www.facebook.com/toihoctoan
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH ĐỨC KHÁNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GR ¨ USS TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH ĐỨC KHÁNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GR ¨ USS TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - Năm 2013 MỤC LỤC Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến tính 2-chuẩn. . . . . . 4 1.1.1. Không gian 2-tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian tuyến tính 2-chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn . . . . 11 1.2.1. Không gian n-tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Không gian tuyến tính n-chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Trực giao trong không gian 2-chuẩn và trong không gian n-chuẩn . 13 1.3.1. Trực giao trong không gian 2-chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Trực giao trong không gian n-chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn . . . . 20 2.1.1. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn thực . . . . . . . . . . 20 2.1.2. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn tổng quát . . . . . 30 2.2. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian n-chuẩn . . . . 41 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Quyết định giao đề tài luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 MỞ ĐẦU Trong Toán học, có rất nhiều bài toán vô cùng phức tạp, nhưng nếu sử dụng công cụ khác thì có thể vô cùng khó khăn để giải quyết chúng nhưng nếu áp dụng bất đẳng thức thích hợp thì bài toán sẽ là điều vô cùng dễ dàng. Hoặc có nhiều định lí, mệnh đề, hệ quả muốn hoàn thành việc chứng minh các đánh giá, ước lượng thì điều cần thiết không thể thiếu sự xuất hiện của bất đẳng thức. Cùng với vai trò của các bất đẳng thức như bất đẳng thức Holder; Bất đẳng thức Minkowski;. . . , năm 1935, nhà toán học người Đức GERHARD GR ¨ USS đã chứng minh một bất đẳng thức tích phân cho sự liên hệ giữa tích phân của một tích hai hàm số và tích phân của từng hàm số và nó được mang tên ông đó là bất đẳng thức Gr¨uss, nó cho nhiều ứng dụng và áp dụng nhiều trong lĩnh vực khác nhau của Toán học. Hiện nay rất nhiều nhà toán học trên thế giới như S. S. Dragomir, Y. J. Cho, S. M. Kang, S. S. Kim, J. S. Jung, Pau C. S. Lin, Seong Sik Kim, Aleksander Misiak, J. Roumeliotis, Y. H. Kim, M. Mati´c, N. Urievi´c, Dah-Yan Hwang, Gou- Sheng Yang, D. S. Mitrinovi´c, J. E. Peˇcari´c, A. M. Fink, I. Budimir . . . vv nghiên cứu về bất đẳng thức này và có nhiều kết quả của nó trong các không gian Hilbert, không gian vectơ tuyến tính, không gian n-chuẩn, . Dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC, đề tài Một số bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian n-chuẩn đã được chọn làm đề tài luận văn Thạc sĩ toán học. Nội dung luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, được chia làm hai chương: Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày lại các kiến thức cơ bản liên quan đến luận văn như: không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến tính 2-chuẩn, không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn, trực giao trong không gian tuyến tính 2-chuẩn và trực giao trong không gian tuyến tính n-chuẩn. Ngoài ra, tác giả còn nêu ra và chứng minh một số định lý cơ bản để dùng cho chương 2. Chương 2, Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này trình bày một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn và cả trong không gian n-chuẩn. 2 Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn, Thầy đã tận tình trong việc giảng dạy, cũng như giúp đỡ và truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học, Khoa Toán, Trung tâm Thông tin - Tư liệu Trường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Toán khóa 14 đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân đây, tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán khóa 14, gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, mặc dù tác giả đã có sự đầu tư nghiêm túc, sự cố gắng và nỗ lực hết sức, nhưng do điều kiện thời gian, trình độ kiến thức có hạn, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm, những lời góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Các khái niệm về 2-tích vô hướng và không gian 2-tích vô hướng đã được chú ý nghiên cứu của nhiều tác giả trong ba thập kỷ qua. Một bài trình bày có hệ thống về các kết quả gần đây liên quan đến lý thuyết về không gian 2-tích vô hướng cũng như một danh sách đầy đủ các tài liệu tham khảo liên quan có thể được tìm thấy trong cuốn sách [1]. Các khái niệm về không gian tuyến tính 2-chuẩn được đưa ra và nghiên cứu bởi S. G¨ahler vào năm 1960. Chủ đề đã được nghiên cứu bởi những nhà toán học lớn như A. White, Y. J. Cho, R. W. Freese, S. C. Gupta, A. H. Siddique và những người khác, họ đóng góp rất nhiều cho việc mở rộng này của nghành Toán học. Gần đây nhiều nhà toán học đã đưa ra những kết quả trong không gian 2-chuẩn, tương tự với điều đó trong không gian định chuẩn cổ điển. Một số tính chất trong không gian 2-tích vô hướng tương tự như không gian tích thông thường. Các không gian này thỏa mãn một nguyên lý hoàn toàn tương tự như đẳng thức hình bình hành, cụ thể a + b, c 2 + a − b, c 2 = 2 a, c 2 + b, c 2 . Không gian tuyến tính 2-chuẩn thỏa mãn đẳng thức hình bình hành đã xác định trên nó một 2-tích vô hướng được suy ra từ 2-chuẩn a, b = (a, a| b), chính là 2-chuẩn đưa ra cho không gian. 4 1.1. Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến tính 2-chuẩn 1.1.1. Không gian 2-tích vô hướng Định nghĩa 1.1. [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trên trường số K (K = R, C) và (·,·|·) là một hàm K-giá trị trên X × X × X thỏa mãn các điều kiện sau (2I 1 ) (x, x|z) ≥ 0, (x, x|z) = 0 khi và chỉ khi x và z phụ thuộc tuyến tính, (2I 2 ) (x, x|z) = (z, z|x), (2I 3 ) (x, y|z) = (y, x|z), (2I 4 ) (αx, y|z) = α (x, y|z) với mọi α ∈ K, (2I 5 ) (x + x , y|z) = (x, y|z) + (x , y|z). Khi đó (·,·|·) được gọi là 2-tích vô hướng trên X và (X, (·,·|·)) được gọi là một không gian 2-tích vô hướng (hoặc một không gian 2-tiền Hilbert). Từ định nghĩa của 2-tích vô hướng (·,·|·), ta có một số tính chất (xem [1]) 1) Nếu K = R, thì (2I 3 ) trở thành (x, y| z) = (y, x| z) . 2) Từ (2I 3 ) và (2I 4 ), ta có (0, y| z) = 0, (x, 0| z) = 0 và (x, α y| z) = α (x, y| z) . (1.1) 3) Sử dụng từ (2I 2 ) đến (2I 5 ), ta có (z, z| x ± y) = (x ± y, x ± y| z) = (x, x| z) + (y, y| z) ± 2 Re (x, y| z) và Re (x, y| z) = 1 4 [(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] . (1.2) Khi K = R, thì (1.2) trở thành (x, y| z) = 1 4 [(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] (1.3) 5 và dễ dàng thấy rằng (x, y| αz) = α 2 (x, y| z) , ∀α ∈ R. (1.4) Trong trường hợp K = C, sử dụng (1.1) và (1.2), ta có Im (x, y| z) = Re [−i (x, y| z)] = 1 4 [(z, z| x + iy) − (z, z| x − iy)] , kết hợp với (1.2), ta được (x, y| z) = 1 4 [(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] + i 4 [(z, z| x + iy) − (z, z| x − iy)] . (1.5) Sử dụng công thức trên và (1.1), ta được (x, y| αz) = |α| 2 (x, y| z) , ∀α ∈ C. (1.6) Tuy nhiên, với α ∈ R, thì (1.6) trở thành (1.4). Cũng từ (1.6) ta có được (x, y| 0) = 0. 4) Cho tùy ý ba vectơ x, y, z ∈ X, xét vectơ u = (y, y| z) x − (x, y| z) y. Từ (2I 1 ), ta biết rằng (u, u| z) ≥ 0 với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u và x là phụ thuộc tuyến tính. Từ bất đẳng thức (u, u| z) ≥ 0 có thể viết rằng (y, y| z) (x, x| z) (y, y| z) − |(x, y| z)| 2 ≥ 0. (1.7) Cho x = z, thì (1.7) trở thành − (y, y| z)|(z, y| z)| 2 ≥ 0, điều đó có nghĩa là (z, y| z) = (y, z| z) = 0 (1.8) với y và z là độc lập tuyến tính. Rõ ràng, khi y và z là phụ thuộc tuyến tính thì (1.8) cũng đúng. Do đó (1.8) là đúng với bất kỳ hai vectơ y, z ∈ X. Bây giờ, nếu y và z là độc lập tuyến tính thì (y, y| z) ≥ 0 và từ (1.7), ta có bất đẳng thức sau |(x, y| z)| ≤ (x, x| z) 1 2 (y, y| z) 1 2 . (1.9) Bất đẳng thức (1.9) là nội dung của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong không gian 2-tích vô hướng. 6 Ví dụ 1.1. Cho (X, (·,·|·)) là một không gian tích vô hướng thì 2-tích vô hướng (·,·|·) được xác định trên X bởi (x, y| z) := (x| y) (x| z) (y| z) (z| z) = (x| y)z 2 − (x| z) (y| z) với mọi x, y, z ∈ X. Chứng minh. (2I 1 ) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (1.9), ta có (x, x| z) := (x| x) (x| z) (x| z) (z| z) = x 2 z 2 − (x| z) 2 ≥ 0. Hơn nữa (x, x|z ) = 0 khi và chỉ khi (x, x) (z, z) = (x, z) 2 tức là đẳng thức trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy ra. Nhưng điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi x và z phụ thuộc tuyến tính. (2I 2 ) Ta có (x, x|z ) = (x, x) (z, z) − (x, z) 2 và (z, z|x) = (z, z) (x, x)− (z, x) 2 . Mà (x, z) = (z, x), do đó ta được (x, x|z ) = (z, z|x). (2I 3 ) Do (x, y) (x, z) (y, z) (z, z) = (y, x) (y, z) (x, z) (z, z) nên (x, y|z ) = (y, x|z ) . (2I 4 ) Ta có (αx, y|z ) = (αx, y) (z, z) − (αx, z) (y, z) = α (x, y) (z, z) − α (x, z) (y, z) = α ((x, y) (z, z) − (x, z) (y, z)) = α (x, y |z ). (2I 5 ) Ta có (x + x , y|z ) = (x + x , y) (z, z) − (x + x , z) (y, z) = (x, y) (z, z) + (x , y) (z, z) − (x, z) (y, z) − (x , z) (y, z) = (x, y) (z, z) − (x, z) (y, z) + (x , y) (z, z) − (x , z) (y, z) = (x, y|z ) + (x , y|z ). 7 1.1.2. Không gian tuyến tính 2-chuẩn Định nghĩa 1.2. [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trên trường số K (K = R, C) và ·,· là hàm lấy giá trị thực trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau (2N 1 ) x, y ≥ 0 và x, y = 0 khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính, (2N 2 ) x, y = y, x, (2N 3 ) αx, y = |α|x, y với mọi α ∈ K, (2N 4 ) x, y + z ≤ x, y + x, z. Khi đó ·,· được gọi là 2-chuẩn trên X và (X,·,·) được gọi là một không gian tuyến tính 2-chuẩn. Ví dụ 1.2. Cho (X, (·,·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng. Khi đó ánh xạ x, y = (x, x|y), ∀x, y ∈ X xác định một 2-chuẩn trên X. Khi đó ta nói chuẩn x, y được cảm sinh từ tích vô hướng (x, x|y). Chứng minh. Ta kiểm tra các tính chất của 2-chuẩn. (2N 1 ) x, y = 0 ⇔ (x, x|y ) = 0 ⇔ (x, x|y ) = 0 ⇔ x, y phụ thuộc tuyến tính. (2N 2 ) x, y = (x, x|y ) = (y, y|x) = y, x. (2N 3 ) αx, y = (αx, αx|y ) = α 2 (x, x|y ) = |α|x, y. (2N 4 ) Ta có x, y + z 2 = (x, x|y + z ) = (y + z, y + z |z ) = (y, y|x) + (y, z|x) + (z, y|x) + (z, z|x) = y, x 2 + 2 (y, z|x) + x, z 2 ≤ y, x 2 + 2 (y, y|x) (z, z|x) + (x, z) 2 ≤ x, y 2 + 2y, xx, z + x, z 2 = (x, z + x, y) 2 . Ở đây ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz |(x, y|z )| ≤ x, zy, z. [...]... rằng không thể 4 thay thế n bằng một số khác nhỏ h n và đẳng thức đúng khi f (x) = g (x) = sign x − với M = N = 1 và m = n = −1 a+b , 2 20 2.1 Một số dạng bất đẳng thức Gr¨ ss trong không u gian 2-chu n 2.1.1 Một số dạng bất đẳng thức Gr¨ ss trong không gian 2u chu n thực Việc chứng minh bất đẳng thức (2.1) được tìm thấy trong [5], bất đẳng thức (2.1) được gọi là bất đẳng thức Gr¨ss Tổng quát h n, bất. .. không gian n- chu n Trong không gian định chu n có các công thức khác nhau cho trực giao giữa hai vectơ Ít nhất, có ba định nghĩa n i tiếng của trực giao, cụ thể là Pythagorean, c n và Birkhoff-James trực giao Trong không gian tích vô hướng, ba định nghĩa là tương đương với trực giao bình thường 1.3.1 Trực giao trong không gian 2-chu n Như trong không gian định chu n, một số nhà nghi n cứu đã nghi n. .. 1.3.2 Trực giao trong không gian n- chu n Như trong không gian 2-tích vô hướng và không gian 2-chu n, chúng ta định nghĩa các khái niệm G-trực giao trong không gian n- tích vô hướng và P-, I- và BJ - trực giao trong không gian n- chu n như sau Định nghĩa 1.6 [1] (G-trực giao trong không gian n- tích vô hướng) Cho (X, (·, ·|·, , ·)) là một không gian n- tích vô hướng Với x, y ∈ X , ta n i x là G-trực giao... Ví dụ 1.5 Tr n không gian C[a, b] ta có thể định nghĩa 2-chu n như sau f, g = max max det x∈[a,b] y∈[a,b] với mọi f, g ∈ C[a, b] f (x) f (y) g(x) g(y) 11 1.2 Không gian n- tích vô hướng, không gian tuy n tính n- chu n 1.2.1 Không gian n- tích vô hướng Định nghĩa 1.3 [1] Cho n là một số tự nhi n l n h n 1, X là một không gian tuy n tính có chiều l n h n hoặc bằng n và (·, ·|·, , ·) là một hàm lấy... n- chu n 12 Cũng như trong không gian 2-tích vô hướng, ta có bất đẳng thức CauchySchwarz trong không gian n- tích vô hướng |(a, b|a2 , , an )| ≤ (a, a|a2 , , an ) (1.13) (b, b|a2 , , an ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b, a2 , , an phụ thuộc tuy n tính Áp dụng (nI1 ) đ n (nI6 ) và (1.13), dễ dàng thấy rằng công thức a1 , a2 , , an = (a1 , a1 |a2 , , an ) (1.14) xác định một n- chu n tr n X và... α (a, b|a2 , an ) với mỗi số thực α, (nI6 ) (a + a , b|a2 , , an ) = (a, b|a2 , , an ) + (a , b|a2 , , an ) Khi đó (·, ·|·, , ·) được gọi là n- tích vô hướng tr n X và (X, (·, ·|·, , ·)) được gọi là không gian n- tích vô hướng 1.2.2 Không gian tuy n tính n- chu n Định nghĩa 1.4 [1] Cho n là một số tự nhi n l n h n 1, X là một không gian tuy n tính có chiều l n h n hoặc bằng n và ·, , · là một hàm giá trị... định tr n X n và thỏa m n các điều ki n sau (nN1 ) a1 , , an = 0 n u và chỉ n u a1 , , an phụ thuộc tuy n tính, (nN2 ) a1 , , an = ai1 , , ain với mỗi nhóm ho n vị (i1 , , in ) của (1, , n) , (nN3 ) αa1 , , an = |α| a1 , , an với mọi số thực α, (nN4 ) a1 + a1 , a2 , , an ≤ a1 , a2, , an + a1 , a2 , , an Khi đó ·, , · được gọi là n- chu n tr n X và (X, ·, , · ) được gọi là một không gian tuy n tính n- chu n. .. hiệu x⊥G y n u và chỉ n u t n tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho (x, y| x2 , , xn ) = 0 với mọi x2 , , xn ∈ V Định nghĩa 1.7 [17] (P-, I-, và BJ-trực giao trong không gian n- chu n) Cho (X, ·, , · ) là một không gian n- chu n Với x, y ∈ X , ta định nghĩa a) x⊥P y ⇔ t n tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho x, x2 , , xn 2 + y, x2 , , xn 2 = x + y, x2 , , xn 2 với mọi... xn Bất cứ khi n o kí hiệu V (x1 , x2 , , xn ) được dùng, n sẽ được hiểu x1 , x2 , , xn độc lập tuy n tính Ví dụ 1.3 Xét không gian tuy n tính Pn là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ h n hoặc bằng n nh n giá trị tr n đo n [0, 1] Cho dãy {xi } 2n với 2n + 1 điểm tùy ý i=0 nhưng phải là những điểm cố định ph n biệt tr n đo n [0, 1] Với f, g ∈ Pn ta định nghĩa f, g = 0 n u f, g phụ thuộc tuy n tính,... an ) (a| b) (a, b| a2 , , an ) = (a| a2 ) (an | b) ( an | a2 ) · · · (an | an ) là một n- tích vô hướng tr n X và được gọi là n- tích vô hướng cơ b n Khi đó n- chu n sinh bởi tích vô hướng n y chính là thể tích hình hộp sinh bởi các vectơ a1 , , an Với X = Rn ta có n- chu n a1 , , an = |det(aij )| với ai = (ai1 , , ain ) ∈ Rn , i = 1, 2, , n 13 1.3 Trực giao trong không gian 2-chu n và trong