Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số bất đẳng thức quan trọng trong không gian Sobolev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ MÙI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV SƠN LA −2013 4 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Trọng Lưỡng và Thạc sỹ Nguyễn Thanh Tùng−Giảng viên bộ môn giải tích trường Đại học Tây Bắc đã tận tâm hướng dẫn,động viên để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lí- Tin,thư viện trường đại học Tây Bắc đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Sơn La, ngày tháng năm Sinh viên Nguyễn Thị Mùi 0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 5 0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 0.1.1 Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là bộ môn khoa học Toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng rãi,nó được ra đời vào khoảng thế kỷ thứ XVII do nhu cầu của cơ học . Nhắc đến phương trình đạo hàm riêng chúng ta thường chú ý tới hai vấn đề cơ bản như sau: Thứ nhất ,mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý như:tìm hàm sóng trong dao động của dây,màng mỏng,vật rắn đàn hồi ,sóng điện tử ,cũng như tìm phân bố nhiệt độ trong một vật thể,v.v... Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý ,dẫn đến một ngành giải tích mới của giải tích-phương trình vật lý toán vào giữa thế kỷ XVIII.Những người đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến :J.D’Alembert,L.Euler,D.Becnulli,J.Lagrange,P.laplece, S.Poison, J.Fourier. Các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của họ khi xem xét các bài toán vật lý cụ thể ảnh hưởng rất lớn đến lý thuyết tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cuối thế kỷ XIX. Thứ hai ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác như :giải tích hàm và lý thuyết hàm ,tôpô đại số,giải tích phức,lý thuyết xác suất,v.v... Chính nhà toán học Poincare năm 1890 đã nhấn mạnh rằng:,rất nhiều bài toán của những lĩnh vực khác nhau như:Thủy động lực học,điện học,nhiệt học,quang học,lý thuyết đàn hồi,v.v....,có thể nghiên cứu bằng công cụ giống nhau đó là phương trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng là cầu nối giữa toán học và ứng dụng,nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú ,tính đầy đủ sâu sắc ,tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu,điều khiển tối ưu,trò chơi vi phân,giải tích số,tính toán khoa học„ , kể cả các lý thuyết như lý thuyết kì dị,tai biến,rẽ nhánh,hỗn loạn. Tuy trên thế giới phương trình đạo hàm riêng đã và đang phát triển mạnh nhưng ở nước ta sách về tiếng việt còn rất ít.cùng với sự yêu thích nghiên cứu Toán học ứng dụng,để 0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu 6 bước đầu nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng trong khóa luận của mình em xin tìm hiểu về không gian Sobolev,cụ thể hơn là nhiên cứu các tính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng cũng như sự biểu diễn tiệm cận của nghiệm suy rộng gần các nghiệm kì dị của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Nhằm giúp những bạn sinh viên,độc giả yêu thích bộ môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân em nói riêng về môn khoa học này em lựa chọn nghiên cứu đề tài: Một số bất đẳng thức quan trọng trong không gian Sobolev.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ MÙI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV SƠN LA −2013 4 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Trọng Lưỡng và Thạc sỹ Nguyễn Thanh Tùng−Giảng viên bộ môn giải tích trường Đại học Tây Bắc đã tận tâm hướng dẫn,động viên để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lí- Tin,thư viện trường đại học Tây B ắc đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, gi úp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Sơn La, ngày tháng năm Sinh viên Nguyễn Thị Mùi 0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 5 0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 0.1.1 Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là bộ môn khoa học Toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng rãi,nó được ra đời vào khoảng thế kỷ thứ XVII do nhu cầu của cơ họ c . Nhắc đến phương trình đạo hàm riêng chúng ta thường chú ý tới hai vấn đề cơ bản như sau: Thứ nhất ,mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý như:tìm hàm sóng trong dao động của dây,màng mỏng,vật rắn đàn hồi ,sóng điện tử ,cũng như tìm phân bố nhiệt độ trong một vật t hể,v.v Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý , dẫn đến một ngành giải tích mới của g iải tích-phương trình vật lý toán vào giữa thế kỷ XVIII.Những người đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến :J.D’Alembert,L.Eul er,D.Becnulli,J.Lagrange,P.laplece, S.Poison, J.Fourier. Các ý tưở ng và phương pháp nghiên cứu của họ khi xem xét các bài toán vật lý cụ thể ảnh hưởng rất lớn đến lý thuyết tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cuối thế kỷ XIX. Thứ hai ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ng ành toán học và khoa học khác như :giải tích hàm và lý thuyết hàm ,tôpô đại số,giải tích phức,lý thuyết xác suất,v.v Chính nhà toán học Poincare năm 1890 đã nhấn mạnh rằng:, rất nhiều bài toán của những lĩnh vực khác nhau như:Thủy động lực học,điện học,nhiệt học,quang học,lý thuyết đàn hồi,v.v ,có thể nghiên cứu bằng công cụ giống nhau đó là phương trình đạo hà m riêng.P hương t rình đạo hàm riêng là cầu nối giữa toán học và ứng dụng,nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú ,tính đầy đủ sâu sắc ,tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu,điều khiển tối ưu,trò chơi vi phân,giải tích số,tính toán khoa học„, kể cả các lý thuyết như lý thuyết kì dị,ta i biến,rẽ nhánh,hỗn lo ạn. Tuy trên thế giới phương t rình đạ o hàm ri êng đã và đang phát tr iển mạnh nhưng ở nước ta sách về tiếng việt còn rất ít.cùng với sự yêu thích nghiên cứu Toán học ứng dụng,để 0.2 Đối t ượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu 6 bước đầu nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng trong khóa luận của mình em xi n tìm hiểu về không gian Sobolev ,cụ thể hơn là nhiên cứu các t ính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng cũng như sự biểu diễn tiệm cận của ng hiệm suy rộng gần các nghiệm kì dị của phương trình đạo hà m riêng tuyến t ính. Nhằm giúp những bạn sinh viên,độc giả yêu thích bộ môn phương trình đạ o hàm riêng nói chung và bản thân em nói riêng về môn khoa học này em lựa chọn nghi ên cứu đề t ài: Một số bất đẳ ng thức quan trọng trong k hông gian Sobolev. 0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu 0.2.1 Đối tượng Nghiên cứu các tính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng trong k hông gian Sobolev 0.2.2 Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý t huyết • Sưu tầm tà i liệu • Trao đổi với giáo viên hướng dẫn trên cơ sở đó phân tích,diễn giải,làm rõ và trình bày có hệ thống vấn đề đặt ra 0.2.3 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu trên các không gian hàm đặc biệt là các không gian Sobolev. 0.3 Mục đích,nhiệm vụ 7 0.3 Mục đích,nhiệm vụ 0.3.1 Mục đích Nhằm khám phá và hiểu rõ hơn về phương trình đạo hàm riêng hiện đại đặc biệt là nghiên cứu sâu các tính chất của khô ng g ian Sobolev với các tính chất,các bất đẳng thức và các định lý nhúng. 0.3.2 Nhiệm vụ Với mục đích đặt ra nhiệm vụ của nghiên cứu là phát biểu và chứng minh,trình bày có hệ thống lôgic chặt chẽ các tính chất,các bất đẳng thức một số định lý nhúng trong không gian Sobolev Mục lục 0.1 PHẦN MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Đối t ượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu . . . 6 0.2.1 Đối tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.2.2 Phương pháp nghi ên cứu . . . . . . . . . . 6 0.2.3 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . 6 0.3 Mục đích,nhiệm vụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.3.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.3.2 Nhiệm vụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 Kiến thức cơ sở 14 1.1 Một số kiến thức về giải tích thực . . . . . . . . . 14 1.1.1 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.2 Biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Định lý Gauss-Green . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Tọa độ cực,công thức đổi miền . . . . . . . 14 1.1.5 Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . 14 MỤC LỤC 9 1.2.2 Bất đẳng thức Young’s . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Bất đẳng thức Young với số ǫ . . . . . . . 15 1.2.4 Bất đẳng thức H ¨oder . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Bất đẳng thức H ¨oder dạng tổng quát . . 15 1.2.6 Bất đẳng thức Minkowshi . . . . . . . . . 16 1.2.7 Bất đẳng thức nội suy với chuẩn L p (U) . . 16 1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . . 16 1.3.1 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . 16 1.3.2 Không gian H¨oder . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Không gian L p (U) . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Một số kiến thức về l ý thuyết độ đo . . . . . . . . 16 1.4.1 Độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Hàm đo được và tích phân . . . . . . . . . 16 1.4.3 Hàm đo được và tích phân . . . . . . . . . 16 1.4.4 Phép toán vi phân . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Phân hoạch đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Không gian Sobolev 18 2.1 Hàm trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Định nghĩa hàm trung bình . . . . . . . . 18 2.1.2 Các tính chất của hàm trung bình . . . . . 18 2.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Các tính chất của đạo hàm suy rộng . . . 19 2.2.2 Hàm trung bình của đạo hàm suy rộng . . 19 2.2.3 Mối liên hệ giữa đạo hà m suy rộng và liên tục tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Không gian Sobol ev W m p (U) và ◦ W m p (U) . . . . . . 19 MỤC LỤC 10 2.3.1 Định ng hĩa k hông gian W m p (U) với (1 ≤ p < ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Định nghĩa không gian ◦ W m p (U) . . . . . . 19 2.4 Xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 Xấp xỉ trong bởi các hàm mịn . . . . . . . 21 2.4.2 Xấp xỉ bởi cá c hàm mịn . . . . . . . . . . 21 2.4.3 Xấp xỉ toàn cục bởi các hàm mịn . . . . . 21 2.4.4 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Các bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 KẾT LUẬN 42 Những kí hiệu Những ký hiệu được sử dụng trong Khóa luận này: • Giả sử u : U → R, x ∈ U. 1. ∂u ∂x i (x) = lim h→0 u(x + he i ) − u(x) h , nếu giới hạn này tồn tại. 2. Ta thường viết u x i thay cho ∂u ∂x i 3. Tương tự u x i x j = ∂ 2 ∂x i ∂x j 4. △u = n  i=1 u x i x j - là toán tử Laplace của u. • R n là không gian vectơ Eucild thực n chiều,R = R 1 . x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ R n là một điểm tr ong R n • Điểm t huộc R n+1 ta thường viết (x, t) = (x 1 , · · · , x n , t) , t = x n+1 • U, V, W thường sử dụng là một miền tro ng R n , tức là một tập mở và liên thông. Ta viết V ⊂⊂ U nếu V ⊂ V ⊂ U và V là tập compact. • ∂U là biên của U, U = U ∪ ∂U- là bao đóng của U. B(x, r) = { y ∈ R n   |x − y| < r} là hình cầu mở trong R n với tâm x và bán kính r > 0. B[x, r] = {y ∈ R   |x − y| ≤ r} là hình cầ u đóng với tâm x, bán kính r > 0. α(n) là thể tích hình cầu đơn vị trong R n , α(n) = π n 2 Γ( n 2 + 1) [...]... phần này ta giả sử U là tập con bị chặn,mở trong Rn và ∂U là C 1 Định lý 1.1 (Định lý Gauss-Green) 1.1.4 Tọa độ cực,công thức đổi miền 1.1.5 Hội tụ đều 1.2 1.2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản Bất đẳng thức Jensen Nếu u là hàm lồi trên K với mọi xi ∈ K, ai ∈ [0, 1] và thì k ai = 1 i=1 k k ai u(xi) ≥ u i=1 ai xi i=1 1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản 1.2.2 15 Bất đẳng thức Young’s Cho 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1 1 + = 1... 1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm 1.2.6 16 Bất đẳng thức Minkowshi Giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, u, v ∈ Lp (U ) Khi đó u+v 1.2.7 p ≤ u p + v Bất đẳng thức nội suy với chuẩn Lp (U) Giả thiết 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞ , 1 = r Ls (U ) ∩ Lt (U ) Khi đó u ∈ Lr (U ) và u 1.3 p r ≤ u θ s u θ s + (1−θ) t thêm nữa u ∈ 1−θ t Một số kiến thức về giải tích hàm 1.3.1 Không gian các hàm liên tục 1.3.2 Không gian H¨der o 1.3.3 Không gian. .. là không gian Banach 2.3.2 ◦ m Định nghĩa không gian Wp (U) ◦ m ∞ Định nghĩa 2.4 Wp (U ) là bao đóng của C0 (U ) với chuẩn trong m Wp (U ) ◦ m m Vì vậy Wp (U ) là không gian con của Wp (U ) Định lý 2.1 ( Bất đẳng thức Friedrichs) Giả sử U là miền bị chặn trong Rn Khi đó tồn tại một hằng số CU phụ thuộc vào U sao cho n u p ≤ CU U i=1 ∂u p | dx | ∂xi Chứng minh 1 p ◦ 1 , u ∈Wp (U ) ◦ m m 2.3 Không gian. .. thấy rằng trong bất đẳng thức Gagliardu1 Nerenbeng -Sobolev áp dụng nhúng vào trong Wp (U ) và trong pn Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng L∗ (U ) với 1 ≤ n < ∞, p∗ = p n−p 1 Wp (U ) được nhúng compact thực sự trong Lq (U ) với 1 ≤ q < p∗ Định nghĩa 2.6 Giả sử X,Y là các không gian Banach, X ⊂ Y nếu Ta nói X nhúng compact trong Y và viết X ⊂⊂ Y nếu: 1 x Y ≤C x X với C là hằng số 2 Với mỗi dãy bị chặn trong. .. Áp dụng bất đẳng thức H¨der dạng tổng quát cho biểu thức sau o cùng ta được 1  n−1  +∞ +∞ n −∞ i=1 n = i=1  −∞  +∞  |D(x1 , , xi−1, yi, , xn)|dyi +∞ −∞ −∞ dx1 1  n−1 |Du(x1, , yi, , xn)|dy1 dx1 dx1 2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 25 Nên +∞ +∞ |u(x)| n n−1 ≤ |Du(x1, , xn)dy1 1 n−1 · −∞ +∞ +∞ n −∞ |Du(x1, , yi, , xn)|dy1 dx1 · 1 n−1 i=1 −∞ −∞ (2) Tương tự lấy tích phân 2 vế của bất đẳng thức trên... ∂B(x,s) B(x,r) Lấy tích phân trên [0, r] của hai vế bất đẳng thức trên theo s ta được: r r sn−1 |u(y) − u(x)|dsds ≤ 0 ∂B(x,s) 0 B(x,s) |Du(y)| dyds |y − x|n−1 2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 31 Hay r rn |u(y) − u(x)|ds ≤ n 0 ∂B(x,s) |Du(y)| dy |y − x|n−1 ∂B(x,s) rn ≤ n |Du(y)| dy |y − x|n−1 ∂B(x,r) Sử dụng công thức đổi miền cho vế trái ta thu được bất đẳng thức rn |Du(y)| |u(y) − u(x)|dy ≤ dy n |y − x|n−1... tại một toán tử tuyến tính bị chặn : 1 T : Wp (U ) −→ Lp (U ) thỏa mãn (i) T u = u (ii) T u ∂U p,∂U 1 nếu u ∈ Wp (U ) ∩ C(U) ≤C u 1 Wp (U ) , ∀u 1 ∈ Wp (U ) C là hằng số chỉ phụ thuộc vào p,∂U 1 Định lý 2.7 Vết -0 các hàm trong Wp (U ) Giả sử U ∈ Rn là mở và bị chặn và ∂U là C Giả thiết u ∈ nếu và chỉ nếu Tu=0 trên ∂U 1 1 Wp (U ) ◦ 1 thì u ∈Wp (U ) 2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 2.6 23 Các bất đẳng thức. .. |u(x)| x∈U m • Wp (U ) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm (x) ∈ Lp (U ), sao cho Dα u ∈ Lp (U ) với mọi |α| ≤ m và có chuẩn được xác định bởi công thức: 1  p m u ◦ 1 Wp (U ) = |α|=0 U |Dα u|p dx m ∞ m • Wp (U ) là bao đóng của C◦ (U ) trong chuẩn Wp (U ) Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Một số kiến thức về giải tích thực 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Biên 1.1.3 Định lý Gauss-Green Trong phần này ta giả... minh B(x,r) 2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 32 • Bây giờ ta cố định x ∈ Rn ta có: |u(x)| = 1 |B(x, r)| |u(x)|dy = 1 |B(x, 1)| B(x,1) ≤ B(x,1) 1 |B(x, 1)| |u(x) − u(y)|dy + B(x,1) = |u(x) − u(y) + u(y)|dy 1 |B(x, 1)| |u(y)|dy B(x,1) |u(y) − u(x)|dy + |u(y)|dy B(x,1) B(x,1) Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 |B(x, 1)| |Du(y)| dy |y − x|n−1 |u(y) − u(x)|dy ≤ C B(x,1) B(x,1) Áp dụng bất đẳng thức H¨der thì ta... định nghĩa của chuẩn trong Wp (Rn ) thì bất đẳng thức (12) ta có: u C 0.γ (Rn ) ≤C u 1 Wp (Rn ) Bất đẳng thức được chứng minh 1 Định lý 2.12 ( Đánh giá đối với các hàm thuộc Wp (U )) Giả sử U ⊂ Rn mở và bị chặn có ∂ là C 1 giả thiết có số p mà n < p ≤ ∞ Khi đó u có một tương đương u∗ ∈ C 0,γ (U ), γ = 1 − n p cùng với ước lượng sau: u∗ C 0,γ (U ) ≤C u 1 Wp (U ) Ở đây C là hằng số chỉ phụ thuộc vào