang (khơng có đường tiệm cận đứng) Chọn đáp án C x−7 y= x + 3x − Bài tập 14 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng? A B C D Lời giải Sai lầm thường gặp Học sinh chọn phương án B Nguyên nhân sai lầm Học sinh khơng tìm tập xác định hàm số Lời giải D = [ 7; +∞ ) Tập xác định: x + 3x − ≠ 0, ∀x ∈ D Vì đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng 2.3.4 Phân tích số sai lầm học sinh thường gặp học khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số toán tương giao đồ thị Bài tập 15 Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số nào? A y = x4 + x + y = x − 3x B C y = x4 − x2 + y = 2x − 4x + D Lời giải Sai lầm thường gặp 18 Thường học sinh loại đáp án A C nhìn đồ thị đa số học sinh a b biết đồ thị hàm số trùng phương có hệ số trái dấu Học ( 0;1) sinh thấy điểm thuộc đồ thị hàm số chọn đáp án B mà không để ý thỏa mãn với đáp án D Nguyên nhân sai lầm Học sinh chủ quan, hấp tấp, nghĩ dễ nên làm nhanh, từ mà mắc bẫy toán Lời giải Dựa vào hình dạng đồ thị loại đáp án A, C ( 1; −1) ( −1; −1) ⇒ y ( ±1) = −1 Mặt khác, đồ thị hàm số qua qua điểm đó, đáp án D đáp án Bài tập 16 Cho đồ thị có hình vẽ hình A, B, C , D biết đồ thị đồ thị hàm số phương án Chọn phương án trả lời đúng? 2x + x−3 x −1 x +1 y= y= y= y= x −1 x −1 x +1 x −1 A B C D Lời giải Sai lầm thường gặp Học sinh thử dừng phương án B Nguyên nhân sai lầm Học sinh kiểm tra phương trình hai đường tiệm cận đồ thị hàm số Điều kiện đơn điệu không thỏa mãn Lời giải 19 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =1 tiệm cận đứng x =1 Chỉ có phương án B, D thỏa mãn điều nên loại A, C y′ = Phương án B có ( x − 1) >0 hàm số đồng biến, mà nhìn đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến nên phương án loại y′ = −2 ( x − 1)