Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 1. Lý do chọn khóa luận .............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 2 5. Cấu trúc của khóa luận ........................................................................................... 2 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................... 4 1.1. Cơ sở lý luận ......................................................................................................... 4 1.1.1. Vị trí, chức năng của bài tập toán học ............................................................... 4 1.1.2. Đạo hàm- ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số ................................... 7 1.2.1. Vị trí của khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan . 12 1.2.2. Mục tiêu của nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao” ................................................................................................................ 12 1.2.3. Những điều cần lưu ý khi giảng dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan .................................... 12 1.3. Điều tra thực trạng dạy và học: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao. .................................... 13 1.3.1. Điều tra giáo viên. ........................................................................................ 13 1.3.2. Điều tra học sinh ........................................................................................... 15 CHƯƠNG II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ................................................................................................................. 17 2.1. Ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số .................................. 17 2.2. Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số bậc hai trên bậc nhất .......... 19 2.3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. ................................... 22 2.4. Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt phẳng tọa độ ............................................... 25 2.5 . Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu. Vị trí tương đối của các điểm cực đại, cực tiểu ................................................................................................................ 29 2.5.1. Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu ........................................................ 29 2.5.2. Vị trí các điểm cực đại, cực tiểu ..................................................................... 32 2.6. Ứng dụng của đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số ................ 37 bậc 2/ bậc 1 ................................................................................................................ 37 2.6.1. Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị .............. 37 2.6.2. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước ............... 39 2.6.3. Bài toán 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước ......................................... 43 2.7. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất ........................ 47 2.8. Ứng dụng và tính chất của đồ thị ....................................................................... 52 2.8.1.Biện luận phương trình bằng đồ thị ................................................................. 52 2.8.2. Tương giao của đồ thị hàm bậc hai trên bậc nhất ........................................... 56 2.8.3. Bài tập về điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị và bài tập về họ đường cong tiếp xúc với đường cố định ................................................................................................... 58 CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 62 3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................ 62 3.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................................... 62 3.3. Phương pháp thực nghiệm ................................................................................. 62 3.4. Đối tượng thực nghiệm ....................................................................................... 62 3.5. Tổ chức thực nghiệm ......................................................................................... 62 3.6. Phân tích và đánh giá thực nghiệm .................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 69 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khóa luận Từ những thập kỉ cuối của thế kỉ XX, nhiều quốc gia đã tiến hành chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo dục phổ thông mà trọng điểm là cải cách chương trình và SGK. Chương trình của các nước đều hướng tới việc thực hiện yêu cầu nâng cao giáo dục, trực tiếp góp phần cải thiện chất lượng nguồn nhân lực, nâng cao chất lượng cuộc sống của con người, khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng, ảnh hưởng đến sức khỏe, hứng thú và niềm tin đối với việc học tập của học sinh. Tình trạng giáo dục thoát ly khỏi đời sống quá nhấn mạnh đến tính hệ thống, yêu cầu quá cao về mặt lý thuyết mà coi nhẹ những tri thức và kỹ năng có liên quan trực tiếp đến cuộc sống hằng ngày của học sinh khiến năng lực hoạt động thực tiễn của người học bị hạn chế. Xu hướng đổi mới cũng nhằm khắc phục tình trạng sản phẩm giáo dục không đáp ứng được yêu cầu biến đổi nhanh và đa dạng của sự phát triển xã hội, sự bất bình đẳng về cơ hội tiếp nhận giáo dục mà biểu hiện chủ yếu là sự cách biệt về điều kiện, trình độ giữa các địa phương và khu vực, cách biệt giữa giới tính và địa vị xã hội. Trào lưu cải cách giáo dục lần ba của thế kỷ XX đang hướng vào việc khắc phục những biểu hiện nói trên để chuẩn bị cho thế hệ trẻ ở các quốc gia bước vào thế kỉ XXI. Trong chương trình toán phổ thông các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải” luôn được quan tâm và là nội dung được dành nhiều thời gian. Các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan” rất đa dạng và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình môn toán của ban nâng cao ở trường THPT. Trong thực tế, đa số các học sinh chưa vận dụng được các ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan. Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…còn khó khăn và xa lạ đối với các em hoặc còn biết sơ sài về cách tính. Để giúp các em giải được các bài toán ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán có liên quan một cách dễ dàng và nhanh chóng em tiến hành nghiên cứu và đưa ra một số phương pháp giải cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao về ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan. 2 Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan. Vì vậy em chọn khóa luận “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải ”. Mong rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo để học sinh nắm rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan, từ đó giúp học sinh linh hoạt hơn trong việc lựa chọn phương pháp giải tối ưu cho các bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng… 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu và đề xuất hướng giải một số dạng toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 ban nâng cao. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải ”. Hướng phân loại và đưa ra phương pháp giải một số dạng bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng… Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải” trong chương trình giải tích 12 ban nâng cao trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình. Tìm hiểu việc dạy giải bài tập đề xuất biện pháp dạy học theo hướng phân loại phương pháp giải. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận. Phương pháp điều tra – quan sát. Phương pháp thực nghiệm . 5. Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo…nội dung của khóa luận gồm 3 chương: 3 Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Một số dạng toán về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Lời cảm ơn

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em đã nhận được sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn giảng viên Khoa Toán- Lý- Tin

trường Đại học Tây Bắc, cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn phương pháp dạy học môn toán, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của

các bạn sinh viên lớp K50- Đại học sư phạm Toán trường Đại học Tây Bắc

Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo dạy toán, các em học sinh trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình

Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban chủ nhiệm Khoa Toán- Lý- Tin, các phòng ban, thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn

thành được khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013

TÁC GIẢ Bùi Thị Ngọc

KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Kí hiệu Đọc là THPT Trung học phổ thông NXBGD Nhà xuất bản giáo dục NXBHN Nhà xuất bản Hà Nội NXBĐHSP Nhà xuất bản Đại học Sư phạm SGK Sách giáo khoa

BĐT Bất đẳng thức ĐPCM Điều phải chứng minh PPDH Phương pháp dạy học

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc của khóa luận 2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Cơ sở lý luận 4

1.1.1 Vị trí, chức năng của bài tập toán học 4

1.1.2 Đạo hàm- ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số 7

1.2.1 Vị trí của khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan 12 1.2.2 Mục tiêu của nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao” 12

1.2.3 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan 12

1.3 Điều tra thực trạng dạy và học: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao 13

1.3.1 Điều tra giáo viên 13

1.3.2 Điều tra học sinh 15

CHƯƠNG II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN 17

2.1 Ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số 17

2.2 Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số bậc hai trên bậc nhất 19

2.3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 22

2.4 Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt phẳng tọa độ 25

2.5 Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu Vị trí tương đối của các điểm cực đại, cực tiểu 29

2.5.1 Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu 29

2.5.2 Vị trí các điểm cực đại, cực tiểu 32

2.6 Ứng dụng của đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 37

bậc 2/ bậc 1 37

2.6.1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 37

2.6.2 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước 39

2.6.3 Bài toán 3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 43

2.7 Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất 47

2.8 Ứng dụng và tính chất của đồ thị 52

2.8.1.Biện luận phương trình bằng đồ thị 52

2.8.2 Tương giao của đồ thị hàm bậc hai trên bậc nhất 56

2.8.3 Bài tập về điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị và bài tập về họ đường cong tiếp xúc với đường cố định 58

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 62

3.1 Mục đích thực nghiệm 62

3.2 Nội dung thực nghiệm 62

3.3 Phương pháp thực nghiệm 62

3.4 Đối tượng thực nghiệm 62

3.5 Tổ chức thực nghiệm 62

3.6 Phân tích và đánh giá thực nghiệm 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn khóa luận

Từ những thập kỉ cuối của thế kỉ XX, nhiều quốc gia đã tiến hành chuẩn bị

và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo dục phổ thông mà trọng điểm

là cải cách chương trình và SGK Chương trình của các nước đều hướng tới việc thực hiện yêu cầu nâng cao giáo dục, trực tiếp góp phần cải thiện chất lượng nguồn nhân lực, nâng cao chất lượng cuộc sống của con người, khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng, ảnh hưởng đến sức khỏe, hứng thú và niềm tin đối với việc học tập của học sinh Tình trạng giáo dục thoát ly khỏi đời sống quá nhấn mạnh đến tính hệ thống, yêu cầu quá cao về mặt lý thuyết mà coi nhẹ những tri thức và kỹ năng có liên quan trực tiếp đến cuộc sống hằng ngày của học sinh khiến năng lực hoạt động thực tiễn của người học bị hạn chế Xu hướng đổi mới cũng nhằm khắc phục tình trạng sản phẩm giáo dục không đáp ứng được yêu cầu biến đổi nhanh và đa dạng của sự phát triển xã hội, sự bất bình đẳng về cơ hội tiếp nhận giáo dục mà biểu hiện chủ yếu là sự cách biệt về điều kiện, trình độ giữa các địa phương và khu vực, cách biệt giữa giới tính và địa vị

xã hội Trào lưu cải cách giáo dục lần ba của thế kỷ XX đang hướng vào việc khắc phục những biểu hiện nói trên để chuẩn bị cho thế hệ trẻ ở các quốc gia bước vào thế kỉ XXI

Trong chương trình toán phổ thông các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm

để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán

có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải” luôn được quan tâm và là nội dung được dành nhiều thời gian Các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan” rất đa dạng và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình môn toán của ban nâng cao ở trường THPT

Trong thực tế, đa số các học sinh chưa vận dụng được các ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan

Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…còn khó khăn

và xa lạ đối với các em hoặc còn biết sơ sài về cách tính Để giúp các em giải được các bài toán ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán có liên quan một cách dễ dàng và nhanh chóng em tiến hành nghiên cứu và đưa ra một số phương pháp giải cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao về ứng dụng của đạo hàm vào

khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan

2

Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan Vì vậy

em chọn khóa luận “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong

chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải ”

Mong rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo để học sinh nắm rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan,

từ đó giúp học sinh linh hoạt hơn trong việc lựa chọn phương pháp giải tối ưu cho các bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu và đề xuất hướng giải một số dạng toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 ban nâng cao

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải ”

Hướng phân loại và đưa ra phương pháp giải một số dạng bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…

Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải” trong chương trình giải tích 12 ban nâng cao trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình

Tìm hiểu việc dạy giải bài tập đề xuất biện pháp dạy học theo hướng phân loại phương pháp giải

Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp điều tra – quan sát

Phương pháp thực nghiệm

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo…nội dung của khóa luận gồm 3 chương:

3

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số dạng toán về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số

bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Vị trí, chức năng của bài tập toán học

Bất cứ một nội dung nào cũng có cơ sở lý thuyết và phần bài tập tương ứng Dựa vào phần lý thuyết để giải bài tập và ngược lại bài tập có tác dụng củng cố

lý thuyết

a Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Ta đã biết các bài toán là một dạng của bài tập toán học cho nên để hiểu được vai trò của việc giải bài tập ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc 2/ bậc 1 và các bài toán có liên quan ta sẽ đi tìm hiểu về vị trí cũng như vai trò, chức năng của bài toán học ở trường phổ thông, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán, dạy toán là dạy hoạt động toán học Điều quan trọng là bài tập

có vai trò giá mang hoạt động của học sinh, các bài tập ở trường phổ thông là phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển tư duy và hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Thông qua việc giải các bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định lý, định nghĩa, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu nội dung

và phương pháp dạy học Chính vì vậy mà vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả 3 bình diện:

Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức

độ đạt mục tiêu Mặt khác những bài tập thể hiện chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiên các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:

Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và những khâu khác nhau trong quá trình dạy học Phát triển năng lực trí tuệ, linh hoạt trong việc sử dụng công thức tính đạo hàm một cách phù hợp

Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những nội dung dạy học là giá mang

hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo tri thức nhất định cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác

Những bài tập toán còn là phương tiện cài đặt nội dung để làm hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

5

Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang hoạt

động để người học học những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác nhau Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập và trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học Đảm bào trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập

là phương diện đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập trình độ phát triển của học sinh Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt

Để dạy học giải bài tập ta cần chú ý đến những điểm sau:

Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:

Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thức

Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi

Thực hiện các bước tìm tòi lời giải

Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập

b Phương pháp chung tìm lời giải bài toán

Một số người có tham vọng muốn có một lời giải tổng quát để giải một bài toán Đó là một điều ảo tưởng Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên trang bị

những hướng dẫn chung, gợi ý những suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải quyết bài toán lại là có thể và cần thiết

Để giải một bài toán ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích đề bài

Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

Xác định cái đã cho, cái phải tìm

Có thể dùng công thức, lý luận, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm phương pháp giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất suy đoán Biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh liên hệ với cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũng tương tự một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ phương pháp giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình, thành các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự hay mở rộng hay lật ngược vấn đề

Kết luận: Phương pháp chung để giải bài toán không phải là thuật toán giải bài

toán Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được vận dụng được phương pháp chung để giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong chương trình Học phương pháp chung để giải bài toán mang tính chất tìm tòi phát hiện Nói chung cách thức dạy học sinh mang phương pháp chung

để giải bài toán như sau:

Thông qua việc giải những bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp chung gồm 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này trong quá trình giải toán

Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, phải đặt ra cho học sinh những câu hỏi gợi ý đúng để học sinh dần dần biết sử dụng những phương tiện này như những phương tiện kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước phương pháp chung giải bài toán

Những câu hỏi lúc đầu là do giáo viên đưa ra để hỗ trợ học sinh nhưng dần biến thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh đưa ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý từng bước đi của mình trong quá trình giải toán

Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải cụ thể một bài toán cụ thể là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

c Các yêu cầu đối với lời giải toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải bài toán Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng, ngắn gọn dễ hiểu cụ thể là:

Yêu cầu 1: Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian

7

Kết quả cuối cùng phải là đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ thỏa mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung gian phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức

Yêu cầu 2: Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt phải tuân thủ các yêu cầu sau:

Luận đề phải nhất quán

Luận cứ phải đúng

Luận chứng phải hợp logic

Yêu cầu 3: Lời giải đầy đủ

Yêu cầu có nghĩa là lời giải phải không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là phương trình không thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không thiếu một khả năng nào

Yêu cầu 4: Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho các bộ môn Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

Yêu cầu 5: Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mỹ thuật

Yêu cầu này đặt ra dưới cả lời văn, chữ viết hình vẽ, cách sắp xếp các yếu

tố (chữ, số, hình ) trong lời giải

Yêu cầu 6: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong các cách giải

đã tìm được

Trong quá trình dạy học cần khuyến khích học sinh tìm ra những cách giải trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất

Yêu cầu 7: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Từ yêu cầu 1 tới yêu cầu 4 là 4 yêu cầu cơ bản; yêu cầu 5 là yêu cầu về mặt trình bày; yêu cầu 6, 7 là yêu cầu đề cao

1.1.2 Đạo hàm- ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số

a Xét tính đơn điệu của hàm số

 x a b;  đồng thời f x'( )0chỉ cần xảy ra tại một số hữu hạn điểm ( , )a b

+ Nếu f x( ) đồng biến trên  a b; thì

- Dấu hiệu I: Tìm cực trị của hàm số y f x 

+ Nếu qua điểm tới hạn x , 0 ' 

f x đổi dấu (+) thành () x là điểm cực đại 0

+ Nếu qua điểm tới hạn x , 0 ' 

f x đổi dấu () thành (+) x là điểm cực tiểu 0

+Nếu qua điểm tới hạn x đạo hàm số đổi đấu thì 0 x là điểm cực trị 0

+Nếu qua điểm tới hạn x0đạo hàm số không đổi đấu thì x0không là điểm cực trị

- Dấu hiệu II:

Định lý: y f x  có đạo hàm liên tục tới cấp II tại x 0

+Nếu  

 

'

0 ''

0

00

00

0

00

Dấu hiệu II chỉ là điều kiện đủ

00

10

Giả sử

'

00

g

n g

00

00

g

n g m

00

e Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số bậc hai trên bậc nhất

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Cho đồ thị  C :y f x 

và điểm M0x y0; 0   C Viết phương trình tiếp

tuyến của  C tại M0x y0; 0

 Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước

Cho đồ thị  C

:y f x 

và một số kR

 Bài toán 3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Cho đồ thị  C :y f x  và điểm  a b; cho trước Viết phương trình tiếp tuyến của  C

đi qua  a b;+ Đường thẳng đi qua  a b; với hệ số góc k

Phương trình tiếp tuyến tại x x i

là '    

f Ứng dụng và tính chất của đồ thị

 Biện luận phương trình bằng đồ thị

 Khảo sát sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất

1.2 Cơ sở thực tiễn

1.2.2 Mục tiêu của nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp

12 THPT ban nâng cao”

Về kiến thức: Nắm được định nghĩa đạo hàm

Nắm được các bước khảo sát hàm số

Nắm được phương pháp làm các bài toán có liên quan

Về kỹ năng: Biết cách khảo sát hàm số

Biết vận dụng các kiến thức đã học để làm các bài toán có liên quan

1.2.3 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan

a Cần cho học sinh thấy được những vấn đề nghiên cứu về “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan”: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị…

Việc khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan cần sử dụng kiến thức đạo hàm ở lớp 11 và kiến thức trong hình phẳng ở lớp 10

b Việc khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan trong SGK chỉ được giới thiệu tổng quát mà chưa đi sâu vào vấn đề cụ thể Vì đối với học sinh các bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị… còn khó khăn và yêu cầu các kiến thức ở lớp 10 và lớp 11

Học sinh phải được rèn luyện trong các trường hợp khác nhau đều đưa về các dạng bài tập cơ bản

13

c Phương pháp giảng dạy

Cần cho học sinh thấy rằng để làm được các bài tập ứng dụng của đạo hàm

để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cần phải thành thạo các thao tác: 6 bước khảo sát hàm số, sử dụng các tính chất của đạo hàm, sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song…

1.3 Điều tra thực trạng dạy và học: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất

và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao

Để tìm hiểu thực trạng dạy và học ở một số trường THPT, em tiến hành điều tra trên hai đối tượng giáo viên và học sinh như sau:

1.3.1 Điều tra giáo viên

Bảng1: Đội ngũ giáo viên toán ở trường THPT Hưng Nhân

Đại học

Trên đại học

Nhận xét: Qua bảng điều tra ta thấy phần lớn giáo viên được đào tạo chính quy

chuẩn đại học, có tuổi nghề còn trẻ đa số giáo viên dạy khá, giỏi Một số giáo viên đã có thâm niên lâu năm nên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, do đó

về trình tự các bước lên lớp và phương pháp giảng dạy bộ môn đều nắm vững Tuy nhiên tuổi nghề giáo viên còn trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy,

vì vậy chất lượng đào tạo còn chưa cao

Bảng 2: Đánh giá về nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm

số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan ”

Trường Số

lượng

Nội dung chương trình Mức độ kiến thức

Khả năng vận dụng vào giảng bài tập của học sinh Phù

hợp

Không phù hợp Dễ

Bình thường Khó Dễ

Bình thường Khó

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy nội dung “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát

hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan” ở trường THPT cho ban nâng cao là tương đối phù hợp, phân bố hợp lý, mức độ kiến thức trong chương trình là tương đối phù hợp với học sinh

Bảng 3:

(%)

Chức năng của giáo

viên khi dạy học

bài tập toán

Giải bài tập cho học sinh chép 20 Hướng dẫn học sinh giải bài tập 50 Tạo câu hỏi kích thích tư duy học sinh 20

Phương pháp khác 10 Việc vận dụng PPDH

giải bài tập toán vào

dạy học kiến thức ứng

dụng của đạo hàm để

khảo sát hàm số dạng

bậc hai trên bậc nhất

và các bài toán có liên

quan đối với giáo viên

Khó khăn của giáo

viên khi dạy kiến thức

Chưa vận dụng được PPDH giải bài tập

toán vào giảng dạy 30

15

1.3.2 Điều tra học sinh

Chúng tôi tiến hành điều tra học sinh 3 lớp 121, 122, 123 của trường

THPT Hưng Nhân – Thái Bình

Bảng 1:

Trường Lớp Tổng

số

Học lực Giỏi Khá TB Yếu

Nhận xét: Qua bảng trên ta thấy tỷ lệ học sinh khá, giỏi của trường chiếm phần

lớn, tỷ lệ học sinh yếu kém ít Nhìn chung kết quả học tập của các em khá cao Bên cạnh đó có một số học sinh chưa có kết quả cao trong học tập, nguyên nhân

là do các em chưa thực sự cố gắng trong quá trình học tập Nhà trường có đội ngũ giáo viên trẻ, năng động, có lòng yêu nghề tạo cho chất lượng đào tạo của nhà trường có kết quả cao

Bảng 2: Điều tra về độ khó và phương pháp học nội dung “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan”

Chưa biết cách làm bài tập về

“ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc 2/ bậc 1 và các bài toán có liên quan”

hàm số và các bài toán có liênquan

Nhận xét: Qua điều tra cho ta thấy hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi học

toán, phương pháp học chủ yếu là nghe giảng Đa số học sinh đều nắm được phương pháp ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan nhưng các em chưa thành thạo trong việc vận dụng một số vào giải toán Một số em biết nhưng không biết cách vận dụng như thế nào trong quá trình giải bài tập Do đó giáo viên cần nắm bắt được tình hình trên để có phương pháp giải phù hợp Đặc biệt nội dung ứng dụng của đạo hàm vào các bài toán có liên quan trong chương trình toán ban nâng cao ở trường THPT là kiến thức khó, giáo viên cần đổi mới phương pháp dạy học để học sinh tiếp cận kiến thức mới này một cách dễ dàng hơn

17

Kết luận: Trên cơ sở lý luận và thực tiễn em đã đưa ra lý thuyết các dạng

toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan Đồng thời điều tra thực trạng dạy và học chương trình ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan đối với giáo viên và học sinh

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

2.1 Ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

Kết hợp với điều kiện   ta có:m9

Vậy để hàm số đồng biến trên3; thì m  9

Kết hợp với điều kiện   ta có:m9

+ Bước 4: Kết luận: Vậy để hàm số đồng biến trên 3;  thì m  9

3 92

21

x

x x

x x

21

x

x x

x x

Giải

2

( 1) 2

( )1

Để hàm số đạt cực trị thì phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

hay g x 0có hai nghiệm phân biệt khác 1

 

'

22

m m

Theo bài ra ta có:x x1 2  3    m 1 3 m 2(thỏa mãn)

+ Bước 4: Kết luận: Vậy với m2 thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu và x x1 2  3

00

Vậy với m0thì hàm số có cực đại, cực tiểu

2 Theo bổ đề (*) giả sử y' 0 có hai nghiệm phân biệt x ,1 x khi đó hàm 2  Cm

đạt cực trị tại x ,1 x 2

2.4 Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt phẳng tọa độ

đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu là:y4x m 2

Vậy quỹ tích điểm cực đại là một phần của Parabol:y2x2 ứng với x1

Vậy quỹ tích điểm cực tiểu là một phần của Parabol:y2x2 ứng với x1

 

CT Theo bổ đề trên ta có:

m

, vừa là cực tiểu ứng với

32

Tìm trên mặt phẳng tọa độ các điểm có tính chất: nó vừa là điểm cực đại của đồ

thị ứng với m nào đó đồng thời vừa là cực tiểu ứng với giá trị khác của m

2.5 Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu Vị trí tương đối của các điểm cực đại, cực tiểu

2.5.1 Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu

+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

+ Bước 4: Từ yêu cầu đề bài tính: hoặc ……

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trìnhy' 0

có hai nghiệm phân biệt khác 4 hay g x 0 có hai nghiệm phân biệt x x khác 4 1, 2

00

31

Để hàm số có cực trị thì phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Hay phương trình g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

00