Khóa luận tốt nghiệp toán học:Dạy học nguyên hàm và tích phân hàm hữu tỷ theo hướng phân dạng bài tập và phương pháp giải cho học sinh lớp 12

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận ............................................................ 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 5. Đóng góp của đề tài ...................................................................................... 2 6. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................ 2 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 3 1.1. Dạy học giải bài tập toán học .................................................................... 3 1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học .................................................... 3 1.1.2. Dạy học giải bài tập theo phương pháp đổi mới ................................... 4 1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải .................................................................... 4 1.1.4. Phương pháp tìm lời giải ........................................................................ 5 1.2. Nguyên hàm - tích phân trong nhà trường phổ thông............................. 6 1.2.1. Vị trí, phân phối của nguyên hàm - tích phân trong chương trình toán học ở phổ thông ................................................................................................ 6 1.2.2. Dạy học nguyên hàm- tích phân ở trường phổ thông ........................... 7 1.3. Thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ ở trường phổ thông .......................................................................................... 8 1.3.1. Đối tượng giáo viên ................................................................................. 9 1.3.2. Đối tượng học sinh ................................................................................ 13 1.3.3. Đề xuất giải pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực học tập cho học sinh khi dạy các phương pháp tính tích phân ở trường THPT ................... 18 CHƯƠNG II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NGUYÊN HÀM HỮU TỶ - TÍCH PHÂN HỮU TỶ .................................... 19 2.1. Một số nguyên hàm hữu tỷ cơ bản ......................................................... 19 2.2. Phương pháp giải các dạng toán nguyên hàm hữu tỷ thường gặp ....... 19 2.2.1. Phương pháp tính nguyên hàm dạng 1: 2 dx ax  bx  c  (a # 0) ....... 19 2.2.2. Phương pháp tính nguyên hàm dạng 2:   2 p x dx ax  bx  c  với P(x) là đa thức bậc n ....................................................................................................... 23 2.2.3. Phương pháp tính nguyên hàm dạng 3:    2 dx x   ax  bx  c  ....... 24 2.2.4. Phương pháp tính nguyên hàm dạng 4:      2 P x dx x   ax  bx  c  với P(x) là hàm đa thức bậc n .............................................................................. 29 2.3. Phương pháp giải các dạng toán tích phân hữu tỷ thường gặp ............ 32 2.3.1. Phương pháp tÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:   2 dx I a 0 ax bx c        (trong ®ã 2 ax  bx  c  0 víi mäi x; )....32 322.3.2. Phương pháp tính tích phân dạng 2:   mx n I dx, a 0 2 ax bx c         ......................................................................................................................... 35 2.3.3. Phương pháp tính tích phân dạng 3: b a P(x) I dx Q(x)   víi P(x) vμ Q(x) lμ ®a thøc cña x ................................................................................................... 37 2.3.4. Phương pháp tính tích phân dạng 4:      2 P x dx x ax bx c        ........ 39 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................... 42 3.1 Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 42 3.2 Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 42 3.3 Phương pháp thực nghiệm ....................................................................... 42 3.4 Tổ chức thực nghiệm ................................................................................ 42 3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................ 49 3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ............................................................... 50 PHẦN KẾT LUẬN ......................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 52 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay thế giới, sự phát triển như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đã tác động mạnh mẽ tới mọi lĩnh vực của đất nước ta nói chung và thúc đẩy sự nghiệp GD nói riêng chính sự đổi mới đất nước yêu cầu nghành GD-ĐT phải có sự đổi mới về nội dung, chương trình đào tạo để đáp ứng nhu cầu tạo ra những con người phát triển toàn diện có đủ đức và tài, những con người có tri thức,trí tuệ phát triển thông minh sáng tạo, năng động đặc biệt là thực tế. Muốn vậy các cấp học, bậc học trong nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho các em hệ thống kiến thức cơ bản hiện đại và đặc biệt phải phù hợp với yêu cầu thực tiễn.Tức là GD – ĐT phải vũ trang cho mình phương pháp dạy phát huy vai trò chủ động của người học, giải đáp tốt bốn câu hỏi “Dạy ai ? Dạy cái gì? Dạy như thế nào? Dạy để làm gì? Trong học tập nói chung và học tập môn toán nói riêng,lí thuyết và bài tập có sự tác động qua lại với nhau, hỗ trợ củng cố cho nhau. Để học sinh khắc sâu kiến thức, có kĩ năng thực hành giải toán, đồng thời góp phần tích cực trong việc giáo dục rèn luyện và phát triển trí tuệ cho các em.Tuy nhiên thực tế dạy học cho thấy phần hơn học sinh chỉ ghi nhớ, áp dụng công thức toán học vào giải bài tập chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa hiểu thấu đáo còn nhìn nhận vấn đề đặt ra một cách máy móc. Do đó vai trò của giáo viên “Tổ chức, định hướng, hoạt động tư duy giúp học sinh vượt qua khó khăn ’’ Nguyên hàm hữu tỷ -Tích phân hữu tỷ là một phần phần quan trọng trong giải tích toán học,các em học sinh lớp 12 và các sinh viên năm thứ nhất đại học thường gặp những khó khăn trong việc học chuyên đề này. Chính vì vậy để giúp các em học sinh tránh những sai lầm khi giải nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ.Tôi đã lựa chọn đề tài: “Dạy học nguyên hàm và tích phân hàm hữu tỷ theo hướng phân dạng bài tập và phương pháp giải cho học sinh lớp 12”. Tôi hy vọng đề tài nghiên cứu của tôi sẽ là tài liệu tham khảo cho giáo viên ở các trường THPT và các em học sinh lớp 12 2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận Khóa luận nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học tích cực, nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy và học môn toán cho giáo viên và học sinh THPT.Việc phân dạng bài tập và phương pháp giải nguyên hàm hữu tỷ - tích 2 phân hữu tỷ giúp cho học sinh hình thành tư duy toán học trong quá trình học và làm bài tập. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ở trường THPT - Vai trò của Nguyên hàm hữu tỷ -Tích phân hữu tỷ trong chương trình toán học ở THPT - Vị trí chức năng của bài toán Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ - Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ’’ trong chương trình giải tích 12 ở một số trường THPT - Tìm hiểu việc dạy giải bài tập “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ’’ - Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp điều tra – quan sát - Phương pháp thực nghiệm 5. Đóng góp của đề tài - Đề tài đóng góp vào việc xây dựng một cách có hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ” cho học sinh THPT. Đồng thời là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, sinh viên ngành sư phạm toán để nâng cao chất lượng dạy và học. 6. Cấu trúc của khóa luận Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Đóng góp của đề tài 6. Cấu trúc của khóa luận Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Phân dạng bài tập và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ’’ cho học sinh lớp 12 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ LOAN

DẠY HỌC NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

HÀM HỮU TỶ THEO HƯỚNG PHÂN DẠNG BÀI TẬP

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỌC SINH

LỚP 12

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ LOAN

DẠY HỌC NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

HÀM HỮU TỶ THEO HƯỚNG PHÂN DẠNG BÀI TẬP

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỌC SINH

LỚP 12

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Triệu Sơn

Sơn La, năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em đã nhận được sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn giảng viên khoa Toán – Lý –Tin

Trường Đại học Tây Bắc, phòng quản lí khoa học, Ban chủ nhiệm khoa Toán –

Lí – Tin trường Đại học Tây Bắc Đồng thời tôi cũng nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ bộ môn phương pháp toán trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo dạy toán và học sinh khối 12 của hai trường T.H.P.T Than Uyên, T.H.P.T Đoàn Kết Cùng sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Thạc sĩ Đinh Trọng Hiếu giáo viên trường THPT Đoàn Kết, sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn sinh viên K50 – Đại học sư phạm Toán – Lí

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em học sinh đã đóng góp ý kiến, giúp tôi hoàn thành khóa luận Với luận văn này tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, phê bình của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Sinh viên

Nguyễn Thị Loan

KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT DÙNG TRONG KHÓA LUẬN

Kí hiệu, chữ viết tắt Đọc là

NXBGD Nhà xuất bản giáo dục NXBHN Nhà xuất bản hà nội NXBĐHSP Nhà xuất bản đại học sư phạm

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu của khóa luận 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đóng góp của đề tài 2

6 Cấu trúc của khóa luận 2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Dạy học giải bài tập toán học 3

1.1.1 Vị trí chức năng của bài tập toán học 3

1.1.2 Dạy học giải bài tập theo phương pháp đổi mới 4

1.1.3 Các yêu cầu đối với lời giải 4

1.1.4 Phương pháp tìm lời giải 5

1.2 Nguyên hàm - tích phân trong nhà trường phổ thông 6

1.2.1 Vị trí, phân phối của nguyên hàm - tích phân trong chương trình toán học ở phổ thông 6

1.2.2 Dạy học nguyên hàm- tích phân ở trường phổ thông 7

1.3 Thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ ở trường phổ thông 8

1.3.1 Đối tượng giáo viên 9

1.3.2 Đối tượng học sinh 13

1.3.3 Đề xuất giải pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực học tập cho học sinh khi dạy các phương pháp tính tích phân ở trường THPT 18

CHƯƠNG II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NGUYÊN HÀM HỮU TỶ - TÍCH PHÂN HỮU TỶ 19

2.1 Một số nguyên hàm hữu tỷ cơ bản 19

2.2 Phương pháp giải các dạng toán nguyên hàm hữu tỷ thường gặp 19

2.2.1 Phương pháp tính nguyên hàm dạng 1: 2 dx    (a # 0) 19

2.2.2 Phương phỏp tớnh nguyờn hàm dạng 2:  

2

p x

dx

 với P(x) là đa

thức bậc n 23

2.2.3 Phương phỏp tớnh nguyờn hàm dạng 3:    2  dx x  ax bxc  24

2.2.4 Phương phỏp tớnh nguyờn hàm dạng 4:      2  P x dx x  ax bxc  với P(x) là hàm đa thức bậc n 29

2.3 Phương phỏp giải cỏc dạng toỏn tớch phõn hữu tỷ thường gặp 32

2.3.1 Phương phỏp tính tích phân dạng tổng quát sau:   2 dx I a 0 ax bx c        (trong đó ax 2 bx c 0 với mọi x   ; ) 32

322.3.2 Phương phỏp tớnh tớch phõn dạng 2: mx n   I dx, a 0 2 ax bx c         35

2.3.3 Phương phỏp tớnh tớch phõn dạng 3: b a P(x) I dx Q(x)   với P(x) và Q(x) là đa thức của x 37

2.3.4 Phương phỏp tớnh tớch phõn dạng 4:      2  P x dx x ax bx c        39

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 42

3.1 Mục đớch thực nghiệm 42

3.2 Nội dung thực nghiệm 42

3.3 Phương phỏp thực nghiệm 42

3.4 Tổ chức thực nghiệm 42

3.5 Đỏnh giỏ kết quả thực nghiệm 49

3.6 Kết luận rỳt ra từ thực nghiệm 50

PHẦN KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay thế giới, sự phát triển như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học

kĩ thuật đã tác động mạnh mẽ tới mọi lĩnh vực của đất nước ta nói chung và thúc đẩy sự nghiệp GD nói riêng chính sự đổi mới đất nước yêu cầu nghành GD-ĐT phải có sự đổi mới về nội dung, chương trình đào tạo để đáp ứng nhu cầu tạo ra những con người phát triển toàn diện có đủ đức và tài, những con người có tri thức,trí tuệ phát triển thông minh sáng tạo, năng động đặc biệt là thực tế Muốn vậy các cấp học, bậc học trong nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho các em hệ thống kiến thức cơ bản hiện đại và đặc biệt phải phù hợp với yêu cầu thực tiễn.Tức là GD – ĐT phải vũ trang cho mình phương pháp dạy phát huy vai trò chủ động của người học, giải đáp tốt bốn câu hỏi “Dạy ai ? Dạy cái gì? Dạy như thế nào? Dạy để làm gì?

Trong học tập nói chung và học tập môn toán nói riêng,lí thuyết và bài tập có sự tác động qua lại với nhau, hỗ trợ củng cố cho nhau Để học sinh khắc sâu kiến thức, có kĩ năng thực hành giải toán, đồng thời góp phần tích cực trong việc giáo dục rèn luyện và phát triển trí tuệ cho các em.Tuy nhiên thực tế dạy học cho thấy phần hơn học sinh chỉ ghi nhớ, áp dụng công thức toán học vào giải bài tập chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa hiểu thấu đáo còn nhìn nhận vấn đề đặt ra một cách máy móc

Do đó vai trò của giáo viên “Tổ chức, định hướng, hoạt động tư duy giúp học sinh vượt qua khó khăn ’’

Nguyên hàm hữu tỷ -Tích phân hữu tỷ là một phần phần quan trọng trong giải tích toán học,các em học sinh lớp 12 và các sinh viên năm thứ nhất đại học thường gặp những khó khăn trong việc học chuyên đề này Chính vì vậy để giúp các em học sinh tránh những sai lầm khi giải nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu

tỷ.Tôi đã lựa chọn đề tài: “Dạy học nguyên hàm và tích phân hàm hữu tỷ theo hướng phân dạng bài tập và phương pháp giải cho học sinh lớp 12”

Tôi hy vọng đề tài nghiên cứu của tôi sẽ là tài liệu tham khảo cho giáo viên ở các trường THPT và các em học sinh lớp 12

2 Mục đích nghiên cứu của khóa luận

Khóa luận nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học tích cực, nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy và học môn toán cho giáo viên và học sinh THPT.Việc phân dạng bài tập và phương pháp giải nguyên hàm hữu tỷ - tích

phân hữu tỷ giúp cho học sinh hình thành tư duy toán học trong quá trình học và

làm bài tập

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ở trường THPT

- Vai trò của Nguyên hàm hữu tỷ -Tích phân hữu tỷ trong chương trình toán

học ở THPT

- Vị trí chức năng của bài toán Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ

- Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân

hữu tỷ ’’ trong chương trình giải tích 12 ở một số trường THPT

- Tìm hiểu việc dạy giải bài tập “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ’’

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra – quan sát

- Phương pháp thực nghiệm

5 Đóng góp của đề tài

- Đề tài đóng góp vào việc xây dựng một cách có hệ thống các dạng bài tập

và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ” cho học sinh

THPT Đồng thời là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, sinh viên ngành

sư phạm toán để nâng cao chất lượng dạy và học

6 Cấu trúc của khóa luận

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu của khóa luận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Đóng góp của đề tài

6 Cấu trúc của khóa luận

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Phân dạng bài tập và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ -

Tích phân hữu tỷ ’’ cho học sinh lớp 12

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Dạy học giải bài tập toán học

1.1.1 Vị trí chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông dạy học là một hoạt động Toán học Do đó học sinh có thể xem việc giải bài tâp Toán học là một hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Thông qua việc giải bài tập Toán học, học sinh đều phải trải qua những hoat động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những định nghĩa, những định lý,quy tắc, phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt đông trí tuệ phổ biến và những hoạt động trí tuệ chung Các bài Toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng,

kỹ xảo Qua đó bước đầu rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn, bồi dưỡng năng lực sáng tạo độc đáo, kỹ năng giải bài tập Toán một cách thành thạo Hoạt động giải bài tập Toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả trong việc giải bài tập Toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học môn Toán

Vai trò của bài tập Toán thể hiện 3 bình diện

- Bình diện mục tiêu dạy học

+ Hình thành củng cố kiến thức kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập Toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý thuyết

- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu day học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ

chức cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra … Tất nhiên, việc giải bài tâp

cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó của quá trình dạy học mà nó đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng với những chức năng khác nhau

Như vậy bài tập Toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư duy khoa học mà còn kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh Bài tập Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ mang đầy đủ chức năng, vai trò của một bài tập Toán học

1.1.2 Dạy học giải bài tập theo phương pháp đổi mới

a) Xây dựng chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:

+ Bài tập tương tự với bài tập sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình + Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại hệ thống hóa gồm nhiều kiến thức

+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập sách giáo khoa là trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi

b) Thực hiện gợi động cơ, phân bậc hoạt động tìm tòi lời giải bài toán c) Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập toán theo quy trình bốn bước của G.Poria

1.1.3 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy hết tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần phải nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết

i) Kết quả đúng, kể cả bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…thỏa mãn các yêu cầu đề ra Kết quả của bước trung gian cũng phải đúng Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình,

2i) Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

+ Lập luận phải nhất quán

+ Luận cứ phải đúng

+Luận cứ phải hợp logic

3i) Lời giải phải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ xót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào, cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu khả năng nào,…

4i) Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy môn toán cũng phải tuân theo yêu cầu này

5i) Trình bầy rõ ràng đảm bảo mỹ thuật

Yêu cầu này đặt ra đối với các lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu ,…) trong lời giải

6i) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

Cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh các cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các cách đã tìm được

7i) Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Bốn yêu cầu (i) đến (4i) là các yêu cầu cơ bản, (5i) là yêu cầu về mặt trình bầy và (6i), (7i) là các yêu cầu đề cao

1.1.4 Phương pháp tìm lời giải

Trong môn toán ở chương trình phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cách tốt nhất để giáo viên trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa, nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt nhằm trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là có thể và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với các gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

+ Phát biểu đề bài dưới những dạng kiến thức khác nhau để hiểu rõ nội

dung bài toán

+ Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh

+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó

có liên quan, sử dụng các phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình,toán quỹ tích,…

+ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan… + Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng đã chọn được cách giải hợp lí

Bước 3: Trình bầy lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trật tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2 Nguyên hàm - tích phân trong nhà trường phổ thông

1.2.1 Vị trí, phân phối của nguyên hàm - tích phân trong chương trình toán học ở phổ thông

Trong chương trình môn toán ở trường THPT, học sinh học về nguyên hàm tích phân ở lớp 12 Nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ là môt phần rất quan trọng trong mảng kiến thức về nguyên hàm tích phân Nội dung kiến thức bao gồm các vấn đề sau:

+ Định nghĩa nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm

cơ bản

+ Định nghĩa tích phân các tính chất cơ bản của tích phân, các phương pháp tính tích phân, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích

Tuy nhiên theo tư tưởng của chương trình sách giáo khoa đổi mới sẽ bổ sung thêm trong phần nguyên hàm các phương pháp tính nguyên hàm làm nền tảng cho các phương pháp tính tích phân

Theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo phần nguyên hàm – tích phân được học ở cuối học kì I sang đầu học kì II của lớp 12 Nội dung kiến thức được chia dạy trong 19 tiết: Học kì I (8 tiết); Học kì II (11 tiết) Cụ thể như sau: Giải tích 12: Chương III: Nguyên hàm và tích phân

Bài tập ôn tập chương 2 tiết

Kiểm tra viết cuối chương 1 tiết

1.2.2 Dạy học nguyên hàm- tích phân ở trường phổ thông

a Dạy học nguyên hàm ở trường phổ thông

Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của đạo hàm, ta có thể chứng minh được một số tính chất quan trọng của nguyên hàm như:

- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x); a là một hằng số thì aF(x) là nguyên hàm của af(x)

- F(x) + G(x) +C là họ nguyên hàm của f(x) + g(x) nếu F(x) là nguyên hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x)

Dựa vào các tính chất đó và bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

ta có thể suy ra bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản ta có thể tìm được nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ và

Tuy vậy cũng còn chưa tìm được nguyên hàm của một số khá nhiều hàm

số Vì vậy cũng nên giới thiệu cho học sinh biết phương pháp tìm nguyên hàm

từng phần qua những ví dụ cụ thể Nếu học sinh nắm được những đặc điểm cơ

bản của hai phương pháp này thì sau này, khi tính tích phân, sẽ có nhiều thuận

tiện hơn

Khái niệm nguyên hàm một mặt có liên quan với khái niệm đạo hàm, mặt

khác có liên quan với khái niệm tích phân Vì vậy khi dạy học tìm nguyên hàm,

cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng các kiến thức về đạo hàm đồng

thời cần chú ý rèn luyện cho họ những kĩ năng cần thiết sau này tính tích phân

Nếu sử dụng trực tiếp định lí Niuton-Leibnitz mà không tính được tích phân thì

người ta dùng phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phân

Trong một số trường hợp, ta cần dùng phối hợp cả ba phương pháp: dùng

trực tiếp định lí Niuton-Leibnitz, đổi biến số, tích phân từng phần, và các trường

hợp phải đổi biến số nhiều lần hoặc tính tích phân từng phần nhiều lần

Cũng nên chú ý rằng nếu nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân,trong

một số trường hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phương pháp đơn giản

hơn thông thường

1.3 Thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ

ở trường phổ thông

Để tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân

hữu tỷ ở một số trường THPT, chúng tôi đã tiến hành khảo sát 2 trường THPT,

THPT Đoàn Kết, THPT Than Uyên

1.3.1 Đối tượng giáo viên

Tuổi nghề ( năm ) Hệ đào tạo Chất lượng

THPT Than Uyên

1

Trọng tâm của

việc đổi mới phương pháp

Phát huy tích cực chủ động của

Bồi dưỡng trí thông minh, sáng

Nâng cao năng lực, khả năng

THPT Than Uyên

1 Thực trạng

Giảng dạy

Thầy đọc - trò ghi

Học sinh tự nghiên cứu và giải quyết vấn

Chỉ có ở các giáo viên khá giỏi 8 5 Rất ít khi dạy theo phương pháp đổi mới 2 1

1

Công tác quản lí, chỉ đạo cấp trên chưa kịp thời dẫn đến giáo viên chưa tích cực với dạy học và lên lớp

Cơ sở vật chất giảng dạy còn thiếu thốn dẫn đến giáo viên chưa đủ điều kiện dạy đổi mới

Từ bảng số liệu thể hiện trên ta thấy việc đổi mới phương pháp giảng dạy của giáo viên bậc THPT đã bước đầu được các nhà trường quan tâm Việc sử dụng phương pháp dạy học đổi mới đã có những chuyển biến ban đầu, giáo viên đã biết cách tạo ra hệ thống câu hỏi phù hợp dẫn dắt học sinh đi đến tri thức dựa vào đàm thoại vấn đáp Tuy nhiên việc đổi mới diễn ra chưa thường xuyên, chỉ được áp dụng trong các đợt thao giảng và chỉ có các giáo viên có trình độ chuyên môn khá giỏi dù theo định hướng của bộ giáo dục sẽ áp dụng phương pháp dạy học đổi mới đồng loạt vào bậc THPT trong năm 2006 –

2007, nhận thức của giáo viên về vấn đề này chưa sâu sắc, bản chất dạy học hiện nay vẫn là trò thụ động tiếp thu kiến thức theo kiểu thầy truyền đạt, trò tiếp nhận thầy đọc trò ghi

Tình trạng này cũng một phần do nguyên nhân đời sống giáo viên chưa cao,chưa đủ điều kiện tâm huyết với công việc giảng dạy, hơn nữa lại do công tác quản lí chỉ đạo của cấp trên chưa kịp thời, đảng bộ, công tác kiểm tra đánh giá mang tính chất hình thức, khuôn mẫu máy móc, học sinh vẫn chưa theo kiểu dập khuôn, chưa ý thức được tầm quan trọng của việc học bài trên lớp và tự học bài ở nhà, còn ỷ lại vào tài liệu có sẵn ( như sách giáo khoa, sách bài tập, sách

giải, sách học tốt, …) chưa tự ý thức tư duy kiến thức

Bảng 4 STT Nội dung Ý kiến THPT Đoàn Kết THPT Than Uyên 1 Sự phân bố chương trình môn toán bậc THPT so với trình độ nhận thức của học sinh Phù hợp 6 9

Chưa phù hợp 1 2

Bình thường 1 3

Ý kiến khác

2 Sự phân bố nội dung chương trình nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ đối với học sinh Phù hợp 4 9

Chưa phù hợp 5 2

Bình thường 1 6

Ý kiến khác 2

Qua bảng thống kê trên ta thấy phần lớn giáo viên cho rằng phân phối

chương trình môn toán và phân phối chương trình nguyên hàm hữu tỷ - tích

phân hữu tỷ ở bậc THPT đã phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh và thời

gian tiết học

1.3.2 Đối tượng học sinh

Việc điều tra ban đầu đã thu được các kết quả về số lượng học sinh, sơ yếu

lí lịch của học sinh một số lớp 12 như sau:

Kinh Thái Tày Dân

Tộc khác

Giỏi khá Trung

bình

Yếu Kém

Như vậy chất lượng học tập ở trường THPT Than Uyên cao hơn so với

trường THPT Đoàn Kết Chất lượng học tập giữa các lớp trong cả hai trường

chưa đồng đều về số lượng học sinh khá, giỏi, trung bình, yếu kém Nguyên

nhân do nhiều yếu tố khác nhau song dễ nhận thấy trường THPT Than Uyên

chất lượng học tập cao hơn do đây là trường thị trấn nơi đây tập trung nhiều

giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy, được nhà nước và nhân dân đầu tư về cơ sở

vật chất khá phong phú, các em có điều kiện học tập tốt Còn trường THPT

Đoàn Kết là trường có nhiều học sinh con em dân tộc điều kiện học tập còn

nhiều khó khăn nên chất lượng học tập còn chưa cao Do đó chất lượng, số học

sinh khá, giỏi của trường THPT Than Uyên có phần trội hơn trường THPT

Đoàn Kết

em đều dành ra một lượng thời gian khá nhiều để học môn toán, đồng thời có nhiều ý kiến đóng góp xây dựng bài trong giờ toán, tạo cho không khí học tập sôi nổi, tăng sự hứng thú cho giờ học Điều này rất quan trọng cho việc học bộ môn Nhưng vẫn còn tồn tại một số ý kiến như học toán chỉ cần hiểu trên lớp là

đủ, không cần học thêm thời gian ở nhà, hay việc phát biểu ý kiến theo từng bài, bài dễ hiểu thì xung phong phát biểu, bài khó thì thôi, hoặc còn một số em chưa tự tin vào câu trả lời nên còn rụt rè không dám phát biểu, chỉ những câu ăn chắc mới

với hành, ngoài giờ học trên lớp nắm được lý thuyết các em cần rèn luyện nhiều thông qua việc làm bài tập ở nhà để tạo thành kỹ năng, kỹ xảo riêng Hơn nữa, môn toán là môn khó, kiến thức rộng, vì vậy đối với mỗi liều kiến thức thì lượng thời gian trên lớp chỉ đủ cho các em nắm được phần kiến thức cơ bản, để các em hiểu sâu, hiểu rộng hơn buộc phải đọc thêm nhiều tài liệu tham khảo ở nhà

Nghe giảng trên lớp, đọc SGK

và tài liệu tham khảo

các nghành khoa học kỹ thuật Đây sẽ là một tiềm lực lớn cho đất nước ta Các em đều cảm thấy môn toán thú vị hay có cảm nhận nhẹ nhàng không quá sợ đối với bộ môn tương đối khó này Tuy nhiên các em còn mới sử dụng phương pháp học theo kiểu nghe giảng trên lớp kết hợp với đọc sách giáo khoa và tài liệu tham khảo, phương pháp học như vậy còn thụ động chưa phát huy tối ưu tính tích cực học tập của học sinh Bên cạnh đó điều đáng phấn khởi là dù chưa phải nhiều nhưng cũng

có những em đã có ý thức tự giác học tập nghe giảng bài và hiểu bài ngay tại lớp, kết hợp tự học ở nhà Đa số các em đều sử dụng thêm sách tham khảo, ý thức tự học, tự nghiên cứu đã tăng lên Với thực trạng này việc áp dụng phương pháp dạy học đổi mới vào bậc THPT có tính khả thi, có thể thực hiện được một cách dần dần

từ từ Phải nói thêm rằng, ý thức học tập thể, học hỏi trao đổi lẫn nhau giữa các em học sinh hiện nay còn kém, các em chủ yếu tự học, ít học tập theo nhóm chỉ được

sử dụng khi có các thầy cô giáo yêu cầu hoặc vào những đợt kiểm tra, tần số những lần học nhóm của các em chưa cao nhưng đã có, điều này được phát huy khi áp dụng phương pháp dạy học đổi mới

Tính nhầm khi thay cận 11 15 13 12 Không nhớ công thức

THPT Than Uyên

Thành Thạo (%)

Chưa Thành Thạo (%)

Chưa Biết (%)

Thành Thạo (%)

Chưa Thành Thạo (%)

Chưa Biết (%)

Đối với phần học nguyên hàm hữu tỷ- tích phân hữu tỷ các em đều nhận xét rằng khó, điều này càng được thể hiện rõ trong bảng 9 nói lên mức độ, kỹ năng giải toán tính nguyên hàm hữu tỷ- tích phân hữu tỷ của các em chưa thành thạo

toán tính nguyên hàm hữu tỷ- tích phân hữu tỷ Để khắc phục tình trạng này

theo tôi cần phân dạng bài tập và phương pháp giải Đưa ra một số biện pháp

góp phần thúc đẩy nâng cao chất lượng dạy học ở các trường THPT miền núi

1.3.3 Đề xuất giải pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực học tập cho

học sinh khi dạy các phương pháp tính tích phân ở trường THPT

Qua số liệu thống kê điều tra được về giáo dục của một số trường THPT

miền núi Các giáo viên phần đa chỉ mới cho học sinh tiếp cận ngoài rìa

Phương pháp dạy học mới chứ chưa một nơi nào áp dụng hoàn chỉnh Chính vì

thế kết quả giáo dục chưa cao, học sinh còn luống cuống trong học tập Từ thực

tế đó tôi xin đưa ra một số giải pháp sau:

Phân dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán tích phân hữu tỷ -

nguyên hàm hữu tỷ ở chương trình toán lớp 12 Nhằm mục tiêu giúp học sinh

đứng trước một bài toán tích phân hữu tỷ - nguyên hàm hữu tỷ biết được ở dạng

nào và cách làm thế nào, giải thích được tại sao làm như vậy? Dạy cho học sinh

biết cách phân dạng bài tập và phương pháp giải từng bài để các em có thể áp

dụng được để giải thành thạo các bài tập

CHƯƠNG II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

NGUYÊN HÀM HỮU TỶ - TÍCH PHÂN HỮU TỶ

2.1 Một số nguyên hàm hữu tỷ cơ bản

dx

1 ln | x | C

xdu

Bước 1: Tính  b2 4ac

Bước 2: Phân chia các trường hợp của 

+ Với  > 0 Ta biến đổi để đưa nguyên hàm về tổng các nguyên hàm dưới dạng  dx

+Với=0.Ta biến đổi ax2 bxc về dạng (axb)2 sau đó áp dụng công

 là dạng bài yêu cầu

học sinh phải thành thạo các kĩ năng tính toán, áp dụng thành thạo các công thức nguyên hàm cơ bản, biết biến đổi về dạng nguyên hàm cơ bản để tính toán

Việc giải bài tập nguyên hàm hữu tỷ dạng 2 dx

Nếu n2 thì chia P(x) cho ax2 bxc sau đó đưa về nguyên hàm cơ bản

Nếu n 1 thì dùng phương pháp phân tích hoặc cân bằng hệ số để đưa về các nguyên hàm cơ bản

Lưu ý: Kiểm tra

,

kudxu

 Thì việc giải nguyên hàm trở lên đơn giản hơn

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm

2 2