bất đẳng thức jackson trong không gian l2 trên đoạn 1,1 với hàm trọng dạng mũ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG BẤT ĐẲNG THỨC JACKSON TRONG KHÔNG GIAN L2 TRÊN ĐOẠN -1,1 VỚI HÀM TRỌNG DẠNG MŨ S K C 0 9 MÃ SỐ: T2011 - 105 S KC 0 Tp Hồ Chí Minh, 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƢỜNG BẤT ĐẲNG THỨC JACKSON TRONG KHÔNG GIAN L2 TRÊN ĐOẠN VỚI HÀM TRỌNG DẠNG MŨ 1,1 Mã số: T2011-105 Chủ nhiệm đề tài: Th.S Nguyễn Thị Phƣơng Đông TP HCM, 11/2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƢỜNG BẤT ĐẲNG THỨC JACKSON TRONG KHÔNG GIAN L2 TRÊN ĐOẠN VỚI HÀM TRỌNG DẠNG MŨ 1,1 Mã số: T2011-105 Chủ nhiệm đề tài: Th.S Nguyễn Thị Phƣơng Đông TP HCM, 11/2011 MỤC LỤC THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LỜI MỞ ĐẦU Xây dựng hệ trực giao đầy đủ L2, Mở rộng hàm số L2, 1,1 1,1 13 Phép dịch chuyển tổng quát môđun liên tục L2, Bất đẳng thức Jackson L2, 1,1 18 1,1 25 Hệ hàm mũ phức tổng quát L2, 1,1 28 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Độc lập - Tự - Hạnh phúc KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Tp HCM, ngày 22 tháng 11 năm 2011 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Bất đẳng thức Jackson không gian L2 đoạn 1,1 với trọng lượng dạng mũ - Mã số: T2011-105 - Chủ nhiệm: Th.S Nguyễn Thị Phương Đông - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: 12/2010-12/2011 2 Mục tiêu: không gian L2 với hàm trọng x đoạn 1,1 xây dựng hệ trực chuẩn đầy đủ, hệ trực chuẩn mũ phức tổng quát đầy đủ Định nghĩa đại lượng xấp xỉ tổng quát, tóan tử dịch chuyển tổng quát môđun liên tục hàm số tương ứng với hai hệ trực chuẩn đầy đủ xây dựng Từ chứng minh bất đẳng thức Jackson xác không gian với hai hệ trực chuẩn tìm Tính sáng tạo: không gian L2 với hàm trọng x đoạn 1,1 hàm số thực nghiên cứu [11], nghiên cứu ta mở rộng nghiên cứu không gian L2, 1,1 hàm số phức, đồng thời ta xây dựng hệ trực chuẩn mũ phức tổng quát đầy đủ chứng minh bất đẳng thức Jackson với hệ trực chuẩn mũ Kết nghiên cứu: đạt tất mục tiêu đặt Sản phẩm: tập tài liệu dùng nghiên cứu chuyên ngành Lý thuyết xấp xỉ Hiệu quả, phƣơng thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: kết nghiên cứu dùng để giải tóan xấp xỉ hàm số phức không gian L2 với hàm trọng dạng mũ Trƣởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài LỜI MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu ngòai nƣớc Những tảng Lý thuyết xấp xỉ hàm số xây dưng nên nhà tóan học Nga Chebyshev (18211894) vào kỷ truớc Chebyshev giải tóan xấp xỉ hàm số đa thức: n cho hàm số f x tìm đa thức pn x ak x k , cho độ chệnh lệch hàm số k f x tất đoạn nhỏ Chebyshev đưa khái niệm hàm số xấp xỉ tốt đại lượng xấp xỉ tốt nhất: En f C En f C a ,b f x pn x C a ,b Đa thức mà đại luợng xấp xỉ tốt đạt giá trị nhỏ gọi đa thức xấp xỉ tốt Ngòai xấp xỉ hàm số đa thức không gian C Chebyshev xem xét việc xấp xỉ hàm số đa thức không gian C L2 với hàm trọng khác nhau, xấp xỉ đa thức nội suy, công thức bình phương Những công trình sau Chebyshev lý thuyết xấp xỉ nghiên cứu học trò ông E I Zolotareva, A.N Korkina, A.A Markova B A Markova Họ , tiếp bước Chebyshev, nghiên cứu xấp xỉ hàm số đa thức có số mũ xác định tính chất đa thức xấp xỉ hàm số Một hướng khác lý thuyết xấp xỉ hàm số việc chứng minh định lý Weierstrass (năm 1885), theo hàm sô liên tục đoạn cách tùy ý không gian a, b xấp xỉ tốt C a, b đa thức có bậc đủ cao Nhưng định lý Weierstrass không nói đến tốc độ xấp xỉ Vì xuất toán tốc độ xấp xỉ hàm số Những kết quan trọng hướng đạt vào đầu cuối kỷ 20 bới nhà tóan học D Jackson, S J Vallee Poussin, Bernstein, J Favard, Kolmogorov Stechkin, S Nikol'skii Vào khỏang năm 1911-1920 D Jackson chứng minh bất đẳng thức mang tên ông, bất đẳng thức có ảnh hưởng lớn đến phát triển sau lý thuyết xấp xỉ hàm số Bất đẳng thức Jackson bất đẳng thức mà đại luợng xấp xỉ tốt hàm số đánh giá qua môđun liên tục Bất đẳng thức đại luợng xấp xỉ tốt hàm số liên tục có chu kỳ 2π đa thức luợng giác môđun liên tục nó, đặt A Lebesque, chứng minh D Jackson năm 1911 D Jackson chứng minh bất đẳng thức sau En f ,f n c Bất đẳng thức Jackson với số xách Korneichuk không gian C không gian L2 , , chứng minh N.I vào năm 1962 N.I Chernykh vào năm 1967 Hằng số xác bất đẳng thức Jackson đối số môđun liên tục Vào năm 1979 N.I Chernykh tìm giá trị đối số nhỏ môdum liên tục, mà số xác bất đẳng thức Jackson không gian L2 , đạt giá trị nhỏ Ông chứng minh bất đẳng thức sau En f 2 ,f n Việc tìm giá trị đối số không gian L p với trọng lượng khác trở thành tóan tối ưu quan trọng lý thuyết xấp xỉ Trong thời điểm nhà nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ tiếp tục nghiên cứu phát triển theo hướng Tiêu biểu công trình N.P Korneichuk, V.I Ivanov, D.V Gorbachev, A.G Babenko Tính cấp thiết Bất đẳng thức Jackson lý thuyết xấp xỉ chưa nghiên cứu nhiều Việt Nam Chính thực đề tài góp phần vào việc làm phong phú thêm lĩnh vực nghiên cứu Tóan ứng dụng, môn khoa học có tính ứng dụng cao cần thiết nghiên cứu lĩnh vực khác đặc biệt kinh tế, kỹ thuật Mặt khác tài liệu tham khảo giúp sinh viên chuyên ngành Tóan ứng dụng có nhìn cụ thể, rõ ràng bất đẳng thức Jackson Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Trong nghiên cứu ta xem xét không gian L2, 1,1 – không gian hàm số phức đo theo Lebesque đoạn 1,1 có chuẩn hữu hạn f f x 2, x dx Mục tiêu, phƣơng pháp nghiên cứu Xây dựng hệ trực chuẩn đầy đủ không gian Hệ tìm thông qua việc giải tóan Strum – Liouville, hệ trực chuẩn cần tìm hệ hàm số đặc biệt x2 Strum – Liouville chúng k x j y x ' k x k x2 y x k x 0, y j y k x k tóan đạo hàm Ta xây dựng hệ trực chuẩn gồm hàm mũ phức tổng quát phép tóan Dankla Định nghĩa đại lượng xấp xỉ tổng quát, phép dịch chuyển tổng quát môđun liên tục hàm số tương ứng với hai hệ trực chuẩn đầy đủ xây dựng Từ chứng minh bất đẳng thức Jackson xác không gian với hai hệ trực chuẩn tìm theo sơ đồ phát triển nhà tóan học N.I Chernylk Xây dựng hệ trực giao đầy đủ L2, 1,1 Theo [2] hệ hàm đặc biệt tóan Strum – Liouville tạo nên hệ trực giao đầy đủ không gian L2 đoạn với hàm trọng thích hợp Ở nghiên cứu ta 1,1 – không gian hàm số phức đo theo nghĩa xem xét không gian L2, Hilbert đoạn 1,1 với chuẩn f f x 2, d x , L2, d x x dx , 1,1 – không gian Hilbert với tích vô hướng f ,g f x g xd 2, x Chính ta xây dựng hệ trực giao đầy đủ L2, tóan Strum – Liouville sau: x2 y x ' x2 y x 0, y Hệ hàm số đặc biệt tóan có dạng j x với Hàm số x x , j 1, j y x k 1/2 x – hàm số Bessel loại bậc J dương J J 1,1 dựa vào hệ hàm đặc biệt x j k (1.1) x k x sin x cos x , j1/2 x , , k – nghiệm x k x , k 1,2,3, tạo thành hệ đầy đủ, trực chuẩn không gian L2, 0,1 Chúng hàm số chẵn phủ đóng đa thức tạo chúng không gian L2, hàm số k 1,1 không gian hàm số chẵn Hay nói cách khác x , k 1,2,3, tạo thành hệ trực giao đầy đủ không gian L2, 1,1 hàm số chẵn k t ak k x bk k x , k t ak k ,f sup 2, t k 1 dk bk Từ từ (3.19) suy đẳng thức sau: ,f 2, 2 ,f 2, Bất đẳng thức Jackson L2, Đặt n – nghiệm dương nhỏ n 1 n n x j 1,1 n x Rõ ràng Định lý Với hàm số f x с thoả L2, [ 1,1] , n mãn bất đẳng thức sau đây: En f En f 2, ,f , n 1 2, 2, ,f n (4.1) 2, Chứng minh Chỉ cần chứng minh (4.1) Từ (3.18) với hàm số f x x, f 2, k 1 dk En2 f 2, Nếu tồn hàm số h x 1) h x 0, h x k L2, [ 1,1] x ak2 bk2 k n k n 1 dk k x ak 1 dk bk k x ak bk (4.2) L2, [ 1,1] thoả mãn điều kiện sau: 0; 25 2) supp h , ], [ 3) h x chẵn hk 1; với k n Thì hàm số gọi hàm trọng Khi nhân vế (4.2) cho h x lấy tích phân vế, với 1), 2) ta có: x, f k n En2 f h x d 2, ak dk h x d 2, x En2 f x x bk h x d 2, h x x d k x k n ak dk bk 2 En2 f ak h h x d 2, x Suy 12 En f 2, x, f h x d 2, x 12 h x d x ,f 2, Vì để chứng minh (4.1) ta cần xây dụng hàm số h x Đặt: x , x n 1, truong hop lai, n V x h x T V x n Từ (3.11), (3.16) h x thoả mãn tính chất 1), 2) Hàm số V x chẵn suy h x chẵn Tính hệ số Fourier V x Với k dk ak V 22 k Khi k n k x n x d x 22 k n n k n kJ k n J n n xJ kx n 2 k n n n J n 1x dx j k n j n n n 26 an dk V n n x d n x Jn dk 1 Đối với hàm số h x an n h n dk n 2 k n ak h j j n n Jn n j2 n 1 k n dk j j Jn 0, k n n 0, n 1 Vậy ta xây dựng hàm số h x thoả mã tính chất 1), 2), 3) n , ta chứng minh bất đẳng thức Jackson En f Với 2,2 ,f n 2, xem xét họ hàm số sau: 1, 0, f x Vì hàm số f x chẵn nên bk f x, f 0, k , 2, f Tt f , f 2, f 2, Tt f , f 2, ,f , 2, 2 f 2, 2, x không âm nên suy T t f , f Từ (3.11) hàm số f x, f x x 2, d x , 2, dk d (4.3) Mặt khác ak f dk k x d x x 2d k 27 En2 f f 2, x n 2, k Từ (4.3) lim 0 sup n ak f dk nên với En2 f sup 2, ,f 2, a dk v n 2 k dk k n dk k Kết luận bất đẳng thức (4.1) xác Định lý chứng minh Bất đẳng thức Jackson không gian hàm số thực đo theo nghĩa Hilbert đoạn 1,1 với chuẩn f f x 2, x chứng minh [11] d Hệ hàm mũ phức tổng quát L2, hệ Với Với i thể viết dạng hàm mũ phức e trở thành hệ lượng giác Hệ lượng giác có , hệ 1,1 nx Khi thõa mãn tính chất sau: n hàm đôi trực giao với nhau, ei nx ein 1, x ineinx , ein với hàm trọng sin x Trong không gian L2 , hàm số có chu kỳ 2 , , hệ hàm mũ phức xây dựng nhờ phép tóan C.Dancla [13] Tương tự ta xây dựng hệ hàm phức trực giao đầy đủ cho không gian mà nghiên cứu Phép tóan Dancla gọi phép tóan vi phân – hiệu sau: D f x df x dx f x f x x , Định nghĩa hàm mũ tổng quát sau: e x Hàm số y j x ij x e x nghiệm phương trình vi phân sau: D y iy 28 với điều kiện ban đầu y Đặt e0 x 0, en x x n i x n i x n n x j k x ij k x , n e x n en x , n Khi en x x n n \ n x , n không gian L2, Với en x n / x n , Từ trực giao đầy đủ en x e i en x x n e n x , x ta suy tính trực giao đầy đủ hệ 1,1 thỏa mãn tính chất sau: en 1, en x 1, D en x i nen x Thực vậy, en Như chứng minh phần y j j x2 n ij x nghiệm phương trình vi phân sau: n y x ' x2 y x hay viết lại y x n y y 0, Và đồng thời hàm chẵn nên D en x n i x n x i n n n i x x n n n x x n x x n x i n n x i nen x , Den x Vì với n n x i n x i ne n x D en x i nen x , n \ {0} 29 en x en x 2 n en x 2 Rõ ràng en x x x n n x x hàm chẵn, với x 1,1 d n f , en , d n f nen x , f n n n L2, f x 2 x n n 0,1 en x 0, x f x , x n max en , en Cho hàm số x n n en , en (4.4) \ – chuỗi Fourier hàm số theo hệ en Đại lượng xấp xỉ tốt hàm số f x 1,1 định L2, nghĩa sau: En f f x 2, ck ck ek x k n k 2, Sử dụng đẳng thức Parseval ta có En2 f 2, f x f k ek x k n k k fk n dk 2, Phép tóan dịch chuyển tổng quát ta định nghĩa sau: t T f x f nen t en x n Định lý Với , a hàm số f x Fourier (4.4) hội tụ không gian L2, C h ứ n g m i n h Cho f x (4.5) \ L2, 1,1 chuỗi a, a L2, 1,1 f x f nen x n \ Như biết 30 en x n en x x i en x n x , n x (4.7) i n x (4.8) Thế (4.7) (4.8) vào (4.4), ta có f x k k ak ak ek x ak k ak ibk ek x ibk ek x ek x x bk k ibk e k x ek x x , k chuỗi Fourier (1.8) Dựa vào định lý chuỗi (4.4) hội tụ không gian L2, , a Định lý chứng minh a, a , VớI MọI Dựa vào định lý ta suy chuỗi (4.4) mở rộng 1,1 lên trục số Hàm mở rộng này, sử dụng sau với hàm số từ khỏang ký hiệu f x Với a Cho f x L2, t T1 f x hàm số f x a, a , định nghĩa phép tích phân tuyến tính sau: 1,1 , c L2, C f A C f A cos sin d , (4.6) c C không, x, t Nếu x 12 0, , A , A t x2 t2 xt cos , C x t A A vượt ngòai đoạn [ 1,1] Nếu hàm số f x bên ngòai đoạn [ 1,1] hiểu hàm mở rộng nói định lý 5, công thức (4.6) dạng biểu diễn tích phân phép dịch chuyển tổng quát T t ( ) không gian L2, 1,1 31 Bổ đề Cho f x L2, bên ngòai đoạn [ 1,1] f x 1,1 , cho chuỗi (4.4) Khi với t thỏa mãn bất đẳng thức sau: t T1 f x K t f x 2, 2, K t – bị chặn đoạn, nói khác, phép tóan (4.6) bị chặn t C h ứ n g m i n h Cho f x – hàm số chẵn, T f x có dạng: t T1 f x c sin f A cos d Vì cos , nên t T1 f x f A sin 2c d Dựa vào định lý ta có 2c c t 22 t T f x 12 t f y d y cc t 22 f x (4.7) Bổ đề Phép tóan (4.5) (4.6) trùng không gian L2, 1,1 , 2, 2, Tiếp theo ta chứng minh với hàm số f x – lẻ Ta có t T1 f x c f A C cos sin d Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau t T1 f x K2 t, f x 2, 2, Bất đẳng thức suy từ (4.7), x C cos y cos x2 t 2 xt cos Thực vậy, C cos C cos x t x t2 2 cos xt cos cos 0, Định lý chứng minh 32 t t C h ứ n g m i n h Dựa vào bổ đề (2) ta chi cần chứng mih T T trùng với hàm số n x , n T T x với n Ta có: n x en x en t e n x e n t n x n t n x n x i en x en t e n x e n t n x n t n t t t n n t , (4.8) x (4.9) Dựa vào định lý nhân hàm số Bessel loại dễ dàng có x n n t c n A cos sin d , n x n t c x cos sin A x t cos A sin A n x n t c t A n n d , d Thay vế phải đẳng thức vào (4.7) (4.8) ta có T t x n c A cos sin d , x t cos A sin n T t n x c A n ta có T t n x T t d x Định lý chứng minh n Đặt ,f 2, sup t f , 2, t t f x I T t f x k k T k t k f x t – phép tóan hiệu T Ta có 2 ,f 2, sup t k \ 1 ek t dk fk (4.10) Tiếp theo đặt 33 ,f t Ty sup 2, t f y 2 f x d x y x Vì ,f 2sup 2, f Re 2, t f x Tf x d x , nên ,f 2sup 2, Chính môđun liên tục t k ,f n ,f fk dk t \ va 2, thực khác Vì với 2, n en t n t n t n t , nên ,f 2, ,f 2, Dễ dàng ,f ,f 2, 2, Chính từ định lý ta suy bắt đẳng thức En f ,f 2, n (4.11) 2, Đẳng thức xác Thực vậy, từ (4.10) đẳng thức En f suy với fk n dk 2, k En2 f sup 2 f x L2, sup sup Mặt khác với ,f k n sup t k 2, 2, sup t k n 2 f x L2, k ek t : ek t 2, 1, f 0, k 2, k k k sup En2 f : k k 0, k k n 1 34 max ek t 1, k t , Vì từ bổ đề V.V.Arestova [14] suy sup sup t k n : ek t 0, k k k n k Từ ta suy xác bất đẳng thức (4.11) Đồng thời chứng minh định lý sau Định lý Với hàm số f x L2, [ 1,1] , n bất đẳng thức sau thỏa mãn En f En f 2, 2 ,f , n 2, n 2, ,f 2, 35 KẾT LUẬN Trong nghiên cứu xem xét không gian L2, 1,1 Trong không gian xây dựng hệ trực giao đầy đủ, hệ hàm số đặc biệt tóan Sturma – Liouville đạo hàm hàm Từ ta định nghĩa chuỗi Fourier, đại lượng xấp xỉ tốt môđun liên tục Để định nghĩa môđun liên tục trươc hết ta phải định nghĩa phép dịch chuyển tổng quát biểu diễn phép dịch chuyển tổng quát dứơi dạng tích phân Trước hết ta cần mở rộng hàm số trục số, nghiên cứu chứng minh chuỗi Fourier mở rộng cần tìm Kết quan trọng thu chứng minh bất đẳng thức Jackson không gian xét đến Sơ đồ chứng minh phát triển nhà tóan học N.I Chernylk Phần nghiên cứu xây dựng hệ hàm mũ phức tổng quát phép tóan vi phân-hiệu Dancla Hệ hàm mũ phức hệ trực giao đầy đủ Tương tự chứng minh bất đẳng thức Jackson đại lương xấp xỉ tốt môđun liên tục định nghĩa dựa hệ Kết thu được dùng để áp dụng giải tóan khác lý thuyết hàm số lý thuyết xấp xỉ 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Кудрявцев Л.Д Курс математического анализа Т М.:Высшая школа, 1989 Левитан Б.М., Саргсян И.С Введение в спектральную теорию М.: Наука, 1970 Наймарк М.А Линейные дифференциальные операторы М.: Наука, 1969 Ватсон Г.Н Теория бесселевых функций Ч М.: ИЛ, 1949 Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полна Г Неравенства М.: ИЛ, 1948 Бейтмен Г., Эрдейи А Высшие трансцендентные функции Т Функции Бесселя Функции параболического цилиндра Ортогональные многочлены М.: Наука, 1966 Справочник по специальным функциям / под ред М Абрамовича и И Стиган М.: Наука, 1979 Иванов В.И О приближении функций в пространствах Lp // Матем Заметки 1994 Т 56, № С 15–40 Теляковский С.А О работах по теории приближения функций, выполненых в МИАНе // Тр Матем Института АН СССР 1988 Т 182 С 158–179 10 Рустамов Х.П О приближении функций на сфере // Изв РАН Сер мат 1993 Т 57, № 5.С 127–148 11 Иванов В.И., Чертова Д.В., Лю Юнпин Точное неравенство Джексона в пространстве L2 на отрезке 1,1 со степенным весом // Тр инстистута математики и механики УрО РАН 2008 Т 14, № С 1–18 12 Горбачев Д.В Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем Заметки 1999 Т 66, № С 50–62 13 Чертова Д.В Теорема Джексона в пространствах Lp , p с периодическим весом Якоби // Изв ТулГУ Етесвенные науки 2008 Вып С.5–27 14 Арестов В.В., Попов В.Ю Неравенства Джексона на сфере в L2 // 37 Изв.высших учебных заведений Сер.мат 1995 № С 13-20 15 Черных Н.И О неравенстве Джексона в L2 // Тр МИАН СССР 1967 Т88 С 71-74 16 Нгуен Тхи Фыонг Донг Неравенство Джексона в пространстве L2 на отрезке 1,1 со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер Региональной научной студенческой конф./ ТулГУ Тула, 2009 С 20–24 17 Нгуен Тхи Фыонг Донг О неравенстве Джексона в пространстве L2 на отрезке 1,1 со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер Региональной научной студенческой конф./ ТулГУ Тула, 2010 С 28–32 38 [...]...Để tạo thành một hệ hàm trực giao đầy đủ trong không gian L2, 1,1 ta cần bổ sung thêm các hàm trực giao đầy đủ lẻ Theo [2] các hàm trực giao đầy đủ lẻ cần tìm chính là hệ đạo hàm k x j k x k 1 Chúng ta cần chỉ ra rằng hệ x k j k x đầy đủ và trực chuẩn k 1 1,1 những hàm số lẻ trong không gian L2, 2 Không gian L2 với hàm trọng x 1 trên đoạn 1,1 các hàm số thực đã được nghiên cứu trong [11] ta có thể... f 2 1 dk 0 nên với mọi En2 f 2 1 sup 1 2 0 2, ,f 2, a dk v n 2 2 1 2 k 1 dk k 1 0 n 1 2 dk k 1 Kết luận bất đẳng thức (4.1) chính xác Định lý được chứng minh Bất đẳng thức Jackson trong không gian hàm số thực đo được theo nghĩa Hilbert trên 1 đoạn 1,1 với chuẩn f 2 f x 2, 2 x đã được chứng minh ở [11] d 1 5 Hệ hàm mũ phức tổng quát trong L2, 1 2 hệ Với Với i thể viết dưới dạng hàm mũ phức e trở thành... lý sau đây với trường hợp các hàm số phức Định lý 1 Với không gian L2, là hệ đầy đủ và trực chuẩn trong , 1 2 hệ 1,1 và thoả mãn đẳng thức sau k , k 2, k , , k k 2, 1,2, (1.2) C h ứ n g m i n h Chỉ cần chứng minh sự đầy đủ và trực chuẩn của hệ trong không gian L2, 0,1 Với hàm số k x thoả mãn đẳng thức sau x2 1 x ' k x2 Suy ra 1 j 2 k x2 1 k x ' k x 2 2 k x 0 1 j k x 0 (1.3) Từ (1.3) với mọi k và... bằng không, nếu x, t Nếu x 1 12 0, 1 , A 1 , thì A 1 t và x2 t2 2 xt cos , C x t A A có thể vượt ra ngòai đoạn [ 1,1] Nếu hàm số f x bên ngòai đoạn [ 1,1] được hiểu như là hàm mở rộng như đã nói ở định lý 5, thì công thức (4.6) chính là dạng biểu diễn tích phân của phép dịch chuyển tổng quát T t ( 4 5 ) trong không gian L2, 1,1 31 Bổ đề 2 Cho f x L2, 1 2 và bên ngòai đoạn [ 1,1] f x được 1,1 ,... nó T t hàm số f x L2, VÀO L2, 1,1 VÀ 1 Để biểu diễn (3.1) dưới dạng tích phân chúng ta cần mở rộng 1,1 trên cả trục số 18 2 Phép dịch chuyển tổng quát trong L2 trên nửa trục số với hàm trọng x 1 , 1 2 , có dạng [9], [10] 1 T1t f x x 2 t 2 2 xt cos f 12 sin 2 d 0 T1t j Hay x j t j x (3.2) đã được chứng minh bởi L.Gegenbauer [4] Phép dịch chuyển tổng quát này được biểu diễn trong [10] dưới dạng sau:... lượng giác Hệ lượng giác có , 1 2 hệ 1,1 nx Khi đó thõa mãn những tính chất sau: các n hàm từng đôi một trực giao với nhau, ei nx ein 1, x ineinx , ein 0 1 với hàm trọng sin x Trong không gian L2 , những hàm số có chu kỳ 2 2 1 , 1 2 , một hệ hàm mũ phức đã được xây dựng nhờ phép tóan C.Dancla [13] Tương tự như vậy ta xây dựng hệ hàm phức trực giao đầy đủ cho không gian mà chúng ta đang nghiên cứu Phép... là Định lý 4 Với bất kỳ 1 2 và bất kỳ hàm số f x с thoả L2, [ 1,1] , n mãn bất đẳng thức sau đây: En f En f 1 2 2, 2 ,f , n 1 2 1 1 2, 1 2, ,f n 1 (4.1) 2, Chứng minh Chỉ cần chứng minh (4.1) Từ (3.18) với mọi hàm số f x 2 x, f 2, 2 k 1 1 1 dk 2 En2 f 2, Nếu tồn tại hàm số h x 1) h x 0, h x k L2, [ 1,1] x ak2 bk2 2 k n 2 k n 1 1 dk k x ak 2 1 1 1 dk bk 2 k x ak 2 bk 2 (4.2) L2, [ 1,1] thoả mãn những... tụ trong không gian L2, 1 2 , a 1 Định lý được chứng minh a, a , VớI MọI Dựa vào định lý 5 ta có thể suy ra được rằng chuỗi (4.4) cũng chính là mở rộng của 1,1 lên cả trục số Hàm mở rộng này, được sử dụng về sau với hàm số từ khỏang ký hiệu là f x Với mọi a Cho f x L2, t T1 f x 0 hàm số f x a, a 1 2 , định nghĩa phép tích phân tuyến tính sau: 1,1 , c 2 L2, 1 C f A 1 C f A 1 cos sin 2 d , 0 (4.6) trong. .. 0 trong đó A x2 t2 x t cos 2 xt cos , B x Nếu x 2 t 2 (3.4) 2 xt cos A có thể vượt ra khỏi đoạn [ 1,1] Chúng ta sẽ 1 , thì A 1 t và chỉ ra rằng nếu f x bên ngoài [ 1,1] nhận giá trị mở rộng của nó như định lý 2, thì công thức (3.3) cũng chính là biểu diễn dạng tích phân của T t ( 3 1 ) trong không gian L2, 1,1 Định lý 3 Nếu 1 2, f x L2, 1,1 , thì phép dịch chuyển tổng quát (3.1) biểu diễn dưới dạng. .. 0 l ta sẽ chứng minh được tính trực chuẩn của hệ Với k , và nếu k l ta thu được đẳng thức (1.3) Với f x L2, 1,1 và mọi k 1,2, 1 f x k x d x 0 0 (1.4) 1 f t dt thoã mãn đẳng thức sau Giả sử rằng hàm số F x x 1 1 f x x d k x F x k 0 x d k x (1.5) 0 Khi đó từ (1.4) với mọi k 1,2, 1 F x k x d x =0, 0 vì thế từ tính đầy đủ của hệ F x trong không gian L2, 0,1 ta có thể kết luận rằng 0 hầu khắp nơi Và