Phát triển năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------ ĐÀM THỊ THU DUNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 Ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- -

ĐÀM THỊ THU DUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- -

ĐÀM THỊ THU DUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán

LỜI CẢM ƠN

Để luận văn này đạt kết quả tốt đẹp, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy

cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Phương pháp dạy học môn Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội, đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt thời gian tôi học tập và hoàn thành luận văn

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn

chân thành nhất tới thầy giáo – TS BÙI DUY HƢNG đã quan tâm giúp đỡ,

hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp

Đồng thời tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới tập thể các thầy cô giáo trong tổ Toán – Tin và các em học sinh của Trường THPT Quỳnh Thọ – Quỳnh Phụ – Thái Bình đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong thời gian tham gia khóa học và trong đợt thực nghiệm sư phạm

Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể người thân trong gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên khích lệ tôi trong suốt thời gian học tập

Với điều kiện thời gian cũng như kinh nghiệm còn hạn chế của một học viên, luận văn này không thể tránh được những thiếu sót cần được góp ý và sửa chữa Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, nhận xét, đóng góp ý kiến của các thầy

QUY ƢỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

Trang

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 NĂNG LỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI TOÁN 4

1.1.1.Khái niệm năng lực 4

1.1.2 Năng lực toán học 4

1.1.3 Năng lực giải toán 6

1.1.4 Phát triển năng lực giải toán cho học sinh phổ thông 8

1.2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỚP 12 9

1.2.1 Nội dung, mục tiêu dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 9

1.2.2 Phương pháp nghiên cứu điều tra 10

1.2.3 Đánh giá dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 13

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 15

CHƯƠNG 2: CÁC BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 16

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp 16

2.2 Các biện pháp phát triển năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh 16

2.2.1 Củng cố và hoàn thiện những kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm cho học sinh 16

2.2.2 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng cơ bản giải một số bài toán liên quan

tới ứng dụng đạo hàm 21

2.2.3 Trang bị cho học sinh phương pháp giải các dạng toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 36

2.2.4 Rèn luyện cho học sinh giải bài toán bằng nhiều cách 41

2.2.5 Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh trong việc giải và khai thác các bài toán về ứng dụng đạo hàm 43

2.2.6 Rèn luyện cho học sinh giải toán trắc nghiệm chương “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” 45

2.3 Thiết kế các tình huống dạy học nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh 51

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 73

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 74

3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 74

3.1.1 Mục đích 74

3.1.2 Nhiệm vụ 74

3.2 TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 74

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 74

3.2.2 Giáo viên dạy thực nghiệm 75

3.2.3 Tiến hành dạy thực nghiệm 75

3.3.1 Khả năng lĩnh hội sử dụng kiến thức về dạy học giải toán và các mức độ khả thi của từng biện pháp rèn luyện năng lực giải toán trong thực nghiệm sư phạm 78

3.3.2 Về nội dung thực nghiệm sư phạm 78

3.4 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN QUAN TÂM 80

KẾT LUẬN CHƯƠNG III 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 PHỤ LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới của đất nước trong bối cảnh toàn cầu hóa đang đặt ra yêu cầu cấp bách cần phải nâng cao chất lượng đội ngũ nguồn nhân lực Giáo dục cần đào tạo ra đội ngũ người lao động có đủ năng lực đáp ứng được những đòi hỏi mới của xã hội và thị trường lao động

Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI với nội dung đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa – hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế Đảng và Nhà nước xác định mục tiêu của đổi

mới lần này là: “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và nhu cầu học tập của nhân dân Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả”

Để đáp ứng nhiệm vụ và mục tiêu trên, nhà trường phải là nơi đào tạo, rèn luyện phẩm chất và trí tuệ của con người mới phát triển toàn diện về mọi mặt vì vậy nhiệm vụ của dạy học ngoài việc dạy kiến thức còn dạy cho học sinh cách suy nghĩ, hiểu một cách sâu sắc một vấn đề nói chung hay một lĩnh vực nói riêng (ví dụ hiểu một cách sâu sắc một bài toán chẳng hạn)

Hiện nay một thực trạng cần khắc phục là việc giải quyết mâu thuẫn giữa kiến thức cơ bản phổ thông còn quá ít ỏi so với kiến thức đa dạng phong phú của các kì tuyển sinh, chính vì vậy phát triển và rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông lại càng là việc quan trọng và cần thiết Nội dung Ứng dụng đạo hàm để kháo sát và vẽ đồ thị hàm số nằm trong chương trình Đại số và giải tích lớp 12 THPT, đây là một nội dung khó, và trừu tượng đối với học sinh trung học phổ thông Phân phối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít Vì vậy, việc phát triển năng lực giải toán trong chương này như nào vẫn còn là một vấn đề đặt ra cho giáo viên Do đó cần tìm ra

các biện pháp nhằm PTNL giải toán phù hợp với HS của nhà trường góp phần nâng cao hiệu quả trong dạy học chủ đề này

Phương pháp dạy học PTNL giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số đã được nhiều GV quan tâm nhưng thực tế khi chuyển từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức, kĩ năng thì mới

có thể vận dụng tốt vào bài thi

Vì những lí do trên tôi chọn đề tài: “ Phát triển năng lực giải toán Ứng

dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm PTNL giải toán cho HS

lớp 12 trong dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn giải quyết các vấn đề:

- Cơ sở lý luận về năng lực, năng lực toán học và năng lực giải toán

- Điều tra thực tiễn dạy và học Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các sách, tạp chí, các luận văn cao học có liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các

đề xuất trong đề tài luận văn

5 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng biện pháp sư phạm được trình bày trong luận văn sẽ góp phần nâng cao năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm

số cho HS, cũng như chất lượng dạy học môn toán cho học sinh THPT

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm

3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn

Chương 2: Các biện pháp phát triển năng lực ứng dụng đạo hàm để khảo sát

và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 NĂNG LỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI TOÁN

1.1.1.Khái niệm năng lực

Thông thường, trong cuộc sống ta thường quan niệm rằng: Một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương Sau đây là một

số cách tiếp cận và diễn đạt về khái niệm năng lực:

 Theo từ điển Tiếng Việt thì: “ Năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên có sẵn để thực hiện một hoạt động nào đó với chất lượng cao”

 Năng lực là một loại tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [7]

 Theo nhà tâm lí học nổi tiếng V A Cruchetxki, người Nga cho rằng: “ Năng lực được hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó” [6- Tr.15]

Qua các khái niệm trên ta thấy được chúng đều có điểm chung là: năng lực

là tổ hợp những đặc điểm tâm lý và khả năng của con người thực hiện tốt một nội dung công việc nào đó

1.1.2 Năng lực toán học

Theo V A Cruchetxki [6, tr.13] năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc

học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động

sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy

ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực…

Với mức độ học sinh trung bình, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận năng lực toán học theo góc độ thứ nhất (năng lực toán học) Sau đây là một số quan niệm

về năng lực toán học :

Quan niệm 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân

(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học

và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học [3, tr.14]

Quan niệm 2: Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm

lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học [2, tr 126]

Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí thông minh trong việc học Toán Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình thành, phát triển, hoàn thiện năng lực

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học

Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học

1.1.3 Năng lực giải toán

a Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một bài toán cụ thể có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng

tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả trong hoạt động đó

Năng lực giải toán là một thành phần trong năng lực toán học, các yếu tố cấu thành của năng lực giải toán được cụ thể hóa từ các yếu tố đó là:

- Nền kiến thức chắc chắn có được qua quá trình thu thập thông tin toán học

- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề

- Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong lao động giải toán

- Khả năng huy động kiến thức để giải quyết một số vấn đề cụ thể, khả năng vận dụng thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa để chế biến lượng thông tin toán học đã nhận

- Khả năng suy luận, lập luận có lý sau khi lĩnh hội kiến thức thu được

- Khả năng tự giác toán học, tổng hợp, khái quát một hiện tượng toán học Các yếu tố trên quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp thành một

hệ thống duy nhất, một cấu trúc trọn vẹn của năng lực giải toán

b Các thành phần của năng lực giải toán

 Năng lực dự đoán vấn đề

 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

 Năng lực phân chia trường hợp

Ví dụ 1.1: Cho hàm số

2

11

 Năng lực suy luận logic

 Năng lực khái quát hóa

Ví dụ 1.2: Cho ( ) :C yx33x2 Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại

Cho ( ) :C y f x( ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm

 Năng lực diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau

1.1.4 Phát triển năng lực giải toán cho học sinh phổ thông.

Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ Vì vậy, trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng việc phát triển năng lực giải toán cho HS

Năng lực giải toán là khả năng thực hiện 4 bước trong phương pháp chung

để giải toán của Polya Phát triển năng lực giải toán cho HS chính là rèn luyện cho họ có ý thức, thói quen và thực hiện có hiệu quả các bước giải đó

Để phát triển năng lực giải toán cho học sinh GV cần:

+) Trang bị cho HS những tri thức cơ bản liên quan tới bài toán

+) Rèn luyện cho HS kĩ năng vận dụng kiến thức đã được học vào giải bài tập +) Trang bị cho HS phương pháp giải các dạng toán phù hợp với chương trình học

+) Chú trọng phát triển các hoạt động trí tuệ cho HS trong giải toán

Để làm được việc đó GV cần hướng dẫn HS giải một số lượng cần thiết các bài toán theo quy trình 4 bước của Polya:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Bước 3:Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

1.2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

§ 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (3 tiết)

§ 2 Cực trị của hàm số (3 tiết)

§ 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (3 tiết)

§ 4 Đường tiệm cận (2 tiết)

§ 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (7 tiết)

Ôn tập chương (2 tiết)

Kiểm tra (1 tiết)

b Mục tiêu

Nội dung Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một phần quan trọng, chiếm phần lớn số tiết trong chương trình Toán lớp 12 Là một công cụ rất “ mạnh” để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như trong các đề thi thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Vì vậy, để học tốt nội dung này GV cần đạt được những mục tiêu sau:

Về kiến thức:

Giúp học sinh:

- Học sinh hiểu và phát biểu được quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

- Học sinh hiểu và phát biểu được quy tắc tìm cực trị

- Học sinh hiểu và phát biểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và nắm vững quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

- Học sinh hiểu và phát biểu định nghĩa tiệm cận ngang, tiệm cận đứng

- Học sinh hiểu, nắm vững và phát biểu được sơ đồ khảo sát hàm số

- Học sinh hiểu và phát biểu được phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát

Về kĩ năng:

Giúp học sinh:

- Học sinh biết sử dụng công cụ đạo hàm để xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng

- Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số

- Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số trên một khoảng, một đoạn

- Tìm được đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

- Biết khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số yax3bx2 cx d a,( 0);

1.2.2 Phương pháp nghiên cứu điều tra

Kết quả điều tra là cơ sở đề ra các biện pháp phù hợp trang bị cho GV khả năng dạy học phát triển năng lực Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm

số và rèn luyện cho HS năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm trong chương trình Đại số và giải tích lớp 12 THPT

a) Khảo sát phiếu điều tra GV và HS

Để đánh giá thực trạng dạy học phát triển năng lực Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 chúng tôi đã tiến hành điều tra khảo sát thực tế và lập ra các phiếu điều tra từ GV và HS (xem phụ lục 1, 2) Kết quả điều tra từ 30 GV toán và 120 HS tại các trường THPT Quỳnh Thọ, THPT Quỳnh Côi, THPT Phụ Dực như sau:

+ Đối với giáo viên, kết quả trả lời các câu hỏi là:

Từ kết quả khảo sát ở trên cho phép rút ra một số kết luận về thực trạng dạy học PTNL Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số như sau:

- Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao, vẫn chưa đồng đều Còn đa số các lớp thuộc chương trình chuẩn chất lượng thường rất thấp Theo suy nghĩ của chúng tôi, có những nguyên nhân sau:

+) Năng lực của HS trong các lớp không đồng đều, trong khi đó các bài tập trên lớp và trong sách giáo khoa chưa thực sự phù hợp với các đối tượng HS +) HS thường mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học tập, chẳng hạn làm sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phương trình, bất phương trình cơ bản…

+) Có nhiều lỗ hổng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học Toán Khả năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chưa linh động trong việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản nên kết quả học tập chưa cao

+) Chưa thấy được ý nghĩa của việc học Toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế, rất ít HS thuần thục và sáng tạo khi vận dụng các phương pháp vào giải toán HS chưa biết được đạo hàm được ứng dụng vào việc gì

+) GV chưa có bài tập phù hợp để HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm được học Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví

dụ minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà

+) Nhiều GV chưa thực sự quan tâm đến và đầu tư vào dạy học ứng dụng đạo hàm Trong quá trình giảng dạy chưa khơi dậy được niềm say mê và hứng thú học tập, chưa góp phần tích cực việc xác lập động cơ học tập đúng đắn cho học sinh

b) Các điều tra khác

- Tìm hiểu qua hiệu trưởng Nhà trường về tình hình cơ sở vật chất, trang thiết bị phục vụ cho quá trình dạy học, tham khảo chất lượng HS các năm trước qua sổ điểm và các bài kiểm tra về ứng dụng đạo hàm

- Tìm hiểu và đàm thoại với các GV dạy toán để nắm được thực trạng việc học tập của HS và phương pháp giảng dạy của GV

- Tham khảo giáo án và dự giờ thăm lớp một số tiết của GV khi dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho HS lớp 12 ở các trường để biết thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm cho HS

Dựa trên các số liệu điều tra như trên, chúng tôi đi đến một số đánh giá về thực tiễn dạy học ứng dụng đạo hàm và việc dạy học PTNL giải toán ứng dụng đạo hàm cho HS như sau:

1.2.3 Đánh giá dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

*) Về phía HS

- Một số HS còn tư duy chậm, kĩ năng tính đạo hàm, xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai… còn kém; chưa phân biệt được các dạng toán về ứng dụng đạo hàm cũng như áp dụng cách giải còn dập khuôn, chưa linh hoạt

- Một số HS đã nắm được cách giải tuy nhiên chỉ dừng lại ở mức độ áp dụng máy móc cách làm, đến khi gặp những bài toán cần biến đổi nhiều thì đa số chưa giải được, hoặc biến đổi còn chậm, hay nhầm lẫn

- Kết quả dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm

số lớp 12 qua bài kiểm tra một tiết trong những năm vừa qua còn thấp

- Trong tiết luyện tập về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, nhiều em chưa tìm được sự hứng thú, thậm chí còn căng thẳng, tính tích cực, chủ động hay các ý tưởng độc đáo, tìm ra hướng giải mới, phát hiện vấn đề mới là chưa có đối với các em HS

*) Về phía GV

- Nhìn chung các GV giảng dạy đều nắm vững nội dung kiến thức, có kinh nghiệm và phương pháp dạy học, truyền tải đầy đủ nội dung kiến thức cho HS

- Trong quá trình giảng dạy GV chủ yếu chú ý đến trang bị kiến thức đầy

đủ, tập dượt cho HS bắt chước và thực hành theo các thuật toán giải hay quy tắc tựa thuật toán khi giải các dạng toán ứng dụng đạo hàm

Từ những đánh giá nêu trên cho thấy người GV cần đưa ra những biện pháp

PTNL thích hợp để giải toán ứng dụng đạo hàm cho HS lớp 12 như sau:

- Trang bị cho HS đầy đủ các kiến thức cơ bản, đảm bảo cho HS nắm chắc,

có hệ thống các kiến thức được quy định trong chương trình

- Cho HS được va chạm để từ đó nhận thấy những lỗi hay mắc phải trong

giải toán ứng dụng đạo hàm để các em khắc ghi và củng cố phương pháp giải

- Chú trọng trang bị phương pháp giải toán đạo hàm cho HS với sự hướng

dẫn, dạy HS cách phân tích, các thao tác tư duy khi đứng trước một bài toán

thông qua hệ thống các bài tập theo từng chủ đề đảm bảo sự phát triển bền vững

trong tiếp thu kiến thức giải toán ứng dụng đạo hàm cho HS

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số hiểu biết về năng lực, năng lực toán học làm cơ sở lí luận cho việc nghiên cứu đề tài đồng thời làm tài liệu tham khảo cung cấp cho người đọc kiến thức về nội dung liên quan

Chúng tôi đã tiến hành điều tra thực tiễn việc dạy học PTNL Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở một số trường THPT tỉnh Thái Bình Qua

đó chúng tôi thấy việc PTNL Ứng dụng đạo hàm là cần thiết, giúp các em học tập tích cực, kích thích sự sáng tạo trong học tập và trong cuộc sống

CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG

ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHO HỌC SINH LỚP 12

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp

- Các biện pháp xây dựng trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình, SGK

Toán THPT và tuân theo các nguyên tắc dạy học

- Các biện pháp xây dựng phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

- Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học

- Các biện pháp phải hỗ trợ cho quá trình tự học, tự phát hiện, tự chiếm lĩnh tri thức mới và thực hành theo năng lực của người học

2.2 Các biện pháp phát triển năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh

2.2.1 Củng cố và hoàn thiện những kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm cho học sinh

a Kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm

Những kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm có vai trò rất quan trọng trong việc giải các dạng bài toán liên quan Nó là yêu cầu bắt buộc đầu tiên đối với HS khi bắt đầu học giải toán ứng dụng đạo hàm Đồng thời qua đó HS sẽ có công cụ để làm việc với các dạng toán về ứng dụng đạo hàm

 Tính đơn điệu của hàm số:

*) Điều kiện để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng D

+) Nếu f x đồng biến ( tăng) trên D thì ( ) f x'( )  0 , x D

+) Nếu f x nghịch biến ( giảm) trên D thì ( ) f x'( )0,  x D

*) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b

+) Nếu f x '( )    0 x ( ; ) a b thì f(x) đồng biến ( tăng) trên ( ; )a b

+) Nếu f x '( )    0 x ( ; ) a b thì f x ( )nghịch biến ( giảm) trên ( ; )a b

+) Nếu f x '( )    0 x ( ; ) a b thì f x ( )không đổi ( hàm hằng) trên ( ; )a b

+) Nếu f x'( )0 0 với mọi x( ,a x0) và f x'( )0 với mọi x( ; )x b0 thì

f đạt cực đại tại điểm x 0

+) Nếu f x'( )0 0với mọi x( ,a x0) và f x'( )0 với mọi x( ; )x b0 thì

f đạt cực tiểu tại điểm x 0

+) Nếu f ''( )x0 0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

+) Nếu f ''( )x0 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của hàm

số trên một đoạn

- Tìm các điểm x x1, 2, ,x m( , )a b tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

- Tính f x( ), ( ), , (1 f x2 f x m), ( )f a và ( ) f b

- So sánh các giá trị tìm được Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [ ; ]a b , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất

của f trên đoạn [ ; ]a b

 Khảo sát hàm số và một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số

*) Một số bài toán liên quan tới đồ thị hàm số

Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị

Cho hai hàm số f và gcó hai đồ thị tương ứng là (C) và (C’) Điểm

0( ,0 0)

M x y là giao điểm của (C) và (C’) khi và chỉ khi ( ;x y0 0)là một nghiệm của

hệ phương trình

( )( )

Do đó hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của phương trình f x ( )  g x ( )

Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của hai đồ thị

Bài toán 2: Giải( biện luận) phương trình dựa vào đồ thị

Cho phương trình : f x ( )  g x ( ) (1)

Vẽ đồ thị (C) của hàm số y  f x ( )và đồ thị (C’) của hàm số y  g x ( ).Số giao điểm của (C) và (C’) là số nghiệm của phương trình (1)

( Đây là bài toán ngược của bài toán 1)

Bài toán 3: Sự tiếp xúc của hai đường cong

Cho hàm sốy  f x ( )có đồ thị (C) và hàm sốy  g x ( )có đồ thị (C’) cùng xác định trên D Giả sử f và g có đạo hàm trên D

(C) và (C’) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ :

- GV phối hợp phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm cho HS

Ví dụ 2.1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GV hướng dẫn HS 2 cách giải và yêu cầu HS lên bảng trình bày lời giải,

Cách 1: Dùng điều kiện tiếp xúc (C) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Lần lượt thay các giá trị của x ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được nghiệm của hệ là x   1

Vậy (C) và (P) tiếp xúc nhau tại điểm M(-1; 9)

Phương trình tiếp tuyến chung là y  9

mà ở đó đã có sẵn thuật giải hoặc các quy tắc tựa thuật giải, từ đó khi gặp các dạng toán này hay các bài toán tương tự HS chỉ cần vận dụng thuật toán hay quy tắc đó là có thể giải được Một số dạng bài toán liên quan tới ứng dụng đạo hàm bao gồm:

- Các dạng bài toán liên quan tới tính đơn điệu của hàm số

- Các dạng bài tập liên quan tới cực trị ( Tìm cực trị của hàm số; Chứng minh hàm số có cực trị)

- Các dạng bài tập liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số

- Các dạng bài tập liên quan tới đường tiệm cận của đồ thị hàm số

b Cách thức thực hiện

Dạng 1: Các dạng toán liên quan tới tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1.1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách giải:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số đã cho

Bước 3: Dựa vào điều kiện cần để xét hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng D

+) Nếu f x đồng biến (tăng) trên D thì ( ) f x'( )  0 x D

+) Nếu f x nghịch biến (giảm) trên D thì ( ) f x'( )  0 x D

- Dựa vào điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b

+) Nếu f x '( )    0 x ( ; ) a b thì f x đồng biến ( tăng) trên ( ; )( ) a b

+) Nếu f x '( )    0 x ( ; ) a b thì f x nghịch biến ( giảm) trên ( ; )( ) a b +) Nếu f x '( )    0 x ( ; ) a b thì f x không đổi ( hàm hằng) trên ( ; )( ) a b

Ví dụ 2.3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) yx36x29x

b)

2

12

x x y

Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x)= 0 hoặc f'(x) không xác định

Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lý trên

Ví dụ 2.4: Chứng minh rằng hàm số 2

1

x y x



 đồng biến trên khoảng (-1; 1),

nghịch biến trên các khoảng ( ; 1)và (1;)

Dạng 1.3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

GV hướng dẫn HS làm bài theo 4 bước giải bài tập của Polya

Bước 1: Yêu cầu của đề bài là gì?

HS: Tìm b để hàm số đồng biến trên R

Bước 2: Tìm cách giải:

GV: Để xét tính đơn điệu của hàm số ta phải làm gì?

HS: Tính y’ và xét dấu y’

HS xem kĩ lại lời giải

GV: Để tìm được điều kiện của b, ta sử dụng một tính chất rất quan trọng của hàm số lượng giác là: cosx1 với  x R Tương tự như vậy các em hãy làm câu b)

Ví dụ 2.6: Tìm cực trị của hàm số ( Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

a) yx33x224x7.

b)

2

51

x x y

Hướng dẫn giải:

GV: Yêu cầu của đề bài là gì?

HS: Chứng minh hàm số luôn có cực trị với mọi n và m

GV: Vậy để chứng minh hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m và n ta

1) Chứng minh hàm số f x( )sin 2x m luôn có cực trị với mọi giá trị của m

2) Cho hàm số y x33(m1)x23 (m m2)x1, với m là tham số

a) Chứng tỏ rằng hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu Xác định giá

trị của tham số m để đồ thị hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành

độ dương

b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đạt cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành hai cạnh của một tam giác vuông

có cạnh huyền bằng 2 5

Dạng 2.3:Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có cực trị thỏa mãn điều

kiện nào đó

Phương pháp: Dùng điều kiện cần về tính đơn điệu của hàm số

giải đúng cho mỗi câu hỏi Tìm sai lầm trong lời giải sai?)

x x

x

 1

3 1 y’ + 0 - 0 +

Dấu của y’

x  2  y’ + 0 -

Câu a, b yêu cầu HS tự làm và GV nhận xét, bổ sung

Lời giải câu c:

1min ( ) min ( )

x  k  k Z

Hàm số không có GTLN

Nghiên cứu sâu lời giải:

Từ bài tập trên chúng ta có thể giải các bài tập tương tự sau:

Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( nếu có):

Dạng 3.2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

- Tính y’, giải phương trình y’ = 0

- Lấy những nghiệm của phương trình y’ = 0 thuộc đoạn đề bài cho

- Tính y’’ và giá trị của hàm số tại những điểm đó

- Xét dấu y’’ , kết luận

y f x x  x  x trên đoạn D=4;3

Dạng 4: Các dạng bài tập liên quan tới đồ thị hàm số

Dạng 4.1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp:

B1:Tập xác định

B2: Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm y’

+ Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?)

- Giao của đồ thị với trục Ox:

Dạng 4.2: Từ đồ thị đã cho suy ra đồ thị của các hàm số khác

Phương pháp:

Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

- Dựa vào định nghĩa trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

- Viết hàm số về dạng được cho bởi nhiều công thức

x  x  ( Phía trên trục hoành)

- Phần 2: Đối xứng qua Ox phần đồ thị hàm số y f x( ) x33x2với

3

3 2 0

x  x  ( Phía dưới trục hoành)

2) Hàm số y x33x 2là hàm số chẵn nên đồ thị của nó sẽ nhận Oy làm trục đối xứng

Ta có

3 3

Vậy đồ thị của hàm số y x33x 2là hợp của hai phần đồ thị :

- Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số 3

y f x x  x vớix0

( Phía bên phải trục Oy)

- Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua Oy

Dạng 4.3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm M x y ( ;0 0) của đường cong (C) có phương trình: y = f(x)

* Biết x0 , tính y0 = f(x0)

* Tính đạo hàm y’ = f’(x) ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là a =f’(x0)

* Phương trình tiếp tuyến tại M x y ( ;0 0) là: y = a(x - x0) + y0

2

x y x





 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(1; -2)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm N( 6;5)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4x 2

Giải a) Ta có 4 2

'( 2)

y x

b) Tiếp tuyến đi qua N(1; 1) có dạng : yk x(  1) 1

Điều kiện tiếp xúc:

2

2

24

(2)( 2)

x

k x

x k