bất đẳng thức jackson trong không gian l2 trên đoạn 1,1 với hàm trọng dạng mũ

Định nghĩa đại lượng xấp xỉ tổng quát, tóan tử dịch chuyển tổng quát và môđun liên tục của hàm số tương ứng với hai hệ trực chuẩn đầy đủ đã xây dựng.. Từ đó chứng minh bất đẳng thức Jac

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

BẤT ĐẲNG THỨC JACKSON TRONG KHÔNG GIAN L2 TRÊN ĐOẠN -1,1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

3

MỤC LỤC

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 4

LỜI MỞ ĐẦU 6

1 Xây dựng hệ trực giao đầy đủ trong L2, 1,1 9

2 Mở rộng hàm số trong L2, 1,1 13

3 Phép dịch chuyển tổng quát và môđun liên tục trong L2, 1,1 18

4 Bất đẳng thức Jackson trong L2, 1,1 25

5 Hệ hàm mũ phức tổng quát trong L2, 1,1 28

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp HCM, ngày 22 tháng 11 năm 2011

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Bất đẳng thức Jackson trong không gian L2trên đoạn 1,1 với trọng lượng dạng mũ

- Mã số: T2011-105

- Chủ nhiệm: Th.S Nguyễn Thị Phương Đông

- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

- Thời gian thực hiện: 12/2010-12/2011

2 Mục tiêu: trong không gian L2với hàm trọng x2 1 trên đoạn 1,1 xây dựng một hệ trực chuẩn đầy đủ, hệ trực chuẩn mũ phức tổng quát đầy đủ Định nghĩa đại lượng xấp xỉ tổng quát, tóan tử dịch chuyển tổng quát và môđun liên tục của hàm

số tương ứng với hai hệ trực chuẩn đầy đủ đã xây dựng Từ đó chứng minh bất đẳng thức Jackson chính xác trong không gian này với hai hệ trực chuẩn đã tìm được

3 Tính mới và sáng tạo: không gian L2với hàm trọng x2 1 trên đoạn 1,1 các hàm số thực đã được nghiên cứu trong [11], trong nghiên cứu này ta mở rộng nghiên cứu không gian L2, 1,1 các hàm số phức, đồng thời ta cũng xây dựng

hệ trực chuẩn mũ phức tổng quát đầy đủ và chứng minh bất đẳng thức Jackson với

hệ trực chuẩn mũ này

4 Kết quả nghiên cứu: đạt được tất cả các mục tiêu đã đặt ra

5 Sản phẩm: tập tài liệu dùng trong nghiên cứu chuyên ngành Lý thuyết xấp xỉ

5

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: kết quả nghiên cứu có thể dùng để giải các bài tóan về xấp xỉ hàm số

phức trong không gian L2 với các hàm trọng dạng mũ

6

LỜI MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngòai nước Những nền tảng đầu tiên

của Lý thuyết xấp xỉ hàm số được xây dưng nên bởi nhà tóan học Nga Chebyshev 1894) vào giữa thế kỷ truớc Chebyshev đã giải bài tóan về xấp xỉ hàm số bằng đa thức:

(1821-cho hàm số f x tìm đa thức

0

n k

Những công trình đầu tiên sau Chebyshev trong lý thuyết xấp xỉ là những nghiên cứu của học trò của ông như E I Zolotareva, A.N Korkina, A.A Markova và B A Markova Họ , tiếp bước Chebyshev, nghiên cứu xấp xỉ hàm số bằng đa thức có số mũ xác định và tính chất của những đa thức trong xấp xỉ hàm số

Một hướng khác trong lý thuyết xấp xỉ hàm số bắt đầu từ việc chứng minh định lý Weierstrass (năm 1885), theo đó mỗi hàm sô liên tục trên đoạn a b , có thể xấp xỉ tốt nhất một cách tùy ý trong không gian C a b ,

bằng đa thức có bậc đủ cao Nhưng định lý Weierstrass không nói đến tốc độ xấp xỉ Vì vậy xuất hiện bài toán về tốc độ xấp xỉ của hàm số Những kết quả quan trọng trong hướng này đạt được vào đầu và cuối thế kỷ 20 bới những nhà tóan học như D Jackson, S J Vallee Poussin, Bernstein, J Favard, Kolmogorov Stechkin, S Nikol'skii

Vào khỏang năm 1911-1920 D Jackson đã chứng minh bất đẳng thức mang tên ông, bất đẳng thức này có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển sau này của lý thuyết xấp xỉ

7

hàm số Bất đẳng thức Jackson là bất đẳng thức mà trong đó đại luợng xấp xỉ tốt nhất của hàm số được đánh giá qua môđun liên tục của nó Bất đẳng thức đầu tiên giữa đại luợng xấp xỉ tốt nhất của hàm số liên tục có chu kỳ 2π bởi đa thức luợng giác và môđun liên tục của nó, đặt ra bởi A Lebesque, đã được chứng minh bởi D Jackson năm 1911

D Jackson đã chứng minh bất đẳng thức sau

2

2

1,

Hằng số chính xác trong bất đẳng thức Jackson là đối số trong môđun liên tục Vào năm 1979 N.I Chernykh đã tìm được giá trị đối số nhỏ nhất trong môdum liên tục, mà tại

giá trị nhỏ nhất Ông đã chứng minh bất đẳng thức sau

Tính cấp thiết Bất đẳng thức Jackson cũng như lý thuyết xấp xỉ chưa được nghiên

cứu nhiều ở Việt Nam Chính vì thế thực hiện đề tài cũng sẽ góp phần vào việc làm phong phú thêm lĩnh vực nghiên cứu Tóan ứng dụng, một môn khoa học có tính ứng dụng cao

và rất cần thiết trong nghiên cứu của các lĩnh vực khác đặc biệt là kinh tế, kỹ thuật Mặt khác tài liệu tham khảo này giúp sinh viên chuyên ngành Tóan ứng dụng có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn về bất đẳng thức Jackson

8

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong nghiên cứu này ta sẽ xem xét không

gian L2, 1,1 – không gian những hàm số phức đo được theo Lebesque trên đoạn

Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu Xây dựng một hệ trực chuẩn đầy đủ trong

không gian này Hệ tìm được thông qua việc giải bài tóan Strum – Liouville, hệ trực

chuẩn cần tìm chính là hệ hàm số đặc biệt

1

chúng

1

k x j k x k Ta cũng xây dựng một hệ trực chuẩn gồm những hàm mũ phức tổng quát bằng phép tóan Dankla Định nghĩa đại lượng xấp xỉ tổng quát, phép dịch chuyển tổng quát và môđun liên tục của hàm số tương ứng với hai hệ trực chuẩn đầy đủ đã xây dựng Từ đó chứng minh bất đẳng thức Jackson chính xác trong không gian này với hai hệ trực chuẩn đã tìm được theo sơ đồ đã được phát triển bởi nhà tóan học N.I Chernylk

9

Theo [2] hệ hàm đặc biệt của bài tóan Strum – Liouville luôn tạo nên một hệ trực giao đầy đủ trong không gian L2 trên đoạn và với hàm trọng thích hợp Ở nghiên cứu này ta xem xét không gian L2, 1,1 – không gian những hàm số phức đo được theo nghĩa Hilbert trên đoạn 1,1 với chuẩn

1

2 2

2, 1

10

bổ sung thêm các hàm trực giao đầy đủ lẻ Theo [2] các hàm trực giao đầy đủ lẻ cần tìm

chính là hệ đạo hàm

1

k x j k x k Chúng ta cần chỉ ra rằng hệ

1

trong không gian L2, 1,1 những hàm số lẻ

Không gian L2với hàm trọng x2 1 trên đoạn 1,1 các hàm số thực đã được

nghiên cứu trong [11] ta có thể sử dụng những kỹ thuật chứng minh được phát triển bởi V.I.Ivanov để chứng minh định lý sau đây với trường hợp các hàm số phức

Định lý 1 Với 1 2 hệ , là hệ đầy đủ và trực chuẩn trong

C h ứ n g m i n h Chỉ cần chứng minh sự đầy đủ và trực chuẩn của hệ

trong không gian L2, 0,1

0 0

Bất kỳ hàm số f x L2, 1,1 có thể phân tích thành chuỗi Fourier theo hệ

Định lý 2 Với mọi 1 2, a 1 và mọi hàm số f x L2, 1,1 chuỗi

1 2

a J

Từ (2.5) và (2.6), ta có

2 2

1

k

a k

C J

O k

2 2

k

a k

C J

O k

,

17

1 2

Từ đó suy ra rằng dãy ckk i , i 1, 2 hội tụ

Chỉ còn cần chứng minh chuỗi song tuyến tính kl i k l

Như vậy từ định lý 2 ta có chuỗi Fourier (1.9) chính là mở rộng của hàm số từ đoạn

1,1 ra tòan trục số Hàm số mở rộng này được dùng về sau và sẽ được kí hiệu là f x

x t xt

Nếu x 1, thì A 1 t và A có thể vượt ra khỏi đoạn [ 1,1] Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu f x bên ngoài [ 1,1] nhận giá trị mở rộng của nó như định lý 2, thì công thức (3.3) cũng chính là biểu diễn dạng tích phân của T t ( 3 1 ) trong không gian

20

trùng với (3.3) Đạo hàm hai vế của (3.6) theo х, ta có

2 0

1 2 2

1

x t t

22

Vì V x t y , , , x t y , , là hàm đối xứng với x và t nên không mất tính tổng quát ta có

thể chỉ xét t x Thực hiện phép biển đổi ta có

2 0

Tính chất 1 được suy ra từ (3.5) và (3.10) Tính chất 2 và 4 được suy ra trực tiếp từ định nghĩa (3.1) Tính chất 3 được suy ra từ (3.5) Tính chất 5 suy ra từ (3.1), (3.13) và đẳng thức Paserval

1

2 2,

1 1

1 2

Vì T t 1 và chuỗi (3.20) khi u 1 hội tụ tuyệt đối, nên phép hiệu tf x được định

nghĩa một cách chính xác chính là hàm số của phép dịch chuyển tổng quá T t

Sau đây ta định nghĩa mô đun liên tục khác

Mô đun liên tục của hàm số f x L2, [ 1,1] được định nghĩa bằng đẳng thức

1 2,

,2

n

n

1 1 2,

26

3) h x chẵn và h k 0 với mọi k n

Thì hàm số này sẽ được gọi là hàm trọng Khi đó nhân cả 2 vế của (4.2) cho h x

và lấy tích phân cả 2 vế, cùng với 1), 2) ta có:

,2

k k

E f

d

Kết luận bất đẳng thức (4.1) chính xác Định lý được chứng minh

Bất đẳng thức Jackson trong không gian hàm số thực đo được theo nghĩa Hilbert trên

1

2 2

2, 1

Trong không gian L2, những hàm số có chu kỳ 2 với hàm trọng sin x2 1,

1 2, một hệ hàm mũ phức đã được xây dựng nhờ phép tóan C.Dancla [13] Tương

tự như vậy ta xây dựng hệ hàm phức trực giao đầy đủ cho không gian mà chúng ta đang nghiên cứu

Phép tóan Dancla được gọi là phép tóan vi phân – hiệu sau:

f x f x df

x i

f x f e x , fn dn f e , n , dn1 e en, n (4.4) – chuỗi Fourier của hàm số này theo hệ en

Đại lượng xấp xỉ tốt nhất của hàm số f x L2, 1,1 khi đó được định nghĩa như sau:

Sử dụng đẳng thức Parseval ta có

2

2 2

Định lý 5 Với mọi 1 2, a 1 và hàm số f x L2, 1,1 chuỗi

C h ứ n g m i n h Cho f x L2, 1,1

\ 0

n n n

Như đã biết

Dựa vào định lý 5 ta có thể suy ra được rằng chuỗi (4.4) cũng chính là mở rộng của

2 1

số f x bên ngòai đoạn [ 1,1] được hiểu như là hàm mở rộng như đã nói ở định lý 5,

thì công thức (4.6) chính là dạng biểu diễn tích phân của phép dịch chuyển tổng quát

t

32

Bổ đề 2 Cho f x L2, 1,1 , 1 2 và bên ngòai đoạn [ 1,1] f x được

1

2, 2,

2 1

,

t

T f x K t f x Bất đẳng thức đó suy ra từ (4.7), vì

x t xt

Thực vậy,

2 2

33

C h ứ n g m i n h Dựa vào bổ đề (2) ta chi cần chứng mih T tvà T1 trùng nhau với hàm

số n x , n x với mọi n Ta có:

1 2

2 0

cos sin

n x n t c n A d ,

2 0

cossin

cossin

1 e tn 1 n t n t 1 n t , nên

1 2 2,

2 2

36

KẾT LUẬN

Trong nghiên cứu này đã xem xét không gian L2, 1,1 Trong không gian này

đã xây dựng được một hệ trực giao đầy đủ, chính là hệ hàm số đặc biệt của bài tóan Sturma – Liouville và đạo hàm của các hàm đó Từ đó ta định nghĩa chuỗi Fourier, đại lượng xấp xỉ tốt nhất và môđun liên tục Để định nghĩa môđun liên tục trươc hết ta phải định nghĩa phép dịch chuyển tổng quát và biểu diễn phép dịch chuyển tổng quát đó dứơi dạng tích phân Trước hết ta cần mở rộng hàm số ra cả trục số, trong nghiên cứu này đã chứng minh rằng chuỗi Fourier chính là mở rộng cần tìm Kết quả quan trọng thu được chính là chứng minh được bất đẳng thức Jackson trong không gian được xét đến Sơ đồ chứng minh này đã được phát triển bởi nhà tóan học N.I Chernylk

bằng phép tóan vi phân-hiệu Dancla Hệ hàm mũ phức này cũng là hệ trực giao đầy đủ Tương tự như vậy cũng chứng minh được bất đẳng thức Jackson giữa đại lương xấp xỉ tốt nhất và môđun liên tục được định nghĩa dựa trên hệ này

Kết quả thu được có thể được dùng để áp dụng khi giải những bài tóan khác nhau trong lý thuyết hàm số và lý thuyết xấp xỉ

7 Справочник по специальным функциям / под ред М Абрамовича и И Стиган М.: Наука, 1979

14 Арестов В.В., Попов В.Ю Неравенства Джексона на сфере в L2 //

17 Нгуен Тхи Фыонг Донг О неравенстве Джексона в пространстве L2 на

механики, информатики: матер Региональной научной студенческой конф./ ТулГУ Тула, 2010 С 28–32