Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số bất đẳng thức quan trọng trong không gian Sobolev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ MÙI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV SƠN LA −2013 4 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Trọng Lưỡng và Thạc sỹ Nguyễn Thanh Tùng−Giảng viên bộ môn giải tích trường Đại học Tây Bắc đã tận tâm hướng dẫn,động viên để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lí- Tin,thư viện trường đại học Tây Bắc đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Sơn La, ngày tháng năm Sinh viên Nguyễn Thị Mùi 0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 5 0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 0.1.1 Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là bộ môn khoa học Toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng rãi,nó được ra đời vào khoảng thế kỷ thứ XVII do nhu cầu của cơ học . Nhắc đến phương trình đạo hàm riêng chúng ta thường chú ý tới hai vấn đề cơ bản như sau: Thứ nhất ,mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý như:tìm hàm sóng trong dao động của dây,màng mỏng,vật rắn đàn hồi ,sóng điện tử ,cũng như tìm phân bố nhiệt độ trong một vật thể,v.v... Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý ,dẫn đến một ngành giải tích mới của giải tích-phương trình vật lý toán vào giữa thế kỷ XVIII.Những người đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến :J.D’Alembert,L.Euler,D.Becnulli,J.Lagrange,P.laplece, S.Poison, J.Fourier. Các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của họ khi xem xét các bài toán vật lý cụ thể ảnh hưởng rất lớn đến lý thuyết tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cuối thế kỷ XIX. Thứ hai ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác như :giải tích hàm và lý thuyết hàm ,tôpô đại số,giải tích phức,lý thuyết xác suất,v.v... Chính nhà toán học Poincare năm 1890 đã nhấn mạnh rằng:,rất nhiều bài toán của những lĩnh vực khác nhau như:Thủy động lực học,điện học,nhiệt học,quang học,lý thuyết đàn hồi,v.v....,có thể nghiên cứu bằng công cụ giống nhau đó là phương trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng là cầu nối giữa toán học và ứng dụng,nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú ,tính đầy đủ sâu sắc ,tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu,điều khiển tối ưu,trò chơi vi phân,giải tích số,tính toán khoa học„ , kể cả các lý thuyết như lý thuyết kì dị,tai biến,rẽ nhánh,hỗn loạn. Tuy trên thế giới phương trình đạo hàm riêng đã và đang phát triển mạnh nhưng ở nước ta sách về tiếng việt còn rất ít.cùng với sự yêu thích nghiên cứu Toán học ứng dụng,để 0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu 6 bước đầu nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng trong khóa luận của mình em xin tìm hiểu về không gian Sobolev,cụ thể hơn là nhiên cứu các tính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng cũng như sự biểu diễn tiệm cận của nghiệm suy rộng gần các nghiệm kì dị của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Nhằm giúp những bạn sinh viên,độc giả yêu thích bộ môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân em nói riêng về môn khoa học này em lựa chọn nghiên cứu đề tài: Một số bất đẳng thức quan trọng trong không gian Sobolev.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ MÙI

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

QUAN TRỌNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV

SƠN LA −2013

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Trọng Lưỡng và Thạc sỹNguyễn Thanh Tùng−Giảng viên bộ môn giải tích trường Đạihọc Tây Bắc đã tận tâm hướng dẫn,động viên để em có thể hoànthành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể cácthầy cô giáo trong khoa Toán - Lí- Tin,thư viện trường đại họcTây Bắc đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tạikhoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tớigia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ emtrong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Sơn La, ngày tháng năm

Sinh viên

Nguyễn Thị Mùi

0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 5

0.1 PHẦN MỞ ĐẦU

0.1.1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là bộ môn khoa học Toán học

cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụngrộng rãi,nó được ra đời vào khoảng thế kỷ thứ XVII do nhucầu của cơ học Nhắc đến phương trình đạo hàm riêng chúng

ta thường chú ý tới hai vấn đề cơ bản như sau: Thứ nhất,mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý như:tìm hàm sóngtrong dao động của dây,màng mỏng,vật rắn đàn hồi ,sóng điện

tử ,cũng như tìm phân bố nhiệt độ trong một vật thể,v.v Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thườnggặp trong vật lý ,dẫn đến một ngành giải tích mới của giảitích-phương trình vật lý toán vào giữa thế kỷ XVIII.Nhữngngười đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến:J.D’Alembert,L.Euler,D.Becnulli,J.Lagrange,P.laplece, S.Poison,J.Fourier Các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của họ khi xemxét các bài toán vật lý cụ thể ảnh hưởng rất lớn đến lý thuyếttổng quát của phương trình đạo hàm riêng cuối thế kỷ XIX Thứhai ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chungcho các ngành toán học và khoa học khác như :giải tích hàm và

lý thuyết hàm ,tôpô đại số,giải tích phức,lý thuyết xác suất,v.v Chính nhà toán học Poincare năm 1890 đã nhấn mạnh rằng:,rấtnhiều bài toán của những lĩnh vực khác nhau như:Thủy động lựchọc,điện học,nhiệt học,quang học,lý thuyết đàn hồi,v.v ,có thểnghiên cứu bằng công cụ giống nhau đó là phương trình đạo hàmriêng.Phương trình đạo hàm riêng là cầu nối giữa toán học vàứng dụng,nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú,tính đầy đủ sâu sắc ,tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành nhưtối ưu,điều khiển tối ưu,trò chơi vi phân,giải tích số,tính toánkhoa học„, kể cả các lý thuyết như lý thuyết kì dị,tai biến,rẽnhánh,hỗn loạn Tuy trên thế giới phương trình đạo hàm riêng

đã và đang phát triển mạnh nhưng ở nước ta sách về tiếng việtcòn rất ít.cùng với sự yêu thích nghiên cứu Toán học ứng dụng,để

0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu 6

bước đầu nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng trong khóaluận của mình em xin tìm hiểu về không gian Sobolev,cụ thể hơn

là nhiên cứu các tính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng

để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng cũng như

sự biểu diễn tiệm cận của nghiệm suy rộng gần các nghiệm kì dịcủa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Nhằm giúp nhữngbạn sinh viên,độc giả yêu thích bộ môn phương trình đạo hàmriêng nói chung và bản thân em nói riêng về môn khoa học này

em lựa chọn nghiên cứu đề tài: Một số bất đẳng thức quan trọngtrong không gian Sobolev

0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu

0.2.1 Đối tượng

Nghiên cứu các tính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúngtrong không gian Sobolev

0.2.2 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu lý thuyết

• Sưu tầm tài liệu

• Trao đổi với giáo viên hướng dẫn trên cơ sở đó phân tích,diễngiải,làm rõ và trình bày có hệ thống vấn đề đặt ra

0.2.3 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu trên các không gian hàm đặc biệt là các không gianSobolev

0.3.2 Nhiệm vụ

Với mục đích đặt ra nhiệm vụ của nghiên cứu là phát biểu vàchứng minh,trình bày có hệ thống lôgic chặt chẽ các tính chất,cácbất đẳng thức một số định lý nhúng trong không gian Sobolev

Mục lục

0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 5

0.1.1 Lý do chọn đề tài 5

0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu 6

0.2.1 Đối tượng 6

0.2.2 Phương pháp nghiên cứu 6

0.2.3 Phạm vi nghiên cứu 6

0.3 Mục đích,nhiệm vụ 7

0.3.1 Mục đích 7

0.3.2 Nhiệm vụ 7

Mục lục 8

Những kí hiệu 11

1 Kiến thức cơ sở 14 1.1 Một số kiến thức về giải tích thực 14

1.1.1 Hàm lồi 14

1.1.2 Biên 14

1.1.3 Định lý Gauss-Green 14

1.1.4 Tọa độ cực,công thức đổi miền 14

1.1.5 Hội tụ đều 14

1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản 14

1.2.1 Bất đẳng thức Jensen 14

MỤC LỤC 9

1.2.2 Bất đẳng thức Young’s 15

1.2.3 Bất đẳng thức Young với số ǫ 15

1.2.4 Bất đẳng thức H¨oder 15

1.2.5 Bất đẳng thức H¨oder dạng tổng quát 15

1.2.6 Bất đẳng thức Minkowshi 16

1.2.7 Bất đẳng thức nội suy với chuẩn Lp(U ) 16

1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm 16

1.3.1 Không gian các hàm liên tục 16

1.3.2 Không gian H¨oder 16

1.3.3 Không gian Lp(U ) 16

1.4 Một số kiến thức về lý thuyết độ đo 16

1.4.1 Độ đo Lebesgue 16

1.4.2 Hàm đo được và tích phân 16

1.4.3 Hàm đo được và tích phân 16

1.4.4 Phép toán vi phân 17

1.5 Phân hoạch đơn vị 17

2 Không gian Sobolev 18 2.1 Hàm trung bình 18

2.1.1 Định nghĩa hàm trung bình 18

2.1.2 Các tính chất của hàm trung bình 18

2.2 Đạo hàm suy rộng 18

2.2.1 Các tính chất của đạo hàm suy rộng 19

2.2.2 Hàm trung bình của đạo hàm suy rộng 19

2.2.3 Mối liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và liên tục tuyệt đối 19

2.3 Không gian Sobolev Wm p (U ) vàW◦pm (U ) 19

MỤC LỤC 10

2.3.1 Định nghĩa không gian Wm

p (U ) với (1 ≤

p <∞) 19

2.3.2 Định nghĩa không gian W◦pm (U ) 19

2.4 Xấp xỉ 21

2.4.1 Xấp xỉ trong bởi các hàm mịn 21

2.4.2 Xấp xỉ bởi các hàm mịn 21

2.4.3 Xấp xỉ toàn cục bởi các hàm mịn 21

2.4.4 Mở rộng 22

2.5 Vết 22

2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 23

2.7 Các định lý nhúng 35

h , nếu giới hạn này tồn tại.

2 Ta thường viết uxi thay cho ∂u

uxixj - là toán tử Laplace của u

• Rn là không gian vectơ Eucild thực n chiều,R = R1

Γ(n2 + 1)

Kí hiệu 12

• u+ = max(u, 0), u− = min(u, 0), u = u++u−,|u| = u++u−

Hàm sign được định nghĩa:

1 · · · ζα n

n ) Đạo hàm suy rộng (đ.h.s.r) cấp αđược kí hiệu là:

là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp

m trong miền U, 0 ≤ m ≤ ∞, C0(U ) = C(U ), C◦m(U ) =

C◦(U ) ∩ Cm(U ), Ở đó C◦(U ) là tập hợp tất cả các hàm liêntục trong U và có giá compact thuộc U

C◦∞(U ) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compacttrên U trù mật trong Lp(U ) với 1 ≤ p < ∞

• L∞(U ) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u(x)

đo được và bị chặn hầu khắp nơi (k.h.n) trên U với chuẩn:

kuk∞ = ess sup

x∈U

|u(x)|

• Wm

p (U ) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm (x) ∈

Lp(U ), sao cho Dαu ∈ Lp(U ) với mọi |α| ≤ m và có chuẩnđược xác định bởi công thức:

• Wpm◦(U ) là bao đóng của C◦∞(U ) trong chuẩn Wm

p (U )

|u2|p2dx

1 p2

· · ·Z

U

|um|pmdx

1 pm

1.3.1 Không gian các hàm liên tục

1.3.2 Không gian H¨oder

1.3.3 Không gian L p (U)

1.4 Một số kiến thức về lý thuyết độ đo

1.4.1 Độ đo Lebesgue

Định lý 1.2 Sự tồn tại σ−đại số và các tính chất của độ

đo Lebesgue

1.4.2 Hàm đo được và tích phân

1.4.3 Hàm đo được và tích phân

Các định lý hội tụ đối với tích phân

Định lý 1.3 ( Bổ đề Fatou)

Định lý 1.4 (Định lý hội tụ đơn điệu)

Định lý 1.5 (Định lý sự hội tụ trội)

Định lý 1.6 ( Định lí Fubini)

1.5 Phân hoạch đơn vị 17

1.4.4 Phép toán vi phân

Định lý 1.7 (Định lý Lebesgue)

1.5 Phân hoạch đơn vị

L1,loc(U ), α = (α1, , αn) là một vectơ với các thành phần nguyênkhông âm Ta nói v là đ.h.s.r của u và được viết bởi Dαu = v nếuvới mọi φ ∈ C∞

2.3 Không gian Sobolev W m

p (U ) và W m

2.2.1 Các tính chất của đạo hàm suy rộng

2.2.2 Hàm trung bình của đạo hàm suy rộng

2.2.3 Mối liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và liên tục tuyệt đối

2.3 Không gian Sobolev Wm

p (U ) Ta đưa vào Wpm(U ) chuẩn xác địnhbởi

với 1 ≤ p < ∞ (2.2)

Mệnh đề 2.1 Wm

p (U ) là không gian Banach

2.3.2 Định nghĩa không gian W◦m

Giả sử U là miền bị chặn trong Rn Khi đó tồn tại một hằng số

CU phụ thuộc vào U sao cho

, u ∈

◦

Wp1 (U )

Chứng minh

2.3 Không gian Sobolev W m

p (U ) và W m

Giả sửu ∈ C∞

0 (U ), U nằm trong dải Q = {x ∈ Rn : a < x1 < b} Đặt u(x) = 0 ngoài miền U Khi đó

∂u(t, x′)

∂t

∂u(t, x′)

∂t

p

dt

dx

= (b − a)pq

Z

Π

... 42

KẾT LUẬN

Chương I khóa luận trình bày kiến thức l? ?một số kiến thức giải tích thực, giải tích hàm,kiến thức độđo ,một số bất đẳng thức phép phân hoạch đơn vị Từcác kiến thức sở...

số bất đẳng thức quan trọng không gian Sobolev Trongchương em trình bày lại định nghĩa hàm trungbình,tính chất hàm trung bình,đạo hàm suy rộng tínhchất đạo hàm suy rộng,định nghĩa không gian. .. loogic chứng minhmột số bất đẳng thức, các định lí nhúng,các định lí mở rộng,cácđịnh lí xấp xỉ hàm không gian Sobolev cáchàm mịn :bất đẳng thức Friedrichs ,bất đẳng thức Memory,định líRellich-Kondrachov